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大一数学分析

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 湖南科技学院二○○七年下期期末考试(A卷)

数学与计算科学系数学与应用数学专业2007级数学分析(一)试题

一、判断题(每小题2分,共20分) 1( ) 2、区间

0,必1是一个可列集.

fxsgnx是

R中的有界奇函数.

( ( (( ( ( ( ( )

3、若不存在.

xlimfx()A,xlimf(x)B,则lximfx(必) 4、

limann0limann0. )

5、收敛数列必有界. )

6、fx在xa处连续的充分必要条件是fx在xa处存在极限. )

7、fx在xa处可导fx在xa处可微. )

8、设a为常数,那么对x(,),fx0的充分必要条件

fxa. )

9、若fx在区间I上连续,则fx在区间I上必一致连续. )

、若fx在区间(c,c)(0)内二阶可导,且Mc,f(c)是曲线

第 1 页 共 26 页

10

yf(x)的拐点,则

f(c)0.

( )

二、填空题(每空2分,共26分)

1、函数f(x)4(x1)2的定义域是 ,值域是 2、设a,b有限,且x0 3、在数列

sinnn2limacosxx2b,那么a ,b

n2n12,(1)n1,(1),

n1n中,收敛数列有 个,

而无穷小量是 4、在函数

sinxx,

exx,x与xlnx中,以x0为第二类不连续点的

函数是 ,以x0为第三类不连续点的函数有 个 5、ylnxx的严格单调递增区间是 6、设yx2lnx,那么dy= ,y= 7、y2x21在x1处的带Peano余项的泰勒公式是y=

ex8、函数fxaxbx0x0在x0处可导,那么b=

三、单选题(每小题3分,共12分,请将正确答案的题号填入括号里)

1

( )

A.必要条件 B. 充分条件 C. 充要条件 D. 无关条件 2

( )

A.y12x(x1) B.y12(x1) C.y12(x1) D.y12(x1) 、

线

yx2、数列

an有界是数列

an收敛的

在点

(1,处的切线方程

3、函数fx在a,b上连续是fx在a,b上一致连续的

( )

A.必要条件但非充分条件 B. 充分条件但非充分条

第 2 页 共 26 页

C. 充要条件 D. 无关条件

4、设yfx在a,b内满足:f(x)0,f(x)0,那么

函数fx在a,b

( )

A.严格递减且是下凸的 B. 严格递增且是下凸的 C. 严格递减且是上凸的 D. 严格递增且是上凸的

四、计算题(每小题6分,共30分) 1、计算limx1必是

1lnxx11.

2、利用夹逼法计算limn1n121n22. 2nn1

3、若y(x3)ex,试计算y.

第 3 页 共 26 页

4、试求fx(x21)31在2,2上的最大值与最小值.

f(x)lnf(x)5、已知1limf(x)满足:limsin5xf(x)x0sin5x0,并且,求x0ex12lim0x2.

x

五、证明题(每小题6分,共12分)

1、证明不等式:当x0时,ln(1x)xx22.

第 4 页 共 26 页

2、证明: 1)方程2xcosx1在(0,2)内至少存在一个实根. )内存在唯一的一个实根.

2)方程2xcosx1在(0,

2 湖南科技学院二○○七年下期期末考试(B卷)

数学与计算科学系数学与应用数学专业2007级数学分析(一)试题

一、判断题(每小题2分,共20分)

1、任何初等函数在定义区间上连续。 ( ) 2( ) 3( )

fx()Afx(不)存在。 4、若lim,limf(x)A1,则limx0、

fxsinx是

x0内的有界奇函数。

、集

G2nnN必是一个可列集。

x0x0( ) 5( )

6

limanalimanann

第 5 页 共 26 页

( )

7、fx在xa处可导的充分必要条件是fx在xa处连续。 ( )

8、设a,b为常数,那么对x(,),fxa的充分必要条件

( ) 9( )

10、若函数fx在xc处连续,且Mc,f(c)是曲线yf(x)的拐点,则

( )

二、填空题(每空2分,共26分) 1、数集Gyy11x2 2、设a,b有限,且x0

3n2limsin2xx2fxaxb。

、若

fxx。x那e么

dfx(x1)edx

x有

f(c。

x1,1中的最大数是 ,最小数是 1cosaxx2na,x0lim2b那么a ,b

13、lim2 ,而lim1nnn1n

4、在函数

sinxx,

exx,x与xlnx中,以x0为第二类不连续点的

函数是 ,以x0为第三类不连续点的函数有 个

5、ylnxx的严格单调递减区间是 6、设yx2sin2x,那么dy= ,y= x2 7、函数fxaxbx0x0在x0处可导,那么a ,b=

三、单选题(每小题3分,共12分,请将正确答案的题号填入括号里)

第 6 页 共 26 页

1

( )

、数列

an收敛是数列

an有界的

A.必要条件 B. 充分条件 C. 充要条件 D. 无关条件

2、曲线x2t2,y3tt3在对应t00的点处的切线方程是

( )

A.y32x2 B.y1tx2

2233C.y3x2 D.y3、函数

( )

A.fx在0,1内连续 B. fx在0,1内可导 C. fx在0,1内有界

fx2

x在0,1内一致连续的充要条件是

D. fx在0,1内连续,且limf(x)与limf(x)有限存在

x0x14、设yfx在a,b内满足:f(x)0,f(x)0,那么函数fx在

a,b

( )

A.严格递减且是下凸的 B. 严格递增且是下凸的 C. 严格递减且是上凸的 D. 严格递增且是上凸的

四、计算题(每小题7分,共28分) 1、计算lim

sinxxx3必是

.

x0第 7 页 共 26 页

2、设x11,xn12xn,n1,2,3,,证明xn收敛。并求其极限.

3、若yxx21lnxx21,试计算y.

4、试计算函数yxex的极值.

五、证明题(每小题6分,共12分)

1、证明恒等式:当x0,1时,有arcsinxarccosx2.

第 8 页 共 26 页

2、证明: 1)方程xcosx在(0,2)内至少存在一个实根. )内存在唯一的一个实根.

2)方程xcosx在(0,

2湖南科技学院二○○ 八 年 下 学期期末考试

数学与应用数学 专业 2008 级 数学分析(一)试题 一、判断(每小题 2分,共计 20 分)

1、任何初等函数在其定义区间上连续。 ( ) 2

fxsinx是

x0内的有界奇函数。

( ) 3

G2nnN必是一个可列集。

( )

fx( 4、若limx0)Afx(不)存在。 ,limf(x)A1,则limx0x0( ) 5( )

limanalimanann

第 9 页 共 26 页

6( )

、单调递增数列必收敛。

7、fx在xa处可导的充分必要条件是fx在xa处连续。 ( )

8、设a,b为常数,那么对x(,),fxa的充分必要条件

( ) 9( )

10、若函数fx在xc处连续,且Mc,f(c)是曲线yf(x)的拐点,则

( )

二、填空(每空2分,共26分) 1、数集Gyy11x22、设a,b有限,且x03、在数列(1)sinxxn1fxaxb。

、若

fxx。x那e么

df(xx1 ) x

f(c。

x1,1中的最大数是 ,最小数是 1cosaxx2limsin2xxa,x0limb那么a ,b

2n13n2,n21,1n中,无穷小量是

4、在函数,

exx,x与xlnx中,以x0为第二类不连续点的函数

是 ,

以x0为第三类不连续点的函数有 个 5、ylnxx的严格单调递减区间是 6、设yx2sin2x,那么dy= ,y=

第 10 页 共 26 页

x27、函数fxaxbx0x0在x0处可导,那么a ,b

8、yex的带Peano余项的n阶马克劳林公式是y=

三、单选题(每小题3分,共12分,请将正确答案的题号填入括号里) 1

an收敛是数列

an有界的

( )

A.必要条件 B. 充分条件

C. 充要条件 D. 无关条件

2、曲线x2t2,y3tt3在对应t00的点处的切线方程是 ( )

A.y32x2 B.y1tx2

2233C.y3x2 D.y3、函数( )

A.fx在0,1内连续 B. fx在0,1内可导 C. fx在0,1内有界

fx2

x在0,1内一致连续的充要条件是

D. fx在0,1内连续,且limf(x)与limf(x)有限存在

x0x14、设yfx在a,b内满足:f(x)0,f(x)0,则fx在a,b 内必是 ( )

A.严格递减且是下凸的 B. 严格递增且是下凸的 C. 严格递减且是上凸的 D. 严格递增且是上凸的

四、计算题(每小题7分,共21分) 1、计算limsinxxx3.

x0

第 11 页 共 26 页

2、若yxx21lnxx21,试计算y.

f(x)ln1sin5x2f(x)满足:limxx0e13、已知lim

f(x)sin5xx00,并且,求limf(x)x2.

x0

五、综合题(共21分) 1、设x11,xn1

2、证明: 1)方程xcosx0在(0,2)内至少存在一个实根(3分). )内存在唯一的一个实根(3分).

2xn,n1,2,3,,证明xn收敛。并求其极限.(7分)

2)方程xcosx0在(0,

2第 12 页 共 26 页

x2xx03、已知f(x)

x1x0(1)证明f(x)在x0处连续(4分)

(2)当x0,问x为何值时,f(x)可取得极值(4分)?

湖南科技学院二○○ 八 年 下 学期期末考试

数学与应用数学 专业 2008 年级 数学分析(一)试题 一、判断(每小题 2分,共计 20 分)

1

fx2lnx与

gxlnx2是相同函数。

( ) 2

fxsgnx是

R中的有界奇函数。

( )

3、区间0,1中的有理数集必是一个可列集。 ( ) 4、若limf( ) 5( )

6

limanalimanannxx()Afx(必不存在。 ,limf(x)B,则limxx。

第 13 页 共 26 页

( )

7、fx在xa处可导的充分必要条件是fx在xa处可微。 ( )

8、两无穷小量的和、差、积、商一定是无穷小量。 ( )

9、fx在xa处连续的充分必要条件是fx在xa处存在极限。 ( )

10、若fx在区间(c,c)(0)内二阶可导,且Mc,f(c)是曲线

yf(x)的拐点,则

f(c)0。

( )

二、填空(每空2分,共26分)

1、函数y11x2定义域是 ,值域是 2、设a,b有限,且x0tanx3n4limsin3xa,x0lim1cosxax2bn那么a ,b

13、在数列lim3 ,lim1

nnnnn4、在函数

sinxx,

exx,x与xlnx中,以x0为第二类不连续点的函数

是 ,

以x0为第三类不连续点的函数有 个 5、yxex的严格单调递减区间是 6、设ylnx2,那么dy= ,y=

ex7、函数fxxax0x0在x0处连续,那么a

8、ysinx在x0处的带Peano余项的泰勒公式是y=

第 14 页 共 26 页

三、单选题(每小题3分,共12分,请将正确答案的题号填入括号里) 1

an收敛是数列

an有界的

( )

A.必要条件 B. 充分条件

C. 充要条件 D. 无关条件

2、曲线x2sitn,y2tt2在对应t00的点处的切线方程是 ( )

A.y32x2 B.y1tx2

23C.y2x2 D.y2x2 3、函数( )

A.fx在1,2内连续 B. fx在1,2内可导 C. fx在1,2内有界

D. fx在1,2内连续,且limf(x)有限存在

x1fx在1,2内一致连续的充要条件是

4、设yfx在a,b内满足:f(x)0,f(x)0,则fx在a,b 内必是 ( )

A.严格递减且是下凸的 B. 严格递增且是下凸的 C. 严格递减且是上凸的 D. 严格递增且是上凸的 四、计算题(每小题7分,共28分)

1、设0x11,xn1xn(1xn),n1,2,3,,证明xn收敛。并求其极限.

2、计算limxlnx.

x0

第 15 页 共 26 页

3、若yearctan2x,试计算y.

x2

4、试计算函数yxex的极值.

五、证明题(每小题7分,共14分)

1、证明恒等式:当x0,1时,有arcsinxarccosx

2、证明: 1)方程2xcosx1在(0,2)内至少存在一个实根(3分).

2.

2)方程2xcosx1在(0,

2)内存在唯一的一个实根(4分).

第 16 页 共 26 页

湖南科技学院二○○ 九 年 下 学期期末考试

数应与信计 专业 2009 级 数学分析(一)试题 一、判断(每小题 2分,共计 20 分;对的记√,错的记×)

1

sSu有p限存在,则S

( ) 2

fxx是

R上的初等函数。

( )

3、设fx在R上有定义,且有界,那么Gxfxfx必是R上的有界奇函数。

( ) 4( )

1nan1n2n为n为偶奇数、

limanalimanann

5、若

数,则

ln ain0m( )

f(x)不存在。 6、若limf(x)A,limf(x)A1,则limxaxaxa( )

1xsinfxx0x0x0 7、设

,则fx在x0处连续。

( )

8

x0时,

1cxo~s12x

2第 17 页 共 26 页

( ) 9、若( )

10、若fx在xa处可导,那么lim( )

二、填空(每小空2分,共28分) 1、若S是函数f(x)x(2x)的连续点所成之集,则S= ln(1ax)bx22f(a)0,则

xa必是

f(x)的极值点。

f(a)f(a2h)hh0f(a).

2、设a,b有限,且limx01,那么a ,b

3、lim12x3x2x4 ,limxx1x

214、在数列n3n21nsinn,,收敛的数列有 个,,(2)中,2n而收

敛于0的数列是 5、在函数

sin2xx,sgnx,D(x)与

cosxx中,以x0为第二类间断点的函数有

个,

而以x0为可去间断点的函数是 6、ylnxx的严格单调递增开区间是 7、若f(x)x23x1,那么f(x)在x1处的泰勒公式是

8、yx31在(0,1)处的切线方程是 2x9、若fx3xx0x0,那么f(x) ,f(1)

第 18 页 共 26 页

三、单选题(每小题3分,共12分,请将正确答案的题号填入括号里)

nnnn1、设 ,那an123( )

A.收敛于1 B. 收敛于2

么数列

an必

C. 收敛于3 D. 发散 2、在a点连续是f(x)f(x)( )

A.必要条件 B.充分条件 C.充要条件 D.无关条件 3、设( )

A.x0必是f(x)在R内的最大值点 B. x0必是f(x)在R内的最小值点

f(x)在

a点可微的

R内满足:

f(x)0,

f(0)0,那么

C. x0是f(x)在R内的极大值点,但不是最大值点 D. x0是f(x)在R内的极小值点,但不是最小值点

4、设f(x)在R内满足:f(x)0,f(0)0,那么 ( ) A.(0,f(0))点必是曲线yf(x)的拐点 B. (0,f(0))点必不是曲线yf(x)的拐点

C. (0,f(0))点是曲线yf(x)的拐点,且x0必是fx的极值点

D. (0,f(0))点不是曲线yf(x)的拐点,且x0必不是fx的极值点

四、计算题(每小题6分,共30分) 1、求极限limx0

sin12x12x.

第 19 页 共 26 页

2、设x11,xn1

43xn,n1,2,3,,证明xn收敛。并求其极限.

3、设yxx21ln(x

x1),试求dy2.

4、试求fx2x3x4在1,1上的最大值与最小值

第 20 页 共 26 页

5、设yxsinx,试求y(4)

五、证明题(每小题5分,共10分) 1、当x0时,证明:ln(1x)xx22(1x)

2、证明方程x2x1至少存在一个正实根.

第 21 页 共 26 页

湖南科技学院二○○ 九 年 下 学期期末考试

数应与信计 专业 2009 级 数学分析(一)试题

一、判断(每小题 2分,共计 20 分;对的记√,错的记×)

1、设S是一个非空实数集,那么S有界supS与infS均有限存在.( )

2、设fx在1,1上有定义,且有界,那么Fxfxx必是1,1上的有界

( ) 3

fxsgnx函数.

R上的非初等函数.

( ) 4

an有界,则

an必收敛.

( )

1annnn为n为奇偶数 5、若,则

an必收敛.

数( )

6、若limf(x)A,limf(x)B,(这里A,B有限),则limf(x)必不

xaxaxa存在.( )

sin2xfxx0x0x0 7、设

,则fx在x0处连续.

( )

8、fx在a,b内连续fx在a,b内必一致连续.

第 22 页 共 26 页

( ) 9

x0时,

11x(1x)~

x2.

( )

10、若f(a)0,则点a,f(a)必是曲线yf(x)的拐点。 ( )

二、填空(每小空2分,共28分)

1、若S是函数f(x)xlnx的连续点所成之集,则S= 2、设a,b有限,且lim3、limln(12x)x2abcosxx2x01,则a ,b

(1x)(12x)2xx12x0 ,lim

xn112n11nn14、在数列,,,与1(1)()中,发散的数列是 2nn2n ,而收敛于0的数列有 个 5、在函数

个,

而以x0为第二类间断点的函数是

sinxx1,sgnx,x,(1x)x与

sinxx2中,以x0为跳跃间断点的函数有

6、yxlnx的严格递增开区间是 ;而严格凸区间是 7、yx24x5在(1,0)处的切线方程是 3x8、若fx3xx0x0,那么f(x) ,f(x)

三、单选题(每小题3分,共12分,请将正确答案的题号填入括号里) 1

xn有界是数列

xn收敛的

( )

A.必要条件 B.充分条件 C.充要条件 D.无关条件 2

lxaf(ix)m有限存在,那么

( )

第 23 页 共 26 页

A.f(a)必有定义

B.limf(x)与limf(x)均存在,但limf(x)limf(x)

xaxaxaxaC.limf(x)limf(x)A

xaxaD.f(a)在a处必连续

3、设f(x)在a,b内可导,x0a,b,若在a,x0内f(x)0,在x0,b内

f(x)0,那么

( )

A.且f(x0)0 B. x0是f(x)极小值点 ,且f(x0)0 x0是f(x)极大值点 ,C. x0是f(x)极大值点 ,但f(x0)0 D. x0是f(x)极小值点 ,且

f(x0)0

4、若

f(a)与

f(a)均有限存在,那么

( )

A.f(x)在a处必可导 B. f(x)在a处必可微 C. f(x)在a处必不可导 D. f(x)在a处必连续

四、计算题(每小题6分,共30分) 1、求极限lim

2、试用数列的迫敛性(两边夹定理)计算

limn1n12sinxxcosxsin3x0x.

1n22. 2nn1

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3、设yx1x2arcsinx,试求dy.

4、试求fxx55x45x31在1,2上的最大值与最小值

xex5、若fx2axbxcx0x0在x0处二阶可导,试求a,b,c的值.

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五、证明题(每小题5分,共10分) 1、证明:当h0时,

2、证明:方程2xcosx在(0,

2)内至少存在一个实根 h1h2arctanhh

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