数学与计算科学系数学与应用数学专业2007级数学分析(一)试题
一、判断题(每小题2分,共20分) 1( ) 2、区间
0,必1是一个可列集.
、
fxsgnx是
R中的有界奇函数.
( ( (( ( ( ( ( )
3、若不存在.
xlimfx()A,xlimf(x)B,则lximfx(必) 4、
limann0limann0. )
5、收敛数列必有界. )
6、fx在xa处连续的充分必要条件是fx在xa处存在极限. )
7、fx在xa处可导fx在xa处可微. )
8、设a为常数,那么对x(,),fx0的充分必要条件
是
fxa. )
9、若fx在区间I上连续,则fx在区间I上必一致连续. )
、若fx在区间(c,c)(0)内二阶可导,且Mc,f(c)是曲线
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10
yf(x)的拐点,则
f(c)0.
( )
二、填空题(每空2分,共26分)
1、函数f(x)4(x1)2的定义域是 ,值域是 2、设a,b有限,且x0 3、在数列
sinnn2limacosxx2b,那么a ,b
n2n12,(1)n1,(1),
n1n中,收敛数列有 个,
而无穷小量是 4、在函数
sinxx,
exx,x与xlnx中,以x0为第二类不连续点的
函数是 ,以x0为第三类不连续点的函数有 个 5、ylnxx的严格单调递增区间是 6、设yx2lnx,那么dy= ,y= 7、y2x21在x1处的带Peano余项的泰勒公式是y=
ex8、函数fxaxbx0x0在x0处可导,那么b=
三、单选题(每小题3分,共12分,请将正确答案的题号填入括号里)
1
( )
A.必要条件 B. 充分条件 C. 充要条件 D. 无关条件 2
( )
A.y12x(x1) B.y12(x1) C.y12(x1) D.y12(x1) 、
曲
线
yx2、数列
an有界是数列
an收敛的
在点
(1,处的切线方程
3、函数fx在a,b上连续是fx在a,b上一致连续的
( )
A.必要条件但非充分条件 B. 充分条件但非充分条
件
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C. 充要条件 D. 无关条件
4、设yfx在a,b内满足:f(x)0,f(x)0,那么
函数fx在a,b
内
( )
A.严格递减且是下凸的 B. 严格递增且是下凸的 C. 严格递减且是上凸的 D. 严格递增且是上凸的
四、计算题(每小题6分,共30分) 1、计算limx1必是
1lnxx11.
2、利用夹逼法计算limn1n121n22. 2nn1
3、若y(x3)ex,试计算y.
第 3 页 共 26 页
4、试求fx(x21)31在2,2上的最大值与最小值.
f(x)lnf(x)5、已知1limf(x)满足:limsin5xf(x)x0sin5x0,并且,求x0ex12lim0x2.
x
五、证明题(每小题6分,共12分)
1、证明不等式:当x0时,ln(1x)xx22.
第 4 页 共 26 页
2、证明: 1)方程2xcosx1在(0,2)内至少存在一个实根. )内存在唯一的一个实根.
2)方程2xcosx1在(0,
2 湖南科技学院二○○七年下期期末考试(B卷)
数学与计算科学系数学与应用数学专业2007级数学分析(一)试题
一、判断题(每小题2分,共20分)
1、任何初等函数在定义区间上连续。 ( ) 2( ) 3( )
fx()Afx(不)存在。 4、若lim,limf(x)A1,则limx0、
fxsinx是
x0内的有界奇函数。
、集
G2nnN必是一个可列集。
x0x0( ) 5( )
6
、
单
调
递
增
数
列
必
收
敛
。
、
limanalimanann
第 5 页 共 26 页
( )
7、fx在xa处可导的充分必要条件是fx在xa处连续。 ( )
8、设a,b为常数,那么对x(,),fxa的充分必要条件
是
( ) 9( )
10、若函数fx在xc处连续,且Mc,f(c)是曲线yf(x)的拐点,则
必
( )
二、填空题(每空2分,共26分) 1、数集Gyy11x2 2、设a,b有限,且x0
3n2limsin2xx2fxaxb。
、若
fxx。x那e么
dfx(x1)edx
x有
f(c。
x1,1中的最大数是 ,最小数是 1cosaxx2na,x0lim2b那么a ,b
13、lim2 ,而lim1nnn1n
4、在函数
sinxx,
exx,x与xlnx中,以x0为第二类不连续点的
函数是 ,以x0为第三类不连续点的函数有 个
5、ylnxx的严格单调递减区间是 6、设yx2sin2x,那么dy= ,y= x2 7、函数fxaxbx0x0在x0处可导,那么a ,b=
三、单选题(每小题3分,共12分,请将正确答案的题号填入括号里)
第 6 页 共 26 页
1
( )
、数列
an收敛是数列
an有界的
A.必要条件 B. 充分条件 C. 充要条件 D. 无关条件
2、曲线x2t2,y3tt3在对应t00的点处的切线方程是
( )
A.y32x2 B.y1tx2
2233C.y3x2 D.y3、函数
( )
A.fx在0,1内连续 B. fx在0,1内可导 C. fx在0,1内有界
fx2
x在0,1内一致连续的充要条件是
D. fx在0,1内连续,且limf(x)与limf(x)有限存在
x0x14、设yfx在a,b内满足:f(x)0,f(x)0,那么函数fx在
a,b
内
( )
A.严格递减且是下凸的 B. 严格递增且是下凸的 C. 严格递减且是上凸的 D. 严格递增且是上凸的
四、计算题(每小题7分,共28分) 1、计算lim
sinxxx3必是
.
x0第 7 页 共 26 页
2、设x11,xn12xn,n1,2,3,,证明xn收敛。并求其极限.
3、若yxx21lnxx21,试计算y.
4、试计算函数yxex的极值.
五、证明题(每小题6分,共12分)
1、证明恒等式:当x0,1时,有arcsinxarccosx2.
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2、证明: 1)方程xcosx在(0,2)内至少存在一个实根. )内存在唯一的一个实根.
2)方程xcosx在(0,
2湖南科技学院二○○ 八 年 下 学期期末考试
数学与应用数学 专业 2008 级 数学分析(一)试题 一、判断(每小题 2分,共计 20 分)
1、任何初等函数在其定义区间上连续。 ( ) 2
、
fxsinx是
x0内的有界奇函数。
( ) 3
、
集
G2nnN必是一个可列集。
( )
fx( 4、若limx0)Afx(不)存在。 ,limf(x)A1,则limx0x0( ) 5( )
、
limanalimanann
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6( )
、单调递增数列必收敛。
7、fx在xa处可导的充分必要条件是fx在xa处连续。 ( )
8、设a,b为常数,那么对x(,),fxa的充分必要条件
是
( ) 9( )
10、若函数fx在xc处连续,且Mc,f(c)是曲线yf(x)的拐点,则
必
( )
二、填空(每空2分,共26分) 1、数集Gyy11x22、设a,b有限,且x03、在数列(1)sinxxn1fxaxb。
、若
fxx。x那e么
df(xx1 ) x
有
f(c。
x1,1中的最大数是 ,最小数是 1cosaxx2limsin2xxa,x0limb那么a ,b
2n13n2,n21,1n中,无穷小量是
4、在函数,
exx,x与xlnx中,以x0为第二类不连续点的函数
是 ,
以x0为第三类不连续点的函数有 个 5、ylnxx的严格单调递减区间是 6、设yx2sin2x,那么dy= ,y=
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x27、函数fxaxbx0x0在x0处可导,那么a ,b
8、yex的带Peano余项的n阶马克劳林公式是y=
三、单选题(每小题3分,共12分,请将正确答案的题号填入括号里) 1
、
数
列
an收敛是数列
an有界的
( )
A.必要条件 B. 充分条件
C. 充要条件 D. 无关条件
2、曲线x2t2,y3tt3在对应t00的点处的切线方程是 ( )
A.y32x2 B.y1tx2
2233C.y3x2 D.y3、函数( )
A.fx在0,1内连续 B. fx在0,1内可导 C. fx在0,1内有界
fx2
x在0,1内一致连续的充要条件是
D. fx在0,1内连续,且limf(x)与limf(x)有限存在
x0x14、设yfx在a,b内满足:f(x)0,f(x)0,则fx在a,b 内必是 ( )
A.严格递减且是下凸的 B. 严格递增且是下凸的 C. 严格递减且是上凸的 D. 严格递增且是上凸的
四、计算题(每小题7分,共21分) 1、计算limsinxxx3.
x0
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2、若yxx21lnxx21,试计算y.
f(x)ln1sin5x2f(x)满足:limxx0e13、已知lim
f(x)sin5xx00,并且,求limf(x)x2.
x0
五、综合题(共21分) 1、设x11,xn1
2、证明: 1)方程xcosx0在(0,2)内至少存在一个实根(3分). )内存在唯一的一个实根(3分).
2xn,n1,2,3,,证明xn收敛。并求其极限.(7分)
2)方程xcosx0在(0,
2第 12 页 共 26 页
x2xx03、已知f(x)
x1x0(1)证明f(x)在x0处连续(4分)
(2)当x0,问x为何值时,f(x)可取得极值(4分)?
湖南科技学院二○○ 八 年 下 学期期末考试
数学与应用数学 专业 2008 年级 数学分析(一)试题 一、判断(每小题 2分,共计 20 分)
1
、
fx2lnx与
gxlnx2是相同函数。
( ) 2
、
fxsgnx是
R中的有界奇函数。
( )
3、区间0,1中的有理数集必是一个可列集。 ( ) 4、若limf( ) 5( )
6
、
单
调
有
界
数
列
必
收
敛
。
、
limanalimanannxx()Afx(必不存在。 ,limf(x)B,则limxx。
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( )
7、fx在xa处可导的充分必要条件是fx在xa处可微。 ( )
8、两无穷小量的和、差、积、商一定是无穷小量。 ( )
9、fx在xa处连续的充分必要条件是fx在xa处存在极限。 ( )
10、若fx在区间(c,c)(0)内二阶可导,且Mc,f(c)是曲线
yf(x)的拐点,则
f(c)0。
( )
二、填空(每空2分,共26分)
1、函数y11x2定义域是 ,值域是 2、设a,b有限,且x0tanx3n4limsin3xa,x0lim1cosxax2bn那么a ,b
13、在数列lim3 ,lim1
nnnnn4、在函数
sinxx,
exx,x与xlnx中,以x0为第二类不连续点的函数
是 ,
以x0为第三类不连续点的函数有 个 5、yxex的严格单调递减区间是 6、设ylnx2,那么dy= ,y=
ex7、函数fxxax0x0在x0处连续,那么a
8、ysinx在x0处的带Peano余项的泰勒公式是y=
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三、单选题(每小题3分,共12分,请将正确答案的题号填入括号里) 1
、
数
列
an收敛是数列
an有界的
( )
A.必要条件 B. 充分条件
C. 充要条件 D. 无关条件
2、曲线x2sitn,y2tt2在对应t00的点处的切线方程是 ( )
A.y32x2 B.y1tx2
23C.y2x2 D.y2x2 3、函数( )
A.fx在1,2内连续 B. fx在1,2内可导 C. fx在1,2内有界
D. fx在1,2内连续,且limf(x)有限存在
x1fx在1,2内一致连续的充要条件是
4、设yfx在a,b内满足:f(x)0,f(x)0,则fx在a,b 内必是 ( )
A.严格递减且是下凸的 B. 严格递增且是下凸的 C. 严格递减且是上凸的 D. 严格递增且是上凸的 四、计算题(每小题7分,共28分)
1、设0x11,xn1xn(1xn),n1,2,3,,证明xn收敛。并求其极限.
2、计算limxlnx.
x0
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3、若yearctan2x,试计算y.
x2
4、试计算函数yxex的极值.
五、证明题(每小题7分,共14分)
1、证明恒等式:当x0,1时,有arcsinxarccosx
2、证明: 1)方程2xcosx1在(0,2)内至少存在一个实根(3分).
2.
2)方程2xcosx1在(0,
2)内存在唯一的一个实根(4分).
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湖南科技学院二○○ 九 年 下 学期期末考试
数应与信计 专业 2009 级 数学分析(一)试题 一、判断(每小题 2分,共计 20 分;对的记√,错的记×)
1
、
若
sSu有p限存在,则S
( ) 2
、
fxx是
R上的初等函数。
( )
3、设fx在R上有定义,且有界,那么Gxfxfx必是R上的有界奇函数。
( ) 4( )
1nan1n2n为n为偶奇数、
limanalimanann
5、若
数,则
ln ain0m( )
f(x)不存在。 6、若limf(x)A,limf(x)A1,则limxaxaxa( )
1xsinfxx0x0x0 7、设
,则fx在x0处连续。
( )
8
、
当
x0时,
1cxo~s12x
2第 17 页 共 26 页
( ) 9、若( )
10、若fx在xa处可导,那么lim( )
二、填空(每小空2分,共28分) 1、若S是函数f(x)x(2x)的连续点所成之集,则S= ln(1ax)bx22f(a)0,则
xa必是
f(x)的极值点。
f(a)f(a2h)hh0f(a).
2、设a,b有限,且limx01,那么a ,b
3、lim12x3x2x4 ,limxx1x
214、在数列n3n21nsinn,,收敛的数列有 个,,(2)中,2n而收
敛于0的数列是 5、在函数
sin2xx,sgnx,D(x)与
cosxx中,以x0为第二类间断点的函数有
个,
而以x0为可去间断点的函数是 6、ylnxx的严格单调递增开区间是 7、若f(x)x23x1,那么f(x)在x1处的泰勒公式是
8、yx31在(0,1)处的切线方程是 2x9、若fx3xx0x0,那么f(x) ,f(1)
第 18 页 共 26 页
三、单选题(每小题3分,共12分,请将正确答案的题号填入括号里)
nnnn1、设 ,那an123( )
A.收敛于1 B. 收敛于2
么数列
an必
C. 收敛于3 D. 发散 2、在a点连续是f(x)f(x)( )
A.必要条件 B.充分条件 C.充要条件 D.无关条件 3、设( )
A.x0必是f(x)在R内的最大值点 B. x0必是f(x)在R内的最小值点
f(x)在
a点可微的
在
R内满足:
f(x)0,
f(0)0,那么
C. x0是f(x)在R内的极大值点,但不是最大值点 D. x0是f(x)在R内的极小值点,但不是最小值点
4、设f(x)在R内满足:f(x)0,f(0)0,那么 ( ) A.(0,f(0))点必是曲线yf(x)的拐点 B. (0,f(0))点必不是曲线yf(x)的拐点
C. (0,f(0))点是曲线yf(x)的拐点,且x0必是fx的极值点
D. (0,f(0))点不是曲线yf(x)的拐点,且x0必不是fx的极值点
四、计算题(每小题6分,共30分) 1、求极限limx0
sin12x12x.
第 19 页 共 26 页
2、设x11,xn1
43xn,n1,2,3,,证明xn收敛。并求其极限.
3、设yxx21ln(x
x1),试求dy2.
4、试求fx2x3x4在1,1上的最大值与最小值
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5、设yxsinx,试求y(4)
五、证明题(每小题5分,共10分) 1、当x0时,证明:ln(1x)xx22(1x)
2、证明方程x2x1至少存在一个正实根.
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湖南科技学院二○○ 九 年 下 学期期末考试
数应与信计 专业 2009 级 数学分析(一)试题
一、判断(每小题 2分,共计 20 分;对的记√,错的记×)
1、设S是一个非空实数集,那么S有界supS与infS均有限存在.( )
2、设fx在1,1上有定义,且有界,那么Fxfxx必是1,1上的有界
偶
( ) 3
、
fxsgnx函数.
是
R上的非初等函数.
( ) 4
、
若
数
列
an有界,则
an必收敛.
( )
1annnn为n为奇偶数 5、若,则
an必收敛.
数( )
6、若limf(x)A,limf(x)B,(这里A,B有限),则limf(x)必不
xaxaxa存在.( )
sin2xfxx0x0x0 7、设
,则fx在x0处连续.
( )
8、fx在a,b内连续fx在a,b内必一致连续.
第 22 页 共 26 页
( ) 9
、
当
x0时,
11x(1x)~
x2.
( )
10、若f(a)0,则点a,f(a)必是曲线yf(x)的拐点。 ( )
二、填空(每小空2分,共28分)
1、若S是函数f(x)xlnx的连续点所成之集,则S= 2、设a,b有限,且lim3、limln(12x)x2abcosxx2x01,则a ,b
(1x)(12x)2xx12x0 ,lim
xn112n11nn14、在数列,,,与1(1)()中,发散的数列是 2nn2n ,而收敛于0的数列有 个 5、在函数
个,
而以x0为第二类间断点的函数是
sinxx1,sgnx,x,(1x)x与
sinxx2中,以x0为跳跃间断点的函数有
6、yxlnx的严格递增开区间是 ;而严格凸区间是 7、yx24x5在(1,0)处的切线方程是 3x8、若fx3xx0x0,那么f(x) ,f(x)
三、单选题(每小题3分,共12分,请将正确答案的题号填入括号里) 1
、
数
列
xn有界是数列
xn收敛的
( )
A.必要条件 B.充分条件 C.充要条件 D.无关条件 2
、
若
lxaf(ix)m有限存在,那么
( )
第 23 页 共 26 页
A.f(a)必有定义
B.limf(x)与limf(x)均存在,但limf(x)limf(x)
xaxaxaxaC.limf(x)limf(x)A
xaxaD.f(a)在a处必连续
3、设f(x)在a,b内可导,x0a,b,若在a,x0内f(x)0,在x0,b内
f(x)0,那么
( )
A.且f(x0)0 B. x0是f(x)极小值点 ,且f(x0)0 x0是f(x)极大值点 ,C. x0是f(x)极大值点 ,但f(x0)0 D. x0是f(x)极小值点 ,且
f(x0)0
4、若
f(a)与
f(a)均有限存在,那么
( )
A.f(x)在a处必可导 B. f(x)在a处必可微 C. f(x)在a处必不可导 D. f(x)在a处必连续
四、计算题(每小题6分,共30分) 1、求极限lim
2、试用数列的迫敛性(两边夹定理)计算
limn1n12sinxxcosxsin3x0x.
1n22. 2nn1
第 24 页 共 26 页
3、设yx1x2arcsinx,试求dy.
4、试求fxx55x45x31在1,2上的最大值与最小值
xex5、若fx2axbxcx0x0在x0处二阶可导,试求a,b,c的值.
第 25 页 共 26 页
五、证明题(每小题5分,共10分) 1、证明:当h0时,
2、证明:方程2xcosx在(0,
2)内至少存在一个实根 h1h2arctanhh
第 26 页 共 26 页
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