人教A版高中数学选修一第一学期期末考试

高中数学学习材料

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湖北大悟书生学校2016~2017学年度第一学期期末考试

高二(理科)数学

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1．从分别写有A、B、C、D、E的5张卡片中，任取2张，这2张上的字母恰好按字母顺序相邻的概率为（ ） A．

B．

C . D ．

44125

2．盒子中装有形状、大小完全相同的3个红球和2个白球，从中随机取出一个记下颜色后放回，当红球取到2次时停止取球．那么取球次数恰为3次的概率是( )

183481A． B． C． D．

1251251251253．设随机变量ξ～B（n，p），且E（ξ）=1.6，D（ξ）=1.28，则（ ） A．n=8，p=0.2

B．n=4，p=0.4 C．n=5，p=0.32 D．n=7，p=0.45

4．设随机变量ξ服从正态分布N（0，1） ，P（ξ＞1）=p，则P（﹣1＜ξ＜0）等于（ ） A． p B．1﹣p 5．若 A．32

=a+bB．12

C．1﹣2p D．﹣p

（a，b为有理数），则a+b=（ ） C．0

D．﹣1 C．星期四

D．星期五

6．今天为星期四，则今天后的第22016天是（ ） A．星期 二 B．星期三 两个事件是（ ）

A．至少有1名男生和至少有1名女生 B．恰有1名男生和恰有2名男生 C．至少有1名男生和都是女生 D．至多有1名男生和都是女生

7．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，那么互斥而不对立的

8．某中学拟从4个重点研究性课题和6个一般研究性课题中各选2个课题作为本年度该校启动的课题项目，若重点课题A和一般课题B至少有一个被选中的不同选法种数是k，那么二项式(1＋kx2)6的展开式中x4的系数为( )

A．50000 B．52000 C．000 D．56000 9．二项式

的展开式中的有理项共有（ ）

A．4项 B．5项 C．6项 D．7项 10．如图给出的是计算

的值的程序框图，其中判断框内应填入

的是（ ）

A．i≤2014？ B．i≤2016？ C．i≤2018？ D．i≤2020？

11．6位同学在2016年元旦联欢中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品，已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到3份纪念品的同学人数为（ ） A．0或1

B．1或2

C．0或2

D．1或3

12．已知0A．－10 B．9 C．11 D．－12

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上） 13．某公司的广告费支出x与销售额y（单位：万元）之间有下列对应数据： x y 2 4 5 6 8 40 60 50 70 ，可预测销售额为82.5万元时约

已知y对x呈线性相关关系，且回归方程为

需 万元广告费，工作人员不慎将表格中y的第一个数据遗失，该数据为 ．

14．某校1000名学生的某次数学考试成绩X服从正态分布，其密度函数曲线如图所示，则成绩X位于区间(52,68]的人数大约是________.

15．A，B，C，D四人站成一排，B相邻的条件下，B、C不相邻的概率为 ． 在A、16．设

=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+

，其中ai，bi为实

数（i=0，1，2，3，4），则a3= ．

三、解答题（本小题共6小题，共70分，解答应写出文字说明或演算步骤） 17．(本题满分10分)6男4女站成一排，求满足下列条件的排法共有多少种？

(1)任何2名女生都不相邻，有多少种排法？ (2)男甲不在首位，男乙不在末位，有多少种排法？ (3)男生甲、乙、丙顺序一定，有多少种排法？

(4)男甲在男乙的左边(不一定相邻)有多少种不同的排法？

18．（1）已知（2﹣

2

x）50=a0+a1x+a2x2+…+a50x50，求 （a0+a2+a4+…+a50）2﹣（a1+a3+a5+…+a49）

的值；

的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，求

（2）已知（1+n．

19．某班50位学生期中考试数学成绩的频率直方分布图如图所示，其中成绩分组区间是：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]． （1）求图中x的值；

（2）根据频率直方分布图计算该班50位学生期中考试数学成绩的平均数与中位数（精确到个位）；

（3）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为X，求P（X=1）．

20．已知函数f（x）=ax+．

（1）若连续掷两次质地均匀的骰子（骰子六个面上标注的点数分别为1，2，3，4，5，6）得到的点数分别为a和b，记事件B={f（x）＞b2在x∈（0，+∞）恒成立}，求事件B发生的概率．

（2）从区间（﹣2，2）内任取一个实数a，设事件A={方程f（x）﹣2=0有两个不同的正实数根}，求事件A发生的概率．

21．某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%．生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元．设生产各种产品相互．

（1）记X（单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列；（2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率．

22．(本题满分12分)(2016·山东理，19)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮

32

猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果

43亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：

(1)“星队”至少猜对3个成语的概率；

(2)“星队”两轮得分之和X的分布列和数学期望E(X)．

湖北大悟书生学校2016~2017学年度第一学期期末考试

高二(理科)数学

参与试题解析

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．1．从分别写有A、B、C、D、E的5张卡片中，任取2张，这2张上的字母恰好按字母顺序相邻的概率为（ ） A．

B．

C．

D．

【考点】等可能事件的概率．

【分析】由题意知本题是一个古典概型，试验包含的总事件是从5张卡片中任取2张，有C52种取法，这2张上的字母恰好按字母顺序相邻的有A，B；B，C；C，D；D，E四种结果，代入公式，得到结果．

【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，

∵试验包含的总事件是从5张卡片中任取2张，有C52中取法，

这2张上的字母恰好按字母顺序相邻的有A，B；B，C；C，D；D，E四种结果， ∴由古典概型公式得到 P=

=．

故选B．

2．B．

3．设随机变量ξ～B（n，p），且E（ξ）=1.6，D（ξ）=1.28，则（ ） A．n=8，p=0.2 B．n=4，p=0.4 C．n=5，p=0.32 D．n=7，p=0.45 【考点】离散型随机变量的期望与方差．

【分析】根据随机变量符合二项分布，根据二项分布的期望和方差公式得到关于n，p的方程组，注意两个方程之间的关系，把一个代入另一个，以整体思想来解决，求出P的值，再求出n的值，得到结果．

【解答】解：∵随机变量ξ～B（n，p）， E（ξ）=1.6，D（ξ）=1.28， ∴np=1.6，①

np（1﹣p）=1.28 ② 把①代入②得1﹣p=∴p=0.2 ∵np=1.6 ∴n=8， 故选A．

=0.8，

4．设随机变量ξ服从正态分布N（0，1） ，P（ξ＞1）=p，则P（﹣1＜ξ＜0）等于（ ）A． p B．1﹣p C．1﹣2p

D．﹣p

【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义． 【分析】根据随机变量ξ服从标准正态分布N（0，1），得到正态曲线关于ξ=0对称，利用P（ξ＞1）=p，即可求出P（﹣1＜ξ＜0）．

【解答】解：∵随机变量ξ服从正态分布N（0，1）， ∴正态曲线关于ξ=0对称， ∵P（ξ＞1）=p， ∴P（ξ＜﹣1）=p， ∴P（﹣1＜ξ＜0）=﹣p． 故选：D． 5．若A．32

B．12

=a+bC．0

（a，b为有理数），则a+b=（ ）

D．﹣1

【考点】二项式定理的应用．

【分析】由二项式定理，得：a=C50+C52×2+C×4=41，b=﹣C51﹣C53×2﹣C55×4=29，由此能求出a﹣b的值．

【解答】解：由二项式定理，得：a=C50+C52×2+C×4=41，b=﹣C51﹣C53×2﹣C55×4=﹣29

∴a+b=41﹣29=12． 故选：B．

6．今天为星期四，则今天后的第22016天是（ ） A．星期 二 B．星期三 C．星期四 D．星期五 【考点】整除的基本性质．

【分析】此类题一般用利用二项式定理展开，变为关于7的展开式，求得余数，确定出今天后的第22016天是星期几

【解答】解：∵22016=8672=（7+1）672=C6720×7672×10+C6721×7671×11+C6722×7670×12+…+C672672×70×1672， ∴22016除7的余数是1，

故今天为星期四，则今天后的第22016天是星期五， 故选：D．

7．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）

A．至少有1名男生和至少有1名女生 B．恰有1名男生和恰有2名男生 C．至少有1名男生和都是女生 D．至多有1名男生和都是女生 【考点】互斥事件与对立事件．

【分析】互斥事件是两个事件不包括共同的事件，对立事件首先是互斥事件，再就是两个事件的和事件是全集，由此规律对四个选项逐一验证即可得到答案．

【解答】解：至少有1名男生和至少有1名女生，两者能同时发生，故A中两个事件不是互斥事件，也不是对立事件；

恰有1名男生和恰有两名男生，两者不能同时发生，且不对立，故B是互斥而不对立事件；

至少有1名男生和全是女生，两个事件不可能同时发生，且两个事件的和事件是全集，故C中两个事件是对立事件，

至多有1名男生和都是女生，两者能同时发生，故A中两个事件不是互斥事件，也不是对立事件； 故选：B．

8．C． 9．二项式

的展开式中的有理项共有（ ）

A．4项 B．5项 C．6项 D．7项 【考点】二项式定理的应用． 【分析】在二项式值的个数，可得结论． 【解答】解：二项式令20﹣

的展开式中通项公式为Tr+1=

•2r•

，

的展开式中通项公式中，令x的幂指数为整数，求得r的

为整数，可得r=0，2，4，6，8，10，共计6项，

故选：C．

10．如图给出的是计算

的值的程序框图，其中判断框内应填入

的是（ ）

A．i≤2014？

B．i≤2016？ C．i≤2018？ D．i≤2020？

【考点】程序框图．

【分析】根据流程图写出每次循环i，S的值，和定退出循环的条件，得到答案．

比较即可确

【解答】解：根据流程图，可知 第1次循环：i=2，S=； 第2次循环：i=4，S=…

第1008次循环：i=2016，S=

；

；

此时，设置条件退出循环，输出S的值． 故判断框内可填入i≤2016． 故选：B．

11．6位同学在2016年元旦联欢中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品，已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到3份纪念品的同学人数为（ ） A．0或1 B．1或2 C．0或2 D．1或3 【考点】排列、组合及简单计数问题． 【分析】由题意，【解答】解：由题意，

“正难则反”考察没交换的情况，即可得出结论．

“正难则反”考察没交换的情况，

①设仅有甲与乙，丙没交换纪念品，则收到3份纪念品的同学人数为1人； ②设仅有甲与乙，丙与丁没交换纪念品，则收到3份纪念品的同学人数为0人， 实际上，没交换的只有2次，得3份纪念品的同学人数至多为1， 故选A． 12．B

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上） 13．某公司的广告费支出x与销售额y（单位：万元）之间有下列对应数据： x y 2 4 5 6 8 40 60 50 70 ，可预测销售额为82.5万元时

已知y对x呈线性相关关系，且回归方程为

约需 10 万元广告费，工作人员不慎将表格中y的第一个数据遗失，该数据为 30 ． 【考点】线性回归方程． 【分析】根据线性回归方程为

，令y=82.5，即可求得销售额为82.5万元时

所需广告费；根据样本数据的中心在线性回归方程上，即可求得第一个数据的值． 【解答】解：∵回归方程为

，

∴令y=82.5，解得x=10，

∴可预测销售额为82.5万元时约需10万元广告费；

设表中的第一个数据为a， ∴x的平均数为5，y的平均数∴点（5，∴

）在回归方程为

，

上，

=6.5×5+17.5，

解得a=30，

表格中y的第一个数据的值为30． 故答案为：10；30．

14．683

15．A，B，C，D四人站成一排，在A、B相邻的条件下，B、C不相邻的概率为

．

【考点】古典概型及其概率计算公式．

【分析】利用列举法先求出基本事件总数，再求出在A、B相邻的条件下，B、C不相邻包含怕基本事件个数，由此能求出在A、B相邻的条件下，B、C不相邻的概率． 【解答】解：A，B，C，D四人站成一排，A、B相邻， 所有的基本事件有：

ABCD，ABDC，BACD，BADC，CABD，CBAD，DABC，DBAC，CDAB，CDBA，DCAB，DCBA， 共有12个，

其中B、C不相邻的基本事件有：

ABDC，BACD，BADC，CABD，DBAC，CDAB，CDBA，DCAB， 共有8个，

∴在A、B相邻的条件下，B、C不相邻的概率为p=故答案为：． 16．设

=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+

，其中ai，bi为

．

实数（i=0，1，2，3，4），则a3= ﹣256 ． 【考点】二项式定理的应用．

【分析】等式两边乘以（1+x）5，对比两边x9的系数得

，从而求得a3的值．

【解答】解：等式两边乘以（1+x）5，

可得（1+2x）9=（a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4）•（1+x）5+b0+b1x+b2x2+b3x3+b4x4， 对比两边x9的系数得

•29=

，对比两边x8的系数得

，

，对比两边x8的系数得

∴，

故答案为：﹣256．

三、解答题（本小题共6小题，共70分，解答应写出文字说明或演算步骤）

17．(本题满分10分)6男4女站成一排，求满足下列条件的排法共有多少种？(列出算式即可)

(1)任何2名女生都不相邻，有多少种排法？ (2)男甲不在首位，男乙不在末位，有多少种排法？ (3)男生甲、乙、丙顺序一定，有多少种排法？

(4)男甲在男乙的左边(不一定相邻)有多少种不同的排法？

[解析] (1)任何2名女生都不相邻，则把女生插空，所以先排男生再让女生插到男生的空中，共有A6A46·7种不同排法．

(2)方法一：甲不在首位，按甲的排法分类，若甲在末位，则有A99种排法，若甲不在末

18位，则甲有A18种排法，乙有A8种排法，其余有A8种排法，

11A8)种排法． 综上共有(A99＋A8A8·8

方法二：甲在首位的共有A9乙在末位的共有A9甲在首位且乙在末位的有A种，9种，8种，

10－2A9＋A8)种排法． 因此共有(A1098

3

(3)10人的所有排列方法有A1010种，其中甲、乙、丙的排序有A3种，其中只有一种符合

A1010

题设要求，所以甲、乙、丙顺序一定的排法有3种．

A3

(4)男甲在男乙的左边的10人排列与男甲在男乙的右边的10人排列数相等，而10人排110

列数恰好是这二者之和，因此满足条件的有A10种排法．

2

18．（1）已知（2﹣2

的值； （2）已知（1+n．

【考点】二项式定理的应用． 【分析】（1）分别令x=1，x=﹣1，代入已知的等式，化简变形可得（a0+a2+a4+…+a50）2﹣（a1+a3+a5+…+a49）2的值． （2）由条件利用（1+

的展开式的通项公式，可得

，计算求得n的值．，

，

50=aaxax2…ax502x），求 （a0+a2+a4+…+a50）﹣（a1+a3+a5+…+a49）0+1+2++50

的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，求

【解答】解：（1）令x=1，得令x=﹣1，得

把①②相乘得（a0+a1+a2+a3+a4+…+a50）•（a0﹣a1+a2﹣a3+a4+…﹣a49+a50） =（a0+a2+a4+…+a50）2﹣（a1+a3+a5+…+a49）2=150=1． （2）由于（1+

的展开式的通项公式为

，由题知

，

即+=2•

，化简可的n2﹣37n+322=0，求得n=14，或

n=23．

19．某班50位学生期中考试数学成绩的频率直方分布图如图所示，其中成绩分组区间是：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]． （1）求图中x的值；

（2）根据频率直方分布图计算该班50位学生期中考试数学成绩的平均数与中位数（精确到个位）；

（3）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为X，求P（X=1）．

【考点】频率分布直方图． 【分析】（1）根据频率和为1，计算x的值；

（2）利用频率分布直方图，计算平均数与中位数的值； （3）计算分数在[80，90）、[90，100]内的人数，计算P（X=1）的值． 【解答】解：（1）根据频率和为1，得 x=0.1﹣0.006×3﹣0.01﹣0.0=0.018； （2）利用频率分布直方图，计算平均数为

=45×0.06+55×0.06+65×0.1+75×0.+85×0.18+95×0.06=74； 设中位数为a，则

（a﹣70）×0.0+0.06+0.06+0.1=0.5， 解得a=75

≈75；

（3）分数在[80，90）内的人数为：50×0.018×10=9； 在[90，100]内的人数为：50×0.006×10=3； 即分数在[80，90）的有9人， 分数在[90，100]的有3人，

所以P（X=1）=

=．

20．已知函数f（x）=ax+．

（1）若连续掷两次质地均匀的骰子（骰子六个面上标注的点数分别为1，2，3，4，5，6）得到的点数分别为a和b，记事件B={f（x）＞b2在x∈（0，+∞）恒成立}，求事件B发生的概率．

（2）从区间（﹣2，2）内任取一个实数a，设事件A={方程f（x）﹣2=0有两个不同的正实数根}，求事件A发生的概率．

【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；几何概型． 【分析】（1）先求出f（x）的最小值，然后讨论a的取值，找到满足条件的基本事件，根据概率公式计算即可；

（2）首先求出参数的取值范围，再利用概率公式计算即可． 【解答】解：（1）由已知：a＞0，x＞0 所以

，∴

∵f（x）＞b2在x∈（0，+∞）恒成立，∴

当 b=1时，a=1，2，3，4，5，6；b=2时，a=2，3，4，5，6；b=3时，a=6， ∴P（B）=

（2）∵函数y=f（x）﹣2在区间（0，+∞）上有两个不同的正实数根， ∴

即ax2﹣2x+4=0有两不等的正实数根x1和x2

∴，解得，

∴=

21．某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%．生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元．设生产各种产品相互．

（1）记X（单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列；

（2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率．

【考点】离散型随机变量及其分布列；相互事件的概率乘法公式．

【分析】（1）根据题意做出变量的可能取值是10，5，2，﹣3，结合变量对应的事件和相互事件同时发生的概率，写出变量的概率和分布列．

（2）设出生产的4件甲产品中一等品有n件，则二等品有4﹣n件，根据生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元，列出关于n的不等式，解不等式，根据这个数字属于整数，得到结果，根据重复试验写出概率． 【解答】解：（1）由题设知，X的可能取值为10，5，2，﹣3，且 P（X=10）=0.8×0.9=0.72，P（X=5）=0.2×0.9=0.18， P（X=2）=0.8×0.1=0.08，P（X=﹣3）=0.2×0.1=0.02． ∴X的分布列为： X 10 5 2 ﹣3 P 0.72 0.18 0.08 0.02 （2）设生产的4件甲产品中一等品有n件，则二等品有4﹣n件． 由题设知4n﹣（4﹣n）≥10， 解得

，

又n∈N，得n=3，或n=4．

所求概率为P=C43×0.83×0.2+0.84=0.8192

答：生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为0.8192． 22．

2 【解答】解：（1）

23

E(X)6（2）

3