第三章,概率的进一步认识

3.1 频率与概率（3课时）

3.2 利用频率估计概率（3课时）

第3章 认识概率复习（单元检测（2课时）

讲习题（2课时）

3课时）

3.1 频率与概率（第1课时）

教学目标

1、 经历试验、统计等活动过程，在活动中进一步发展学生合作交流的意识和能力。通过

试验，理解当试验次数较大时试验频率稳定于理论概率，并可据此估计某一事物发生的概率

2、 经历试验、统计等活动过程，在活动中进一步发展学生合作交流的意识和能力 3、 能运用树状图和列表法计算简单事件发生的概率 教学重点和难点

重点：运用树状图和列表法计算简单事件发生的概率 难点：运用树状图和列表法计算简单事件发生的概率 教学过程设计

一、 从学生原有的认知结构提出问题

现实生活当中，我们常常遇到一些概率的问题，如买彩票等游戏，都需要一些概率的知识。通过求某事件发生的概率，指导我们做出抉择。这节课，我们来学习求概率。 二、 师生共同研究形成概念

1、 频数、频率与概率

频数是指每个对象出现的次数。频率是指每个对象出现的次数与总次数的比值。概率表示一个事件在实验中发生的可能性的大小的数，概率的值大于等于0，小于等于1。频数与频率都能反映每个对象出现的频繁程度，频数是某个对象出现的次数，是个数，而频率是每个对象出现的次数与总次数的比，是比值。

频率是在实验的基础上一个事件发生的次数与总实验次数的比，而概率是从理论上推算事件发生的可能性，两者的意义不同，一个事件的发生有随机性，因此通常情况下不等于概率，只是实验次数越多，频率越趋向于概率。

一个事件发生的频率在概率的附近上下波动，多次实验的频率接近概率。 ☆ 做一做 书本P 157 扑克游戏

通过这个试验活动，探索出“试验次数很大时试验的频率渐趋稳定”这一规律，然后通过与旧知识类比，得出频率稳定值与理论概率之间的关系。此游戏让学生小组内完成。 ☆ 议一议 书本P 158 议一议

通过上面图表的交流与研讨，可以发现它的规律。 ☆ 做一做 书本P 158 做一做

进一步汇总试验数据，检验上面的估计，让学生进一步体会频率的稳定性。 （第2课时）

2、 试验数据与理论概率

为了考查频率与概率之间的关系，我们要做一系列的实验，随着实验次数的增加，我们可运用折线统计图，随时记录下频率随实验次数的变化而变化的情况。因此，可以通过多次实验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率，这就是我们通过多次实验总结出

的结果。

☆ 想一想 书本P 159 摸牌游戏

通过对上面所做试验的进一步分析，体会两步试验中“两步”之间的相互独立性，进而认识两步试验所有可能出现的结果及每种结果出现的等可能性。在此基础上，引出计算涉及两步试验的随机事件发生的概率的方法——树状图和列表法。

3、 树状图和列表法

☆ 做一做 书本P 159 做一做 此游戏让学生同位一起做，然后统计数据。 ☆ 议一议 书本P 158 议一议 鼓励学生进行不同观点的交流。 ☆ 想一想 书本P 160 想一想

让学生认识到这种情况与另外两种情况发生的可能性是不同的。

从表面上看，我们不能一下子算出概率是多少，但我们可用列表法列出有可能出现的搭配，从中得出事件发生的概率。利用树状图或表格，可以比较方便地求出某些事件发生的概率。

☆ 做一做 书本P 164 转盘游戏“配紫色” 此游戏让学生同位一起做，然后统计数据。 ☆ 议一议 书本P 166 议一议

用树状图和列表的方法求概率时，应注意各种结果出现的可能性务必相同。 4、 用树状图和列表法求概率时的注意点

1）列表法只适于求两步实验的随机实验的随机事件概率的求解； 2）各种情况出现的可能性务必相同。 （第3课时）

5、 讲解例题

例1 随机掷一枚均匀的硬币两次，至少有一次正面朝上的概率是多少？

例2 在我们班中抽出六位同学，其中“潘、陈、关”作为A组，“李、陈、关”作为B组。

现在要从A、B两组各选一人出席会议，则： a) 选出的两位同学是同姓“潘”、“曾”的概率是多少？ b) 选出的两位同学是同姓的概率是多少？

c) 选出的两位同学中，至少有一位姓“关”的概率是多少？ d) 选出的两位同学中，没有姓“陈”的概率是多少？ 三、 随堂练习

1、书本 P 163 随堂练习 2、《练习册》 P 77 四、 小结

运用树状图和列表法计算简单事件发生的概率的方法。

五、 作业

随机掷一枚均匀的硬币两次，两次都是正面朝上的概率是多少？ 六、 教学后记

3.2 利用频率估计概率（第1课时） 教学内容

1．当试验的所有可能结果不是有限个，•或各种可能结果发生的可能性不相等时，我们一般还要通过统计频率来估计概率．

在同样条件下，大量重复试验时，根据一个随机事件发生的频率所逐渐稳定到的常数，可以估计这个事件发生的概率． 2．模拟实验． 教学目标

理解每次试验可能结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，用频率估计概率的方法；能应用模拟实验求概率及其它们的应用．

通过复习列举法求概率的条件和方法，引入相反方向的：每次试验的所有可能结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，利用频率求概率的方法，同时也介绍利用模拟试验求概率的方法． 重难点、关键

1．重点：讲清用频率估计概率的条件及方法；

2．难点与关键：比较用列举法求概率与用频率求概率的条件与方法． 教具、学具准备 小黑板、计算器 教学过程

一、复习引入 请同学们口答下面几个问题： 1．用列举法求概率的条件是什么？ 2．用列举法求概率的方法是什么？ 3．A＝（事件），P(A)的取值范围是什么？

4．列表法、树形图法是不是列举法，它在什么时候运用这种方法． 老师口答点评：

1．用列举法求概率的条件是：(1)每次试验中，可能出现的结果有限多个；•(2)每次试验中，各种结果发生的可能性相等．

2．每次试验中，有n种可能结果（有限个），发生的可能性相等；事件A•包含其中m种

m结果，则P(A)=．

n

3．0≤P(A)≤1，其中不可能事件B，P(B)=0，必然事件C，P(C)=1．

4．列表法、树形图法是列举法，•它是在列出的所有结果很多或一次试验要涉及3个或更多的因素所用的方法． 二、探索新知

前面的列举法只能在所有可能是等可能并且有限个的大前提下进行的，如果不满足上面二个条件，是否还可以应用以上的方法呢？不可以．

也就是：当试验的所有可能结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，我们一般还要通过统计频率来估计概率．

在同样条件下，大量重复试验时，根据一个随机事件发生的频率所逐渐稳定到的常数，可以估计这个事件发生的概率．

（学生活动），请同学们独立完成下面题目：

例1．某林业部门要考查某种幼树在一定条件的移植成活率． (1)它能够用列举法求出吗？为什么？ (2)它应用什么方法求出？

(3)请完成下表，并求出移植成活率． (老师点评)解：(1)不能．

理由：移植总数无限，每一棵小苗成活的可能性不相等． (2)它应该通过填完表格，用频率来估计概率．

(3)略 所求的移植成活率这个实际问题的概率是为：0.9．

例2．某水果公司以2元/千克的成本新进了10000千克的柑橘，如果公司希望这种柑橘能够获得利润5000元，那么在出售柑橘(已经去掉损坏的柑橘)时，每千克大约定价为多少元比较合适？

销售人员首先从所有的柑橘中随机地抽取若干柑橘，•进行了“柑橘损坏表”统计，并把获得的数据记录在下表中，请你帮忙完成下表．

解：从填完表格，我们可得，柑橘损坏的概率为0.1，则柑橘完成的概率为0.9． 因此：在10000千克柑橘中完好柑橘的质量为10000×0.9=9000千克． 完好柑橘的实际成本为：

210002 =2.22(元/千克) 90000.9 设每千克柑橘的销价为x元，则应有： (x-2.22)×9000=5000 解得：x≈2.8

因此，出售柑橘时每千克大约定价为2.8元可获利润5000元． （第2课时）

例3．一个学习小组有6名男生3名女生，•老师要从小组的学生中先后随机地抽取3人参加几项测试，并且每名学生都可被重复抽取，•你能设计一种试验来估计“被抽取的3人中有2名男生1名女生”的概率吗？

分析：因为要做从这9人中，抽取3人的试验确实工作量很大，为了简便这种试验，我们可用下面两种方法来简便．

1．取9张形状完全相同的卡片，在6张卡片上分别写上1～6的整数表示男生，在其余的3张卡片上分别写上7～9的整数表示女生，把9张卡片混合起来并洗均匀．

从卡片中放回的抽3次，随机抽取，每次抽取1张，并记录结果，经重复大量试验，•就能够计算相关频率，估计出三人中两男一女的概率．

2．用计算器也能产生你指定的两个整数之间(包括这两个整数)的随机整数，•也同样能够估计概率．

以上这两种试验我们把它称为模拟实验．•从模拟实验中产生的一串串的数为“随机数”． 三、巩固练习

教材P159 思考题，P161 练习． （第3课时） 四、应用拓展

例4．在车站、街旁、旅游点、学校门口常常看到以下的博彩游戏： （1）记分卡共20张，其中5分、10分各10张； 玩 （2）记分卡反放，每次任意摸10张，总分在下列分数中的可以得到与该分数对应 法 的奖品； （3）每次摸奖付1元。 分数 100 95 90 85 80 75 70 65 60 55 50 奖品 彩电 文曲星 钢笔 圆珠笔 空门 空门 空门 气球 香皂 计算器 手表 奖品丰厚，围观者蠢蠢欲动，但也奇怪，有数十个人参加摸奖，摸到空门的居多，根本没有人摸到价值高的奖品，是偶数还是必然，你认为呢？以摸到100•分为例说明． 分析：摸奖者摸10张卡片，总分在50至100之间，除了70、75、80三个分数没有外，其余的分数都有奖，并且奖品大都远远超过1元，所以人们觉得赢的机会非常大，•可是事实恰恰相反，得到贵一点的奖品几乎没有人，是什么原因呢？

原来在50至100之间的11个分数中，摸10张卡总分最有可能是70、75、80，•而相应的奖品是空的，其余分数虽然都有奖品，甚至在两边的得分可得到高额奖品，•但这些分数很难得到．

解：是必然．理由：以摸到100分为例，需连续摸到10张卡片都是10分的，第一次摸

109到10分的机会是，再摸第二次摸到10分卡片的机会是，第三次摸到的卡片是10分的

20198机会是，„„依次类推，连续摸十次都是10分的机会只有

1810986543211，接近于二十万分之，以每次一元计算，需要201918161514131211184756近二十万元才能得到一台彩电! 五、归纳小结

（学生小结，老师点评） 本节课应掌握：

1．用频率估计概率的条件及方法． 2．随机数的概念．

3．模拟实验的概念及它的各种方法． 4．应用以上的内容解决一些实际问题． 六、布置作业

1．教材P162-163 复习巩固2 综合运用3，4 拓广探索5，6．

课时作业设计

一、选择题．

1．在做布斗的投针实验时，若改变平行线间的距离与针的长度的比值，则( ) A．针与平行线相交的概率不变 B．针与平行线相交的概率会改变 C．针与平行线相交的概率可能会改变; D．以上说法都不对

2．当试验的所有可能结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，求(估计)

概率是用( )．

A．通过统计频率估计概率 B．用列举法求概率 C．用列表法求概率 D．用树形图法求概率 二、填空题．

1．布斗投针实验的概率是________________________．

2．事件发生的概率随着_________的增加，逐渐_________在某个数值附近，我们可以用平

稳时________来估计这一事情的概率． 三、综合提高题．

1．一位同学抛掷一枚图钉，统计如下表：

请根据下表用频率估计概率．

2．从10m高的地方往下抛手榴弹(体育用品)，落地时，可能木柄先着地，也可能铁壳先着

地，你估计哪种事件发生的概率大？将丢弹实验做100次，看实验结果与你的估计是否一致？ 答案:

一、1．B 2．A

2l二、1．P= (Ld2．实验次数 频率 三、1．0.46 2．略

第3章 认识概率复习（第1课时）

基础知识练习：

1、有10张大小相同的卡片，分别写有0至9十个数字，将它们背面朝上洗匀后任抽一张，则P（是一位数）=____________，P（是3的倍数）=____________。

12、若干个球有红黄两种颜色，除颜色外其它都相同，若摸到红球的概率是，其中红球

4有20个，则黄球有____________个。 3、从1、2、3三个数字中任取两个不同的数字，其和是奇数的概率是____________。 4、鞋柜里有3双鞋，任取一只恰是右脚穿的概率是____________。

5、甲、乙、丙三人站成一排，恰好甲乙两人站在两端的概率是____________。 6、任意掷一枚均匀的硬币两次，则两次都是同面的概率是____________。

7、八年级一班有50人参加其中考试，其中有15人满分，从中任意抽出一张试卷不是满分的概率是____________。

8、有黑、蓝、红三枝颜色不同的笔，和白、蓝两块橡皮，任拿出一枝笔和一块橡皮，则取到同蓝色的概率是____________。

9、某期体育彩票发行了300万张，特等奖1名，奖金500万元，李名买了三张本期体育彩票，则李名获得特等奖的概率是____________。

（第2课时）

典型例题分析：

例1小明所在年级共10个班，每班45名同学，现从每个班中任意抽一名学生，共10名学生参加课外活动，问小明被抽到的概率是多少？

例2如图所示是可自由转动的转盘（被八等分）当指针指向阴影区域，则甲胜，当指针指向空白区域的则乙胜，你认为此游戏对双方公平吗？为什么？

例3小明家中的钟正指着整点，但不知道是哪一点，直角的概率是多少？恰好成平角的概率是多少？

11例4请设计一个摸球游戏，使得P（摸到红球）=，P（摸到白球）=，说明设计方案。

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问时针和分针恰好成

例5下表是高三某班被录取到高一级学校的学生情况统计表: 男生

重点 18 普通 7 其他 1 合计 女生 合计 （1） 完成表格;

16 10 2 （2） 求下列各事件的概率: ①P(录取到重点学校的学生)

②P(录取到普通学校的学生)③P（录取到非重点学校的学生）

例6杨华与季红用5张同样规格的硬纸片做拼图游戏，正面如图1所示，背面完全一样，将它们背面朝上搅匀后，同时抽出两张．规则如下：

当两张硬纸片上的图形可拼成电灯或小人时，杨华得1分；

当两张硬纸片上的图形可拼成房子或小山时，季红得1分（如图2）．

问题：游戏规则对双方公平吗？请说明理由；若你认为不公平，如何修改游戏规则才能使游戏对双方公平？

（第3课时）

电

小

房小

练习巩固：一、填空题

1、如果甲邀请乙玩一个同时抛掷两枚硬币的游戏，游戏的规则如下：同时抛出两个正面，乙得1分；抛出其他结果，甲得1分. 谁先累积到10分，谁就获胜.你认为 （填“甲”或“乙”）获胜的可能性更大.

2、10张卡片分别写有0至9十个数字,将它们放入纸箱后,任意摸出一张,则P(摸到数字2)= ,P(摸到奇数)= .

3、一个口袋中装有4个白球，1个红球，7个黄球，除颜色外,完全相同,充分搅匀后随机摸出一球，恰好是白球的概率是_______。 4、袋中有一个红球和两个白球，它们除了

都相同。任意摸出一个球，记下球的放回袋中；搅匀后再任意摸出一个球，的颜色。为了研究两次摸球出现某种概率，画出如下树状图。 （1）请把树状图填写完整。

（2）根据树状图可知，摸到一红一白两球的概率是________。

5、初三（1）班50名学生中有35名团员，他们都积极报名参加志愿者活动，根据要求，该班从团员中随机选取1名团员参加，则该班团员李明被选中的概率是_________。 二、选择题

6、十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号

红白白红白白（ ）（ ）（ ）红白白颜色外颜色，记下球情况的

灯时，是黄灯的概率是（ ）

1511A． B． C． D．

1212327、在“抛一枚均匀硬币”的实验中，如果现在没有硬币，则下面各个试验中哪个不能代替 A、 两张扑克，“黑桃” 代替“正面”，“红桃” 代替“反面” B、 两个形状大小完全相同，但一红一白的两个乒乓球

C、 扔一枚图钉 D、 人数均等的男生、女生，以抽签的方式随机抽取一人 8、一个均匀的立方体六个面上分别标有数1，2，3，4，5，6．右图是这个立方体表面的展开图．抛掷这个立方体，则朝上一面上的数恰好等于朝下一面上的数的的概率是（ ）A、 B、 C、 D、

9、如图，图中的两个转盘分别被均匀地分成5个和4个扇形，每个扇形上都标有 数字，同时自由转动两个转盘，转盘停止后，指针都落在奇数上的概率是（ ）

2331A． B． C． D．

51020510、在一个不透明的口袋中装有若干个只有颜色不同的球，

1中装有4个红球，且摸出红球的概率为，那么袋中共有

3为（ ） A、12个 B、9个 C、7个 D、6个 三、解答题

11、四张大小质地均相同的卡片上分别标有数字1，2，3，4，现将标有数字的一面朝下扣在桌子上，从中随机抽取一张（不放回），再从桌子上剩下的3张中随机抽取第二张。（1）用画树状图的方法，列出前后两次抽得的卡片上所标数字的所有可能情况；（2）计算抽得的两张卡片上的数字之和为奇数的概率是多少？（3）如果抽取第一张后放回，再抽第二张，（2）的问题答案是否改变？如果改变，变为多少？（只写出答案，不写过程） 12、某校八年级1、2班联合举行晚会。组织者为了使晚会气氛活跃，策划时计划整台晚会以转盘游戏的方式进行：每个节目开始时，两班各派一人先进行转盘游戏，胜者获得一件奖品，负责表演一个节目。1班的文娱委员利用分别标有数字1、2、3和4、5、6、7的两个转盘（如图）设计了一种游戏方案：两人同时各转动一个转盘一次，将得到的数字相乘，积为偶数时，1班代表胜，否则2班代表胜。你认为该方案对双方是否公平？为什么？如果你认为不公平，你能在此基础上设计一个公平的方案吗？

1613122312如果口袋球的个数