高三数学(理科)试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分. 共150分,考试时间120分钟.
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
注意事项:
1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上.
2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其他答案,不能答在试题卷上. 3.考试结束,监考人将本试卷和答题卡一并收回.
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的.
1.设全集U=R,A={x∈N︱1≤x≤10},B={ x∈R︱x 2+ x-6=0},则下图中阴影表示的集合
为 ( ) A.{2} B.{3}
C.{-3,2} D.{-2,3} 2.已知命题p: \"xÎR,cosx≤1,则 ( )
A.p:xR,cosx1 B.Øp:\" x∈R,cos x≥1
C. p:xR,cosx1
D.Øp:\" x∈R,cos x>1
3.函数y=f(x)的图象与函数g(x)=ex+2的图象关于原点对称,则f(x)的表达式为
B.f(x)=-e-x+2 D.f(x)=e-x+2
D.(0,1)
( ) ( )
( )
A.f(x)=-ex-2 C.f(x)=-e-x-2
4.设x0是方程lnx+x=4的解,则x0属于区间 A.(3,4)
B.(2,3)
C.(1,2)
5.已知cos(a-b)=,sinb=- A.
3533 6525pp,且a挝(0,),b(-,0),则sina= 1322633363 B. C.- D.-
6565656.抛物线y=-4x上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是
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( )
A.-17 16B.-15 16C.
7 16D.
15 167.等差数列{an}中,an刮0,n2数列{bn}是等比数列,且N*,有2a3-a7+2a11=0,b7=a7,则b6b8=
A. 2 B.4 8.函数y=Asin(wx+j)(A>0,w>0,浇j<
A.y=2sin(2x+
C. 8
D. 16
( )
p)部分的图象如图所示,则该函数的表达式为 2 ( )
5p) 65B.y=2sin(2x-p)
6pC.y=2sin(2x+)
6pD.y=2sin(2x-)
6
( )
9.已知平面α和两条不同的直线m,n,则使m∥n成立的一个必要条件是 A.m∥α,n∥α B.m⊥α,n⊥α C.m∥α, nÌα D.m,n与α成等角
10.如图,目标函数u=ax-y的可行域为四边形OACB(含边界).若点C(,)是该目标函数
的最优解,则a的取值范围是
( )
2435
221ax11.若函数f(x)=-e的图象在x=0处的切线l与圆C: x+y=1相离,则P(a,b)与圆
b
C的位置关系是 A.在圆外
B.在圆内
C.在圆上
D.不能确定
( )
105,] 312312C.[,]
105A.[123,] 510123D.[,]
510B.[3112.若点M是△ABC所在平面内的一点,且满足AM=AB+AC,则△ABM与△ABC
44面积之比等于 ( )
A.
3 4B.
1 4C.
11 D. 32第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填写在题横线上.
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13.由曲线y=1,x=1,x=2,y=0所围成的封闭图形的面积为___________ x14.一个空间几何体的正视图、侧视图是两个边长为
1的正方形,俯视图是直角边长为1的等腰三角 形,则这个几何体的表面积等于______________
15.在平面直角坐标系xoy中已知△ABC的顶点A(-6,0)
22xy和C(6,0),顶点B在双曲线-=1的左支上, 2511则sinA-sinC
=sinB
16.如图,将一个边长为1的正三角形的每条边三等分,以中间一段为边向形外作正三角形,
并擦去中间一段,得图(2),如此继续下去,得图(3)……
试用 n表示出第n个图形的边数an=____________.
三、解答题:本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分) 已知OA(sin
xxxx,3cos),OB(cos,cos)(xR),f(x)OAOB. 3333 (Ⅰ)求函数f(x)图象的对称中心的横坐标; (Ⅱ)若x(0,3],求函数f(x)的值域
18.(本小题满分12分)
已知点列M1(x1,1),M2(x2,2),技,Mn(xn,n),,且MnMn+1与向量an=(-c,cn+1) 垂直,其中c是不等于零的实常数,n是正整数. 设x1=1,求数列{xn}的通项公式,并求其前n项和Sn.
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19.(本小题满分12分)
在几何体ABCDE中,∠BAC=
p,DC⊥平面ABC,EB⊥平面ABC,AB=AC=BE=2,2CD=1
(Ⅰ)设平面ABE与平面ACD的交线为直线l,求证:l∥平面BCDE; (Ⅱ)设F是BC的中点,求证:平面AFD⊥平面AFE; (Ⅲ)求几何体ABCDE的体积.
20.(本小题满分12分)
某厂家拟在2008年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销量(即该厂的年产
量)x 万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x=3-k (k为常数),如果不搞促m+1销活动,则该产品的年销售量只能是1万件. 已知2008年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1 万元该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金,不包括促销费用). (Ⅰ)将2008年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数; (Ⅱ)该厂家2008年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?
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21.(本小题满分12分)
x2y2 设F+=1的左、右焦点. 1、F2分别是椭圆
(Ⅰ)若P是该椭圆上的一个动点,求PF1PF2的最大值和最小值;
(Ⅱ)是否存在过点A(5,0)的直线l与椭圆交于不同的两点C、D,使得|F2C|=|F2D|?
若存在,求直线l的方程;若不存在,请说明理由.
22.(本小题满分14分)
设函数f(x)=lnx-px+1 (Ⅰ)求函数f(x)的极值点;
(Ⅱ)当p>0时,若对任意的x>0,恒有f(x)0,求p的取值范围;
ln22ln32lnn22n2n1 (Ⅲ)证明:22(nN,n2). 22(n1)23n
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山东省济宁市2007-2008学年第一学期期末考试
高三数学(理科)试题参
一、选择题:每小题5分,共60分.
1.A 2.C 3.C 4.B 5.A 6.B 7.D 8.C 9.D 10.B 11.B 12.B 二、填空题:每小题4分,共16分. 13.ln2 14.3三、解答题:
17.解:(1)f(x)OAOBsin52 15. 16.3´4n-1
6xxxcos3cos2 ……2分 33312xsin323sin( 令
1cos22x3 ………………4分
2x3 …………6分 )3322x3k1k(kZ)得x(kZ) 3322k1(kZ) ………………8分 对称中心的横坐标为x22x5(Ⅱ)由0x
33339则
32xsin()1 ………………10分 2333] ………………12分 2∴函数f(x)的值域为(3,118.解:由题意得:MnMn1(xn1xn,1) …………2分
∵MnMn1与向量an(c,cn1)(c0)垂直, ∴MnMn1an0,即c(xn1xn)cn10 ∵c0,xn1xncn …………4分
∴xn(xnxn1)(xn1xn2)(x2x1)x1
cn1cn2c1 …………6分
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当c=1时,xnn,此时Sn123n当c≠1时,xncn1n(n1) …………8分 2cn21cn c1,1c1c1c21cn 此时Snx1x2xn1c1c1c11(cc2cn) 1c1cn1c(1cn)nccn1 …………12分 21c1c1c1c(1c)19.(Ⅰ)∵CD⊥平面ABC,BE⊥平面ABC ∴CD//BE ∴CD//平面ABE …………2分
又l=平面ACD∩平面ABE ∴CD//l 又l平面BCDE,CD平面BCDE ∴l//平面BCDE …………4分
(Ⅱ)在△ABC中,FD=3,FE6,DE3
∴FD⊥FE ……………………6分
∵CD⊥平面ABC ∴CD⊥AF 又BC⊥AF ∴AF⊥平面BCDE ∴AF⊥FD
∴FD⊥平面AFE 又FD平面AFD
∴平面AFD⊥平面AFE ………………8分 (Ⅲ)VABCDE=VA—ABDE
1SBCDEAE …………10分 311=(12)222 32=
=2 …………12分 20.(I)由题意可知当 m=0时x=1(万件)
∴1=3-k即 k=2, …………………………2分
x32 m1816x(元) …………4分 x816x](816xm) …………6分 ∴2008年的利润为yx[1.5x248xm48(3)m
m1每件产品的销售价格为1.5第 7 页,共 10 页
16(m1)]29(m0) ………………8分 m116(m1)2168 …………10分 (Ⅱ)当m0时,m116m1即m3(万元)时, ∴y82921,当且仅当m1[ymax21(万元)
答:该厂家2008年的促销费用投入3万元时,厂家利润最大,最大为21万元 …12分 21.解:易知a5,b2,c1,F1(1,0),F2(1,0) …………2分
22设P(x,y),则PF1PF2(1x,y)(1x,y)xy1
x24421x1x23 ………………4分 55x[5,5],
当x0,即点P为椭圆短轴端点时,PF1PF2有最小值3;
当x5,即点P为椭圆长轴端点时,PF1PF2有最大值4 ……6分
(Ⅱ)假设存在满足条件的直线l易知点A(5,0)在椭圆的外部,当直线l的斜率不
存在时,直线l与椭圆无交点,所在直线l斜率存在,设为k 直线l的方程为yk(x5) ……………………7分
x2y21由方程组5,得(5k24)x250k2x125k2200 4yk(x5)依题意20(1680k)0,得255k …………8分 55当55k时,设交点C(x1,y1)、D(x2,y2),CD的中点为R(x0,y0), 55x1x250k225k2,x02则x1x2 225k45k425k220ky0k(x05)k(25)2.
5k45k4第 8 页,共 10 页
又|F2C|=|F2D|F2RlkkF2R1
kkF2R20k)220k25k4k1 …………10分 2225k420k125k40(∴20k2=20k2-4,而20k2=20k2-4不成立, 所以不存在直线l,使得|F2C|=|F2D|
综上所述,不存在直线l,使得|F2C|=|F2D| …………12分 22.解:(1)f(x)lnxpx1,f(x)的定义域为(0,),
f(x)11pxp …………2分 xx当p0时,f(x)0,f(x)在(0,) 上无极值点 …………3分 当p>0时,令f(x)0,x1(0,),f(x)、f(x)随x的变化情况如下表: px (0,1) p1 p0 极大值 1(,+ ) p- ↘ f'(x) f(x) + ↗ 从上表可以看出:当p>0 时,f(x)有唯一的极大值点x
1
………………6分 p
(Ⅱ)当p>0时在x=111处取得极大值f()=ln,此极大值也是最大值, ppp1p1 0, p要使f(x)£0恒成立,只需f()=ln∴p³1
∴p的取值范围为[1,+∞) …………………10分
,nN,n2 (Ⅲ)令p=1,由(Ⅱ)知,lnxx10,lnxx1第 9 页,共 10 页
∴lnnn1,
22lnn2n2111∴2 …………12分
nn2n2ln22ln32lnn2111(1)(1)(1) ∴22222223n23n(n1)(111) 2232n2(n1)(111) …………13分 2334n(n1)111111(n1)()
2334nn1112n2n1 (n1)()2n12(n1)∴结论成立 …………………14分
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