圆的一般方程导学案

4.1.2 圆的一般方程

学习目标 1.能准确写出圆的一般方程并说出其特点.

2. 会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的位置和半径的大小. 3. 能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程．

【预习案】

知识点 圆的一般方程

思考 1 方程 x2＋y2－2x＋4y＋1＝0，x2＋y2－2x＋4y＋6＝0 分别表示什么图形？ 思考 2 方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 是否表示圆？ 梳理

方程 条件 D2＋E2－4F<0 D2＋E2－4F＝0 D2＋E2－4F>0 图形 不表示任何图形 D E表示一个点( － ，－2 2) D E 1 2表示以( 为圆心 D＋E2－4F为半径的圆 － ，以2 2 ，－2) x ＋ y ＋ Dx＋Ey＋ F＝0 22

【探究案】

类型一 圆的一般方程的概念

例 1 若方程 x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0 表示圆，求实数 m 的取值范围，并写出圆心坐标

跟踪训练 1 (1)已知 a∈R，方程 a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0 表示圆，则圆心坐标为 ．

(2)点 M、N 在圆 x2＋y2＋kx＋2y－4＝0 上，且点 M、N 关于直线 x－y＋1＝0 对称，则该圆的面积为

．

，半径为

1

班级： 小组： 类型二 求圆的一般方程

姓名： 教师评价： 组内评价：

例 2 已知 A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)． (1)求△ABC 的外接圆的方程；

(2)若点 M(a,2)在△ABC 的外接圆上，求 a 的值．

引申探究

若本例中将点“C(3，－1)”改为“圆 C 过 A，B 两点且圆 C 关于直线 y＝－x 对称”，其他条件不变，如何求圆 C 的方程？

跟踪训练 2 已知一圆过 P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在 y 轴上截得的线段长为 4 3，求圆的方程．

类型三 与圆有关的轨迹方程

例 3 已知圆的方程为 x2＋y2－6x－6y＋14＝0，求过点 A(－3，－5)的直线交圆的弦 PQ 的中点 M 的轨迹方程．

2

班级： 小组： 姓名： 教师评价： 组内评价： 跟踪训练 3 已知点 P 在圆 C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0 上运动，求线段 OP 的中点 M 的轨迹方程．

【训练案】

1．圆 x2＋y2－2x＋6y＋8＝0 的面积为( A．8π B．4π C．2π D．π

)

2. 若点 M(3,0)是圆 x＋y－8x－4y＋10＝0 内一点，则过点 M(3,0)的最长的弦所在的直线方程是(

22

)

A．x＋y－3＝0 C．2x－y－6＝0

2

2

B．x－y－3＝0 D．2x＋y－6＝0

)

3. 方程 x＋y－x＋y＋m＝0 表示一个圆，则 m 的取值范围是(

A．m≤2

C．m＜2

2

2

1B．m ＜2 1D．m ≤2

)

4. 方程 x＋y＋2ax－by＋c＝0 表示圆心为 C(2,2)，半径为 2 的圆，则 a，b，c 的值依次为(

A．－2,4,4 C．2，－4,4

B．－2，－4,4 D．2，－4，－4

2

2

5. 如图，已知线段 AB 的中点 C 的坐标是(4,3)，端点 A 在圆(x＋1)＋y＝4 上运动，求线段 AB 的端点 B 的

轨迹方程．

【自主区】

【使用说明】教师书写二次备课，学生书写收获与总结.

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