高中数学人教a版选修2-2(课时训练)：2.3 数学归纳法(一) word版含答案

[学习目标]

1．了解数学归纳法的原理．

2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． [知识链接]

an1．对于数列{an}，已知a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，求出数列前4项，你能得到什么猜想？

1＋an你的猜想一定是正确的吗？

1111

答 a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝.猜想数列的通项公式为an＝.不能保证猜想一定正确，需

234n要严密的证明．

2．多米诺骨牌都一一倒下只需满足哪几个条件？

答 (1)第一块骨牌倒下；(2)任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下．条件(2)事实上给出了一个递推关系，换言之就是假设第K块倒下，则相邻的第K＋1块也倒下． 3．类比问题2中的多米诺骨牌游戏的原理，想一想如何证明问题1中的猜想？

答 (1)当n＝1时，猜想成立；(2)若当n＝k时猜想成立，证明当n＝k＋1时猜想也成立． [预习导引] 1．数学归纳法

证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： ①(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；

②(归纳递推)假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立． 2．应用数学归纳法时注意几点：

(1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题． (2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可．

(3)步骤②的证明必须以“假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立”为条件．

要点一 正确判断命题从n＝k到n＝k＋1项的变化

111n＋

例1 已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，证明不等式f(2n)>时，f(2k1)比f(2k)多的项数是

23n2________． 答案 2k

解析 观察f(n)的表达式可知，右端分母是连续的正整数，

111111111

f(2k)＝1＋＋＋…＋k，而f(2k＋1)＝1＋＋＋…＋k＋k＋k＋…＋k. 2322322＋12＋22＋2k因此f(2k＋1)比f(2k)多了2k项．

规律方法 在书写f(k＋1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k＋1)中的最后一项．除此之外，多了哪些项，少了哪些项都要分析清楚．

111

跟踪演练1 设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于________．

233n－1答案

111

＋＋ 3n3n＋13n＋2

111

解析 ∵f(n)＝1＋＋＋…＋，

233n－1

111111

∴f(n＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋，

233n－13n3n＋13n＋2111

∴f(n＋1)－f(n)＝＋＋. 3n3n＋13n＋2要点二 证明与自然数n有关的等式

11111111

例2 已知n∈N*，证明：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋. 2342n2n－12nn＋1n＋2111

证明 (1)当n＝1时，左边＝1－＝，右边＝，

222等式成立；

(2)假设当n＝k(k≥1，且k∈N*)时等式成立，即： 11111

1－＋－＋…＋－ 2342k－12k＝

111＋＋…＋.

2kk＋1k＋2

则当n＝k＋1时，

111111

左边＝1－＋－＋…＋－＋ 2342k－12k2k＋1－1

－＝

1

2k＋1

11111＋＋…＋＋－

2k2k＋12k＋1k＋1k＋2

11111－1

＝＋＋…＋＋＋k＋12k＋1

2k2k＋1k＋2k＋3＝

111

＋＋…＋＋

k＋1＋1k＋1＋2k＋1＋k

1

＝右边；

2k＋1

所以当n＝k＋1时等式也成立． 由(1)(2)知对一切n∈N*等式都成立．

规律方法 (1)用数学归纳法证明命题时，两个步骤缺一不可，且书写必须规范；

(2)用数学归纳法证题时，要把n＝k时的命题当作条件，在证n＝k＋1命题成立时须用上假设．要注意当n＝k＋1时，等式两边的式子与n＝k时等式两边的式子的联系，弄清楚增加了哪些项，减少了哪些项，问题就会顺利解决． 跟踪演练2 用数学归纳法证明：

1111－12＝n＋1. 1－1－1－·当n≥2，n∈N*时，…·4916n2n

2＋1313

证明 (1)当n＝2时，左边＝1－＝，右边＝＝，∴n＝2时等式成立．

442×24(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时等式成立， k＋11111

1－1－1－…1－2＝即4916k2k， 那么当n＝k＋1时，

1k＋11k＋12－1k＋211111－1－1－…1－21－1－＝·＝ 2＝4916kk＋122kk＋12kk＋12k＋1k＋1＋1＝. 2k＋1

∴当n＝k＋1时，等式也成立．

根据(1)和(2)知，对任意n≥2，n∈N*，等式都成立． 要点三 证明与数列有关的问题

例3 某数列的第一项为1，并且对所有的自然数n≥2，数列的前n项之积为n2. (1)写出这个数列的前五项；

(2)写出这个数列的通项公式，并加以证明． 解 (1)已知a1＝1，由题意得a1·a2＝22， 32∴a2＝2，∵a1·a2·a3＝3，∴a3＝2. 2

2

2

4252

同理可得a4＝2，a5＝2. 34

91625

因此这个数列的前五项为1,4，，，. 4916

(2)观察这个数列的前五项，猜测数列的通项公式应为：

1 n＝1，a＝n

n≥2，n－1n

2

2

n2

下面用数学归纳法证明当n≥2时，an＝.

n－12222

①当n＝2时，a2＝2＝2， 2－1所以等式成立．

②假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时，结论成立， k2即ak＝，

k－12

则当n＝k＋1时，∵a1·a2·…·ak－1＝(k－1)2， ∴a1·a2·…·ak＋1＝(k＋1)2. ∴ak＋1＝

a1·a2·…·ak－1·ak

k＋12k－12k＋12

＝·＝， k－12[k＋1－1]2[k＋1－1]2所以当n＝k＋1时，结论也成立．

根据①②可知，当n≥2时，这个数列的通项公式是

k＋12

1 n＝1，n

a＝，∴a＝n

n≥2.n－1

n－12

n

2

n

2

2

规律方法 (1)数列{an}既不是等差数列，又不是等比数列，要求其通项公式，只能根据给出的递推式和初始值，分别计算出前几项，然后归纳猜想出通项公式an，并用数学归纳法加以证明．

(2)数学归纳法是重要的证明方法，常与其他知识结合，尤其是数学中的归纳，猜想并证明或与数列中的不等式问题相结合综合考查，证明中要灵活应用题目中的已知条件，充分考虑“假设”这一步的应用，不考虑假设而进行的证明不是数学归纳法． nn＋11

跟踪演练3 数列{an}满足：a1＝，前n项和Sn＝an，

62(1)写出a2，a3，a4；

(2)猜出an的表达式，并用数学归纳法证明． 2×2＋1

解 (1)令n＝2，得S2＝a2，

21

即a1＋a2＝3a2，解得a2＝.

123×3＋1

令n＝3，得S3＝a3，

21

即a1＋a2＋a3＝6a3，解得a3＝.

204×4＋1

令n＝4，得S4＝a4，

21

即a1＋a2＋a3＋a4＝10a4，解得a4＝. 30

1

(2)由(1)的结果猜想an＝，下面用数学归纳法给予证明：

n＋1n＋211

①当n＝1时，a1＝＝，结论成立．

61＋11＋2

1

②假设当n＝k(k∈N*)时，结论成立，即ak＝，

k＋1k＋2k·k＋1

则当n＝k＋1时，Sk＝ak，

2k＋1k＋2Sk＋1＝ak＋1，

2

① ②

k＋1k＋2k·k＋1

②与①相减得ak＋1＝ak＋1－ak，

22

k＋1k＋1111

整理得ak＋1＝ak＝·＝＝，

k＋3k＋3k＋1k＋2k＋2k＋3[k＋1＋1][k＋1＋2]即当n＝k＋1时结论也成立．

由①、②知对于n∈N*，上述结论都成立．

1．若命题A(n)(n∈N*)在n＝k(k∈N*)时命题成立，则有n＝k＋1时命题成立．现知命题对n＝n0(n0∈N*)时命题成立，则有( ) A．命题对所有正整数都成立

B．命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立

C．命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立 D．以上说法都不正确 答案 C

解析 由已知得n＝n0(n0∈N*)时命题成立，则有n＝n0＋1时命题成立；在n＝n0＋1时命题成立的前提下，又可推得n＝(n0＋1)＋1时命题也成立，依此类推，可知选C. 2．用数学归纳法证明“1＋a＋a＋…＋a所得项为( ) A．1＋a C．1＋a＋a2＋a3 答案 C

解析 将n＝1代入a2n＋1得a3，故选C.

3．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n1＝2n－1(n∈N*)的过程如下：

－

22n＋1

1－a2n2

＝(a≠1)”．在验证n＝1时，左端计算

1－a

＋

B．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3＋a4

(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．

(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k1＝2k－1，则当n＝k＋1时，1＋2

－

＋2＋…＋2

2k－1

1－2k1k＋1

＋2＝＝2－1.所以当n＝k＋1时等式也成立．由此可知对于任何n

1－2

＋

k

∈N*，等式都成立．上述证明的错误是________． 答案 未用归纳假设

解析 本题在由n＝k成立，证n＝k＋1成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用上假设条件，这与数学归纳法的要求不符．

111111111

4．当n∈N*时，Sn＝1－＋－＋…＋－，Tn＝＋＋＋…＋，

2342n2n－12nn＋1n＋2n＋3(1)求S1，S2，T1，T2；

(2)猜想Sn与Tn的关系，并用数学归纳法证明．

111111111

解 (1)∵当n∈N*时，Sn＝1－＋－＋…＋－，Tn＝＋＋＋…＋.

2342n2n－12nn＋1n＋2n＋3111117

∴S1＝1－＝，S2＝1－＋－＝，

222341211117

T1＝＝，T2＝＋＝. 1＋122＋12＋212

111111111(2)猜想Sn＝Tn(n∈N*)，即1－＋－＋…＋－＝＋＋＋…＋(n∈

2342n2n－12nn＋1n＋2n＋3N*)．

下面用数学归纳法证明： ①当n＝1时，已证S1＝T1，

②假设n＝k时，Sk＝Tk(k≥1，k∈N*)，

111111111

即1－＋－＋…＋－＝＋＋＋…＋，

2342k2k－12kk＋1k＋2k＋31111则Sk＋1＝Sk＋－＝Tk＋－ 2k＋12k＋12k＋12k＋1＝

111111＋＋＋…＋＋－

2k2k＋12k＋1k＋1k＋2k＋3

11111－1

＝＋＋…＋＋＋ 2k2k＋1k＋12k＋1k＋2k＋3＝

1111

＋＋…＋＋ k＋1＋1k＋1＋22k＋12k＋1

＝Tk＋1.

由①，②可知，对任意n∈N*，Sn＝Tn都成立．

在应用数学归纳法证题时应注意以下几点：

(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1；

(2)递推是关键：正确分析由n＝k到n＝k＋1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明

问题的保障；

(3)利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节，否则这样的证明就不是数学归纳法证明.

一、基础达标

1．某个命题与正整数有关，如果当n＝k(k∈N*)时，该命题成立，那么可推得n＝k＋1时，该命题也成立．现在已知当n＝5时，该命题成立，那么可推导出( ) A．当n＝6时命题不成立 立

C．当n＝4时命题不成立 立 答案 B

2．一个与正整数n有关的命题，当n＝2时命题成立，且由n＝k时命题成立可以推得n＝k＋2时命题也成立，则( )

A．该命题对于n>2的自然数n都成立 B．该命题对于所有的正偶数都成立 C．该命题何时成立与k取值无关 D．以上答案都不对 答案 B

解析 由n＝k时命题成立可以推出n＝k＋2时命题也成立．且n＝2，故对所有的正偶数都成立．

1

3．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步验证n等于( )

2A．1 C．3 答案 C

解析 因为是证凸n边形，所以应先验证三角形，故选C. 111

4．若f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，则n＝1时f(n)是( )

232n＋1A．1 11

C．1＋＋

23答案 C

1B． 3

D．以上答案均不正确 B．2 D．0

D．当n＝4时命题成B．当n＝6时命题成

5．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n1＝2n－1(n∈N*)的过程中，第二步假设当n＝k(k

－

∈N*)时等式成立，则当n＝k＋1时应得到________． 答案 1＋2＋22＋…＋2k1＋2k＝2k－1＋2k

－

解析 由n＝k到n＝k＋1等式的左边增加了一项．

111

6．已知f(n)＝＋＋…＋(n∈N*)，则f(k＋1)＝________.

n＋1n＋23n－11111

答案 f(k)＋＋＋－ 3k3k＋13k＋2k＋1

11112*

1－1－1－…1－7．用数学归纳法证明＝345n＋2n＋2(n∈N)． 1222

证明 (1)当n＝1时，左边＝1－＝，右边＝＝，等式成立．

331＋23(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立，即 121－11－11－1…1－＝345k＋2k＋2， 当n＝k＋1时，

112k＋221－121－11－11－1…1－1－·＝＝＝345k＋2k＋3k＋2k＋3k＋2k＋3k＋3＝2

，

k＋1＋2

所以当n＝k＋1时等式也成立．

由(1)(2)可知，对于任意n∈N*等式都成立． 二、能力提升

8．用数学归纳法证明等式(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈N*)，从k到k＋1左端需要增乘的代数式为( ) A．2k＋1 2k＋1C．

k＋1答案 B

解析 n＝k＋1时，左端为(k＋2)(k＋3)…[(k＋1)＋(k－1)]·[(k＋1)＋k]·(2k＋2)＝(k＋1)(k＋2)…(k＋k)·(2k＋1)·2，∴应增乘2(2k＋1)． 11119．已知f(n)＝＋＋＋…＋2，则( )

nn＋1n＋2n

B．2(2k＋1) 2k＋3

D．

k＋1

11

A．f(n)有n项，当n＝2时，f(2)＝＋

23111

B．f(n)有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋ 23411

C．f(n)有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝＋

23111

D．f(n)有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋

234答案 D

解析 观察分母的首项为n，最后一项为n2，公差为1， ∴项数为n2－n＋1.

10．以下用数学归纳法证明“2＋4＋…＋2n＝n2＋n(n∈N*)”的过程中的错误为________． 证明：假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即2＋4＋…＋2k＝k2＋k，那么2＋4＋…＋2k＋2(k＋1)＝k2＋k＋2(k＋1)＝(k＋1)2＋(k＋1)，即当n＝k＋1时等式也成立．因此对于任何n∈N*等式都成立．

答案 缺少步骤(1)，没有递推的基础 11．用数学归纳法证明：

－－nn＋112－22＋32－42＋…＋(－1)n1·n2＝(－1)n1·.

2

证明 (1)当n＝1时，左边＝1， 1×2

右边＝(－1)1－1×＝1，结论成立．

2(2)假设当n＝k时，结论成立． 即1－2＋3－4＋…＋(－1)

2

2

2

2

k－12

k＝(－1)

k－1

kk＋1·，

2

那么当n＝k＋1时，

12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＋(－1)k(k＋1)2 kk＋1

＝(－1)k－1·＋(－1)k(k＋1)2

2－k＋2k＋2

＝(－1)k·(k＋1) 2k＋1k＋2

＝(－1)k·

2

k＋1[k＋1＋1]

＝(－1)k＋1－1·. 2

即n＝k＋1时结论也成立．

由(1)(2)可知，对一切正整数n都有此结论成立．

12．已知数列{an}的第一项a1＝5且Sn－1＝an(n≥2，n∈N*)，Sn为数列{an}的前n项和． (1)求a2，a3，a4，并由此猜想an的表达式； (2)用数学归纳法证明{an}的通项公式． (1)解 a2＝S1＝a1＝5，a3＝S2＝a1＋a2＝10， a4＝S3＝a1＋a2＋a3＝5＋5＋10＝20，

5 n＝1

猜想an＝.

n－2*

5×2 n≥2，n∈N

(2)证明 ①当n＝2时，a2＝5×22－2＝5，公式成立． ②假设n＝k(k≥2，k∈N*)时成立， 即ak＝5×2k－2，

当n＝k＋1时，由已知条件和假设有 ak＋1＝Sk＝a1＋a2＋a3＋…＋ak ＝5＋5＋10＋…＋5×2k－2.

51－2k－1

＝5＋＝5×2k－1＝5×2(k＋1)－2.

1－2故n＝k＋1时公式也成立．

由①②可知，对n≥2，n∈N*，有an＝5×2n－2. 所以数列{an}的通项公式为

5 n＝1an＝. n－2*

5×2 n≥2，n∈N

三、探究与创新

13．已知数列{an}的前n项和Sn＝1－nan(n∈N*)． (1)计算a1，a2，a3，a4；

(2)猜想an的表达式，并用数学归纳法证明你的结论． 1111解 (1)计算得a1＝；a2＝；a3＝；a4＝.

261220

1

(2)猜想an＝.下面用数学归纳法证明：

nn＋1①当n＝1时，猜想显然成立．

1

②假设n＝k(k∈N*)时，猜想成立，即ak＝.

kk＋1那么，当n＝k＋1时，Sk＋1＝1－(k＋1)ak＋1， 即Sk＋ak＋1＝1－(k＋1)ak＋1. k

又Sk＝1－kak＝，

k＋1

k所以＋ak＋1＝1－(k＋1)ak＋1，

k＋1从而ak＋1＝

11

＝. k＋1k＋2k＋1[k＋1＋1]

即n＝k＋1时，猜想也成立．故由①和②可知，猜想成立