大一数学分析

数学与计算科学系数学与应用数学专业2007级数学分析(一)试题

一、判断题（每小题2分，共20分） 1（ ） 2、区间

0,必1是一个可列集.

、

fxsgnx是

R中的有界奇函数.

（ （ （（ （ （ （ （ ）

3、若不存在.

xlimfx()A，xlimf(x)B，则lximfx(必） 4、

limann0limann0. ）

5、收敛数列必有界. ）

6、fx在xa处连续的充分必要条件是fx在xa处存在极限. ）

7、fx在xa处可导fx在xa处可微. ）

8、设a为常数，那么对x(,)，fx0的充分必要条件

是

fxa. ）

9、若fx在区间I上连续，则fx在区间I上必一致连续. ）

、若fx在区间(c,c)(0)内二阶可导，且Mc,f(c)是曲线

第 1 页 共 26 页

10

yf(x)的拐点，则

f(c)0.

（ ）

二、填空题（每空2分，共26分）

1、函数f(x)4(x1)2的定义域是 ，值域是 2、设a，b有限，且x0 3、在数列

sinnn2limacosxx2b，那么a ，b

n2n12，(1)n1，(1)，

n1n中，收敛数列有 个，

而无穷小量是 4、在函数

sinxx，

exx，x与xlnx中，以x0为第二类不连续点的

函数是 ，以x0为第三类不连续点的函数有 个 5、ylnxx的严格单调递增区间是 6、设yx2lnx，那么dy＝ ，y＝ 7、y2x21在x1处的带Peano余项的泰勒公式是y＝

ex8、函数fxaxbx0x0在x0处可导，那么b＝

三、单选题（每小题3分，共12分，请将正确答案的题号填入括号里）

1

（ ）

A．必要条件 B. 充分条件 C. 充要条件 D. 无关条件 2

（ ）

A．y12x(x1) B．y12(x1) C．y12(x1) D．y12(x1) 、

曲

线

yx2、数列

an有界是数列

an收敛的

在点

(1,处的切线方程

3、函数fx在a,b上连续是fx在a,b上一致连续的

（ ）

A．必要条件但非充分条件 B. 充分条件但非充分条

件

第 2 页 共 26 页

C. 充要条件 D. 无关条件

4、设yfx在a,b内满足：f(x)0，f(x)0，那么

函数fx在a,b

内

（ ）

A．严格递减且是下凸的 B. 严格递增且是下凸的 C. 严格递减且是上凸的 D. 严格递增且是上凸的

四、计算题（每小题6分，共30分） 1、计算limx1必是

1lnxx11.

2、利用夹逼法计算limn1n121n22. 2nn1

3、若y(x3)ex，试计算y.

第 3 页 共 26 页

4、试求fx(x21)31在2,2上的最大值与最小值.

f(x)lnf(x)5、已知1limf(x)满足：limsin5xf(x)x0sin5x0，并且，求x0ex12lim0x2.

x

五、证明题（每小题6分，共12分）

1、证明不等式：当x0时，ln(1x)xx22.

第 4 页 共 26 页

2、证明: 1)方程2xcosx1在(0,2)内至少存在一个实根. )内存在唯一的一个实根.

2）方程2xcosx1在(0,

2 湖南科技学院二○○七年下期期末考试（B卷）

数学与计算科学系数学与应用数学专业2007级数学分析(一)试题

一、判断题（每小题2分，共20分）

1、任何初等函数在定义区间上连续。 （ ） 2（ ） 3（ ）

fx()Afx(不)存在。 4、若lim，limf(x)A1，则limx0、

fxsinx是

x0内的有界奇函数。

、集

G2nnN必是一个可列集。

x0x0（ ） 5（ ）

6

、

单

调

递

增

数

列

必

收

敛

。

、

limanalimanann

第 5 页 共 26 页

（ ）

7、fx在xa处可导的充分必要条件是fx在xa处连续。 （ ）

8、设a，b为常数，那么对x(,)，fxa的充分必要条件

是

（ ） 9（ ）

10、若函数fx在xc处连续，且Mc,f(c)是曲线yf(x)的拐点，则

必

（ ）

二、填空题（每空2分，共26分） 1、数集Gyy11x2 2、设a，b有限，且x0

3n2limsin2xx2fxaxb。

、若

fxx。x那e么

dfx(x1)edx

x有

f(c。

x1,1中的最大数是 ，最小数是 1cosaxx2na，x0lim2b那么a ，b

13、lim2 ，而lim1nnn1n

4、在函数

sinxx，

exx，x与xlnx中，以x0为第二类不连续点的

函数是 ，以x0为第三类不连续点的函数有 个

5、ylnxx的严格单调递减区间是 6、设yx2sin2x，那么dy＝ ，y＝ x2 7、函数fxaxbx0x0在x0处可导，那么a ，b＝

三、单选题（每小题3分，共12分，请将正确答案的题号填入括号里）

第 6 页 共 26 页

1

（ ）

、数列

an收敛是数列

an有界的

A．必要条件 B. 充分条件 C. 充要条件 D. 无关条件

2、曲线x2t2，y3tt3在对应t00的点处的切线方程是

（ ）

A．y32x2 B．y1tx2

2233C．y3x2 D．y3、函数

（ ）

A．fx在0,1内连续 B. fx在0,1内可导 C. fx在0,1内有界

fx2

x在0,1内一致连续的充要条件是

D. fx在0,1内连续，且limf(x)与limf(x)有限存在

x0x14、设yfx在a,b内满足：f(x)0，f(x)0，那么函数fx在

a,b

内

（ ）

A．严格递减且是下凸的 B. 严格递增且是下凸的 C. 严格递减且是上凸的 D. 严格递增且是上凸的

四、计算题（每小题7分，共28分） 1、计算lim

sinxxx3必是

.

x0第 7 页 共 26 页

2、设x11，xn12xn，n1,2,3,，证明xn收敛。并求其极限.

3、若yxx21lnxx21，试计算y.

4、试计算函数yxex的极值.

五、证明题（每小题6分，共12分）

1、证明恒等式：当x0,1时，有arcsinxarccosx2.

第 8 页 共 26 页

2、证明: 1)方程xcosx在(0,2)内至少存在一个实根. )内存在唯一的一个实根.

2）方程xcosx在(0,

2湖南科技学院二○○ 八 年 下 学期期末考试

数学与应用数学 专业 2008 级 数学分析（一）试题 一、判断（每小题 2分，共计 20 分）

1、任何初等函数在其定义区间上连续。 （ ） 2

、

fxsinx是

x0内的有界奇函数。

（ ） 3

、

集

G2nnN必是一个可列集。

（ ）

fx( 4、若limx0)Afx(不)存在。 ，limf(x)A1，则limx0x0（ ） 5（ ）

、

limanalimanann

第 9 页 共 26 页

6（ ）

、单调递增数列必收敛。

7、fx在xa处可导的充分必要条件是fx在xa处连续。 （ ）

8、设a，b为常数，那么对x(,)，fxa的充分必要条件

是

（ ） 9（ ）

10、若函数fx在xc处连续，且Mc,f(c)是曲线yf(x)的拐点，则

必

（ ）

二、填空（每空2分，共26分） 1、数集Gyy11x22、设a，b有限，且x03、在数列(1)sinxxn1fxaxb。

、若

fxx。x那e么

df(xx1 ) x

有

f(c。

x1,1中的最大数是 ，最小数是 1cosaxx2limsin2xxa，x0limb那么a ，b

2n13n2，n21，1n中，无穷小量是

4、在函数，

exx，x与xlnx中，以x0为第二类不连续点的函数

是 ，

以x0为第三类不连续点的函数有 个 5、ylnxx的严格单调递减区间是 6、设yx2sin2x，那么dy＝ ，y＝

第 10 页 共 26 页

x27、函数fxaxbx0x0在x0处可导，那么a ，b

8、yex的带Peano余项的n阶马克劳林公式是y＝

三、单选题（每小题3分，共12分，请将正确答案的题号填入括号里） 1

、

数

列

an收敛是数列

an有界的

（ ）

A．必要条件 B. 充分条件

C. 充要条件 D. 无关条件

2、曲线x2t2，y3tt3在对应t00的点处的切线方程是 （ ）

A．y32x2 B．y1tx2

2233C．y3x2 D．y3、函数（ ）

A．fx在0,1内连续 B. fx在0,1内可导 C. fx在0,1内有界

fx2

x在0,1内一致连续的充要条件是

D. fx在0,1内连续，且limf(x)与limf(x)有限存在

x0x14、设yfx在a,b内满足：f(x)0，f(x)0，则fx在a,b 内必是 （ ）

A．严格递减且是下凸的 B. 严格递增且是下凸的 C. 严格递减且是上凸的 D. 严格递增且是上凸的

四、计算题（每小题7分，共21分） 1、计算limsinxxx3.

x0

第 11 页 共 26 页

2、若yxx21lnxx21，试计算y.

f(x)ln1sin5x2f(x)满足：limxx0e13、已知lim

f(x)sin5xx00，并且，求limf(x)x2.

x0

五、综合题（共21分） 1、设x11，xn1

2、证明: 1)方程xcosx0在(0,2)内至少存在一个实根（3分）. )内存在唯一的一个实根（3分）.

2xn，n1,2,3,，证明xn收敛。并求其极限.（7分）

2）方程xcosx0在(0,

2第 12 页 共 26 页

x2xx03、已知f(x)

x1x0（1）证明f(x)在x0处连续（4分）

（2）当x0，问x为何值时，f(x)可取得极值（4分）？

湖南科技学院二○○ 八 年 下 学期期末考试

数学与应用数学 专业 2008 年级 数学分析（一）试题 一、判断（每小题 2分，共计 20 分）

1

、

fx2lnx与

gxlnx2是相同函数。

（ ） 2

、

fxsgnx是

R中的有界奇函数。

（ ）

3、区间0,1中的有理数集必是一个可列集。 （ ） 4、若limf（ ） 5（ ）

6

、

单

调

有

界

数

列

必

收

敛

。

、

limanalimanannxx()Afx(必不存在。 ，limf(x)B，则limxx。

第 13 页 共 26 页

（ ）

7、fx在xa处可导的充分必要条件是fx在xa处可微。 （ ）

8、两无穷小量的和、差、积、商一定是无穷小量。 （ ）

9、fx在xa处连续的充分必要条件是fx在xa处存在极限。 （ ）

10、若fx在区间(c,c)(0)内二阶可导，且Mc,f(c)是曲线

yf(x)的拐点，则

f(c)0。

（ ）

二、填空（每空2分，共26分）

1、函数y11x2定义域是 ，值域是 2、设a，b有限，且x0tanx3n4limsin3xa，x0lim1cosxax2bn那么a ，b

13、在数列lim3 ，lim1

nnnnn4、在函数

sinxx，

exx，x与xlnx中，以x0为第二类不连续点的函数

是 ，

以x0为第三类不连续点的函数有 个 5、yxex的严格单调递减区间是 6、设ylnx2，那么dy＝ ，y＝

ex7、函数fxxax0x0在x0处连续，那么a

8、ysinx在x0处的带Peano余项的泰勒公式是y＝

第 14 页 共 26 页

三、单选题（每小题3分，共12分，请将正确答案的题号填入括号里） 1

、

数

列

an收敛是数列

an有界的

（ ）

A．必要条件 B. 充分条件

C. 充要条件 D. 无关条件

2、曲线x2sitn，y2tt2在对应t00的点处的切线方程是 （ ）

A．y32x2 B．y1tx2

23C．y2x2 D．y2x2 3、函数（ ）

A．fx在1,2内连续 B. fx在1,2内可导 C. fx在1,2内有界

D. fx在1,2内连续，且limf(x)有限存在

x1fx在1,2内一致连续的充要条件是

4、设yfx在a,b内满足：f(x)0，f(x)0，则fx在a,b 内必是 （ ）

A．严格递减且是下凸的 B. 严格递增且是下凸的 C. 严格递减且是上凸的 D. 严格递增且是上凸的 四、计算题（每小题7分，共28分）

1、设0x11，xn1xn(1xn)，n1,2,3,，证明xn收敛。并求其极限.

2、计算limxlnx.

x0

第 15 页 共 26 页

3、若yearctan2x，试计算y.

x2

4、试计算函数yxex的极值.

五、证明题（每小题7分，共14分）

1、证明恒等式：当x0,1时，有arcsinxarccosx

2、证明: 1)方程2xcosx1在(0,2)内至少存在一个实根（3分）.

2.

2）方程2xcosx1在(0,

2)内存在唯一的一个实根（4分）.

第 16 页 共 26 页

湖南科技学院二○○ 九 年 下 学期期末考试

数应与信计 专业 2009 级 数学分析（一）试题 一、判断（每小题 2分，共计 20 分；对的记√，错的记×）

1

、

若

sSu有p限存在，则S

（ ） 2

、

fxx是

R上的初等函数。

（ ）

3、设fx在R上有定义，且有界，那么Gxfxfx必是R上的有界奇函数。

（ ） 4（ ）

1nan1n2n为n为偶奇数、

limanalimanann

5、若

数，则

ln ain0m（ ）

f(x)不存在。 6、若limf(x)A，limf(x)A1，则limxaxaxa（ ）

1xsinfxx0x0x0 7、设

，则fx在x0处连续。

（ ）

8

、

当

x0时，

1cxo～s12x

2第 17 页 共 26 页

（ ） 9、若（ ）

10、若fx在xa处可导，那么lim（ ）

二、填空（每小空2分，共28分） 1、若S是函数f(x)x(2x)的连续点所成之集，则S= ln(1ax)bx22f(a)0，则

xa必是

f(x)的极值点。

f(a)f(a2h)hh0f(a).

2、设a，b有限，且limx01，那么a ，b

3、lim12x3x2x4 ，limxx1x

214、在数列n3n21nsinn，，收敛的数列有 个，，(2)中，2n而收

敛于0的数列是 5、在函数

sin2xx，sgnx，D(x)与

cosxx中，以x0为第二类间断点的函数有

个，

而以x0为可去间断点的函数是 6、ylnxx的严格单调递增开区间是 7、若f(x)x23x1，那么f(x)在x1处的泰勒公式是

8、yx31在(0,1)处的切线方程是 2x9、若fx3xx0x0，那么f(x) ，f(1)

第 18 页 共 26 页

三、单选题（每小题3分，共12分，请将正确答案的题号填入括号里）

nnnn1、设 ，那an123（ ）

A．收敛于1 B. 收敛于2

么数列

an必

C. 收敛于3 D. 发散 2、在a点连续是f(x)f(x)（ ）

A．必要条件 B．充分条件 C．充要条件 D．无关条件 3、设（ ）

A．x0必是f(x)在R内的最大值点 B. x0必是f(x)在R内的最小值点

f(x)在

a点可微的

在

R内满足：

f(x)0，

f(0)0，那么

C. x0是f(x)在R内的极大值点，但不是最大值点 D. x0是f(x)在R内的极小值点，但不是最小值点

4、设f(x)在R内满足：f(x)0，f(0)0，那么 （ ） A．(0,f(0))点必是曲线yf(x)的拐点 B. (0,f(0))点必不是曲线yf(x)的拐点

C. (0,f(0))点是曲线yf(x)的拐点，且x0必是fx的极值点

D. (0,f(0))点不是曲线yf(x)的拐点，且x0必不是fx的极值点

四、计算题（每小题6分，共30分） 1、求极限limx0

sin12x12x.

第 19 页 共 26 页

2、设x11，xn1

43xn，n1,2,3,，证明xn收敛。并求其极限.

3、设yxx21ln(x

x1)，试求dy2.

4、试求fx2x3x4在1,1上的最大值与最小值

第 20 页 共 26 页

5、设yxsinx，试求y(4)

五、证明题（每小题5分，共10分） 1、当x0时，证明：ln(1x)xx22(1x)

2、证明方程x2x1至少存在一个正实根.

第 21 页 共 26 页

湖南科技学院二○○ 九 年 下 学期期末考试

数应与信计 专业 2009 级 数学分析（一）试题

一、判断（每小题 2分，共计 20 分；对的记√，错的记×）

1、设S是一个非空实数集，那么S有界supS与infS均有限存在.（ ）

2、设fx在1,1上有定义，且有界，那么Fxfxx必是1,1上的有界

偶

（ ） 3

、

fxsgnx函数.

是

R上的非初等函数.

（ ） 4

、

若

数

列

an有界，则

an必收敛.

（ ）

1annnn为n为奇偶数 5、若，则

an必收敛.

数（ ）

6、若limf(x)A，limf(x)B，（这里A，B有限），则limf(x)必不

xaxaxa存在.（ ）

sin2xfxx0x0x0 7、设

，则fx在x0处连续.

（ ）

8、fx在a,b内连续fx在a,b内必一致连续.

第 22 页 共 26 页

（ ） 9

、

当

x0时，

11x(1x)～

x2.

（ ）

10、若f(a)0，则点a,f(a)必是曲线yf(x)的拐点。 （ ）

二、填空（每小空2分，共28分）

1、若S是函数f(x)xlnx的连续点所成之集，则S= 2、设a，b有限，且lim3、limln(12x)x2abcosxx2x01，则a ，b

(1x)(12x)2xx12x0 ，lim

xn112n11nn14、在数列，，，与1(1)()中，发散的数列是 2nn2n ，而收敛于0的数列有 个 5、在函数

个，

而以x0为第二类间断点的函数是

sinxx1，sgnx，x，(1x)x与

sinxx2中，以x0为跳跃间断点的函数有

6、yxlnx的严格递增开区间是 ；而严格凸区间是 7、yx24x5在(1,0)处的切线方程是 3x8、若fx3xx0x0，那么f(x) ，f(x)

三、单选题（每小题3分，共12分，请将正确答案的题号填入括号里） 1

、

数

列

xn有界是数列

xn收敛的

（ ）

A．必要条件 B．充分条件 C．充要条件 D．无关条件 2

、

若

lxaf(ix)m有限存在，那么

（ ）

第 23 页 共 26 页

A．f(a)必有定义

B．limf(x)与limf(x)均存在，但limf(x)limf(x)

xaxaxaxaC．limf(x)limf(x)A

xaxaD．f(a)在a处必连续

3、设f(x)在a,b内可导，x0a,b，若在a,x0内f(x)0，在x0,b内

f(x)0，那么

（ ）

A．且f(x0)0 B. x0是f(x)极小值点 ，且f(x0)0 x0是f(x)极大值点 ，C. x0是f(x)极大值点 ，但f(x0)0 D. x0是f(x)极小值点 ，且

f(x0)0

4、若

f(a)与

f(a)均有限存在，那么

（ ）

A．f(x)在a处必可导 B. f(x)在a处必可微 C. f(x)在a处必不可导 D. f(x)在a处必连续

四、计算题（每小题6分，共30分） 1、求极限lim

2、试用数列的迫敛性（两边夹定理）计算

limn1n12sinxxcosxsin3x0x.

1n22. 2nn1

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3、设yx1x2arcsinx，试求dy.

4、试求fxx55x45x31在1,2上的最大值与最小值

xex5、若fx2axbxcx0x0在x0处二阶可导，试求a，b，c的值.

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五、证明题（每小题5分，共10分） 1、证明：当h0时，

2、证明:方程2xcosx在(0,

2)内至少存在一个实根 h1h2arctanhh

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