知识一 电场力做功与电势能
1．电场力做功
(1)特点：电场力做功和路径无关，只与初、末位置有关． (2)计算方法
①W＝qEd，只适用于匀强电场，其中d为沿电场线方向的位移． ②WAB＝qUAB，适用于任何形式的电场． 2．电势能
(1)定义：电荷在电场中某点的电势能，等于静电力把它从该点移动到零势能位置时所做的功． (2)静电力做功与电势能变化的关系
静电力做的功等于电势能的减少量，WAB＝EpA－EpB.
(3)电势能的相对性，电势能是相对的，通常把电荷在离场源电荷无穷远处的电势能规定为零，或把电荷在地球表面的电势能规定为零．
(1)电场力做功与重力做功相似，均与路径无关．(√) (2)有电场力做功时，电荷的机械能也可能守恒．(×) (3)正电荷的电势能一定为正．(×)
知识二 电势与等势面
1．电势
Ep
(1)定义式：φ＝.
q
(2)矢标性：电势是标量，其大小有正负之分，其正(负)表示该点电势比电势零点高(或低)． (3)相对性：电势具有相对性，同一点的电势因电势零点选取的不同而不同． 2．等势面的特点
(1)等势面一定与电场线垂直，即跟场强的方向垂直． (2)在等势面上移动电荷时电场力不做功．
(3)电场线总是从电势高的等势面指向电势低的等势面． (4)等差等势面越密的地方电场强度越大，反之越小．
(1)电场中电场强度为零的地方电势一定为零．(×) (2)沿电场线方向电势降低，电场强度也越来越小．(×) (3)等势面上各点的场强大小也相等．(×)
知识三 电势差
WAB
1．定义式：UAB＝. q
2．电势差与电势的关系：UAB＝φA－φB.
3．影响因素
电势差UAB由电场本身的性质决定，与移动的电荷q及电场力做的功WAB无关，与零势点的选取无关． 4．匀强电场中电势差与电场强度的关系
(1)电势差与场强的关系式：U＝Ed，其中d为电场中两点间沿电场线方向的距离．
(2)电场强度的方向和大小：电场中，场强方向是指电势降低最快的方向．在匀强电场中，场强在数值上等于沿电场方向每单位距离上降低的电势．
电势、电势能具有相对性，要确定电场中某点的电势或电荷在电场中某点具有的电势能必须选取电势零点，但电势差和电势能的变化具有绝对性，与电势零点的选取无关．
1．(多选)如图6－2－1所示，a、b为某电场线上的两点，那么以下结论正确的是( )
图6－2－1
A．把正电荷从a移到b，电场力做正功，电荷的电势能减小 B．把负电荷从a移到b，电场力做负功，电荷的电势能增加 C．把负电荷从a移到b，电场力做正功，电荷的电势能增加 D．不论正电荷还是负电荷，从a到b电势能都逐渐降低
【解析】 若正电荷从a移到b，由于电场力方向和位移方向同向，电场力做正功，电荷的电势能减小，A对；若把负电荷从a移到b，电场力做负功，电荷的电势能增加，B对，C、D错．
【答案】 AB
2．(多选)关于电势差的计算公式，下列说法正确的是( )
WAB
A．电势差的公式UAB＝说明两点间的电势差UAB与电场力做功WAB成正比，与移动电荷的电荷量q成反比
q
B．把正电荷从A点移到B点电场力做正功，则有UAB>0
WAB
C．电势差的公式UAB＝中，UAB与移动电荷的电荷量q无关
q
D．电场中A、B两点间的电势差UAB等于把正电荷q从A点移动到B点时电场力所做的功
【解析】 电场中两点间的电势差是一个定值，不会随着电场力做的功WAB和移动电荷的电荷量q的变化而
WAB
变化，故A错，C对；又由UAB＝知，电场力做正功，q为正电荷，则电势差为正，即B正确；电场中A、B两
q
点间的电势差UAB等于把单位正电荷从A点移动到B点时电场力所做的功，故D错误．
【答案】 BC
图6－2－2
3．如图6－2－2所示，一电场中有一粒子源发射出a、b、c三种粒子，其中实线表示电场线，虚线表示粒子运动的轨迹，下列说法正确的是( )
A．a粒子在电场中的电势能在增加 B．c粒子在电场中的电势能在减小 C．电场力对a做负功 D．电场力对c做负功
【解析】 从运动轨迹看，a粒子带负电，b粒子不带电，c粒子带正电，它们都朝电场力的方向偏转，电场力都做正功，电势能都减小．B对．
【答案】 B
4．(多选)(2018·江苏高考)将一电荷量为＋Q的小球放在不带电的金属球附近，所形成的电场线分布如图6－2－3所示，金属球表面的电势处处相等．a、b为电场中的两点，则( )
图6－2－3
A．a点的电场强度比b点的大 B．a点的电势比b点的高
C．检验电荷－q在a点的电势能比在b点的大
D．将检验电荷－q从a点移到b点的过程中，电场力做负功
【解析】 由题图可知，a处电场线比b处密，所以Ea>Eb，选项A正确；沿着电场线的方向电势不断降落，a点电势高于不带电金属球的电势，不带电金属球的电势高于b点电势，所以φa>φb，选项B正确；负电荷在高电势点的电势能小，选项C错误；检验电荷－q从a点移到b点时，电势能增大，故电场力做负功，选项D正确．
【答案】 ABD 5．(2018·上海高考)两异种点电荷电场中的部分等势面如图6－2－4所示，已知A点电势高于B点电势．若位于a、b处点电荷的电荷量大小分别为qa和qb，则( )
图6－2－4
A．a处为正电荷，qa 【解析】 图为异种点电荷的等势面分布，又知φA>φB，因此a处为正电荷，b处为负电荷，等势面密集处靠近b电荷，故qa>qb，选项B正确． 【答案】 B 考点一 [49] 电势高低与电势能大小的判断 一、电势高低的判断 1．依据电场线方向：沿电场线方向电势逐渐降低． WAB 2．依据电场力做功：根据UAB＝，将WAB、q的正负号代入，由UAB的正负判断φA、φB的高低． q 3．依据场源电荷的正负：取无穷远处电势为零，正电荷周围电势为正值，负电荷周围电势为负值；靠近正电荷处电势高，靠近负电荷处电势低． 二、电势能大小的判断 1．做功判断法：电场力做正功，电势能减小；电场力做负功，电势能增加． 2．电荷电势法：正电荷在电势高的地方电势能大，负电荷在电势低的地方电势能大． 3．公式法：由Ep＝qφp，将q、φp的大小、正负号一起代入公式，Ep的正值越大，电势能越大；Ep的负值越小，电势能越大． 4．能量守恒法：在电场中，若只有电场力做功时，电荷的动能和电势能相互转化，动能增加，电势能减小；反之，动能减小，电势能增加． ——————[1个示范例]—————— (2018·郑州大学附中检测)两个等量同种电荷固定于光滑水平面上，其连线中垂线上有A、B、C三 点，如图6－2－5甲所示．一个电量为2 C，质量为1 kg的小物块从C点静止释放，其运动的v－t图象如图乙所示，其中B点处为整条图线切线斜率最大的位置(图中标出了该切线)．则下列说法正确的是( ) 甲 乙 图6－2－5 A．B点为中垂线上电场强度最大的点，场强E＝2 V/m B．由C到A的过程中物块的电势能先减小后变大 C．由C到A的过程中，电势逐渐升高 D．A、B两点电势差UAB＝－5 V 2 【解析】 由图乙知，小物块在B点时加速度最大，故B点场强最大，加速度大小为2 m/s，据qE＝ma得E＝1 V/m，选项A错误；由C到A的过程中小物块的动能一直增大，电势能始终在减小，故电势逐渐降低，选 1212 项B、C错误；根据动能定理有qUAB＝mvB－mvA，解得：UAB＝－5 V，选项D正确． 22 【答案】 D ——————[1个预测例]—————— (多选)(2018·山东高考)如图6－2－6所示，在x轴上相距为L的两点固定两个等量异种点电荷＋ L Q、－Q，虚线是以＋Q所在点为圆心、为半径的圆，a、b、c、d是圆上的四个点，其中a、c两点在x轴上，b、 2 d两点关于x轴对称．下列判断正确的是( ) 图6－2－6 A．b、d两点处的电势相同 B．四个点中c点处的电势最低 C．b、d两点处的电场强度相同 D．将一试探电荷＋q沿圆周由a点移至c点，＋q的电势能减小 【审题指导】 (1)联想等量异种点电荷的电场分布特点． (2)充分利用a、b、c、d各点的几何特性． (3)抓住电势是标量，电场强度是矢量的特点． 【解析】 根据等量异种点电荷电场线及等势线的分布可知b、d两点电势相同，电场强度大小相等、方向不同，选项A对，C错．c点电势为0，由a经b到c，电势越来越低，正电荷由a经b到c电势能越来越小，选项B、D对． 【答案】 ABD 考点二 [50] 匀强电场中场强与电势差的关系应用 应用“一式二推论”巧解电场强度与电势差相关的问题 一、一式 UW电 E＝＝，其中d是沿电场强度方向上的距离． dqd二、二推论 图6－2－7 推论1：如图6－2－7所示，匀强电场中任一线段AB的中点C的电势，等于两端点电势的等差中项，即φCφA＋φB＝ 2 证明：设AC＝CB＝d，则φA－φC＝Edcos θ，φC－φB＝Edcos θ φA＋φB 所以有：φC＝. 2 图6－2－8 推论2：如图6－2－8所示，若匀强电场中两线段AB＝CD且AB∥CD，则φA－φB＝φC－φD. 证明：设AB＝CD＝d，则φA－φB＝Edcos θ，φC－φD＝Edcos θ 所以有：φA－φB＝φC－φD. ——————[1个示范例]—————— (2018·安徽高考)如图6－2－9所示，在平面直角坐标系中，有方向平行于坐标平面的匀强电场， 其中坐标原点O处的电势为0 V，点A处的电势为6 V，点B处的电势为3 V，则电场强度的大小为( ) 图6－2－9 ——————[1个预测例]—————— 图6－2－10 如图6－2－10所示，匀强电场中有a、b、c三点，在以它们为顶点的三角形中，∠a＝30°，∠c＝90°，电场方向与三角形所在平面平行．已知a、b和c点的电势分别为(2－3)V、(2＋3) V和2 V．该三角形的外接圆上最低、最高电势分别为( ) A．200 V/m B．2003 V/m C．100 V/m D．1003V/m 【解析】 在匀强电场中，沿某一方向电势降落，则在这一方向上电势均匀降落，故OA的中点C的电势φC OB11 ＝3 V(如图所示)，因此B、C为等势面．O点到BC的距离d＝OCsin α，而sin α＝＝，所以d＝OC222OB＋OC2UU3－2 ＝1.5×10 m．根据E＝得，匀强电场的电场强度E＝＝V/m，故选项A正确，选项B、C、－2 V/m＝200 dd1.5×10 D错误． 【答案】 A ——————[1个预测例]—————— A．(2－3) V、(2＋3) V B．0、4 V 433 C．(2－) V、(2＋4) V D．0、23 V 33 【审题指导】 该题中的几何关系比较重要： (1)画出△abc的外接圆，发现圆心O的电势与C点电势相等． (2)由等势线OC画出过O点电场线，从而确定电势最高，最低的位置． 【解析】 如图，圆心O是ab的中点，所以圆心O点的电势为2 V，所以Oc是等势线，则电场线如图中MN所示，方向由M指向N.沿电场线方向电势均匀降低，M点电势最高，N点电势最低，设圆的半径为R，则UMN＝E·2R，Uba＝2ERcos 30°＝23V，故UMN＝4 V．过圆心的电势为2 V，则圆周上电势最低为0，最高为4 V，选B. 【答案】 B (1)在匀强电场中，电势沿直线是均匀变化的，即直线上距离相等的线段两端的电势差值相等． (2)等分线段找等势点法：将电势最高点和电势最低点连接后根据需要平分成若干段，必能找到第三点电势的等势点，它们的连线即等势面(或等势线)，与其垂直的线即为电场线． 考点三 [51] 电场线、等势线、轨迹线的综合问题 一、几种常见的典型电场的等势面比较 电场 等势面(实线)图样 重要描述 匀强电场 点电荷 的电场 等量异种点电荷的电场 等量同种正点电荷的电场 垂直于电场线的一簇平面 以点电荷为球心的一簇球面 连线的中垂线上的电势为零 连线上，中点电势最低，而在中垂线上，中点电势最高 二、此类问题的解题方法可归纳为以下几点 1．运动粒子的曲线轨迹必定向电场力方向弯曲，即电场力方向指向曲线的内侧，且运动轨迹必定在v和F之间．先画出入射点的轨迹切线，即画出初速度的方向；再根据轨迹的弯曲方向，确定电场力方向． 2．电场线和等势面垂直，电场线从高电势指向低电势． 3．先根据电场线的方向以及疏密情况，确定场强及电性情况，定性判断电场力(或加速度)的大小和方向；再根据电场力方向与速度方向的关系来判断速度的变化情况以及运动性质． 4．根据电场力方向与速度方向的关系来判断电场力做功情况及判断电势能的变化情况，另外可以通过能量的转化和守恒确定电势能及动能的变化情况． ——————[1个示范例]—————— 图6－2－11 (2018·天津高考)两个固定的等量异号点电荷所产生电场的等势面如图6－2－11中虚线所示，一带负电的粒子以某一速度从图中A点沿图示方向进入电场在纸面内飞行，最后离开电场，粒子只受静电力作用，则粒子 在电场中( ) A．做直线运动，电势能先变小后变大 B．做直线运动，电势能先变大后变小 C．做曲线运动，电势能先变小后变大 D．做曲线运动，电势能先变大后变小 【解析】 带负电的粒子以速度v进入电场后，电场力的方向与v的方向不在一条直线上，故带负电的粒子做曲线运动，先由低电势面运动到高电势面，然后由高电势面运动到低电势面，所以电势能先减小后增大，选项C正确，选项A、B、D错误． 【答案】 C ——————[1个预测例]—————— 图6－2－12 (2018·辽宁省实验中学检测)如图6－2－12所示，在两等量异种点电荷连线上有D、E、F三点，且DE＝EF.K、M、L分别为过D、E、F三点的等势面．一不计重力的带负电粒子，从a点射入电场，运动轨迹如图中实线所示，以|Wab|表示该粒子从a点到b点电场力做功的数值，以|Wbc|表示该粒子从b点到c点电场力做功的数值，则( ) A．|Wab|＝|Wbc| B．|Wab|＜|Wbc| C．粒子由a点到b点，动能减少 D．a点的电势较b点的电势低 【审题指导】 解答该题应注意： (1)DE＝EF而|UDE|≠|UEF|. (2)K、M、L为等势线，非电场线． (3)粒子带负电，且不计重力． 【解析】 由等量异种点电荷的电场线特点可知靠近电荷处电场强度大，类比公式U＝Ed知|Uab|＞|Ubc|，而W＝qU，所以|Wab|＞|Wbc|，则A、B均错误；从带负电粒子的运动轨迹可知该粒子从a点到c点受到大体向左的作用力，故左侧为正电荷，从左向右电势降低，则D错误；粒子由a点到b点，电场力做负功，电势能增加，动能减少，则C正确． 【答案】 C 考点四 [052] 电场中的功能关系 一、功能关系 1．若只有电场力做功，电势能与动能之和保持不变． 2．若只有电场力和重力做功，电势能、重力势能、动能之和保持不变． 3．除重力外，其他各力对物体做的功等于物体机械能的变化． 4．所有力对物体所做功的代数和，等于物体动能的变化． 二、电场力做功的计算方法 1．由公式W＝Flcos α计算，此公式只适用于匀强电场．可变形为：W＝qElcos α. 2．由W＝qU来计算，此公式适用于任何形式的静电场． 3．由动能定理来计算：W电场力＋W其他力＝ΔEk. 4．由电势能的变化来计算：WAB＝EpA－EpB. 图6－2－13 (多选)如图6－2－13所示，竖直向上的匀强电场中，绝缘轻质弹簧竖直立于水平地面上，上面放一质量为 m的带正电小球，小球与弹簧不连接，施加外力F将小球向下压至某位置静止．现撤去F，小球从静止开始运动到离开弹簧的过程中，重力、电场力对小球所做的功分别为W1和W2，小球离开弹簧时速度为v，不计空气阻力，则上述过程中( ) A．小球与弹簧组成的系统机械能守恒 B．小球的重力势能增加－W1 12 C．小球的机械能增加W1＋mv 2 D．小球的电势能减少W2 【解析】 本题考查势能大小和机械能守恒定律．由于电场力做正功，故小球与弹簧组成的系统机械能增加，机械能不守恒，故A选项错误；重力做功是重力势能变化的量度，由题意知重力做负功，重力势能增加，故B选项正确；小球增加的机械能在数值上等于弹簧的弹力和电场力所做的功，故C选项错误；根据电场力做功是电势能变化的量度，电场力做正功电势能减少，电场力做负功电势能增加，故D选项正确． 【答案】 BD 在解决电场中的能量问题时常用到的基本规律有动能定理、能量守恒定律，有时也会用到功能关系． (1)应用动能定理解决问题需研究合外力的功(或总功)． (2)应用能量守恒定律解决问题需注意电势能和其他形式能之间的转化． (3)应用功能关系解决该类问题需明确电场力做功与电势能变化之间的对应关系. 静电场中涉及图象问题的应对策略和技巧 一、图象的三种主要类型 (1)v－t图象；(2)φ－x图象；(3)E－t图象． 二、应对策略 1．v－t图象：根据v－t图象的速度变化、斜率变化(即加速度大小的变化)，确定电荷所受电场力的方向与电场力的大小变化情况，进而确定电场的方向、电势的高低及电势能的变化． 2．φ－x图象：(1)电场强度的大小等于φ－x图线的斜率大小，电场强度为零处，φ－x图线存在极值，其切线的斜率为零． (2)在φ－x图象中可以直接判断各点电势的大小，并可根据电势大小关系确定电场强度的方向． (3)在φ－x图象中分析电荷移动时电势能的变化，可用WAB＝qUAB，进而分析WAB的正负，然后作出判断． 3．E－t图象：根据题中给出的E－t图象，确定E的方向的正负，再在草纸上画出对应电场线的方向，根据E的大小变化，确定电场的强弱分布． ——————[1个示范例]—————— 空间有一沿x轴对称分布的电场，其电场强度E随x变化的图象如图6－2－14所示．下列说法正 确的是( ) 图6－2－14 A．O点的电势最低 B．x2点的电势最高 C．x1和－x1两点的电势相等 D．x1和x3两点的电势相等 【解析】 本题考查同种点电荷周围的电场分布特点和等势面情况．由E－x图象可知，该电场为等量同种点电荷连线的中垂线上的电场分布情况，按正向电场为正，负向电场为负可知此为两等量正点电荷产生的电场，O点的电势最高，A错；x2点的电势不是最高，B错；x1和－x1为连线的两个对称点，场强大小相等，电势相等，C对；x1、x3两点虽然场强相等，但不在同一等势面上，电势不等，D错． 【答案】 C ——————[1个方法练]—————— (2018·上海高考)两个等量异种点电荷位于x轴上，相对原点对称分布，正确描述电势φ随位置x变规律的是( ) 【解析】 等量异种电荷的电场线分布如图所示．正、负电荷在连线中点处产生的电势一正一负，故此处即坐标原点处的总电势为零，又顺电场线方向电势逐渐降低，因此，在坐标原点左侧，各点的电势都大于零；在坐标原点右侧，各点的电势都小于零，正电荷处电势最高，负电荷处电势最低，无穷远处的电势为零．因此，选项A正确． 【答案】 A ⊙考查等高与能量守恒 1. 图6－2－15 (2018·安徽模拟)如图6－2－15所示，虚线1、2、3、4为静电场中的等势面，相邻的等势面之间的电势差相等，其中等势面3的电势为零，一带正电的点电荷在静电力的作用下运动，经过a、b点时的动能分别为26 eV和5 eV.当这一点电荷运动到某一位置，其电势能变为－8 eV时，它的动能应为( ) A．8 eV B．13 eV C．20 eV D．34 eV 【解析】 由于正电荷由a到b动能减小了21 eV，而电场中机械能和电势能总和不变，故在等势面3的动能应为12 eV＋0＝12 eV.当在所求位置时，因为电势能为－8 eV，所以动能为12 eV－(－8 eV)＝20 eV，故C正确． 【答案】 C ⊙匀强电场中电势差与场强的关系 2．(2018·安徽高考)如图6－2－16所示，在xOy平面内有一个以O为圆心、半径R＝0.1 m的圆，P为圆周上的一点，O、P两点连线与x轴正方向的夹角为θ.若空间存在沿y轴负方向的匀强电场，场强大小E＝100 V/m，则O、P两点的电势差可表示为( ) 图6－2－16 A．UOP＝－10sin θ(V) B．UOP＝10sin θ(V) C．UOP＝－10cos θ(V) D．UOP＝10cos θ(V) 【解析】 根据“沿电场线方向，电势降低”可知，φO＜φP，UOP＜0；根据匀强电场中电势差和场强的关系U＝Ed可知，UOP＝－ERsin θ＝－10sin θ(V)，选项A正确． 【答案】 A ⊙等量异种点电荷电场、电势分布特点 3．(多选)(2018·山东高考)如图6－2－17所示，在两等量异种点电荷的电场中，MN为两电荷连线的中垂线，a、b、c三点所在直线平行于两电荷的连线，且a和c关于MN对称、b点位于MN上，d点位于两电荷的连线上．以下判断正确的是( ) 图6－2－17 A．b点场强大于d点场强 B．b点场强小于d点场强 C．a、b两点间的电势差等于b、c两点间的电势差 D．试探电荷＋q在a点的电势能小于在c点的电势能 【解析】 如图所示，两电荷连线的中点位置用O表示，在中垂线MN上，O点场强最大，在两电荷之间连线上，O点场强最小，即Eb ⊙带电粒子运动轨迹问题分析 图6－2－18 4．(2018·重庆高考)如图6－2－18所示，高速运动的α粒子被位于O点的重原子核散射，实线表示α粒子运动的轨迹，M、N和Q为轨迹上的三点，N点离核最近，Q点比M点离核更远，则( ) A．α粒子在M点的速率比在Q点的大 B．三点中，α粒子在N点的电势能最大 C．在重核产生的电场中，M点的电势比Q点的低 D．α粒子从M点运动到Q点，电场力对它做的总功为负功 【解析】 利用动能定理可判断α粒子的速率大小．由电势的高低可判断电势能的大小．重原子核带正电，离核越近，电势越高，选项C错误；同一正电荷电势越高，其电势能越大，选项B正确；带正电的α粒子在从M点到Q点的过程中，电场力做的总功为正功，据动能定理知，其速率增大，选项A、D错误． 【答案】 B ⊙电场力做功、电势能变化问题 5．(多选)(2018·广东高考) 图6－2－19 图6－2－19是某种静电矿料分选器的原理示意图，带电矿粉经漏斗落入水平匀强电场后，分落在收集板中央的两侧．对矿粉分离的过程，下列表述正确的有( ) A．带正电的矿粉落在右侧 B．电场力对矿粉做正功 C．带负电的矿粉电势能变大 D．带正电的矿粉电势能变小 【解析】 由题图可知，电场方向水平向左，带正电的矿粉所受电场力方向与电场方向相同，所以落在左侧；带负电的矿粉所受电场力方向与电场方向相反，所以落在右侧．选项A错误．无论矿粉所带电性如何，矿粉均向所受电场力方向偏转，电场力均做正功，选项B正确；电势能均变小，选项C错误，选项D正确． 【答案】 BD 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容