高三数学一轮复习讲义三角函数的图像与性质教案新人教A版

基础梳理

1．“五点法”描图

(1)y＝sin x的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为

π (0,0) ，1 (π，0) 23π，－1 (2π，0)

2

(2)y＝cos x的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为

π3π (0,1)，，0，(π，－1)，，0，(2π，1)

22

2.三角函数的图象和性质

函数 性质 y＝sin x y＝cos x y＝tan x π{x|x≠kπ＋，2定义域 R R k∈Z} 图象 值域 [－1,1] [－1,1] 对称轴： R 对称轴：__ x＝kπ＋π(k∈Z)__ _； 2对称中心： _ (kπ，0)(k∈Z)__ _ 周期 2π_ 单调增区间_[2kπ－π2，2kπ＋ x＝kπ(k∈Z)___； 对称中心： π_(kπ＋，0) 2(k∈Z)__ 2π 单调增区间[2kπ－对称性 对称中心：_(k∈Z) __ kπ，0 2π π，2kπ] (k∈Z) 单调增区间_(kπ－____； 单调减区间[2kπ，2kππ](k∈Z)______ ＋π，kπ＋2π)(k∈Z)___ 2单调性 π](k∈Z)___； 2单调减区间[2kπ＋π3π ，2kπ＋] 22(k∈Z) __ 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 3.一般地对于函数f(x)，如果存在一个非零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期) 对函数周期性概念的理解

周期性是函数的整体性质，要求对于函数整个定义域范围的每一个x值都满足f(x＋T)＝f(x)，其中T是不为零的常数.如果只有个别的x值满足f(x＋T)＝f(x)，或找到哪怕只有一个x值不满足f(x＋T)＝f(x)，都不能说T是函数f(x)的周期.

2π

函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为 ，

|ω|

y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为

π

. |ω|

4.求三角函数值域(最值)的方法： (1)利用sin x、cos x的有界性； 关于正、余弦函数的有界性

由于正余弦函数的值域都是[－1,1]，因此对于∀x∈R，恒有－1≤sin x≤1，－1≤cos x≤1，所以1叫做y＝sin x，y＝cos x的上确界，－1叫做y＝sin x，y＝cos x的下确界. (2)形式复杂的函数应化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响.

(3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题． 利用换元法求三角函数最值时注意三角函数有界性，如：y＝sinx－4sin x＋5，令t＝sin

2

x(|t|≤1)，则y＝(t－2)2＋1≥1，解法错误.

5.求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成形如y＝Asin(ωx＋φ) (ω>0)的形式，再根据基本三角函数的单调区间，求出x所在的区间.应特别注意，应在函数的定义域内考虑.注意区分下列两题的单调增区间不同;利用换元法求复合函数的单调区间(要注意x系数的正负ππ号) (1)y＝sin2x－；(2)y＝sin－2x.

44热身练习:

π1．函数y＝cosx＋，x∈R( )． 3

A．是奇函数 B．既不是奇函数也不是偶函数

C．是偶函数 D．既是奇函数又是偶函数

2．函数y＝tan

π－x的定义域为( )．

4

π

A.xx≠kπ－4

π

C.xx≠kπ＋4



，k∈Z

π

B.xx≠2kπ－，k∈Z

4



 

π

，k∈Z D.xx≠2kπ＋

4



，k∈Z



π

3．函数y＝sin(2x＋)的图象的对称轴方程可能是( )

3

ππππ

A．x＝－ B．x＝－ C．x＝ D．x＝ 612612

ππkππ

【解析】令2x＋＝kπ＋，则x＝＋(k∈Z)

32212π

∴当k＝0时，x＝，选D.

12

π4．y＝sinx－的图象的一个对称中心是( )．

4A．(－π，0)

3π3πB.－，0 C.，0

42

D.

π，0

2

ππ

解析 ∵y＝sin x的对称中心为(kπ，0)(k∈Z)，∴令x－＝kπ(k∈Z)，x＝kπ＋(k∈

443π3πZ)，由k＝－1，x＝－π得y＝sinx－的一个对称中心是－，0.

444答案 B

5．下列区间是函数y＝2|cos x|的单调递减区间的是

( )

πA.(0，π) B.－，0

2

C.

3π，2π



2πD.－π，－

2

π

6．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实数，若f(x)≤|f()|对任意x∈R恒成立，

6

π

且f()>f(π)，则f(x)的单调递增区间是( )

2

πππ

A．[kπ－，kπ＋](k∈Z) B．[kπ，kπ＋](k∈Z)

362π2ππ

C．[kπ＋，kπ＋](k∈Z) D．[kπ－，kπ](k∈Z)

632

πππ

【解析】当x∈R时，f(x)≤|f()|恒成立，∴f()＝sin(＋φ)＝±1

663

π5π

可得φ＝2kπ＋或φ＝2kπ－，k∈Z

66

π

∵f()＝sin(π＋φ)＝－sinφ>f(π)＝sin(2π＋φ)＝sinφ

2

5π

∴sinφ<0 ∴φ＝2kπ－

6

π5πππ2π

由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ 得x∈[kπ＋，kπ＋](k∈Z)，选C.

26263

xπ7.函数f(x)＝3cos－x∈R的最小正周期为___4π_____． 24

3π8..y＝2－3cosx＋的最大值为___5_____，此时x＝_____π＋2kπ，k∈Z _________.

449．函数y＝(sinx－a)＋1，当sinx＝1时，y取最大值；当sinx＝a时，y取最小值，则实

数

－1≤a≤0.

ππ2

10．函数f(x)＝sinx＋3sinxcosx在区间[，]上的最大值是 .

421－cos2x3311

【解析】∵f(x)＝＋sin2x＝sin2x－cos2x＋

22222

π1

＝sin(2x－)＋，

62

ππππ5ππππ3又≤x≤，∴≤2x－≤. ∴当2x－＝即x＝时，f(x)取最大值. 423666232

题型一 与三角函数有关的函数定义域问题 例1 求下列函数的定义域：

(1)y＝lgsin(cos x)； (2)y＝sin x－cos x.

解 (1)要使函数有意义，必须使sin(cos x)>0. ∵－1≤cos x≤1，∴0利用单位圆中的余弦线OM，依题意知0ππ

∴其定义域为 {x|－＋2kπ22(2)要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0.

利用图象.在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示. π5π

在[0,2π]内，满足sin x＝cos x的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，

44

π5π

所以定义域为x|＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.

44

2

变式训练1 (1)求函数ylg(2sinx1)tanx1的定义域；

xcos()28解 (1)要使函数有意义，则

－tan x－1≥0xπ

cos＋≠028

2sin x－1>0

⇒tan x≤－1，

xππ＋≠kπ＋.282

1sin x>，

2

图①

如图①利用单位圆得：

π

3π

kπ＋3πx≠2kπ＋k∈Z.4

k∈Z}.

(2)求函数y2π5π

2kπ＋66

∴函数的定义域为{x|2kπ＋

π3π

2log1xtanx的定义域.

要使函数有意义



x>0，则tan x≥0，

πx≠kπ＋，k∈Z2

利用数轴可得图②

1

2＋logx≥0，

2

0kπ≤x图②

π

∴函数的定义域是{x|02

题型二、三角函数的五点法作图及图象变换

π

例2已知函数f(x)＝4cosxsin(x＋)－1.

6

(1)用五点法作出f(x)在一个周期内的简图；

(2)该函数图象可由y＝sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移变换与伸缩变换得到？

π

【解析】(1)y＝f(x)＝4cosxsin(x＋)－1

6312

sinx＋cosx)－1＝3sin2x＋2cosx－1 22

π

＝3sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋)

6＝4cosx(

π2x＋ 60 π 12π 22π 122 π 5π 120 3π 28π 12－2 2π 11π 120 x －y 0 π11π∴函数y＝f(x)在[－，]上的图象如图所示．

1212

【点评】“五点法作图”应抓住四条：①化为y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)或y＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的形式；

2π

②求出周期T＝；③求出振幅A；④列出一个周期内的五个特殊点．当画出某指定区

ω间上的图象时，应列出该区间的特殊点．

题型三 三角函数图象与解析式的相互转化

π

例3函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x∈R，A>0，ω>0,0<φ<)的部分图象如图所示．

2

(1)求f(x)的解析式；

π2

(2)设g(x)＝[f(x－)]，求函数g(x)在

12

ππ

x∈[－，]上的最大值，并确定此时x的值．

63

Tπ2ππ3

【解析】(1)由图可知A＝2，＝，则＝4× ∴ω＝.

43ω32

π3ππ

又f(－)＝2sin[×(－)＋φ]＝2sin(－＋φ)＝0

62π

∴sin(φ－)＝0

4ππππππ

∵0<φ<，∴－<φ－<∴φ－＝0，即φ＝

244444

3π

∴f(x)＝2sin(x＋)．

24

π3ππ3π

(2)由(1)可得f(x－)＝2sin[(x－)＋]＝2sin(x＋)

12212428

π

1－cos3x＋

4π2π

∴g(x)＝[f(x－)]＝4×＝2－2cos(3x＋)

1224

ππππ5π

∵x∈[－，] ∴－≤3x＋≤，

63444ππ

∴当3x＋＝π，即x＝时，g(x)max＝4.

44

【点评】根据y＝Asin(ωx＋φ)＋K的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：

最高点－最低点

①A的确定：根据图象的最高点和最低点，即A＝；

2

最高点＋最低点

②K的确定：根据图象的最高点和最低点，即K＝；

22π

③ω的确定：结合图象，先求出周期，然后由T＝(ω>0)来确定ω；

ω④φ的确定：由函数y＝Asin(ωx＋φ)＋K最开始与x轴的交点(最靠近原点)的横坐标

φω例4若方程3sinx＋cosx＝a在[0,2π]上有两个不同的实数根x1，x2，求a的取值范围，并求此时x1＋x2的值．

为－(即令ωx＋φ＝0，x＝－)确定φ.

π

【解析】∵3sinx＋cosx＝2sin(x＋)，x∈[0,2π]，

6

π

作出y＝2sin(x＋)在[0,2π]内的图象如图．

6

由图象可知，当1＜a＜2或－2＜a＜1时，

π

直线y＝a与y＝2sin(x＋)有两个交点，

6

故a的取值范围为a∈(－2,1)∪(1,2)．

ππ2π

当1＜a＜2时，x1＋＋x2＋＝π.∴x1＋x2＝.

663ππ8π

当－2＜a＜1时，x1＋＋x2＋＝3π，∴x1＋x2＝.

663

【点评】利用三角函数图象形象直观，可使有些问题得到顺利、简捷的解决，因此我们必须准确把握三角函数“形”的特征．

π

例4已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜)的图象与x2

π2π

轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为M(，－2)．

23

(1)求f(x)的解析式；

π

(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位后，再将所得图象上各点的横坐标缩小到原来的

12

1，纵坐标不变，得到y＝g(x)的图象，求函数y＝g(x)的解析式，并求满足g(x)≥2且x∈[0，2

π]的实数x的取值范围．

2π

【解析】(1)由函数图象的最低点为M(，－2)，得A＝2，

3πTπ

由x轴上相邻两个交点间的距离为，得＝，即T＝π，

222

φω2π2π2π

∴ω＝＝2.又点M(，－2)在图象上，得2sin(2×＋φ)＝－2，

π334π

即sin(＋φ)＝－1，

34ππ11π故＋φ＝2kπ－，k∈Z，∴φ＝2kπ－，

326

πππ

又φ∈(0，)，∴φ＝.综上可得f(x)＝2sin(2x＋)．

266

ππ

(2)将f(x)＝2sin(2x＋)的图象向右平移个单位，

612ππ

得到f1(x)＝2sin[2(x－)＋]，即f1(x)＝2sin2x的图象，

126

1

然后将f1(x)＝2sin2x的图象上各点的横坐标缩小到原来的，纵坐标不变，得到g(x)＝

2

2sin(2·2x)，即g(x)＝2sin4x. 由

0≤x≤π

gx＝2sin4x≥2

0≤x≤π得2

sin4x≥2

0≤x≤π

则π3π

2kπ＋≤4x≤2kπ＋k∈Z44故

π3π9π11π≤x≤ 或 ≤x≤. 16161616

.

0≤x≤π

即kππkπ3π

＋≤x≤＋k∈Z216216

.

题型四 、三角函数的奇偶性与周期性及应用

π

例1已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，其中ω＞0，|φ|＜. 2

π3π

(1)若coscosφ－sinsinφ＝0，求φ的值；

44

π

(2)在(1)的条件下，若函数f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，求函数f(x)

3

的解析式；并求最小正实数m，使得函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数是偶函数．

π3ππ

【解析】(1)由coscosφ－sinsinφ＝0 得cos(＋φ)＝0.

444

ππ

∵|φ|<，∴φ＝. 24

Tπ2ππ

(2)由已知得＝，∴T＝，ω＝3 ∴f(x)＝sin(3x＋)．

2334

设函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数为g(x)，

ππ

则g(x)＝sin[3(x＋m)＋]＝sin(3x＋3m＋)

44ππ

g(x)是偶函数当且仅当3m＋＝kπ＋(k∈Z)

42

kπππ即m＝＋(k∈Z) ∴最小正实数m＝.

31212

题型五 三角函数的单调性与周期性

例2 写出下列函数的单调区间及周期： π(1)y＝sin－2x＋；(2)y＝|tan x|. 3π解 (1)y＝sin2x－，

3

ππ它的增区间是y＝sin2x－的减区间，它的减区间是y＝sin2x－的增区间.

33ππππ5π

由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.

2321212ππ3π5π11π

由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.

2321212π5π故所给函数的减区间为kπ－，kπ＋，k∈Z；

1212

5π11π2π增区间为kπ＋，kπ＋，k∈Z.最小正周期T＝＝π. 12122

π(2)观察图象可知，y＝|tan x|的增区间是kπ，kπ＋，k∈Z，减区间是

2

kπ－π，kπ，k∈Z.最小正周期：T＝π.

2

探究提高 (1)求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ) (其中A≠0，ω>0)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答.

列不等式的原则是：①把“ωx＋φ (ω>0)”视为一个“整体”；②A>0 (A<0)时，所列不等式的方向与y＝sin x(x∈R)，y＝cos x(x∈R)的单调区间对应的不等式方向相同(反). π(2)对于y＝Atan(ωx＋φ) (A、ω、φ为常数)，其周期T＝，单调区间利用ωx＋

|ω|ππφ∈kπ－，kπ＋，解出x的取值范围，即为其单调区间.



2

2

(3)求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定. ππ变式训练2 (1)求函数y＝sin＋4x＋cos4x－的周期、单调区间及最大、最小值；

63

π(2)已知函数f(x)＝4cos xsinx＋－1.

6

ππ①求f(x)的最小正周期； ②求f(x)在区间－，上的最大值和最小值. 

π3131πcos4xsin4xcos4xsin4x 解: y＝sin＋4x＋cos4x－632222sin4x3cos4x2sin(4x) 3π (1)周期为T= 2k4x2k,kZ

22325πkππkπ函数的递增区间为－＋，＋ (k∈Z)；

224224

22k4x3πkπ7πkπ32k,kZ函数的递减区间为24＋2，24＋2(k∈Z)

2ymax＝2； ymin＝－2

π (2) f(x)＝4cos xsinx＋－

6

14cosx(31sinxcosx)123sinxcosx2cos2x1223sin2xcos2x2sin(2x)

6ππ2－x6，4,2x[,] 最大值为2；最小值为－1 663

题型六、三角函数的对称性与单调性及应用

urrurr例2已知向量m＝(3sin2x－1，cosx)， n＝(1,2cosx)，设函数f(x)＝mn，x∈R.

(1)求函数f(x)图象的对称轴方程； (2)求函数f(x)的单调递增区间．

π2

【解析】(1)f(x)＝m·n＝3sin2x－1＋2cosx＝3sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋)

6

ππkππ

∴对称轴方程为：2x＋＝kπ＋，即x＝＋(k∈Z)．

6226

πππππ

(2)由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ得－＋kπ≤x≤kπ＋

26236

ππ

∴f(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．

36

【点评】对于f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)：

π

①若求y＝f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，求出x；

2

若求y＝f(x)的对称中心的横坐标，只零令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求出x；

ππ

②若求y＝f(x)的单调增区间，只需令2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋，求出x；

22π3π

若求y＝f(x)的单调减区间，只需令2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋，求出x.

22

题型七 三角函数的对称性与奇偶性

π例3 (1)已知f(x)＝sin x＋3cos x(x∈R)，函数y＝f(x＋φ) |φ|≤的图象关于直线2

x＝0对称，则φ的值为________.

(2)如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点π

A .

6π (1)

6

π

B. 4

C.

4π，0中心对称，那么|φ|的最小值为( )



3

D.π

2

π

3

f(x)＝2sin(xπ)， y＝f(x＋φ)＝2sin(x)图象关于x＝0对称，

33ππ

即f(x＋φ)为偶函数．∴＋φ＝＋kπ，k∈Z，

32

ππ

即φ＝kπ＋，k∈Z，所以当k＝0时，φ＝.

66 (2)A

3cos(24)＝3cos(2π2π)＝3cos(2)0,

3332πππ

∴＋φ＝kπ＋，k∈Z，∴φ＝kπ－，k∈Z， 326

π

取k＝0，得|φ|的最小值为.故选

6

探究提高 若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则当x＝0时，f(x)取得最大或最小值.

若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则当x＝0时，f(x)＝0. π

如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝＋kπ (k∈Z)，求x.

2如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ (k∈Z)即可.

5π

变式训练3 (1)已知函数f(x)＝sinx＋acos x的图象的一条对称轴是x＝，则函数g(x)

3＝asin x＋cos x的最大值是 ( )

A.22

3

23B.

3

4

C. 33a－. 22

D.26

3

由题意得f(0)＝f (10)，∴a＝－

3∴a＝－

3323, g(x)＝－sin x＋cos x＝sin(x2)， 333323

∴g(x)max＝. 3

π

(2)若函数f(x)＝asin ωx＋bcos ωx (0<ω<5，ab≠0)的图象的一条对称轴方程是x＝，4ωπ函数f′(x)的图象的一个对称中心是，0，则f(x)的最小正周期是________. 8

(1)B (2)π

22222

由题设，有f(π)＝±a＋b，即(a＋b)＝±a＋b，由此得到a＝b.

24又f()0，所以aω(cossin)＝0，

888从而tan

ωπ

8

＝1，

ωπ

π

＝kπ＋，k∈Z，即ω＝8k＋2，k∈Z，而0<ω<5，所以ω＝2， 84

于是f(x)＝a(sin 2x＋cos 2x)＝2asin(2x)

4故f(x)的最小正周期是π.

题型八 三角函数的值域与最值的求法及应用

2

2sinxcosx例3(1)求函数y＝的值域；

1＋sinx(2)求函数y＝sinxcosx＋sinx＋cosx的最值； (3)若函数f(x)＝

1cos2x4sin(x)22sinx(1sin2x)（）1y=【解析】

1sinx－asin·cos(π－)的最大值为2，试确定常数a的值．

22

xx1212

＝2sinx(1－sinx)＝2sinx－2sinx＝－2(sinx－)＋.

221

∵1＋sinx≠0，∴－1＜sinx≤1.∴－4＜y≤.

22sinxcosx1

故函数y＝的值域为(－4，]．

1＋sinx2

t2－1

(2)令t＝sinx＋cosx，则sinxcosx＝，且|t|≤2.

2

1212

∴y＝(t－1)＋t＝(t＋1)－1，

22

1

∴当t＝－1时，ymin＝－1；当t＝2时，ymax＝2＋.

2

2

2cosxxx1a(3)f(x)＝＋asincos＝cosx＋sinx

4cosx2222＝

1a1＋sin(x＋φ)，(其中tanφ＝) 44a1a＋＝2，解得a＝±15. 44

222

由已知得

【点评】求三角函数的最值问题，主要有以下几种题型及对应解法．

ba22

(2)y＝asinx＋bsinxcosx＋ccosx型，可通过降次整理化为y＝Asin2x＋Bcos2x＋C.

(1)y＝asinx＋bcosx型，可引用辅角化为y＝a＋bsin(x＋φ)(其中tanφ＝)．

2

2

(3)y＝asinx＋bcosx＋c型，可换元转化为二次函数． (4)sinxcosx与sinx±cosx同时存在型，可换元转化．

asinx＋bacosx＋b(5)y＝(或y＝)型，可用分离常数法或由|sinx|≤1(或|cosx|≤1)来解

csinx＋dccosx＋d决，也可化为真分式去求解．

asinx＋b(6)y＝型，可用斜率公式来解决．

ccosx＋dπ2

例4已知函数f(x)＝sin2x＋acosx(a∈R，a为常数)，且是函数y＝f(x)的一个零点．

4

(1)求a的值，并求函数f(x)的最小正周期；

π

(2)当x∈[0，]时，求函数f(x)的最大值和最小值及相应的x的值．

2πππ2π

【解析】(1)由是y＝f(x)的零点得 f()＝sin＋acos＝0，求解a＝－2，

4424

π2

则f(x)＝sin2x－2cosx＝sin2x－cos2x－1＝2sin(2x－)－1，

4

2π

故f(x)的最小正周期为T＝＝π.

2

πππ3π2π

(2)由x∈[0，]得2x－∈[－，]，则－≤sin(2x－)≤1，

244424

π

因此－2≤2sin(2x－)－1≤2－1，故当x＝0时，f(x)取最小值－2，

4

3π

当x＝时，f(x)取最大值2－1.

8

ππ2π

设a∈R，f(x)＝cosx(asinx－cosx)＋cos(－x)满足f(－)＝f(0)，求函数f(x)在[，

23411π

]上的最大值和最小值． 24

【解析】f(x)＝asinxcosx－cosx＋sinx＝sin2x－cos2x

2

π3a1

由f(－)＝f(0)得－·＋＝－1，解得a＝23.

3222

π

∴f(x)＝3sin2x－cos2x＝2sin(2x－)

6

πππππ

当x∈[，]时，2x－∈[，]，f(x)为增函数．

43632π11πππ3π

当x∈[，]时，2x－∈[，]，f(x)为减函数．

324624π11πππ11π

∴f(x)在[，]上的最大值为f()＝2 又∵f()＝3，f()＝2

4243424π11π11π

∴f(x)在[，]上的最小值为f()＝2.

42424

题型九 分类讨论及方程思想在三角函数中的应用

ππ例题：已知函数f(x)＝－2asin2x＋＋2a＋b的定义域为0，，函数的最大值为1，最62

2

2

2

a小值为－5，(1)求a和b的值.

π(2)若 a＞0，设g(x)＝f x＋且lg g(x)＞0，求g(x)的单调区间．

2

ππ

点评 ①求出2x＋的范围，求出sin(2x＋)的值域.②系数a的正、负影响着f(x)的值，

66因而要分a>0，a<0两类讨论.③根据a>0或a<0求f(x)的最值，列方程组求解. π1ππ7ππ解 (1)∵x∈0，，∴2x＋∈，.∴sin2x＋∈－，1， 266266π∴－2asin2x＋∈[－2a，a]．∴f(x)∈[b,3a＋b]， 6又∵－5≤f(x)≤1，∴b＝－5,3a＋b＝1， 因此a＝2，b＝－5.

π(2)由(1)得a＝2，b＝－5，∴f(x)＝－4sin2x＋－1，

6

g(x)＝f x＋＝－4sin2x＋－1＝4sin2x＋－1，

266

π又由lg g(x)＞0得g(x)＞1，∴4sin2x＋－1＞1，

6π1ππ5π∴sin2x＋＞，∴2kπ＋＜2x＋＜2kπ＋，k∈Z，

62666

ππππ

其中当2kπ＋＜2x＋≤2kπ＋，k∈Z时，g(x)单调递增，即kπ＜x≤kπ＋，k∈Z，

6626π∴g(x)的单调增区间为kπ，kπ＋，k∈Z.

6

ππ5πππ

又∵当2kπ＋＜2x＋＜2kπ＋，k∈Z时，g(x)单调递减，即kπ＋＜x＜kπ＋，

26663



π

7π

π

k∈Z.

三角函数的图象与性质练习一

一、选择题

1．对于函数f(x)＝2sinxcosx，下列选项正确的是( ) ππ

A．f(x)在(，)上是递增的 B．f(x)的图象关于原点对称

42

C．f(x)的最小正周期为2π D．f(x)的最大值为2 【解析】f(x)＝sin2x

ππ

f(x)在(，)上是递减的，A错； f(x)的最小正周期为π，C错；

42

f(x)的最大值为1，D错；选B.

ππ

2．若α、β∈(－，)，那么“α＜β”是“tanα＜tanβ”的( )

22

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

ππ

【解析】α、β∈(－，)，tanx在此区间上单调递增．

22

当α＜β时，tanα＜tanβ；当tanα＜tanβ时，α＜β.故选C.

π

3．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的最小正周期为π，将该函数的图象向左平

2

π

移个单位后，得到的图象对应的函数为奇函数，则f(x)的图象( ) 6

π5π

A．关于点(，0)对称 B．关于直线x＝对称

12125ππ

C．关于点(，0)对称 D．关于直线x＝对称

1212

【解析】由已知得ω＝2，则f(x)＝sin(2x＋φ)

ππ

设平移后的函数为g(x)，则g(x)＝sin(2x＋＋φ)(|φ|<)且为奇函数

32

ππ

∴φ＝－，f(x)＝sin(2x－)

33

5π

∴图象关于直线x＝对称，选B.

12

π

4．已知f(x)＝sinx，x∈R，g(x)的图象与f(x)的图象关于点(，0)对称，则在区间[0,2π]

4

上满足f(x)≤g(x)的x的取值范围是( )

π3π3π7ππ3π3π3πA．[，] B．[，] C．[，] D．[，]

44442242

ππ

【解析】设(x，y)为g(x)的图象上任意一点，则其关于点(，0)对称的点为(－x，－y)，

42

π

由题意知该点必在f(x)的图象上．∴－y＝sin(－x)，

2

π

即g(x)＝－sin(－x)＝－cosx，由已知得sinx≤－cosx⇒sinx＋cosx

2π3π7π

＝2sin(x＋)≤0又x∈[0,2π] ∴≤x≤.

444

π

5．已知函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)，g(x)＝3cos(ωx＋φ)，若对任意x∈R，都有f(＋x)＝

3

ππ

f(－x)，则g()＝____. 33

ππππ

【解析】由f(＋x)＝f(－x)，知y＝f(x)关于直线x＝对称，∴sin(ω·＋φ)＝±1.

3333πππ2

∴g()＝3cos(ω·＋φ)＝31－sinω·＋φ＝0.

333

πxπ

6．设函数f(x)＝2sin(＋)，若对任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)恒成立，则|x2－x1|

25

的最小值为____.

【解析】由“f(x1)≤f(x)≤f(x2)恒成立”，可得f(x1)、f(x2)分别是f(x)的最小值、最大值．

2π

∴|x2－x1|的最小值为函数f(x)的半周期，又T＝＝4.∴|x2－x1|min＝2.

π2

7．已知函数f(x)＝sinx＋cosx，f′(x)是f(x)的导函数． (1)求f′(x)及函数y＝f′(x)的最小正周期；

π2

(2)当x∈[0，]时，求函数F(x)＝f(x)f′(x)＋f(x)的值域．

2

π

【解析】(1)f′(x)＝cosx－sinx＝－2sin(x－)

4

∴y＝f′(x)的最小正周期为T＝2π.

22

(2)F(x)＝cosx－sinx＋1＋2sinxcosx

π

＝1＋sin2x＋cos2x＝1＋2sin(2x＋) 4πππ5ππ2

∵x∈[0，]，∴2x＋∈[，] ∴sin(2x＋)∈[－，1]，

244442

∴函数F(x)的值域为[0,1＋2]．

8．设函数f(x)＝2cosx(sinx＋cosx)－1，将函数f(x)的图象向左平移α个单位，得到函数y＝g(x)的图象．

(1)求函数f(x)的最小正周期；

π

(2)若0＜α＜，且g(x)是偶函数，求α的值．

2

2

【解析】(1)∵f(x)＝2sinxcosx＋2cosx－1

π

＝sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋)，

42π

∴f(x)的最小正周期T＝＝π.

2

ππ

(2)g(x)＝f(x＋α)＝2sin[2(x＋α)＋]＝2sin(2x＋2α＋)，

44

π

g(x)是偶函数，则g(0)＝±2＝2sin(2α＋)，

4

ππkππ

∴2α＋＝kπ＋，k∈Z.α＝＋(k∈Z)，

4228ππ

∵ 0＜α＜，∴α＝. 28

三角函数的图象与性质练习二

π1.函数f(x)＝sin2x＋图象的对称轴方程可以为

35π

A.x＝

12

( )

ππ

B.x＝ C.x＝

36π

D.x＝ 12

ππkππ

解析 令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，令k＝0得该函数的一条对称轴为x32212＝

π

.本题也可用代入验证法来解．答案 D 12

π2.y＝sinx－的图象的一个对称中心是

4

A.(－π，0)

( ) D.

3π3π

B.－，0 C.，0 42π，0

2

( )

π

3.函数y＝3cos(x＋φ)＋2的图象关于直线x＝对称，则φ的可能取值是

4A.

3π

4

3ππB.－ C.

44

D.π

2

二、填空题

4.函数y＝lg(sin x)＋

1cos x－的定义域为____(2k,2k](k∈Z)_________.

23π

5.已知函数f(x)＝3sin(ωx－)(ω>0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同.

6π3若x∈[0，]，则f(x)的取值范围是____，3___________.

22π4．函数f(x)＝2sin ωx(ω＞0)在0，上单调递增，且在这个区间上的最大值是3，那么

4

ω等于________．

π解析 因为f(x)＝2sin ωx(ω＞0)在0，上单调递增，且在这个区间上的最大值是3，所4

πππ4

以2sinω＝3，且0＜ω＜，因此ω＝. 44234

答案

3

π6.关于函数f(x)＝4sin2x＋ (x∈R)，有下列命题： 3

①由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2必是π的整数倍；②y＝f(x)的表达式可改写为y＝π4cos2x－；

6

ππ③y＝f(x)的图象关于点－，0对称；④y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称.

66其中正确命题的序号是___________.②③

πT解析 函数f(x)＝4sin2x＋的最小正周期T＝π，由相邻两个零点的横坐标间的距离是＝32π

知①错． 2

利用诱导公式得f(x)＝4cos

π－2x＋π＝

32

4cos

π－2x＝4cos2x－π，知②正确．

66

π

代入得f(x)＝6

由于曲线f(x)与x轴的每个交点都是它的对称中心，将x＝－

ππ4sin2×－＋＝4sin 0＝0， 63

π因此点－，0是f(x)图象的一个对称中心，故命题③正确．曲线f(x)的对称轴必经过图象6

ππ的最高点或最低点，且与y轴平行，而x＝－时y＝0，点－，0不是最高点也不是最低点，

66π

故直线x＝－不是图象的对称轴，因此命题④不正确．

6答案 ②③ 三、解答题

π

7.设函数f(x)＝sin(2x＋φ) (－π<φ<0)，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线x＝. 8(1)求φ；

(2)求函数y＝f(x)的单调增区间. 3π

解 (1)－ 4

3π(2)由(1)得：f(x)＝sin2x－， 4π3ππ

令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，

242π5π

可解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，

88因此y＝f(x)的单调增区间为

π＋kπ，5π＋kπ，k∈Z.

88

πππ8.(1)求函数y＝2sin2x＋ (－366(2)求函数y＝2cosx＋5sin x－4的值域.

ππππ2π2x＋解 (1)∵－36633π∴y＝2sin2x＋的值域为(0,2].

3

(2)y＝2cosx＋5sin x－4＝2(1－sinx)＋5sin x－4＝－2sinx＋5sin x－2

2

2

2

2

529＝－2sin x－＋. 48

∴当sin x＝1时，ymax＝1，当sin x＝－1时，ymin＝－9， ∴y＝2cosx＋5sin x－4的值域为[－9,1].

2

三角函数的图象与性质练习三

一、选择题

π1.定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈0，

2

时，f(x)＝sin x，则 f 1

A.－

2

5π的值为 ( )

3

D.3 2

13B. C.－ 22

ππ2.已知函数f(x)＝2sin ωx(ω>0)在区间－，上的最小值是－2，则ω的最小值等于

34

( ) 2A. 3

3

B. 2

C.2

D.3

( )

3.函数f(x)＝cos 2x＋sin

5π＋x是

2

A.非奇非偶函数 B.仅有最小值的奇函数 C.仅有最大值的偶函数 D.有最大值又有最小值的偶函数 二、填空题

π

4.设定义在区间(0，)上的函数y＝6cos x的图象与y＝5tan x的图象交于点P，过点P作x22

轴的垂线，垂足为P1，直线PP1与函数y＝sin x的图象交于点P2，则线段P1P2的长为___________.

3

π5.函数f(x)＝2sin ωx(ω>0)在0，上单调递增，且在这个区间上的最大值是3，那么ω4

4

＝___________.

3

π解析 因为f(x)＝2sin ωx(ω＞0)在0，上单调递增，且在这个区间上的最大值是3，所

4

πππ44

以2sinω＝3，且0＜ω＜，因此ω＝.答案

442336.给出下列命题：

32π①函数y＝cosx＋是奇函数； ②存在实数α，使得sin α＋cos α＝；

223

5ππ③若α、β是第一象限角且α<β，则tan α48ππ条对称轴； ⑤函数y＝sin2x＋的图象关于点，0成中心对称图形.

312其中正确的序号为___________. 三、解答题

7.若函数f(x)＝sinax－sin ax·cos ax (a>0)的图象与直线y＝m相切，并且切点的横坐标依π

次成公差为的等差数列. (1)求m的值；

2

2

π(2)若点A(x0，y0)是y＝f(x)图象的对称中心，且x0∈0，，求点A的坐标.

2

11

7.解 (1)f(x)＝(1－cos 2ax)－sin 2ax

2211

＝－(sin 2ax＋cos 2ax)＋

22＝－

π12

sin2ax＋＋.

422

∵y＝f(x)的图象与y＝m相切， ∴m为f(x)的最大值或最小值， 1＋21－2

即m＝或m＝.

22

ππ

(2)∵切点的横坐标依次成公差为的等差数列，∴f(x)的最小正周期为.

22

T＝

2ππ

＝，a>0，∴a＝2， |2a|2

π12sin4x＋＋. 422

即f(x)＝－

ππkππ由题意知sin4x0＋＝0，则4x0＋＝kπ (k∈Z)，∴x0＝－ (k∈Z). 44416由0≤

kπππ

4

－≤ (k∈Z)得k＝1或2，

162

因此点A的坐标为

3π，1，7π，1.

221616

三角函数的图象与性质练习四

一、选择题

1．函数f(x)＝2sin xcos x是( )．

A．最小正周期为2 π的奇函数 B．最小正周期为2 π的偶函数 C．最小正周期为π的奇函数 D．最小正周期为π的偶函数 解析 f(x)＝2sin xcos x＝sin 2x.∴f(x)是最小正周期为π的奇函数． 答案 C

2．函数y＝sinx＋sin x－1的值域为( )．

555A．[－1,1] B.－，－1 C.－，1 D.－1， 444

解析 (数形结合法)y＝sinx＋sin x－1，令sin x＝t，则有y＝t＋t－1，t∈[－1,1]，画出1

函数图象如图所示，从图象可以看出，当t＝－及t＝1时，

2

2

2

2

52

函数取最值，代入y＝t＋t－1可得y∈－，1.

4

答案 C

πππ3．若函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)在区间0，上单调递增，在区间，上单调递减，则

332

ω＝( )．

23

A. B. C．2 D．3 32

π

解析 由题意知f(x)的一条对称轴为x＝，和它相邻的一个对称中心为原点，则f(x)的周期

3

T＝

4π3，从而ω＝. 32

答案 B

4．函数f(x)＝(1＋3tan x)cos x的最小正周期为( )． 3ππA．2π B. C．π D.

22

π解析 依题意，得f(x)＝cos x＋3sin x＝2sinx＋.故最小正周期为2π.

6

答案 A

ππ5．下列函数中，周期为π，且在，上为减函数的是( )．

42

πA．y＝sin2x＋ 2

πB．y＝cos2x＋

2

πC．y＝sinx＋

2

解析 (筛选法)∵函数的周期为π.∴排除C、D，∵函数在案 A

πD．y＝cosx＋

2

π，π上是减函数，

∴排除B. 答42

【点评】 本题采用了筛选法，体现了筛选法的方便、快捷、准确性，在解选择题时应注意应用.

π6．已知函数f(x)＝sinx－(x∈R)，下面结论错误的是( )．

2

πA．函数f(x)的最小正周期为2π B．函数f(x)在区间0，上是增函数

2

C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称 D．函数f(x)是奇函数

ππ解析 ∵y＝sinx－＝－cos x，∴T＝2π，在0，上是增函数，图象关于y轴对称，为

22

偶函数． 答案 D

二、 填空题

7.y=－|sin（x+

π3ππ）|的单调增区间为___［kπ+，kπ+］（k∈Z）_____. 4448.要得到y3cos2x的图象，可以将函数y = 3 sin2 x的图象向左平移___单位. 489.若动直线xa与函数f(x)sinx和g(x)cosx的图像分别交于M，N两点，则MN的最大值为____2____. 10函数f(x)=sinx1(0x2) 的值域是_____[-1,0]___ __.

32cosx2sinx(0)，f3f，且在区间f(x)，有最小值，无636311.已知f(x)sinx最大值，则＝__________．

14 33；2）函数ysin(x)|的最小正周期是（)322355在区间[,（3）x是函数ysin(2x)上单调递增；)的图象的一条对称轴.其中

24212、给出下面的3个命题：（1）函数y|sin(2x正确命题的序号是 ．

π13．若函数f(x)＝cos ωxcos－ωx(ω＞0)的最小正周期为π，则ω的值为________．

2

1π解析 f(x)＝cos ωxcos－ωx＝cos ωxsin ωx＝sin 2ωx， 222π

∴T＝＝π.∴ω＝1. 答案 1

2ωπ14．函数y＝tan2x＋的图象与x轴交点的坐标是______． 4πkππ

解析 由2x＋＝kπ，k∈Z，得：x＝－，k∈Z，

428故交点坐标为

kπ－π，0(k∈Z)． 答案

82kπ－π，0(k∈Z)

28

ππ15．已知函数f(x)＝sin(x＋θ)＋3cos(x＋θ)θ∈－，是偶函数，则θ的值为

22

________．

ππ解析 (回顾检验法)据已知可得f(x)＝2sinx＋θ＋，若函数为偶函数，则必有θ＋＝kπ33＋

ππππ故有θ＋π＝π，

(k∈Z)，又由于θ∈－，，解得θ＝，经代入检验符合题意．答232622π

6

案

三、解答题

16．已知f(x)＝sin x＋sin

π－x. (1)若α∈[0，π]，且sin 2α＝1，求f(α)的值；

32

(2)若x∈[0，π]，求f(x)的单调递增区间． 解 (1)由题设知f(α)＝sin α＋cos α.

1π∵sin 2α＝＝2sin α·cos α＞0，α∈[0，π]，∴α∈0，，sin α＋cos α＞0.

234222

由(sin α＋cos α)＝1＋2sin α·cos α＝，得sin α＋cos α＝3，∴f(α)＝3.

333

ππ(2)由(1)知f(x)＝2sinx＋，又0≤x≤π，∴f(x)的单调递增区间为0，.

44

π

17．设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π＜φ＜0)，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线x＝. 8(1)求φ； (2)求函数y＝f(x)的单调增区间．

πππ

解 (1)令2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，∴φ＝kπ＋，k∈Z，

824513π

又－π＜φ＜0，则－＜k＜－，k∈Z，∴k＝－1，则φ＝－.

4443π(2)由(1)得：f(x)＝sin2x－，

4

π3πππ5π

令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，可解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，

242885ππ因此y＝f(x)的单调增区间为＋kπ，＋kπ，k∈Z.

88

x（1）求f(x)的最小正周期． )2cos21．

4684（2）若函数yg(x)与yf(x)的图像关于直线x1对称，求当x[0,]时yg(x)的最

318、设函数f(x)sin(大值．

解：（Ⅰ）f(x)=sinx4xcos6cos4xsin6cos4x

=33sinxcosx =3sin(x) 242443 故f(x)的最小正周期为T =

24 =8

(Ⅱ)解法一：

在yg(x)的图象上任取一点(x,g(x))，它关于x1的对称点(2x,g(x)) . 由题设条件，点(2x,g(x))在yf(x)的图象上，从而 g(x)f(2x)3sin[ =3sin[(2x)]

43x] =3cos(x) 24343324 当0x时，x，因此yg(x)在区间[0,]上的最大值为

434333 gmax 解法二：

因区间[0,]关于x = 1的对称区间为[,2]，且yg(x)与yf(x)的图象关于 x = 1对称，故yg(x)在[0,]上的最大值为yf(x)在[,2]上的最大值 由（Ⅰ）知f(x)＝3sin(3cos33 2432343232x)当x2时， 433363sin 因此yg(x)在[0,]上的最大值为gmax4363 . 219、设函数f(x)a·b，其中向量a(m，cos2x)，b(1sin2x，1)，xR，且yf(x)的图

2． 象经过点，

（1）求实数m的值； （2）求函数f(x)的最小值及此时x值的集合． (3)求函数的单调区间； (4)函数图象沿向量c平移得到y19、（1）m1 （2）xkπ4



2sin2x的图象,求向量c。

3（kZ）时,ymin12 835,k,减区间：k,k,(kZ)) 8888(3)(增区间：k(4) c(8,1)

20、设函数fxsinx0, ①fx的图象关于直线x ③fx的图象关于点2，给出下列三个论断： 26对称； ②fx的周期为；

,0对称． 12 以其中的两个论断为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题，并对该命题加以证明．

①①②③②或，①证明略 ②③③