专题复习 三角函数
[名师导学] 内容剖析: 三角函数是中学数学的重要内容之一,它是解决生产、科研实际问题的工具,又是进一步学习其它相关知识和高等数学的基础,它在物理学、天文学、测量学以及其它各种应用技术学科中有广泛的应用.现在的试验修订本教材主要内容有:任意角的三角函数、两角和与差的三角函数、三角函数的图象和性质以及三角函数知识在解斜三角形中的应用.
重点难点:重点是:(1)三角函数的概念;(2)同角三角函数的基本关系式、诱导公式、两角和（差）、二倍角公式的推导及其在化简、求值、证明和解决一些实际问题中的应用;(3)正弦函数的图象和性质;(4)正弦定理与余弦定理在解斜三角形以及一些实际问题中的应用.
难点是众多的三角公式及其在三角恒等变形中应用,函数y=Asin(ωx+φ)的图象,三角函数问题与其它数学知识之间的联系与相互转化.
突破难点的关键在于:(1)对学过的公式做到真正理解,记准、记熟、用活,做到需要公式时顺手拈来;(2)深刻理解与掌握函数的基础理论,再结合三角函数本身的特点,准确理解和掌握三角函数的有关概念;(3)注意化归思想,数形结合思想以及变换思想在解题中的运用.
查.主要考查三角函数图象的平移变换、伸缩变换.能够根据三角函数的解析式画出简图,根据图象写出解析式.高考中有关三角函数的单调性、周期性、最值问题以及解简单三角不等式问题大多可以与图象联系起来.由于三角函数线与三角函数图象一样,是三角函数的一种几何表示，因此也要注意三角函数线在解决高考中有关比较三角函数值大小和解简单三角不等式问题中的独到作用.(2)与三角函数的单调性、周期性、最值有关的问题以及与三角函数的求值有关的问题,通常都需要先对三角式进行适当的三角恒等变形,达到“化一”标准(即一个名,一个角,对于周期性问题还意味着一次方),(3)有关三角恒等变形的试题以能力立意,重视三角公式的选取与合理运用.(4)三角形中的三角函数问题的解决不仅需要熟练的三角变形能力,还需要应用三角形内的正弦定理、余弦定理以及三角形内角和定理等,因此有一定的难度.
3.命题趋势:近几年高考降低了对三角变换的考查要求,抛弃了对复杂三角变换和特殊技巧的考查,而重点转移到对三角函数的图象和性质的考查以及对基础知识和基本技能的考查上来,加强了对数形结合思想的考查,对三角函数的综合问题考查有向三角形中问题伸展的趋势. 2004年作为全国大面积使用新教材的学生参加高考的第二年,高考命题一定会顺应新教材的基本精神,在考查难度上有所降低,考查题目将以选择题与填空题形式出现,但也有可能出现解法较简单的解答题.
4.应试策略:(1)立足课本、夯实基础,在基本概念,基本公式,三角函数的基本性质的应用和基本计算、基本推理问题上下功夫,重在掌握通解通法,对过于复杂的三角变换和需要特殊技巧才能解决的题目要少做.(2)注意突出方法与思维训练、注意数学思想的渗透以及与数学其它分支的综合训练,提高分析和解决一些实际问题的能力.
［命题趋势］ 1.高考纵览:纵观近十年来的全国高考试题,三角函数
部分的分值约占全卷分值的16％,其中三角函数的解答题出现的机率为50％,其余多为选择题与填空题.
2.热点分析:高考中有关本章的热点问题大致有以下
几种:(1)与三角函数图象有关的问题;(2)与三角函数的单调性有关的问题;(3)与三角函数的周期性有关的问题;(4)与三角函数的最值有关的问题;(5)与三角函数求值有关的问题;(6)与三角形有关的三角函数问题.高考中对本章的考查体现以下一些特点:(1)高考中重视对三角函数图象的考
考点28 三角函数的定义
[考点聚焦]
1.理解任意角的概念、弧度的意义,能正确进行弧度与角度的换算.
2.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义,了解任意角余切、正割、余割的定义.
3.会利用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦和正切.
A.第一、二象限 C.第一、四象限
B.第一、三象限 D.第二、四象限
1.(2001.全国.理)若sinθcosθ>0,则θ在 (B)
2.(2000.全国.文理)已知sinα>sinβ,那么下列命题成立的是 (D)
A.若α、β是第一象限的角,则cosα>cosβ B.若α、β是第二象限的角,则tanα>tanβ
[知识回顾]
C.若α、β是第三象限的角,则cosα>cosβ ∴2α是第三或第四象限角或终边在y轴的非正半轴上, D.若α、β是第四象限的角,则tanα>tanβ 3.(2018.全国.春招)若角α满足
sin2α<0,cosα-sinα<0则α在 (B) A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
4.(1994.全国.文理)设θ是第二象限角,则必有 (A) A.tanθθθ2 >cotθ2 B.tan2 θθ2 2,则的tanα 、sinα、α大小关系是sinα<α 例1.已知是第四象限的角,求 2、3、2α、-α、180-α、180+α角的终边所在象限(或所在坐标轴) 解:∵α是第四象限角, ∴k3600 +2700 <α , k∈Z (1)k1800 +1350 < 2 +900 < 3 +900 <00 3 +2100 <3 当k=3n+2,n∈Z 时,n3600 +3300 <3 3是第二或第三或第四象限角 (3)k7200 +5400 <2α ,k∈Z (4)-k3600 -3600 <-α<-k3600 -2700 ,k∈Z ∴-α是第一象限角, (5)-k3600 -1800 <1800 -α<-k3600 -900 ,k∈Z ∴180-α是第三象限角, (6)k3600 +4500 <1800 +α , k∈Z ∴180+α是第二象限角, (4)(5)(6)另解:α是第四象限角,-α的终边与的α终边关于x轴对称,∴-α是第一象限角. 而180-的终边与α的终边关于y轴对称, ∴180-是第三象限角, 又180+α的终边与α的终边关于原点对称(或说互为反向延长线),∴180+α是第二象限角. 例2.若θ终边与y=-2|x|的图象重合,求θ的各个三角函数值. 解:由已知可得,θ的终边是射线y=-2x(x≥0)或y=2x(x≤0) (1)若θ的终边为射线y=-2x(x≥0),在终边上取点P(1，-2),得 OP=12(2)2=5,∴sinθ=2255=- 5, cosθ=15= 52115,tan θ=1=-2,cotθ=2=-2, secθ= 51=5,cscθ=52=-52. (2)若θ的终边为射线y=2x(x≤0),在终边上取点P(-1,-2),得OP=(1)2(2)2=5, ∴sinθ=2255=- 15, cosθ=55=-5 tan θ=21=2, cotθ=12=12, secθ= 51=-5,cscθ=552=-2. 例3.圆心在原点,半径为R的圆交轴正半轴于点A,P、Q是 圆上两个动点,它们同时从A点出发沿圆周作匀速运动,点P逆时针方向每秒转 3,点Q顺时针方向每秒转6,试求它们出发的第五次相遇时的位置及各自走过的弧长. 解:易知,动点P、Q由第k次相遇到第k+1次相遇所走过的弧长之和恰好等于圆的一个周长2πR,因此,当它们第5次相遇时走过的弧长之和为10πR. 设动点P、Q自A出发到第5次相遇走过的时间为秒, 走过的弧长分别为l、m,则 l= 3tR, m=|-6|tR=6tR, 则l+m= 3tR+6tR=10πR, 10R ∴t=(=20(秒3) 6)∴l= 20R3,m=10R3. 由些可知,动点P转过的角度为203=6π+23,设第5次 相遇在M点处,点M的坐标为(-12R,32R),这时点P、Q走过的弧长分别是 20R10R3和3. [归纳总结] 1.有关任意角的概念,要注意以下问题:(1)区分终边相同的角和相等的角;(2)区分象限角、轴线角与区间角;(3)熟悉与角α共终边的角的集合{β|β=2kπ+α,k∈Z},与角α的终边在同一直线上的角的集合{β|β=kπ+α,k∈Z},与角α的终边在同一直线上或与角α的终边垂直的角的集合{β|β= k2+α,k∈Z}. 2.已知角α所在象限,应熟悉 2所在象限. α 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 2 第一或第三象限 第二或第四象限 3.注意角度与弧度的换算,掌握弧长公式与扇形面积公式. 4.重视三角函数线在比较三角函数值大小及解简单三角不等式等方面的应用. [应用创新] 1.已知一个扇形的周长为c,当扇形的半径和中心角分别多大时,扇形面积最大? 解:设扇形的弧长为l,半径为r,则有l+2r=c,即l=c-2r(0 当r= c4时,Sc2max=16. c此时,l=c-2r=c2,故圆心角α=2c=2(弧度). 42.求函数y=logtanx(1-2sinx)的定义域 tanx0tanx0(1)解:据题意,有tanx1 即tanx1(2)12sin2x0 sin2x12(3)由(1)和(2)得,x在第一、三象限且x终边不在一、三象限角平分线上, 故有x∈(kπ,kπ+ 4)∪((kπ+4,kπ+2),k∈Z(4) 利用单位圆中的正弦线解(3)得2kπ-76<2x<2kπ+6,k∈Z. ∴kπ- 712 1.若α为第一象限角,那么sin2α、cos2α、sin2、cos 2中必为正值的有 (B) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 2.设角的终边经过点P(-6a,-8a)(a≠0),则sinα-cosα= (D) A. 115 B. -5 C.- 15或-75 D. - 115或5 3.把114表示成2kπ+θ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的的值是 (A) A.334 B.4 C. 4 D. 4 4.若扇形半径是r,中心角是α(弧度),则其面积是(A) A.C. 12 rα 21rα 2 B. 122 rα 21rα22 ∴ 2 ∴1 取值范围是 (B) A.[0,C.[ 129.求函数y=lg(3-4sinx)+9x2的定义域. 2 ] 6 B.[ 5,] 665,π] 633234sinx0sinx(1)解:由题意知即2 229x03x3(2)由单位圆中的正弦线得(1)的解集为 (2kπ- 2,] 63 D.[ 24,2kπ+)∪(2kπ+,2kπ+),k∈Z. 33336.若θ是第二象限角,则sin(cosθ)cos(sinθ)符号为负 (填正或负) 7.已知集合A={α|α=2kπ±|β=4kπ± 2,k∈Z},B={β3又由数轴求(1)与(2)的交集得所求函数的定义域是[-3, -22)∪(-,)∪(,3]. 333310.动点P、Q从点A(1,0)同时出发沿单位圆逆时针匀速旋转,P点每秒转过α角,Q点每秒转过β角(其中0<α<β<π),如果P、Q两点都在第14秒时回到A点,并且在第2秒时位于第二象限,求α和β的值以及点P在第3秒时经过的路程. 解:由已知可知14α,14β均为2π的整数倍,故可设 14α=2mπ,14β=2nπ (m,n∈Z). 22,k∈Z},A={γ|γ=kπ±,k∈Z},则33这三个集合之间的关系是BAC. 8.已知θ为锐角，试证明1 yx2y2+ xx2y2= xyx2y2(xy)2== x2y2从而α= mn,β=, 77又P、Q在第2秒时位于第二象限，从而有2α,2β在第二象限, 又∵0<α<β<π,∴0<2α<2β<2π, ∴∴ 2(xy). x2y22∵ (xy2≥0,∴sinθ+cosθ≤2 x2y22xy2xy, 且>0 x2y2x2y2<2α<2β<π,∴<α<β<, 242mn77<<<, ∴ 又m,n∈Z,∴ m=2, n=3,∴α= 综上，得1 3<θ+<, 444考点29 同角三角函数的关系、诱导公式 [考点聚焦] 1.掌握同角三角函数的基本关系式：sinα+cosα=1, sin=tanα,tanαcotα=1. cos02 2 α,180±α,360-α,90-α的正弦、余弦的诱导公式. 3.灵活运用上述公式进行三角函数的求值、化简、三角恒等式的证明. 4.了解同角三角函数的基本关系式中的其它关系式和其它诱导公式. 000 2.掌握正弦、余弦的诱导公式：α+k360(k∈Z), - [知识回顾] 1.(2001.全国.文)tan3000 +sin4500 的值为 (B) A.1+3 B.1-3 C.-1-3 D.-1+3 2.(1991.全国.文理)已知sinα= 45,并且α是第二象限角,那么tanα的值等于 (A) A.- 43 B.- 34 C. 34 D. 43 3.(1986.广东）若β∈[0,2π),且 1cos2+1sin2=sinβ-cosβ， 则的β取值范围是 (B) A.[0, 2) B.[2,π] C.[π, 332] D.[ 2,2] 4.已知f(cosx)=cos4x，则f(sin300 )的值为 (B) A.12 B.-132 C. 32 D.- 2 5.（2018.上海）已知f(x)=1x1x若α∈(2,π),则 f(cosα)+f(-cosα)= 2sin. 6.(1994.全国.文理)已知sinθ+cosθ=15,θ∈(0,π)则cotθ的值是43. [典例剖析] 例1.已知=sin[(k1)]cos[(k1)]3sin(k)=5,k∈Z.求 tanθ+cotθ的值. 解:1.若k=2n(n∈Z),则有 sin[(k1)]cos[(k1)]sin(k)= sin(2n)cos(2n)sin(2n)=sin()cos()sin (sin)(cos)sin=-cosθ=35, ∴cosθ=- 35<0, 则θ是第二或第三象限的角. (1)若θ是第二象限角,则sinθ=1cos2= 45. ∴tanθ=sin4coscos=-3,cotθ=sin=-34,∴tanθ+cotθ=- 43-34=-2512 (2)若θ是第三象限角,则sinθ=-45. ∴tanθ= 43,cotθ=34,∴tanθ+cotθ=43+3254=12. 2.若k=2n+1(n∈Z),则有 = sin[(k1)]cos[(k1)]sin(k)= sin[(2n2)]cos[(2n2)]sincossin(2n)=sin=cosθ= 35 ∴cosθ= 35>0, 则θ是第一或第四象限的角. (1)若θ是第一象限角,则sinθ=1cos2=45. ∴tanθ= 43,cotθ=34,∴tanθ+cotθ=43253+4=12. (2)若θ是第四象限角,则sinθ=-1cos2=-45. ∴tanθ=-43,cotθ=-34,∴tanθ+cotθ=- 43-34=-2512. 例2.设α是第三象限角,问是否存在这样的实数m,使得sinα、cosα是关于x的方程8x2 +6mx+2m+1=0的两个根?若存在,求出实数m;若不存在,说明理由. 解：设存在满足条件的实数m,由题设得36m-32(2m+1)≥0 ①,sinα+cosα=-3m4<0 ②,sinαcosα= 2m18>0 ③. 由于sin2 α+cos2 α=1,∴(sinα+cosα)2 -2sinαcosα=1 将②、③代入上式，得(-3m4)2-2∙2m18=1 即9m2-8m-20=0，得m101=2, m2=- 9 由于m1=2不满足条件①，舍去. 又m2=- 109不满足条件②,舍去. 故满足条件的实数m不存在. 例3.已知 1tan+1cot=52. 求2sin 2 (3π-α)-3cos(2+α)sin(32-α)+2的值. 解:由已知得, 1tan+tanα=52. 即2tan2 α-5tanα+2=0 解得tanα= 12或tanα=2. 故2sin2 (3π-α)-3cos( 2+α)sin(32-α)+2 =2sin2 α-3sinαcosα+2 =cos2 α(2tan2 α-3tanα)+2 =11tan2( 2tan 2 α-3tanα)+2 = 1122(2·2 2 -3·2)+2=125. 1或原式= 1(11162[2·() 2-3·]+2=. 2)225[归纳总结] 1.同角三角函数的基本关系式包括:(1)平方关系,(2)商数关系,(3)倒数关系.需注意的是:①这是一组同角关系式,②利用平方关系式进行开方运算时,需注意运算结果的正负符号,③计算中应尽可能少用平方关系式. 2.应用同角关系式的两点技巧:(1)\"1\"的代换:1=sin2 α+cos2 α=tanαcotα,(2)整体代换:为了计算或化简需要可将计算式作适当变形,使得所给条件可整体代入. 3.了解其它同角关系式对于提高解题的灵活性会有帮助:tan2 α+1=sec2 α,cot2 α+1=csc2 α cossin=cotα,secαcosα=1,cscαsinα=1. 4.应用诱导公式的重点是对\"函数名称\"与\"正负号\"的正确判断,对于诱导公式:\"2kπ+α(k∈Z),-α,π±α,2π-α\一般常用\"函数名不变,符号看象限\"的口诀,对于诱导公式:\" 32±α, 2±α\一般常用\"函数名改变,符号看象限\"的口诀. [应用创新] 1.若由f(cosx)=coskx可以推出f(sinx)=sinkx,求整数k应满足的条件. 解:f(sinx)=f[cos( 2-x)]=cos[k(2-x)] coskx(k4n,nZ)=cos(ksinkx(k4n1,nZ)2-kx)=coskx(k4n2,nZ) sinkx(k4n3,nZ)∴当k=4n+1,n∈Z时,由f(cosx)=coskx可以推出f(sinx)=sinkx. 2.已知sin(π-α)-cos(π+α)= 23(2<α<π) 求值:(1)sinα-cos α, (2)sin3 (2-α)+cos3(2+α) 解:(1)由已知得sinα+cosα=23 两边平方,得1+2sinαcosα=29, ∴sinαcosα=- 718.∵2<α<π, ∴sinα-cos α=(sincos)24sincos =(23)24(718)=43. (2)sin3 ( 2-α)+cos3(33 2+α)=cosα-sinα =(cosα-sinα)(cos2 α+cosαsinα+sin2 α) =(cosα-sinα)(1+cosαsinα)=- 417223(1-8)=-27. [考点训练] 1.已知f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx-β),其中α、β、a、b均为非零实数,若f(2000)=-1,,则f(2001)等于(C) A.-1 B.0 C.1 D.2 2.若 cos+sin1tan21cot2=-1,则θ在 (C) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.设cos1000 =k,则tan800 等于 (B) A.1k222kk B.-1kk C.±1kk D.±1k2 4.已知α∈( 2,32),tan(α-7π)=-34 ,则sinα+cosα等于 (C) 1A.± 511 B. C.- 553D.- 51=n则lgsinA 1cosA1sin6cos69.化简 1sin4cos4解:原式 5.已知A为锐角,lg(1+cosA)=m,lg为 (D) 1(sin2cos2)(sin4sin2cos2cos4)= 1[(sin2cos2)22sin2cos2]1[(sin2cos2)23sin2cos2]= 1(12sin2cos2)= 1111A.m+ B.m-n C.(m+) D.(m-n) nn226.已知tanθ=- 1sin22sincoscos2,则的值为24cos23sin213sin2cos23=. 2sin2cos221. 1812sin100cos100cos35001cos2170010.已知cosα=m (-1≤m≤1),求sinα、tanα的值. 解:(1)当m=0时,角α的终边在y轴上. 若角α终边在y轴非负半轴上,则sinα=1,tanα不存在. =1. 若角α的终边在y轴非正半轴上,则sinα=-1,tanα不存在. (2)当m=±1时,角α的终边在x轴上,则sinα=0,tanα=0. (3)当-1 2sinsinα=1cos2=1m2, tanα==1m. cosm7.化简 8.若f(n)=sin( n+α),求证: 4f(n)f(n+4)+f(n+2)f(n+6)=-1. 证明:f(n)f(n+4)+f(n+2)f(n+6) =sin( nn4n2+α)+sin(+α)sin(+α)sin(444n6nnn+α)=sin(+α)sin(+π+α)+sin(+4444若α是第三或第四象限角时, sinα=-1cos2=-1m2, tanα= 2sin=-1m. cosmn3nn+α)sin(++α)=sin(+α)[-sin(+22444α)]+cos(os( 2 nnn2 +α)[-cos(+α)]=-sin(+α)-c444n+α)=-1. 4 考点30 和角公式、二倍角公式 [考点聚焦] 1.掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式. 2.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式. 3.能正确运用上述公式进行三角函数的化简、求值和三角恒等式的证明. sinθ+cosθ=A. 4 4 5,那么sin2θ等于 (A) 9222222 B.- C. D.- 33331的最大 2sinxcosx[知识回顾] 1.(1993.全国.文理)在直角三角形中,两锐角为A和B,则sinA∙sinB为 (B) A.有最大值 3.(2000.北京安徽.春招)函数y= 值是 (B) A. 11和最小值0 B.有最大值,但无最小值 222222-1 B. +1 C.1- D.-1- 22224.(2000.北京安徽.春招)设α、β是一个钝角三角形的两个锐角,下列四个不等式中不正确的是 (D) A.tanαtanβ<1 B.sinα+sinβ<2 C.既无最大值,也无最小值 D.有最大值1,但无最小值 2.(1995.全国.文理)已知θ是第三象限角,且 C.cosα+cosβ>1 D. 12tan(α+β) +tan400 +3tan200 tan400 的值是3. 6.(2018.全国.河南)已知sinα=cos2α,α∈(2,π),则tanα=33. [典例剖析] 例1.(2018.全国.理)已知sin2 2α+sin2αcosα-cos2α=1,α∈(0, 2),求sinα,tanα的值. 解:∵sin2 2α+sin2αcosα-cos2α=1, ∴4sin2 αcos2 α+2sinαcos2 α=2cos2 α, ∴cos2 α(2sin2 α+sinα-1)=0 ∴cos2α(sinα+1)(2sinα-1)=0, 又α∈(0,2),∴cos2 α>0,sinα+1>0, ∴sinα= 12,α=6.∴tanα=tan36=3. 例2.(1992.全国.理)已知 2<β<α<3124,cos(α-β)=13, sin(α+β)=-35,求sin2α的值. 解:∵2<β<α<34,∴0<α-β<4,π<α+β<32, ∴sin(α-β)= 513,cos(α+β)=-45, ∴sin2α=sin[(α-β)+(α+β)] =sin(α-β)cos(α+β)+cos(α-β)sin(α+β) = 513(-45)+1213(-35)=-5665. 例3.是否存在锐角α和β,使α+2β=23 ①,tanβ=(2-3)cot 2 ②同时成立?若存在,求出α和β的值,若不存在,请说明理由. 解:假设存在满足条件的α和β,则由①式得 tantan2+β=23, ∴tan(2+β)==3 ③ 1tan2tan 又由②式得,tan 2tanβ=2-3 ④ 将④式代入③式,得tan2+tanβ=3-3. ∴tan 2,tanβ是方程x2 -(3-3)x+(2-3)=0的两个根,解得x1=1, x2=2-3.∵0< 2<4,∴tan2≠1, 2tan∴tan 2=2-3,tanβ=1,∴tanα= 2=3. 1tan232又∵α、β是锐角,∴α=6,β=4. ∴存在α=6,β=4满足题中条件. 例4.求 tan200 +2tan500 -tan700 +sin37.50 cos37.50 +cos2 37.50 的值. 解:原式=tan200 +2tan500 -cot200 +12sin750 +12 (1+cos750 )= sin200cos200-cos200sin200+2tan500 +12 (sin750 +cos750 )+ 12 =sin2200cos2200sin200cos200+2tan500+22(cos450sin750+sin450cos750 )+ 12=-2∙cos400sin400+2tan500 +200 2sin(75+45)+ 12=-2cot400+2cot400+20 122sin120+2=2∙312+2= 624. [归纳总结] 1.在运用两角和、两角差、二倍角的相关公式时,应注意灵活选择公式的应用方向:(1)正用:公式从左到右的应用;(2)逆用:公式从右到左的应用;(3)变用:公式变形后的应用,比如tan(α+β)= tantan1tantan变形成tanα +tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ),二倍角余弦公式cos2α=2cos2 α-1=1-2sin2 α变形成降次公式cos2 α= 1cos21cos2,sin2 α=22或升次公式1+cos2α=2cos2 α,1-cos2α=2sin2 α. 2.重视角的变换:(1)凑角:如α=(α+β)-β,2α=(α+β)+(α-β)等;(2)引入辅助角:如asinα+bcosα=a2b2(aa2b2sinα+ ba2b2cosα),令 cosφ= a,sinφ= ba2b2a2b2,则asinα+bcosα =a2b2(sinαcosφ+cosαsinφ)= a2b2sin(α+φ),其中φ即为辅助角. 3.重视三角函数名的变换:如切化弦、弦化切等. [应用创新] 1.(1)若cosα+cosβ=112,sinα+sinβ=3,求cos(α-β)的值. (2)若sin(α+β)= 12,sin(α-β)= 13,求tantan的值. 解:(1)∵cosα+cosβ= 12,sinα+sinβ=13, ∴(cosα+cosβ)2 +(sinα+sinβ)2 =2+2(cosαcosβ+sinαsinβ) =2+2cos(α-β)= 14+19=1336.∴cos(α-β)=-5972 (2)∵sin(α+β)= 12,sin(α-β)= 13, ∴sinαcosβ+cosαsinβ=12, sinαcosβ-cosαsinβ=13, ∴sinαcosβ=5112, cosαsinβ=12, ∴ tansincostan=cossin=5. 2.(1)已知A+B= 4,求证:(1+tanA)(1+tanB)=2. (2)化简:(1+tan10 )(1+tan20 )∙∙∙(1+tan440 )(1+tan450 ) (1)证明:∵A+B=4,∴tan(A+B)= tanAtanB1tanAtanB =tan 4=1,∴tanA+tanB=1-tanAtanB, ∴(1+tanA)(1+tanB)=1+tanA+tanB+tanAtanB =1+1-tanAtanB+tanAtanB=2. (2)解:由(1)的结论得,原式 =[(1+tan10 )(1+tan440 )][(1+tan20 )(1+tan430 )]…[(1+t an220 )(1+tan230 )](1+tan450 )=222 (1+1)=223 . [考点训练] 1.若P= 111322212cos2 (2<α<2π),则化简P可得 (A) A.-cos 2 B.cos2 C.-sin2 D.sin2 2.要使sinα-3cosα= 4m64m有意义,则实数m的取值范围是 (D) A.m≤ 73 B.m≥-1 C.m≤-1或m≥773 D.-1≤m≤3 3.已知tan(α+β)=25,tan(β-4)=14,那么tan(α + 4)的值是 (B) A. 1318 B.31322 C.22 D.318 4.sin70cos150sin80cos70sin150sin80的值等于 (C) A.2+3 B. 232 C.2-3 D.232 5.设a=sin140 +cos140 , b=sin160 +cos160 ,c= 62,则a、b、c的大小关系是 (B) A.a 13sin100-cos100=4. 8.化简:sin2 αsin2 β+cos2 αcos2 β-12cos2αcos2β. 解:原式=1cos21cos21cos21cos2∙2+2∙22 - 11cos2cos2cos22cos2αcos2β=cos24+ 1cos2cos2cos2cos24-12cos2αcos2β = 12+12cos2αcos2β-112cos2αcos2β=2. 457sin2x2sin2x9.若cos(-x)=-, 64+100+160(sinαcosβ+cosαsinβ)=100, ∴sin(α+β)=- 22 值. 2sinxcosx2sin2x2sinxcosx(cosxsinx)解:原式== sinx1cosxsinxcosx2. 5sin2x(cosxsinx)1tanx==sin2x∙=sin2xtan(-x) 4cosxsinx1tanx又由已知得,10cosβ=5-8sinα,10sinβ=53-8cosα, ∴(10cos β)+(10sinβ)=(5-8sinα)+(53-8cosα), 即100=25-80sinα+64sinα+75-803cosα+64cosα ∴80(sinα+3cosα)=64,∴160( 13sinα+cosα)=64, 222 2 2 2 2 2 而sin2x=cos(=2cos(∴-2 -2x)=cos2(-x) 42757-x)-1=.又∵ 故sin( 2+α)=,∴sin(α+β)=-sin(+α). 335+α). 3 考点31 半角公式与和积互化公式 [考点聚焦] 1.能正确运用两角和、两角差、二倍角公式引出积化和差、和差化积、半角公式,但不要求记忆. 2.会运用半角公式与和积互化公式进行三角函数式的求值、化简以及三角恒等式的证明. 3.已知sin2θ=a,cos2θ=b,则tan(θ+A. )的值是 (C) 4ba1a1b B. C. D. 1a1bba[知识回顾] 1.(1996.全国.文)已知α是第三象限角,并且sinα=-则tanA. 24,254.已知α∈(π,2π),则A.sin 1cos()= (D) 2 B.cos C.-sin D.-cos 22223)cosx的最小值是. 46= (D) 25.(1995.全国.理)函数y=sin(x- 4334 B. C.- D.- 3443cos3xcosx进行讨论,得出四个结论:① cosxsin2xsin(2x3))6.(1994.上海.理)函数y= cos2xcos(2x的最小正周 32.对函数f(x)= f(x)>-4;②f(x)<0;③f(x)的最小值是-4;④f(x)最大值是0. 其中正确的是 (B) A.①和② B.①和④ C.②和③ D.③和④ 期是 . 2[典例剖析] 例1.已知sinx+cosx=- 1(0 =(-15)2=12425.故sin2x=-25, 又∵0 =(-15)2=11225,故sinxcosx=-25, 故sinx与cosx是方程25x2 +5x-12=0的两根, 解得,x31=5,x42=-5,又由0 3435,cosx=-5,∴tanx=-4. 例2.求sin2 200 +cos2 800 +3sin200 cos800 的值. 解:原式=1cos4001cos160000 2+2+3sin20cos80 =1+12(cos1600-cos400)+ 32(sin1000-sin600 ) =1-sin1000sin600 + 332sin1000 -4 =130314-2sin100+2sin1000 =4. 例3.(1996.全国. 文理)已知△ABC的三个内角A、B、C满足:A+C=2B, 11AcosA+cosC=-2cosB求cosC2的值. 解:∵A+B+C=π,且A+C=2B,∴B= 23,A+C=3, ∴原式可化为cosA+cosC=-22cosAcosC, 2cosAC2cosAC2=-2[cos(A+C)+cos(A-C)], 由于A+C=2AC23,代入上式得,cos2=2-2cos(A-C), cos AC2=22AC2-22cos2+2, 化简得22cos2 ACAC32+cos2-22=0 解得cosAC2=2AC322,或cos2=-4(舍去) ∴cos AC2的值为22. [归纳总结] 1半角公式有: sin 1cos12=±2,cos2=±cos2,tan2=±1cos1sin1cos=cossin=1cos,半角公式的主要作用是实现三角函数式的升幂与降幂的转化,同时可以完成角的形式的转化,需要注意:(1)倍角与半角的相对性;(2)半角公式右边根号前正负符号是由2所在象限决定,若显含条件不足以确定2所在象限,则应挖掘隐含条件,若所有条件都不能确定 2所在象限,则应保留根号前的正负号.这一点可与同角关系式中的平方关系式的应用加以对照. 2.和差化积与积化和差公式的主要作用是实现运算结构的转化,要注意同为正弦或同为余弦方可和差化积,否则要转化为同名三角函数方可应用和差化积公式. [应用创新] 1.求tan200 +4sin200 的值. 解法一:tan200 +4sin200 =sin2000 cos200+4sin20= sin2004sin200cos200sin2002sin400cos200=cos200 sin2002sin(600200=)cos200= sin2002sin600cos2002cos600sin200cos200 0= 2sin60cos200cos200=3. 0解法二:tan200 +4sin200 = sin2004sin20cos200cos200 sin2002sin400(sin200sin400)sin400=cos200=cos200 2sin300cos100sin400cos100sin400=cos200=cos200 = sin800sin4002sin600cos200cos200=cos200=2sin600 =3. 2.(1994.全国.理)已知函数f(x)=tanx,x∈(0,2), x1,x2∈(0, ), x1xx1≠x2,证明:[f(x1)+f(x2)]>f(12222). 证明:tan xsinx11+tanx2=cosx+sinx2 1cosx2 =sinx1cosx2cosx1sinx2cosx=sin(x1x2) 1cosx2cosx1cosx2= 2sin(x1x2)cos(xx. 12)cos(x1x2)∵x,x2∈(0, 2),x1≠x2,∴2sin(x1+x2)>0,cosx1cosx2>0, 且0 2sin(x1cos(x, 1x2)∴1(tan xxx1+tanx2)>tan1222, 即12[f(xxx1)+f(x2)]>f(122). [考点训练] 1.函数f(x)=2sinx2sin(3-x2)的最大值是 (A) A. 12 B.32 C.-132 D.-2 2.sin(x+y)=sinx+siny的充要条件是 (D) A.x=-y B.x=y=kπ(k∈Z) C.x=2kπ或y=2kπ(k∈Z) D.x=2kπ或y=2kπ或x+y=2kπ(k∈Z) 3.已知α∈(π,2π)且sin( 32+α)=45,则tan2等于 (A) A.-3 B.2 C.-2 D.3 4.下列各式中,值为 12的是 (D) A.sin150cos150 B.2cos2 12- 1 C. 1cos300tan22.502 D.1tan22.50 5.已知α、β以及α+β均为锐角,x=sin(α+β),y=sinα+sinβ,z=cosα+cosβ那么x、y、z的大小关系是 (A) A.x 7.若α+β=1200,则y=cos2α+cos2 β的最大值是32. 8.求证:(1)cos 7-cos27+cos317=2; (2)cos480 +cos24-0 -cos120 -cos840 = 12. 2sin证明:(1)左边= 7(cos+cos3+cos52sin777) 71= 2sin(sin 2477+sin7-sin27+sin67-sin47) 1=6112sinsin=sin=. 772sin772(2)左边=(cos480 -cos120 )+(cos240 -cos840 ) =-2sin300 sin180 +2sin540 sin300 =-sin180 +sin540 =2cos360 sin180 =2sin180 cos180 cos36∙1cos180 =sin360cos36∙ 10 11cos180=sin72∙2cos180=2. 9.求函数f(x)=2sin4 x+32 44sin2x+5cosx-cos3xcosx的最大、最小值. 解:f(x)=2(1cos2x2)2 +314sin2 2x+5(cos2x2)2-12(cos4x+cos2x) = 123252 2(1-2cos2x+cos2x)+ 4sin2x+4(1+2cos2x+cos2x)- 12(2cos22x-1+cos2x)=94+34cos22x+32 4sin2x+cos2x =3+cos2x. ∴[f(x)]max=3+1=4. [f(x)]min=3-1=2. 10.已知f(x)=sin(θ+x)+sin(θ-x)-2sinθ,对于x∈R,恒有f(x)≥0成立,θ∈(0,32),且tan2θ=-34,求cosθ与tan 2的值. 解:f(x)=sin(θ+x)+sin(θ-x)-2sinθ =2sinθcosx-2sinθ=2sinθ(cosx-1) 由于对于x∈R,恒有f(x)≥0,及cosx-1≤0成立, 故有sinθ≤0, 又∵θ∈(0, 33),∴θ∈[π,), 22cosθ=- 1cos210=-,∴sinθ 210∴2θ∈[2π,3π),又tan2θ=- 35<0,∴2θ∈(,3π) 24=-1cos2=- 1cos310101, tan==-. 2sin10354∴sec2θ=-1tan22=-,∴cos2θ=-, 45 考点32 三角函数的求值问题 [考点聚焦] 正确运用所学公式(同角关系式、诱导公式、两角和、两角差、二倍角、半角、积与和差互化公式)解决三角函数的两大求值问题:(1)给角求值;(2)给值求值. cos1003sin100=[2(sin95+sin5)+sin10∙]∙ cos1000 0 0 2cos10 0 132(cos100sin100)=[22sin50cos45+sin10∙2]∙2[知识回顾] 20202999cos101.(1990.全国.文)cos75+cos15+cos75cos15的值等于 0 0 0 (C) A. 3563 B. C. D.1+ 24242 2sin4000 cos10=(2sin50+sin10∙)∙2cos100cos100 0 0 2.已知方程x-4x-2=0两个根为tanα、tanβ,且tanα =2∙ sin500cos100cos500sin100∙2cos100 0cos100 4 3=22sin60=6. 例2.已知α、β均为锐角,sin(3π-α)=sin( 4,且β是第52, 10三象限的角,则sin2β-2cosβ的值等于 (C) A.-422468 B. C. D.- 252525250 0 0 3310+β)=-,求cos(α+2β)与tan(+β)的值. 2210解:由已知得 ,sinα= 2310,cosβ=, 10107210,sinβ=, 10104.tan70cos10(3tan20-1)等于 (C) A.1 B.2 C.-1 D.-2 又∵α、β是锐角,cosα=∴sin2β=2sinβcosβ= 5.(1992.上海)cos 52cos的值是. 884342 , cos2β=1-2sinβ=, 55∴cos(α+2β)=cosαcos2β-sinαsin2β = 6.(1990.全国.文)已知sinα=sin 3,α∈(,π),那么 25724∙105- 23∙105 = 2, 23), 2310的值等于. 210由于α、β是锐角,∴α+2β∈(0,又cos(α+2β)>0,∴α+2β∈(0, [典例剖析] 例1.求值: [2(cos5+sin5)+sin10(1+3tan10)]1cos200. 解:原式 0 0 0 0 ),∴+β∈(0,),2241cos()2故tan(+β)==2-1. 21cos()2 asinbcos例3.已知非零实数a、b满足 55=tan8,acos5bsin15求的 5ba值. sinb8解法一:由题设得 5cosacosb5sin=15, 58asin5cos15sin88解这个关于bb15cos5cos15sina的方程,得5a= cos815cos5sin815sin5sin(8=155)=tan=3. cos(83155)tanb解法二:由题设得5a81b=tan, atan155tan令btana=tanθ,得581tantan=tan15, 5故tan(θ+85)=tan15,∴θ+5=kπ+815,故θ=kπ+ 3(k∈Z),故ba=tanθ=tan(kπ+3)=tan=3=3. [ 归纳总结] 1.三角函数的求值问题一般包括三种题型:(1)给角求值,(2)给值求值,(3)给值求角(作为一个专题放在后面复习),它们都是通过适当的变换,在求值的三角函数式与特殊角的三角函数或已知其值的三角函数式之间建立联系,从而达到求值的目的.这种变换的实质是:①变换角量,②变换函数名称,③变换解析式的结构.故要达到理想的变异目标,就要注意凑角、凑名、凑常数,通过凑配,变异求同. 2.给角求值问题,一般所给出的角都是非特殊角,从表面来看是很难的,但仔细观察,非特殊角与特殊角总有一定的关系,解题时,一般利用和积互化公式、两角和与差、倍角、半角公式进行变换,使非特殊角转化为特殊角或通过正负抵消、约分等消去非特殊角,达到求值目的. 3.给值求值问题,要特别注意角的范围对三角函数值的影响, 若显含条件不足以确定三角函数值,则应挖掘隐含条件,若所给条件均不足以确定三角函数值,则应对角的范围进行讨论. [应用创新] 1.求下列各式的值: (1)tan100tan200+tan200 tan600 +tan600 tan100 , (2)tan200 tan400 tan80 0 解:(1)原式=tan100 tan200 +tan600(tan200 +tan100 ) =tan100tan200+tan600 tan(200 +100 )(1-tan200 tan100 ) =tan100 tan200 +1-tan200 tan100 =1. 原式=sin200sin400sin800(2)cos200cos400cos800 1(cos600cos200)sin800=22sin200 2sin200cos200cos400cos800=(14sin80012cos200sin800)2sin200 sin400cos400cos800(1sin800114sin10004sin600)4sin200=4 sin800cos8001=4sin6008sin200 =2sin600 =3. sin16002.已知tanx+tany=25,cotx+coty=30求sin(2x+2y)的值. 解:tanx+tany=25可化为sinxsincosx+ycosy=25, 即 sinxcosycosxsinycosxcosy=25,sin(xy)cosxcosy=25, ① 又由cotx+coty=30可得cosxcossinx+ysiny=30, 即 cosxsinysinxcosysin(xysinxsiny=30,)sinxsiny=30, ② 由①②可得cosxcosy-sinxsiny=(1125-30)sin(x+y), 即cos(x+y)= 1150sin(x+y),∴tan(x+y)=150, ∴sin(2x+2y)=sin2(x+y)=2sin(x+y)cos(x+y) =2tan(x+y)cos2 (x+y)= 2tan(xy)21501tan2(xy)=11502=30022501. [考点训练] 1.设a= 12tan13012cos600-32sin600 ,b=1tan2130,c=sin4002, 则有 (D) A.a ),β∈(0,π),2 9.已知α= ,求24那么cos(α+β)的值的个数为 (B) A.1 B.2 C.3 2 sinsinsinsin+++的值. cos4cos3cos3cos2cos2coscosD.4 3.tanα与tanβ是方程x+4ax+3a+1=0(a>1)的两根,α、β∈(-A. 解: = sinsin(43)= cos4cos3cos4cos3,),则tan的值是 (B) 222sin4cos3cos4sin3=tan4α-tan3α. cos4cos3sin=tan3α-tan2α, cos3cos2114 B.-2 C. 或-2 D. 223同理有 4.已知6sin2α=sin2,则A. tan(1)的值是 (D) tan(1)sin=tan2α-tanα,∴原式=(tan4α-tan3 cos2cos7755 B.- C. D.- 5577α)+(tan3α-tan2α)+(tan2α-tanα)+tanα=tan4α=tan cos2x55.已知cos(+x)=,且0 0 0 0 3=. 63≠ ,当tanβ取最大值时,求tan(α+β)的值. 2sin=cosαcosβ-sinαsinβ, sin2 6.cos20+cos60+cos100+cos140= 1. 2解:由已知得 ∴sinβ=sinαcosαcosβ-sinαsinβ, ∴tanβ= sincossincos= 21sin2sin2cos2x12cos2,那么f()的值等于8. 7.已知f(x)=2tanx-xx12sincos2228.已知0 1tan== 2tan212tan1. tan3lg2,求cosx-sinx的值. 29cosxtanx=lg, sinx22cotx11 ∵α∈(0,),∴tanα>0,∴tanβ≤ 22tan2tan= ∴9sinxcosx=22,∴-2sinxcosx=-∴1-2sinxcosx= 0 0 42, 92. 4122,即tanα=时,(tanβ)max=. tan24当2tanα= 9429422 ,即(sinx-cosx)=, 99221. 3故此时tan(α+β)= tantan=2. 1tantan∵0 考点33 三角函数的化简与证明问题 [考点聚焦] 1.熟练运用所学三角公式化简三角函数式,掌握化简的标准和方法. 2.能够利用所学公式证明一些较简单的三角恒等式与三角条件等式. [知识回顾] 1.已知f(x)= sinxtanxk1m(x≠,k∈Z),那么f(x)的值 又∵m≠1,∴tan(α+β)= ∙tanα. cosxcotx2 (A) A.恒为正 B恒为负 C有时为正,有时为负 D.恒为非负 2.sin(α+β)cosα- 12[sin(2α+β)-sinβ]可化为 (C) A.-sin(2α+β)+sinβ B.-sin(2α+β) C. sinβ D.0 3.化简 1sin4cos41sin4cos4,得 (B) A.cot2α B.tan2α C. 12cot2α D.12tan2α 4.与sin100cos500cos100sin500相等的是 (D) A.tan100 -cot50 0 B.-cot50 0 C.-tan750 D.tan75 0 5.21sin8+22cos8的化简结果为-2sin4. 6.给出以下三个证明: ①∵sin2 α+cos2 α=1,∴ sin11cos=cossin. ②∵sin2 α+cos2 α=1,2sinαcosα=sin2α,∴sin4 α+cos4 α=(sin2 α+cos2 α)2 -2sin2 αcos2 α=1-12sin2 2α. ③∵sin2α+cos2 α=1,∴cos4α-sin4 α=cos2 α-sin2 α =1-2sin2 α.其中正确证明的序号是②③. [典例剖析] 例1.已知sinβ=msin(2α+β),m≠1,求证: tan(α+β)= 1m1m∙tanα. 证法一(代入法):由已知得m= sinsin(2) 1sin∴1m1m∙tanα= sin(2)·tanα 1sinsin(2)= sin(2)sinsin(2)sin∙tanα=2sin()cos2cos()sin∙tanα =tan(α+β). ∴原式成立. 证法二(综合法):∵sinβ=msin(2α+β), ∴sin[(α+β)-α]=msin[(α+β)+α], ∴sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα=msin(α+β)cosα+mcos(α+β)sinα, ∴(1-m)sin(α+β)cosα=(1+m)cos(α+β)sinα, 1m例2.化简下列各式: 1sin3cos(1) cot22tan[ 22cos(4-2tan( 2)4-2)]. (2) 13tansin22cos21+ 35tan4sin2cos24. 解:(1)原式 1sin3cos2sin()=1cossin1cos∙[sin1cos(-22)1cos(]. 2)= sin(1sin)2cos∙cos1sin=12sinα. (2)原式 13sin= cos(2sincos1)2(cos2sin2)+ 35sincos 4(2sincos1)(cos2sin2)1= cos(cos3sin)+ (sincos)22(cossin)(cossin)1cos(3cos5sin) 4(sincos)2(sincos)(sincos) 1= cos(cos3sin)(cossin)(cos3sin)+ 1cos(3cos5sin) (sincos)(3cos5sin)=1cos∙(1cossin+1sincos) = 12cos∙coscos2sin2=2cos2=2sec2α. 例3.已知-π 解:f(x)=1-2sin xaxba2sin2=1+cos(x-b2)-cosba2,∵-π 2cot(4)sin2(4) cos2cos2= cos22sin()= 4cos(4)sin(22)= cos2=1. ∴2-cos ba2=1,即cosba2=1, 又由-π [归纳总结] 1.三角函数的化简、证明与三角函数的求值问题所使用的工具是一致的,方法也是相通的,核心均是进行三角恒等变形.虽然高考中纯三角函数式的化简与证明已不多见,但本考点内容的工具性不可小视. 2.化简三角函数式的要求:(1)项数尽量少,(2)次数尽量低,(3)三角函数的种类尽量少,(4)尽量使分母不含三角函数,(5)尽量使被开方数不含三角函数,(6)可求值的必须求出数值,数值的结果也要化简.化简三角函数式的常用方法:异名化同名,异角化同角,异次化同次,切割化弦,特殊值与特殊角的互化. 3.证明三角恒等式基本思路是根据等式两端的特征,通过三角恒等变形,应用化繁为简,左右归一,变更改证等方法,使等式两端的\"异\"化为\"同\".三角条件等式的证明,常用方法有:代入法、消元法、综合法、分析法等. [创新应用] 1. 已知α为第四象限角,化简 cosα∙ 1sin1sin+sinα∙1cos1cos 解:原式=cosα∙(1sin)2(1cos)21sin2+sinα∙1cos2 =cosα∙ 1sin1|cos|+sinα∙cos|sin|. 由于α为第四象限角, 故原式=cosα∙ 1sincos+sinα∙1cossin =1-sinα+cosα-1=cosα-sinα=2cos(α+4). 2.求证: tan()tan1tantan()=sin22cos2. 证明:tan(α+β)-tanα=sin()sincos()-cos = sin()coscos()sinsincos()cos=cos()cos. 1+tanβtan(α+β)=1+ sinsin()coscos()= coscos()sinsin()coscos()=coscoscos(). ∴原式左边=sincoscos()sincossin2cos()cos2=cos2=2cos2=右边. [考点训练] 1.(cot 2-tan2)(1+tanαtan2)可化简为 (A) A.2cscα B.2secα C.sinα D.cosα 2.下列各式中,不正确的是 (B) A.10300 sin4002cos40+2sin40=cos20 B.cot200 =1cos400 C. 1tan40001001tan400=tan5 D. 2+cos40=2cos10cos500 3.cosAsin(B-C)+cosBsin(C-A)+cosCsin(A-B)= (C) A.cos(A+B+C) B.sin(A+B+C) C.0 D.1 3cos4.(1+sinα)[ 2cos2(-2tan( 4-42)2)]等于(B) A.sinα B.cosα C.tanα D.cotα 2cos4x2cos2x15.设f(x)= 2,则f(x)= (D) 2cot(4x)sin2(4x)A.cos2x B.cosx C. 12cosx D.12cos2x 6.化简2cos2sin21的结果是3cos1. 7.化简cotα-tanα-2tan2α-4tan4α=8cot8α. 8.设α、β、γ是锐角,且tan 2=tan32,tanβ=12tanγ,求证:α、β、γ成等差数列. 证明: tanβ= 12=tan(22)= 2222(1tan)(1tan)1tan222tan32tantan(1tan2)221sin∴原式= 1sin2cos22sin+ 22cos22sin 2tan= 22=22=tan(+). 221tantan1tan422tantan(sin= cos)222(sin2(cos2sin2+)cos)222 2(sincos)22∵α、γ是锐角,∴ +∈(0,),又∵β∈(0,), 2222= sin22cos2+ 2 sincos22=-2cos. 222 ∴β=+,∴2β=α+γ,∴α、β、γ成等差数列. 229.若π<α< 3,化简210.求证:cosθ+cos(α+θ)-2cosαcosθcos(α+θ)的值与θ无关. 证明:∵cosθ+cos(α+θ)= 2 2 1cos21cos2()+ 221sin1cos1cos解:∵π<α< + 1sin1cos1cos =1+ 1[cos2θ+cos2(α+θ)]=1+cos(α+2θ)cosα. 233,∴<<, 22242cosθcos(α+θ)=cos(α+θ+θ)+cos(α+θ-θ)= cos(α+2θ)+cosα. ∴原式 =1+cos(α+2θ)cosα- cos(α+2θ)cosα-cosα=1-cosα=sinα. ∴原式的值与θ无关. 2 2 2 ∴1cos=2|cos |=-2cos, 221cos=2|sin|=2sin, 22 考点[考点聚焦] 1.根据解析式画出正弦函数、余弦函数、正切函数的图象,并通过它们的图象理解正弦函数、余弦函数、正切函数的性质. 2.根据解析式用“五点法”或“变换法”画函数y=Asin(ωx+φ)的简图,理解A、ω、φ的物理意义. 3. 根据函数y=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0)的一段图象,写出此函数的解析式. 4.利用三角函数的图象解决一些问题. y y 34三角函数的图象 y y 6O 2 5 x 333O 27x 36A B [知识回顾] 11.(1997.全国.文理)函数y=tan(x-)在一个周期内 32的图象是 (A) 2 3O 4x 33 63O 5x 6C D 2.(1994.全国.文)如果函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线x=-A.2 对称,那么a= (D) 8 B.-2 C.1 D.-1 3.(1990.全国.文理)已知下图是函数y=2sin(ωx+φ)(| φ|< 2)的图象,那么 (C) y 2 1 1112 O x A.ω= 10,φ1011=6 B. ω= 11,φ=-6 C. ω=2,φ= 6 D. ω=2,φ=- 6 4.(1993.全国.文理)已知集合E={θ|cosθ (1)y=f(x)的表达式可改写为y=4cos(2x- 6);(2)y=f(x)是以2π为最小正周期的周期函数;(3)y=f(x)的图象关 于点(-6,0)对称;(4)y=f(x)的图象关于直线x=-6对 称. 其中正确的命题的序号是(1)、(4)(注:把你认为正确的命题序号都填上). 6.已知函数f(x),若f(x)的图象上每一个点的纵坐标保持不变,将横坐标伸长到原来的两倍,然后再将图象沿x轴向右平移 2个单位,恰好得到函数y=12sinx的图象,则y=f(x)的表达式为 12sin(2x2). [典例剖析] 例1.(2000.全国.理改编)已知函数y= 12cos2 x+32sinxcosx+1,xR, (1)求它的振幅、周期、初相;(2)用五点法作出它的简图;(3)该函数的图象可由y=sinx(xR)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到? 解: y= 112cos2 x+32sinxcosx+1=4cos2x+354sin2x+4 = 12sin(2x+56)+4. (1).y=12cos2x+32sinxcosx+1的振幅为A=12,周期为T= 22=π,初相为φ=6. (2).令x1=2x+ 6,则y=15152sin(2x+6)+4=2sinx1+4,列出下表,并描出如下图象: x -521112 6 12 3 12 x0 π 31 2 2 2π y=sinx1 0 1 0 -1 0 y=12sin(2x+6)+57554 4 3544 4 4 y 74 34 -O 51112 12 12x (3)解法一:将函数的图象依次作如下变换:函数y=sinx 向左平移个单位的图象6函数y=sin(x+6)的图象 各点横坐标缩短到原来的1倍(纵坐标不变)2函数y=sin(2x+ 6)的图象各点纵坐标缩短到原来的12倍(横坐标不变)函数y=1向上平移5个单位2sin(2x+6)的图象4函数 y= 12sin(2x+56)+4的图象.即函数 y= 12cos2 x+32sinxcosx+1的图象. 解法二: 函数y=sinx的图象 各点横坐标缩短到原来的1倍(2纵坐标不变)函数向左平移个单位y=sin2x的图象12函数向上平移5y=sin(2x+6)的图象2个单位 函数 y=sin(2x+ 6)+52的图象各点纵坐标缩短到原来的1倍(横坐标不变)2函数y= 12sin(2x+6)+54的图象.即函数 y= 12 32cosx+2sinxcosx+1的图象. 例2.(1).如下图是函数y=sinx、y=cosx、y=tanx在[ 4,2]上的图象,则它们所对应的图象编号是②③①. y ①②③O x (2)如下图为函数y=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0)的图象的一段,求其解析式. y 3 O 5x 3 6 解法一(五点法—平衡点法):由图可知,其振幅为A=3,周期为T=2( 563)=π,∴ω=2, 此时解析式为y=3sin(2x+φ) ,以点(3,0)为“五点法”作图的第一个零点,则有23+φ=0,故φ=-23,∴ 所求函数的解析式为y=3sin(2x- 23). 解法二(五点法—最值点法):(以上同解法一) 此时解析式为y=3sin(2x+φ),以点( 712,3)为“五点法”作图的第二个点,则有2712+φ=2,故φ=-23,∴所求 函数的解析式为y=3sin(2x- 23). 解法三(变换法):(以上同解法一) 此时解析式为y=3sin(2x+φ),由图象可知所求函数图象是由函数y=3sin2x的图象向右平移 3个单位而得到的, ∴所求函数的解析式为y=3sin(2x- 23). 例3.(1999.全国.文理)函数f(x)=Msin(ωx+φ)( ω>0)在区间[a,b]上是增函数,且f(a)=-M,f(b)=M,则函数g(x)=Mcos(ωx+φ)(ω>0)在[a,b]上 ( ) A.是增函数 B.是减函数 C.可以取得最大值M D.可以取得最小值-M. 解法一:根据题意,可取M=1,ω=1,φ=0,a=-2,b=2,则f(x)=sinx,x[-2,2],g(x)=cosx,x[-2,2],显然g(x)当x[- 2,2]时可取得最大值.故选C. 解法二: g(x)=Msin(ωx+2+φ)=Msin[ω(x+2)+φ]. ∵T= 2,∴ 2=T4,而由已知得b-a=T2.∴g(x)的图象 可由f(x)的图象向左平移T4个单位而得到,作f(x)与g(x)的简图如下: y f(xO a b x g(x) 由图象知,选C. [归纳总结] 1.已知函数y=Asin(ωx+φ)的解析式画图:要注意定义域以及利用一些简单的性质,基本函数的图象是基础.基本方法有:(1)五点法;(2)变换法,有关变换法需注意两点:①周期变换、相位变换、振幅变换可按任意次序进行;②在不同的变换次序下平移变换的量可能不同. 2. 已知函数y=Asin(ωx+φ)的图象求其解析式:一般情况下,A与ω易分别根据振幅与周期求出,难点在于求φ.求A、ω、φ的本质是待定系数法,基本方法有:(1)五点法,包括平衡点法与最值点法.在运用平衡点法时,要特别注意分清是第几个平衡点.(2)变换法,即通过弄清已知图象是由哪个图象变换得到而求出待定系数. 3.要充分注意利用三角函数图象的直观性解决一些具体问题. [应用创新] 1.已知函数y= Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的最小正周期为 23,最小值为-2,图象经过点(59,0),求该函数的解析式. 解:∵A=2,T=2= 23,∴ω=3,又sin(359+φ)=0,∴φ=kπ-53,kZ. 若k=2n,nZ,则φ=2nπ- 53,∵|φ|<π, ∴φ=3. 若k=2n+1,nZ,则φ=2nπ+π-53,∵|φ|<π, ∴φ=-23. 故所求解析式为y=2sin(3x+ 23)或y=2sin(3x-3). 2.已知函数f(x)= 2sinx1cos2x, (1)求f(x)的定义域; (2)用定义判断f(x)的奇偶性; (3)在[-π,π]上作出函数f(x)的图象; (4)指出f(x)的最小正周期及单调递增区间. 解:(1)由1+cos2x>0得,x≠kπ+ 2(kZ). ∴f(x)的定义域为{x|xR, 且x≠kπ+ 2,kZ}. (2)∵定义域关于原点对称,且对定义域内任意的x, f(-x)= 2sin(x)2sinx1cos2(x)= 1cos2x=-f(x). ∴函数f(x)为奇函数. (3) 由x[-π,π],且x≠-2, x≠2知 f(x)= 2sinx2|cosx| tanx(x=sinx22)|cosx|= tanx(x2或2x)f(x)的图象如下图: y - 2O 2 π x (4)从图可见,f(x)的最小正周期为2π,f(x)的单调递增区间是(- 2+2kπ,2+2kπ), kZ. [考点训练] 1.方程2|x|=2cosx的解的个数是 (C) A.0 B.1 C.2 D.无穷多个 2.要得到函数y=sin2x-cos2x的图象,只需将函数y=sin2x+cos2x的图象沿x轴 (A) A.右移C.右移 个单位 B.左移个单位 44个单位 D.左移个单位 22一条对称轴方程是x= ,一个最高点的纵坐标是3,要使6),还应给出一个条件是6该函数的解析式为y=3sin(2x+ 3.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0)的图象与函数y=Acos(ωx+φ)(A>0, ω>0)的图象在区间(x0,x0+ )上 3周期T(或填图象过点(0,))(注:填上你认为正确的 2 (C) A.至少有两个交点 B.至多有两个交点 C.至多有一个交点 D.至少有一个交点 4.函数y=|tanx|,y=tanx,y=tan(-x),y=tan|x|在(-332,2)上的大致图象依次是 (C) y y x x O O yy xxO O A.①②③④ B. ①②④③ C.①③④② D. ③②④① 5.函数f(x)=asinx-bcosx图象的一条对称轴方程是x= 4,则直线ax-by+c=0的倾斜角为 (B) A.450 B.1350 C.600 D.1200 6.设函数f1(x)=cos(2x+ 3),f22(x)=cos(3x-3),把 f1(x)与f2(x)的图象作以下三种变换:(1)先把f1(x)图象向右平移3个单位,再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的23;(2)先把f1(x)图象上的各点的横坐标压缩到原来的 23,再把所得图象向左平移3个单位;(3)先把 f2(x)图象向右平移3个单位,再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的 32.在上面的三种变换中,能使f1(x)与f2(x)的图象重合的变换的序号是(2)、(3) (注:把你认为正确的命题序号都填上). 7.函数y=Asin(ωx+θ)(A>0, ω>0,|θ|< 2)的图象的 一个条件即可,不必考虑所有可能的情形). 8.(2018.全国.文)某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b,(I)求这段时间的最大温差;(II)写出这段曲线的函数解析式. y 温度/0C 321时间/h O 6 11x 解:( I)如图示, 这段时间的最大温差是30-10=20(0 C); (II)图中从6时到14时的图象是函数y=Asin(ωx+φ)+b的半个周期的图象.12214-6,解得ω=8,如图示,A= 12(30-10)=10,b=12(30+10)=20.这时函数解析式为y=10sin(8x+φ)+20.将x=6,y=10代入上式,可取φ= 34,综上,所求的解析式为: y=10sin( 38x+4)+20. 9.把曲线C:y=sin( 78-x)cos(x+8)向右平移a(a>0)个单位,得到的曲线G关于直线x=4对称.(1)求a的最小值;(2)证明:当x(4,8)时,过C上任意两点的直线的斜率恒大于零. (1)解:曲线C:y=sin(78-x)cos(x+8)的解析式可化为y= 12sin(2x+4),向右平移a(a>0)个单位后的曲线G的 解析式为y= 12sin[2(x-a)+4],由曲线G关于直线x= 4 的解析式;(2)用\"五点法\"作出此函数在一个周期内的图象,并说明它是由函数y=sinx的图象依次经过哪些变换得到的. 解:显然A=3,由T= 2对称,得2(故amin= -a)+=kπ+,解得a=-2kπ(kZ),4428. 81sin(2x1+)),B(x2, 42(2)在曲线C上任取两点A(x1, =2[(x0+2π)-x0]=4π,得ω= 1.∴2此时函数的解析式为y=3sin(上式,得 1sin(2x2+)), 其中- 2621x+). 62析式为f(x)=3sin( 4x2x1)sin(x2x1)(2) 用\"五点法\"作出此函数在一个周期内的图象(略).它 .由- 3)故(-,),x2-x1(0, 4428)>0,且sin(x2-x1)>0,且x2-x1>0,故kAB>0,命4向左平移个单位6y=sin(x+)的图象 6所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)y= sin( cos(x2+x1+题得证. 10.已知函数f(x)=Asin(ωx+θ)(A>0, ω>0,|θ|<的图象与y轴交于点(0, )21x+)的图象623),它在y轴右侧的第一个最高2所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)y=3sin( 点和最低点分别为(x0,3)、(x0+2π,-3),(1)求函数y=f(x) 1x+)的图象. 62 考点35 三角函数的性质(一) [考点聚焦] 1.三角函数定义域的求法; 2.三角函数的值域(最值)的求法; 3.三角函数的最小正周期的求法. C.最大值是2,最小值是-2 D.最大值是2,最小值是-1 3.(1993.全国.文理)函数y= 1tan22x的最小正周期为 1tan22x (B) A. [知识回顾] 1.(1992.全国.文理)如果函数 y=sin(ωx)cos(ωx)(ω>0)的最小正周期是4π,那么常数ω= (D) A.4 B.2 C.2.(1996.全国.文理)当- B. C.π D.2π 42为周期的函数是 24.(1994.全国.文理)下列函数中,以 11 D. 24 (D) A.y=sin2x+cos4x B.y=sin2xcos4x C.y=sin2x+cos2x D.y=sin2xcos2x 5.(1998.上海)若函数y=2sinx+acosx+4的最小值为 ≤x≤时,函数22f(x)=sinx+3cosx的 (D) A.最大值是1,最小值是-1 B.最大值是1,最小值是- 1,则a=5. 1 26.(1993.上海)函数y=cos(ωx)的最小正周期是 2 . [典例剖析] 例1.求下列函数的定义域: (1)f(x)=lg(sinx-cosx);(2)f(x)= 2cosx1tanx. 点拔:先转化为三角不等式,可利用单位圆内的三角函数线或三角函数图象求解. 解:(1)依题意得sinx-cosx>0,∴sinx>cosx,在同一直角坐标系中作出函数y=sinx与y=cosx在[0,2π]的图象(或利用单位圆中的三角函数线): y y=cosx 54 O 4 y=sinx x 由图可知, 2kπ+ 4 tanx0在直角坐标系中作出函数y=cosx,x[-π,π]与y=-12的图象(或利用单位圆中的三角函数线,如图), y -223 O 3 π12 x 得2k2x2k233xk且xk 2(kZ)∴函数f(x)的定义域为{x|2kπ-23≤x≤2kπ+23,且x≠kπ+ 2,x≠2kπ,kZ}. 例2.求下列函数的值域: (1)y= sin2xsinx1cosx; (2)y=2cos(3+x)+2cosx(-2x2) (3)y= sinxcosxsinxcosx1. 解:(1)y=2sinxcosxsinx2cosx(1cos21cosx=x)1cosx=2cosx(1+c osx)=2cos2 x+2cosx=2(cosx+12)2-12(cosx≠1). 由于-1≤cosx<1,∴-12≤cosx+12<32,∴- 12≤2(cosx+12)2-12<4,∴所求函数的值域为[-12,4). (2)y=2cos 3cosx-2sn3sinx+2cosx=3cosx-3sinx=23( 32cosx-12sinx)= 23cos(x+6). 由- 2x2,得- 3 =1-2sinxcosx, ∴sinxcosx=1(sinxcosx)21(sinxcosx2∴y=)2,2(sinxcosx1) = (1sinxcosx)(1sinxcosx)1sinxcosx2(sinxcosx1)=2= 12sin(4x),∴ 12122≤y≤22,又由sinx-cosx+1≠0,得y≠1,故所求函数的值域为[ 12122,1)(1, 2]. 例3.求下列函数的最小正周期: (1)(2001.河南.广东)y=(sinx+cosx)2 +2cos2 x; (2)y= cosx1sinx;(3)y=1cos2x+1cos2x. 解:(1)y=1+2sinxcosx+2cos2 x=1+sin2x+21cos2x2 =2+sin2x+cos2x=2+2sin(2x+ 4).∴最小正周期为 T= 22=π. sin(x)(2)y= 2=tan( 1cos(4x2).∴最小正周期为2x)T= =2π. |12|(3) 解法一:y=2(|sinx|+|cosx|) =2(1|sin2x|)=2(11cos4x2).∴最小正周期为T=24=2. 解法二: y=2(|sinx|+|cosx|) =2(1|sin2x|).画出函数y=|sin2x|的图象: y π -O π x 2 观察图象可得y=|sin2x|的最小正周期为2.故y=1cos2x+1cos2x的最小正周期T= 2. [归纳总结] 1.求三角函数定义域的一般步骤(1)既要注意一般函数求定义域时对自变量x的限制(分式中的分母不能为零,偶次根式中的被开方数非负,对数式中的真数为正,底数为不等于1的正数),又要注意三角函数中的正切函数本身对自变量x的限制(xR,且x≠kπ+ 2,kZ).在全面考虑上述对x的限制条件后,列出关于x的最简三角不等式(组),(2)利用三角函数的图象或三角函数线来确定此不等式(组)的解. 2.求三角函数值域(最值)既与一般函数值域(最值)的求法有关,又有其自身的解题特点:(1)\"化一”(化为只含有一个角,一个名的三角函数式)是关键;(2)需时刻注意函数的定义域及正、余弦函数的有界性对值域的影响. 3.求三角函数周期的一般步骤:(1)将三角函数式化为\"y=Asin(ωx+φ), y=Acos(ωx+φ), y=Atan(ωx+φ)”的形式(即\"化一\":一个角,一个名,一次方),(2)利用周期公式求得结果.对于解析式带有绝对值符号的三角函数可 考虑利用图象判断最小正周期. [应用创新] 1.已知函数 f(x)=2cosxsin(x+ 3)-3sin2 x+sinxcosx.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)求函数f(x)的最大值、最小值及函数取得最大值、最小值时x的值. 解:f(x)=sin(2x+ 1cos2xsin23)+sin3-32+x2= sin(2x+3cos2xsin3)+2+2x2= sin(2x+ 3)+sin3cos2x+cos3sin2x= 2sin(2x+3). (1)f(x)最小正周期T=22=π. (2)当2x+ 3=2kπ+2,即x=kπ+12(kZ)时,f(x)的最大值为2;当2x+ 53=2kπ-2,即x=kπ-12(kZ)时, f(x)的最小值为-2. 2.要使函数f(x)=5cos( 2k13πx-6)(kZ)对于任意实数a在区间[a,a+3]上的值取到54的次数不少于4次且不多于8次,求k的值. 解:函数的最小正周期为T=62k1,由于在长度为m个周期的闭区间内,函数值 54可以取到至少2m次至多2m+1次.则要使函数在区间[a,a+3]上的值取到 54的次数不少于4次且不多于8次,当且仅当T满足不等式组32T,即 34T1232k1,解得37242≤k<,故k=2或k=3. 2k132[考点训练] 1.函数f(x)=lgsinxcosxsinxcosx的定义域是 (D) A.{x|2kπ-34 3) B. y=sin(2x+6) C.y=sin(2x-6) D.y=sin(12x+6) 3.如果|x|≤4,f(x)=cos2 x+sinx的最小值是 (D) A. 212 B.122 C.-1 D.122 4.设m为实数,则f(x)=(sinx+mcosx)2 的最小正周期为 (B) A.22 B.π C.2π D.|m| 5.已知函数f(x)=2asin2 x-23asinxcosx+a+b(a<0)的 定义域是[- 2,0],值域是[-5,1],则a、b的值分别是 (A) A.a=-2,b=3 B.a=-32,b=1 C.a=-2,b=1 D.a= 32,b=-5 6.函数f(x)=tanωx(ω>0)的图象相邻的两支截平行于y轴的直线所得线段长为 4,则的f(4)值为 0 . 7.函数y=cosx3cosx1的定义域是 {x|xR且x2k,kZ},值域是(,1]. 8.求函数y=logsin2x[1-2cos( 2-x)]的定义域. 解:要使函数有意义,当且仅当12cos(x)0(1)2 0sin2x1(2)由(1)得sinx<22,解得2kπ+ 34 解:y=1-sin2 x-asinx+b=-sin2 x-asinx+1+b. 令sinx=t,则原函数解析式可化为 y=-t2 -at+1+b=-(t+a2)2+1+b+a24(-1≤t≤1). (1)若- a2[-1,0),即a(0,2]时, t=1时,y=b-a=-4①,t=-a2时,ya2则minmax=1+b+4=0②. 由①、②联立解得a=2,b=-2. (2) -a2(-,-1),即a>2时, 则t=1时,ymin=b-a=-4③,t=-1时, ,ymax=b+a=0④. 由③、④联立解得a=2,b=-2,这与a>2相矛盾. 综上,只有一组解:a=2,b=-2. 10.如图,一条河宽1千米,相距4千米的两座城市A与B分别位于河的两岸,现需铺设一条光缆连通A城与B城.已知地下光缆的铺设费为每千米2a万元,水下光缆的铺设费为每千米4a万元,假定两岸是平行的直线,试问:如何铺设才能使总的铺设费用最省?这时总的铺设费用为多少?(精确到0.1a万元;取31.73,153.87) B A M O 解法一:设地下光缆线路为AM,水下光缆线路为MB,令 OBM=α(0≤α≤arccos14),总铺设费用为S,由题意得, S=4aBM+2aAM=4a1sin+2a(15-)=215a+ coscos解法二:(以上同解法一) t= 2sin可看成是直角坐标 cos2sin2sin1(0≤α≤arccos),问题转2a.设t= coscos4系中两点P(0,2)与Q(-cosα,sinα)连线斜率.问题转化为求直线PQ的斜率的最小值(以下略). 解法三:令OM=x(千米)(0≤x≤15),以长度x为自变量 化为求tmin.于是sinα+tcosα=2,得 1tsin(α+φ)=2,即sin(α+φ)= 221t2(其中 建立目标函数,然后用判别式法或基本不等式法求最值(略). 锐角φ满足tanφ=t).由t≥3.可解出当α= 元).答:(略). 21t2≤1及t>0可解得 时, tmin=3,故Smin11.2a(万6考点36 三角函数的性质(二) [考点聚焦] 1.三角函数奇偶性的判定; 2.三角函数单调区间的确定; 3.三角函数奇偶性与单调性的应用. 5.(2001.北京内蒙古安徽.春招)若A、B是锐角ABC的两个内角,则点P(cosB-sinA,sinB-cosA)在 (B) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 6.(1995.上海)函数y=sin xx+cos在(-2π,2π)内的22[知识回顾] 1.(1996.上海)在下列区间中,函数y=sin(x+ )的单调4单调递增区间是[3,]. 22递增区间是 (B) A.[ [典例剖析] 例1.判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=|sin2x|-xtanx; (2)f(x)=lg(tanx+1tan2x); (3)f(x)=(4)f(x)= 1sinxcosx; 1sinxcosx1sinxcosx(- 2 2.(1998.上海)下列函数中,周期为 A.y=sin4x B.y=cos2x-sin2x C.y=tan2x D.y=cos2x 3.(2000.全国.文理)函数y=-xcosx的部分图象是 (D) y A xy B yx解:(1)函数的定义域为{x|xR,且x≠kπ+ O O |sin2x|-xtanx=f(x),∴f(x)是偶函数. (2)函数的定义域是{x|xR,且x≠kπ+ x,kZ},关2于原点对称.又f(-x)= |sin2(-x)|-(-x)tan(-x)= Oy x C ,kZ},关于2 O D 原点对称.又f(-x)= lg[tan(-x)+1tan2(x)]= lg(-tanx+1tan2x),∴f(-x)+f(x)= lg[(-tanx+1tan2x)(tanx+1tan2x)]= lg(-tanx+1+tanx)=lg1=0,∴f(-x)=-f(x),∴f(x)是奇 2 2 4.(2001.全国.文理)若0<α<β< ,sinα+cosα=a,sinβ+cosβ=b,则 (B) 4A.a>b B.a1 函数. (3)由1+sinx+cosx≠0,解得函数的定义域为{x|xR,且 x≠2kπ+π,且x≠2kπ+ 32kZ},不关于原点对称,∴f(x)既不是奇函数,也不是偶函数. (4)函数的定义域是(- 2,2),关于原点对称.又f(-x)= 1sin(x)cos(x)1sin(x)cos(x)=1sinxcosx1sinxcosx,则当x≠0时,f(x) 1sinxcosx≠0,有f(x)1sinxcosxf(x)=1sinxcosx= 1sinxcosx(1sinxcosx)(1sinxcosx)(1sinxcosx)(1sinxcosx)=-1,∴f(-x)=-f(x),又 当x=0时, f(-x)=-f(x)也成立,∴f(x)是奇函数. 例2.求下列函数的单调递减区间: (1)y=sin(4-2x); (2)y=log2a(sinx4x2-sin2)(a>0,且a≠1). 解:(1)由2kπ-2≤4-2x≤2kπ+2(kZ),解得:-kπ- 8≤x≤-kπ+38,∴函数y=sin(4-2x)的单调递减区间是[-kπ-8,-kπ+38](kZ). (2)y= log2 a[sinx2(1-sin2x2)]= log(sin2ax2x2cos2)= loga( 14sin2 x)= loga[18(1-cos2x)].由1-cos2x>0得cos2x≠1,解得函数定义域为{x|xR,且x≠kπ,kZ}.令u= 18(1-cos2x),则u的单调递增区间是(kπ,kπ+2]( kZ), 单调递减区间是[kπ- 2,kπ)( kZ). (1)当a>1时,函数y=log2 x4a(sin2-sinx2)的单调递减区间是[kπ- 2,kπ)( kZ). (2)当0 2-sin2)的单调递减 区间是(kπ,kπ+2]( kZ). 例3设θ(0,2),比较cos(sinθ)与sin(cosθ)的大小. 点拔:可将两个三角函数式转化为一个三角函数在同一个单调区间上的两个函数值进行比较. 解:cos(sinθ)=sin(2-sinθ). 由于θ(0,2),∴sinθ,cosθ(0,1), ∴ 2-sinθ,cosθ(0,2).下面比较2-sinθ与cosθ的大小.由于sinθ+cosθ=2sin(θ+4)≤2< 2, ∴ 2-sinθ>cosθ, ∵函数y=sinx在(0, 2)上是增函数,∴sin(2-sinθ)> sin(cosθ),即cos(sinθ)>sin(cosθ). [归纳总结] 1.判断三角函数的奇偶性时应首先观察定义域是否关于原点对称,若不对称,则此函数既不是奇函数,也不是偶函数,若对称,则需进一步依据奇偶性定义判断.巧用奇偶性定义的一些变式可简化计算,如f(-x)f(x)=0, f(x)f(x)1(f(x)≠0). 2.求三角函数的复合函数的单调区间的一般步骤:(1)求复合函数的定义域,(2)对函数式进行化简变形,使三角式达到\"化一\"标准(即一个名,一个角,尽量变为一次方),(3)利用复合函数单调性的判定方法确定这个函数的单调区间. 3.比较两个三角函数值的大小,除前面利用三角函数线外, 还常常利用三角函数的单调性进行比较,此时,要抓住两个要点:(1)同名,(2)同(单调)区间. [应用创新] 1.已知函数f(x)=log1(sinx-cosx).(1)求它的单调区 2间;(2)判断它的奇偶性. 解:(1)由sinx-cosx=2sin(x-4)>0,得2kπ< x- 4<2kπ+π,∴f(x)的定义域为{x|2kπ+4< x<2kπ+ 54, kZ}.∵函数u= sinx-cosx=2sin(x- 4)在定义域内的单调递增区间是(2kπ+4,2kπ+34)( kZ),单调递减区间是 [2kπ+34,2kπ+54)( kZ).∴f(x)的单调递增区间 是[2kπ+34,2kπ+54)( kZ),单调递减区间是 (2kπ+4,2kπ+34)( kZ). (2)f(x)的定义域{x|2kπ+4< x<2kπ+54, kZ}不关 于原点对称,故f(x)既不是奇函数,也不是偶函数. 2.将sin2,cos1,tan2,cot3按从小到大的顺序用不等号连接起来. 解:sin2,cos1>0,tan2,cot3<0. ∵cos1=sin(2-1),sin2=sin(π-2),又 0< 2-1<π-2<2,且函数y=sinx在[0, 2]上是增函数,∴sin( 2-1) 1.(1999.全国.文理)若f(x)sinx是周期为π的奇函数,则f(x)的表达式可以是 (B) A.sinx B.cosx C.sin2x D.cos2x 2.若函数f(x)=sinx+g(x)在区间[-34,4]上单调递增, 则函数g(x)的表达式可以是 (B) A.cosx B.-cosx C.1 D.-tanx 3.函数f(x)=3sin(x+φ)是偶函数的充要条件是 (C) A.φ=2kπ+ 2(kZ) B.φ=2kπ(kZ) C.φ= kπ+ 2(kZ) D.φ=2k3+2(kZ) 4.在下面给出的函数中,哪一个既是(0, 2)上的增函数,又是以为π周期的偶函数? (B) A.y=sin2|x| B.y=|sinx| C.y=cos2x D.y=esin2x 5.函数y=lg[-cos(2x+4)]的单调递增区间是 (D) A.[kπ+38,kπ+78)(kZ) B.[kπ+58,kπ+78)(kZ) C.[kπ-8,kπ+38)(kZ) D.(kπ+ 38,kπ+8](kZ) 6.函数f(x)=3cos(3x-θ)-sin(3x-θ)为奇函数的充要条件是θ等于k3(kZ). 7.关于函数f(x)=2sin(x+φ)(φ为常数)和g(x)=- 12cos(2x+6)有下列命题:(1)设f(x)、g(x)的最 小正周期分别是T1、T2,那么T1+T2=3π;(2)当φ=12时, 在区间(- 12,6)上,f(x)与g(x)都是增函数;(3)当φ=0时,f(x)+g(x)的最大值为2.5;(4)当φ= 2时,f(x)+g(x)为偶函数.其中正确命题的序号是(1)、(2).(注:把你认为正确的命题序号都填上). 8.判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=sin4x-cos4 x+cos2x;(2)f(x)=lg1sinxcosx. 解:(1)函数的定义域为R,又 f(x)=(sin2 x+cos2 x)(sin2 x-cos2 x)+cos2x=sin2 x-cos2 x+cos2x=-cos2x+cos2x=0.∴f(x)既是奇函数,又是偶函数. (2)由 1sinxcosx>0,解得函数的定义域为 (2kπ- 1sin(x),2kπ+)(kZ),又f(-x)=lg= 22cos(x)cos2x10.已知定义在(0,π)上的函数f(x)=,其中a为 acosx常数,且a≥1,求f(x)的单调区间,并利用单调性定义证明在每一单调区间上f(x)是增函数还是减函数. lg 1sinx,∴f(-x)+f(x)= cosx1sinx1sinx1sin2xlg()=lg=lg1=0,∴cosxcosxcos2xcos2x1解:任取x1,x2(0,π),f(x1)-f(x2)=- acosx1cos2x2cos2x1(acosx2)cos2x2(acosx1)== acosx2(acosx1)(acosx2)a(cosx1cosx2)(cosx1cosx2)cosx1cosx2(cosx1cosx2)(acosx1)(acosx2)= f(-x)=-f(x),∴f(x)是奇函数. 9.求下列函数的单调递增区间: tan(3x)24(1)y=1-cosx;(2)y=a(a是常数且a>0,a≠1) 解:(1)y=sinx= 2 1cos2x,则此函数的单调递增区间就2[a(cosx1cosx2)cosx1cosx2](cosx1cosx2). (acosx1)(acosx2)是函数u=cos2x的单调递减区间,由2kπ≤2x≤2kπ+π,得kπ≤x≤kπ+(kπ,kπ+ 由于a≥1, x1,x2(0,π),则(a+cosx1)(a+cosx2)恒为正. 若0 ,故函数y=1-cosx的单调递增区间是2,则cosx1>cosx2,且2)(kZ). 2a(cosx1+cosx2)+cosx1cosx2>0,故f(x1)-f(x2)>0即f(x1)>f(x2),故函数在区间(0,若 (2)①若a>1,则此函数没有单调递增区间. ②若0 <-3x kk)(kZ). ,-31234(0, ]. 2 考点37 已知三角函数值求角 [考点聚焦] 1.理解符号arcsinx、arccosx、arctanx的意义. 2.会由已知三角函数值求角,并会用符号arcsinx、arccosx、arctanx表示. 2.(2000.上海.理)下列命题中正确的命题是 (D) A.若点P(a,2a)(a≠0)为角α终边上一点,则sinα= 25 513,cosα=的角α有且只有一个 22[知识回顾] 1.(1998.全国.理)一个直角三角形内角的正弦值成等比数列,其最小内角为 (B) A.arccos B.同时满足sinα= C.当|a|<1时,tan(arcsina)的值恒为正 D.三角方程tan(x+ 5151 B.arcsin 22 )=3的解集为{x|x=kπ,kZ} 31515 C.arccos D.arcsin 22 3.(2001.全国.理)函数y=cosx+1(-π≤x≤0)的反函数是 (A) A.y=-arccos(x-1)(0≤x≤2) B.y=π-arccos(x-1)(0≤x≤2) C.y=arccos(x-1)(0≤x≤2) D.y=π+arccos(x-1)(0≤x≤2) 4.(1996.全国.理)若0<α≤2,则 arcsin[cos(2+α)]+arccos[sin(π+α)]等于 (A) A. 2 B.-2 C. 2-2α D.-2-2α 5.(1999.上海)tan(arccos22-6)=23. 6.(1994.上海)sin( 12arccos18)=74. [典例剖析] 例1.已知sinx= 33,根据所给范围求x(用反正弦表示). (1)x是锐角;(2)x是某三角形内角;(3)x[0,2π];(4)x是第二象限的角;(5)xR. 解:(1)x是锐角即x(0,2)(-32,2),又sinx=3,∴x=arcsin 33. (2)∵x是某三角形内角,∴x(0,π),当x(0, 2)时, x=arcsin 33,当x(2,π)时,则π-x(0,2),又 sin(π-x)=sinx=33,∴π-x=arcsin33,∴x=π- arcsin 33.综上, 当x是某三角形内角时,x=arcsin 333或x=π- arcsin3. (3)∵x[0,2π], sinx=33>0,∴x(0,π),由(2)知, x=arcsin 33或x=π- arcsin33. (4)∵x是第二象限的角,结合(2)知x与π- arcsin33共终边,∴x=2kπ+π- arcsin 33=(2k+1)π- arcsin33( kZ). (5)由(3)知,当x[0,2π]时, x=arcsin33或x=π- arcsin 33,由正弦函数的周期性知,当xR 时,x=2kπ+ arcsin33或x=(2k+1)π- arcsin 33( kZ). 例2. (1)已知tan(34-x)=-12,求x(用反正切表示). (2)已知cos(2x+3)=-13,x[0,2π],求角x的集合(用反余弦表示); 解:(1)当 334-x(-2,2)时,由tan(14-x)=-2得34-x=arctan(-12),由正切函数的周期性知,当34-x(kπ-2,kπ+2)( kZ)时, 34-x=kπ+ arctan(-12),∴x=-kπ+314- arctan(-2)( kZ). (2)当2x+3[0,π]时,由cos(2x+3)=-13得2x+ 3=arccos(-13).当2x+3[-π,0)时,则-(2x+ 3)(0,π],又cos[-(2x+3)]=cos(2x+13)=-3,∴-(2x+3)= arccos(-13),∴2x+13=-arccos(-3).∴当2x+3R 时, 2x+3=2kπarccos(-13)( kZ),故x=kπ- 1162arccos(-3)( kZ),∴当x[0,2π]时,满足条件的x的集合是{- 115116+2arccos(-3),6+2arccos(-3),56-12arccos(- 1113),6-12arccos(-13)}. 例3.已知tan(α-β)= 12,tanβ=-17,且α、β(0,π),求2α-β的值(用反三角符号表示). 解:tanα=tan[(α-β)+β]= tan()tan1tan()tan= 1127=1.而α(0,π),∴α(0,).11132又27tanβ=- 17<0,β(0,π),∴β(2,π),∴ -π<α-β<0,而tan(α-β)= 12>0,∴-π<α-β<-2, ∴2α-β=α+(α-β)(-π,0),又tan(2α-β)=tan[α+(α-β)]= tantan()1tantan()= 1312=1,∴2α-β=-31114. 32[归纳总结] 1.要深刻理解符号arcsina、arccosa、arctana的意义.如arcsina(-1≤a≤1),应从以下三个方面去认识:①它是一个角;②它在[- 2,2]内;③它的正弦值为a.用符号表示反正弦、反余弦、反正切的意义如下:x=arcsina sinx=a(-1≤a≤1, - 2≤x≤2);x=arccosacosx=a(-1≤a≤1, 0≤x≤π);x=arctanatanx=a(aR, - 2 2,2))内的值(用特殊值或用反三角符号表示),其它单调区间内对应的x值可以利用诱导公式转化到基本单调区间内求值.(2)对x没有附加范围限制,可先求出x在三角函数的一个周期内的值,再利用三角函数的周期性写出所有符合条件的x值. 3.给定某个角满足的条件求角,若没有直接给出此角的三 角函数值,应先根据条件求出该角的某种三角函数值,再求此角.这里要注意角的范围限制,如有必要,应挖掘题中隐含条件. [应用创新] 1.有一块原为正方形的钢板,其中一个角有部分损坏,现要求把它截成一块正方形的钢板,其面积是原正方形钢板的 45,问应该按怎样的角度来截(结果用反三角符号表示). 解:设小正方形的边与大正方形的边夹角为x,小正方形的边长为a,依题意得,大正方形的边长为asinx+acosx,又由两正方形的面积比为45,得(a4asinxacosx)25, ∴(sinx+cosx)2 = 54,∴sin2x=14,又x(0,2),∴ 2x(0,π),∴2x=arcsin14或π-arcsin14,∴所求角度为x= 12arcsin14或2-12arcsin14. 2.已知A、B为ABC的两个内角,且满足 sinA=2cosB,tanA=3cotB,求ABC的三个内角的度数. 解:由tanA=3cotB得 sinAcosA=3cosBsinB,将sinA=2cosB代入上式,得 2cosB3cosBcosA=sinB. 若cosB=0,则sinA=0,而0 B,即 sin2 B=34,∴sinB=32,又∵0 1.满足sin2 x=12的x的集合是 (D) A.{x|x=kπ+ 6,kZ} B. {x|x=2kπ4,kZ} C. {x|x=kπ+ 4,kZ} D. {x|x=k2+4,kZ} 2.已知sinα=m(|m|<1),π<α< 32,则α= (C) A.π+arcsinm B.arcsinm C.π-arcsinm D.2π-arcsinm 3.满足cosx=a(|a|<1),x(0,2)的x的集合是 (D) A.{arccosa,-arccosa} B.{arccosa} C.{arccosa,π-arccosa} D.{arccosa,2π-arccosa} 4.tanα=8,且α( 32,2),则α等于 (D) A.arctan8 B.arctan8-π C.π-arctan8 D.π+arctan8 5.给出下列命题:①使arcsinx有意义的x的集合是[- 2,2],②cos(arccos18)=18,③arctan(tan3314)=4,④sin(arccos2)=32,⑤若tanx=tan 7,则x=2kπ+7(kZ),⑥若sinx=-sin7,则x=2kπ-7或2kπ+87(kZ).其中正确的命题有 (B) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 6.arcsin1+arccos(-22)+arctan0+arcsin(-12)+arcc os 352=4. 7.满足cos(2x+ 133)=-2,x(0,2)的角x的集合是{6,2,76}. 8.求下列各式的 值:(1)arcsin(sin3);(2)arcsin(cos5);(3)sin[arccos(- 1213)]. 解:(1)令arcsin(sin3)=x,则有sinx= sin3(-2≤x≤2),∴sinx= sin(π-3),又0<π-3<2,-2≤x≤ 2,∴x= π-3,即arcsin(sin3)=π-3. (2)令arcsin(cos 5)=x,则有sinx= cos5(-2≤x≤332),∴sinx=sin(2-5)=sin10,又0< 10<2,-2≤x≤ 32,∴x=10,即arcsin(cos5)=310. (3)令 arccos(- 1213)=x,则有cosx=-1213(0 725,α(0,532),sinβ=-13,β(π, 2),求α+β(用反三角符号表示). 解:∵α(0, 17),1cos22542∴cosα=2=2=5,∴sinα= 35,又由sinβ=-513,β(π,32)得cosβ=-1213,cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=45(- 1213)-35(-513)=-3365,又由α(0, 32),β(π, 2)得α+β(π,2π),∴2π-(α+β)(0,π),而cos[2π-(α+β)]= cos(α+β)= - 3365,∴2π-(α+β)=arccos(-3365),∴α+β=2π -arccos(- 3365). (本题也可先求sin(α+β),但应注意挖掘隐含条件缩小 α+β的范围) 10.若x满足sinx-cosx=m(-π≤x≤π),为使满足条件的x的值(1)存在;(2)有且只有一个;(3)有两个不同的值;(4)有三个不同的值,分别求m的取值范围. 解:题中条件可化为2sin(x-4)=m(-π≤x≤π),作出函数f(x)=2sin(x-4)(-π≤x≤π)及函数y=m的图象. y 2 (1)当-2≤m≤2时,直线y=m与f(x)的图象有交点,即满足条件的x的值存在. (2)当m=2时,直线y=m与f(x)的图象有且只有一个 1 -O -2 交点,即满足条件的x的值有且只有一个. π x (3)当-2 考点38 正、余弦定理与解三角形 [考点聚焦] 1.掌握正弦定理、余弦定理. 2.会利用上述定理解斜三角形及解斜三角形应用题. 3.会利用上述定理解决与三角形有关的求值、化简、证明问题. 例1.在ABC中,已知atanB=btanA,试判断这个三角形的形状. 2 2 a2sinBb2sinA解法一:由已知得,由正弦定理得cosBcosAsin2AsinBsin2BsinA,∵sinAsinB≠0,∴cosBcosAsinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B,∴2A=2B或2A=180-2B,即A=B或A+B=90.∴ABC是等腰三角形或直角三角形. 0 0 [知识回顾] 1.(1998.上海)设a,b,c分别是ABC中A,B,C所对的边长,则直线sinA∙x+ay+c=0与bx-sinB∙y+sinC=0的位置关系是 (C) A.平行 B.重合 C.垂直 D.相交但不垂直 2.(2018.上海)在ABC中,若2cosBsinA=sinC,则 a2sinBb2sinA解法二: 由已知得,由正弦定理得cosBcosAaba2bb2a,即,又由余弦定理得cosBcosAcosBcosAab22222 2,整理得(a-b)(a+b-c)=0,2222ac-bbca2ac2bc2ABC的形状一定是 (C) A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 3.在ABC中,A>B,给出下列命题:①sinA>sinB;②cosA 2 ABtan.其中22∴a=b,或a+b=c, ∴ABC是等腰三角形或直角三角形. 例2.(2000.北京安徽.春招)在ABC中,角A、B、C的对 222 正确的命题个数是 (D) A.0 B.1 C.2 D.3 4.在ABC中,如果4sinA+2cosB=1,2sinB+4cosA=33则C的大小是 (A) A.30 B.150 C.30或150 D.60或1205.在ABC中,下列三角 式:①sin(A+B)+sinC;②cos(B+C)+cosA;③cosBCAABCsec;④tantan.其中值为常数的有22220 0 0 0 0 0 a2b2sin(AB)边分别为a、b、c,证明:. sinCc2证法一:由正弦定理得 a2b2sin2Asin2Bcos2Bcos2A=c2sin2C2sin2C2sin(BA)sin(BA)sinCsin(AB)sin(AB)==. sinC2sin2Csin2C证法二:由余弦定理得a=b+c-2bccosA,则 2ba2b2c22bccosA==1-∙cosA,又由正弦定理得22ccc222 ②④. 6.(1999.上海)在ABC中,若 0 B=30,AB=23,AC=2,ABC的面积是23或3. bsinB=,∴csinC[典例剖析] a2b2c2=1-2sinBsinC∙cosA=sinC2sinBcosAsinC=sin(AB)2sinBcosAsinsinC=AcosBsinBcosAsinC= sin(AB)sinC. 证法三: sin(AB)sinC=sinAcosBsinBcosAsinC. 由正弦定理得 sinAasinBbsinCc,sinCc,∴sin(AB)acosBsinC=bcosAc,又由余弦定理得 a2c2b2b2c2a2sin(AB)a2acb2bcsinC= c= (a2c2b2)(b2c2a2)a2b22c2=c2. 例3.在海岸A处,发现北偏东450 方向,距A为3-1海里 的B处有一艘走私船,在A处北偏西750 方向,距A为2海里的C处的辑私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船,此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东300 方向逃窜,问辑私船沿什么方向能最快追上走私船,并求出所需要的时间(必要时可参考下列数据:62.45). D 300 C 0 750 45B A 剖析:注意到最快追上走私船,且两船所用时间相等,可画出示意图如图,需求CD的方位角及由C到D所需的航行时间. 解:设辑私船追上走私船所需时间为t(小时),则有CD=103t(海里),BD=10t(海里),在ABC中,∵ AB=3-1,AC=2,BAC=450+750=1200 ,根据余弦定理可得 BC=(31)22222(31)cos1200=6.根据正弦 023定理可得sinABC= ACsin1202BC= 6=22.∴ ABC=450 ,∴CBD=900 +300 =1200 .在BCD中,根据正弦定理可得sinBCD= BDsinCBD10tsin1200CD=103t=12,∴ BCD=300, BDC=300 ,BD=BC=6,则有10t=6,∴ t= 6100.245(小时)=14.7(分钟). 答:辑私船沿北偏东600 方向才能最快在约14.7分钟后追 上走私船. [归纳总结] 1.与三角形有关的常见题型:(1)解斜三角形问题;(2)与解斜三角形有关的应用问题;(3)判断三角形形状问题;(4)三角形中的恒等式、不等式证明问题;(5)三角形中的三角函数求值问题; 2.解答上述问题常用到如下结论:(1)正弦定理;(2)余弦定理;(3)三角形内角和定理;(4)三角形面积公式SABC= 12底高12absinC12bcsinA12casinB;(5)三角形中的边角不等关系:A>Ba>b,a+b>c,a-b 4.解三角形问题中正、余弦定理的选择:(1)在下述情况下应首先使用余弦定理:①已知三条边(边边边),求三个角;②已知两边和它们的夹角(边角边),求其它一边和两角;(2)在下述情况下应首先使用正弦定理:①已知两边和一边的对角(边边角),求其它一边和两角;②已知两角和任一边(角角边、角边角),求其它两边和一角. 5.已知两边a、b和a边的对角A(边边角)解三角形的解的情况:(1)A为锐角,①a 6.解斜三角形应用题的步骤:(1)理解题意,分清已知与所求;(2)据题意画图;(3)归入一个或几个三角形中求解;(4)作答. [应用创新] 1.(2001.全国.文)已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2,BC=6,CD=DA=4,求四边形ABCD的面积. A 解:连结BD,由余弦定理,在 B ABD中,BD2 =AB2 +AD2 -2AB∙ADcosA=20-1 D 6cosA.在CBD 中,BD2 =CB2 +CD2 -2CB∙CDcosC=52-48cosC.∴20-16cosA=52-48cosC, C 又∵在圆的内接四边形ABCD中,A+C=1800 ,∴cosC=-cosA,∴ 64cosA=-32,∴cosA=-12.又00 有四边形ABCD的面积S=S1ABDSCBD=2ABADsinA12BCCDsinC.而sinA=sinC.故S= 1112(ABAD2BCCD)sinA=2(2464)sinA=16sinA=83. 2.将一块圆心角为1200 ,半径为20cm的扇形铁皮截成一块矩形铁皮,为了使材料能充分利用,现给出两种方案:方案一:让矩形的一条边在扇形的一条半径OA上;方案二:让矩形的一条边与扇形的弦AB平行.请你指出其中的哪种方案较为合理,并说明理由. B N M B N P M O Q A O Q A 解:对于方案一,要使矩形面积最大,则使O为其一顶点,且一条边OQ在半径OA上,一个顶点M在弧AB上作出矩形OQMN,连结OM,设MOA=θ,于是矩形OQMN的面积S0 1=20sinθ∙20cosθ=200sin2θ.∴当θ=45时,S1的最大值为200cm2 . 对于方案二,要使矩形面积最大,顶点P、Q应分别在半径OB、OA上,顶点M、N应在弧AB上,并且PQ∥AB∥MN,则 0OPQ为等腰三角形,∴PQO= 18012002=300 ,连接OM,设MOA=θ,则在OMQ中,0QM=300 +900 =1200 ,由正弦定理得,QM=OMsinsin1200=40sin3.由图形的对称性知, AOB的平分线OC为对称轴,因 此,MN=2∙OM∙sin(600 -θ)=40∙sin(600 -θ).∴矩形PQMN的面积 S16002=QM∙MN= 3∙sinθ∙sin(600 -θ)= 8003∙[cos(2θ-600 )- cos600 ],∴当θ=300 时S32的最大值为 4003cm2 .∵40033>200,∴按方案二可截得面积最大的矩形,即方案二较合理. [考点训练] 1.在ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,则a∙cosC+c∙cosA等于 (A) A.b B. bc2 C.2cosB D.2sinB 2.在ABC中,若 a2b2sin(AB)a2b2sin(AB),则ABC的形状为 (A) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.正三角形 D.直角三角形或等腰三角形 3.在ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且 b=12,c=m<12,B=3,则A等于 (A) A. 23-arcsin(3m) B.3+arcsin(3m) C. arcsin(3m) D. 23-arcsin(23m) 4.在ABC中,A=600 ,b=1,SABC=3,则 abcsinAsinBsinC的值为 (A) A. 2393 B.263833 C.3 D.23 5.在ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且a=4,b+c=5,tanA+tanB+3=3tanA∙tanB,则ABC的面积为 (C) A. 33332 B.33 C.2 D.2 6.在ABC中,A=600 ,a=1,则b+c的最大值为2. 7.在ABC中,若AB=1,BC=2,则角C的取值范围是00 8.(2001.上海.理)已知a、b、c分别是ABC中角A、B、C的对边,S是ABC的面积,若a=4,b=5,S=53,求c的长度. 算). 解:如图,设题中直角三角形为ABC,C为直角且斜边AB=20(m),直角边BC=10(m),则B=60.依题意,正三角形的三个顶点D、E、F应分别在线段AB、BC、CA上且不与点A、B、C重合.令FEC=x(0 y10ycosx,整理得sinxsin6001032sinx3cosx0 00 00 解:S= 0 113absinC,∴53=∙4∙5∙sinC,∴sinC=,于是2220 0 2 2 2 C=60或120,当C=60时,由余弦定理得c=a+b-ab=21, 0222 故c=21.当C=120时,由余弦定理得c=a+b+ab=61,故 c=61.故c的长度为21或61. 9.(1998.全国.文理) 在ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,设a+c=2b,A-C= ,求sinB的值. 3解:由正弦定理和已知条件a+c=2b,得sinA+sinC=2sinB.由和差化积公式,得2sin由A+B+C=π得sin ACACcos=2sinB. 22y== 1037(27sinx37cosx)= ACB=cos.又A-C=,得2231037sin(x)1037(其中φ为锐角,且tanφ= 3).∴y≥2BB3B3Bcos=sinB.∴cos=2sincos,∵ 222222= 102100 ,当sin(x+φ)=1(0 0 0< BBB3<,∴cos≠0,∴sin=.∴22224B13B=1sin2=,∴242BB13393cos=2∙∙=. 22484A x+φ=90,即x=90-φ=90-arctan 3时,y的最小值是2cos 10213021,∴3y的最小值为(m). 77答:当FEC=90-arctan最小值是 D F C E B 0 sinB=2sin 3时,这条小道的总长度最小,210.某学校有一块直角三角形形状的草地,测得最长边长度为20m,最短边长度为10m,现准备在绿地内修一条正三角形形状的小道,将绿地划分成四个不同的种植区,问如何修建,可使这条小道的总长度最小?并求此最小值(不要求进行近似计 3021m. 7 考点39 三角函数的综合题 [考点聚焦] 1.掌握有关三角函数的图象、定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性的综合题的解法. 2.利用三角工具解决有关代数、几何或某些实际应用问题. A.[0,π] B.[0,C.[ ] 433,] D.[0,][,] 444[知识回顾] 1设实数x,y,m,n满足m+n=a,x+y=b(a,b是常数,且a≠b),那么mx+ny的最大值是 (B) a2b2aba2b2A. B.ab C. D. 2222 2 2 2 3.已知矩形的两相邻边长为tan 和1+cosθ,且对于任2何实数x,f(x)=sinθ∙x+43x+cosθ≥0恒成立,则此矩 2 形的面积 (B) A.有最大值1,无最小值 B.有最大值 13,最小值 222.若直线xcosθ+ysinθ=2(0≤θ≤π)与椭圆x+3y=6有公共点,则θ的取值范围是 (D) 22 C.有最小值 32,无最大值 C.有最大值1,最小值32 4.已知ABC为锐角三角形,m=log1cosA sinB,n=log1cosAcosC,则有 (A) A.m>n B.m≥n C.m [2k3,2k3](kZ). 6.函数y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的图象如图: y 3 -O x 2 3 则此函数的值域是[0,3],最小正周期是53,单调递增区间是[5k376,5k33](kZ),解析式是y336922sin(5x10). [典例剖析] 例1.设函数f(x)=log1(sin2x-3cos2x), 2(1)求其定义域与值域; (2)指出其单调区间; (3)如果是周期函数,求出其最小正周期; (4)判断其奇偶性. 解:原函数解析式可化为f(x)=log1[2sin(2x-3)], 2(1)设g(x)= 2sin(2x-3).由g(x)>0得原函数定义域为(kπ+ 26,kπ+3)(kZ).这时g(x)(0,2],故原函数值域为[-1,+). (2)f(x)与g(x)的单调性相反,由g(x)的单调区间,可得f(x)的单调递减区间是(kπ+ 6,kπ+512)(kZ);f(x) 的单调递增区间是[kπ+ 512, kπ+23)(kZ). (3)g(x)是周期函数,最小正周期T=π,∴f(x)是周期函数,最小正周期是π. (4)f(x)定义域不关于原点对称,故f(x)既不是奇函数,也不是偶函数. 例2.过边长为a的正三角形ABCA 的中心O作任意直线XY分别交 X D AB、AC于点X、Y,求 11OX2OY2O Y 的最大值与最小值. B C 解:连结BO并延长与边AC相交于 点D,则BD⊥AC.令DOY=α(00 ≤α≤600 ),取α为自变量. RtDOY中,OY2 =OD2a2在cos2=12cos2,在OBX中,根据 正弦定理得 OXOBsin300sin(300),∴2 =a2OX12sin2(300),∴ 1112OX2OY2=a2[cos2sin2(300)]=121cos21cos(600a2[2)22]= 12a2[112sin(3002)]. ∴当α=300 时,所求最大值是180 a2;当α=0时,所求最小值是15a2. 例3.(2001.天津山西江西.理)设0<θ< 2,曲线x2 sinθ+y2 cosθ=1和x2 cosθ-y2 sinθ=1有4个不同的交 点. (1)求θ的取值范围; (2)证明这4个交点共圆,并求圆半径的取值范围. 解:(1)两曲线的交点坐标满足方程组 x2siny2cos12x2cosy2sin1得xsincosy2cossin 两曲线有4个不同交点的充要条件是x2>0,y2 >0,即 sincos0cossin0,又由于0<θ<,得θ的取值范围是2 (0, 4). (2)由(1)知,两曲线的4个交点坐标满足方程x2 +y2 =2cosθ(0<θ< 4),即4个交点共圆,该圆的圆心在原点,半径r=2cos(0<θ<4),∵函数y=cosθ在(0, 4)上是减函数,∴r的取值范围是(2cos4,2cos0),即(42,2). [归纳总结] 1.有关三角函数的值域(最值)、单调性、奇偶性、周期性问题均应首先考察定义域,其中有关值域(最值)、单调性、周期性问题还需将三角函数式进行化一处理. 2.由于三角函数和代数、几何知识联系密切,故它是研究其它各类知识的重要工具,因此应重视对知识理解的准确性,加强对三角知识工具性的认识. [应用创新] 1.设O是锐角ABC的外心,已知B0C, COA, AOB的面积依次成等差数列,试推断tanA∙tanC是否为定值?说明理由. 解:∵O是锐角ABC的外心,∴AOB=2C, AOC=2B, BOC=2A,设ABC的外接圆半径为R,则S12BOC2Rsin2A,S1COA2R2sin2B,S1AOB2R2sin2C.∵B0C, COA, AOB的面积依次成等差数列,∴2SCOASBOCSAOB,∴ 2sin2B=sin2A+sin2C,∴2sinBcosB=sin(A+C)cos(A-C).而sin(A+C)=sinB≠0,cosB=-cos(A+C),∴-2cos(A+C)=cos(A-C),∴sinAsinC=3cosAcosC,∴tanA∙tanC=3.∴tanA∙tanC为定值. 2.设f(x)=a∙sinωx+b∙cosωx(ω>0)的周期为π,且有最大值f( 12)=4. (1)求ω、a、b的值. (2)若α、β满足f(α)=0及f(β)=0,且α、β的终边不在同一直线上,试求tan(α+β)的值. 解:(1)由已知得 2=π,∴ω=2,∴ f(x)=a∙sin2x+b∙cos2x,又∴f(x)有最大值f( 12)=4,∴ a2b2413得a2b 2a2b423(2)f(x)=2sin2x+23cos2x=4sin(2x+3),依题意得sin(2α+3)= sin(2β+3)=0,∴2α+3=2kπ+2β+ 3或2α+3=2kπ+π-(2β+3)(kZ),即α=kπ+β或α=kπ-β+ 6(kZ),而α、β的终边不在同一直线上,∴α=kπ+β(kZ)不成立,∴必有α=kπ-β+ 6(kZ),∴α+β= kπ+6(kZ),∴tan(α+β)=tan 6=33. [考点训练] 1.给出下列函数:①f(x)=2sin(2x- 4),②f(x)=cosx2,③f(x)=xsinx,④f(x)=|tanx|.其中既是偶函数,又是周期函数的是 (A) A. ②④ B. ③④ C. ②③④ D. ①②③④ 2.已知(x-1)2 +(y-1)2 =1,则x+y的最大值是 (D) A.2 B.2 C.1+2 D.2+2 3.若2sin2 α+sin2 β-2sinα=0,则cos2 α+cos2 β的取值范围是 (B) A.[1,5] B.[1,2] C.[1, 94] D.[-1,2] 4.在ABC中A为钝角,又奇函数f(x)在[-1,0]上是单调递减函数,则 (C) A.f(cosB)>f(cosC) B.f(sinB)>f(sinC) C.f(sinB)>f(cosC) D.f(sinB) ,BAD=1200 ,AB=BC=400米,AD=250米,则通过计算可知应开凿的隧道长CD=350米. 7.函数y= 12sin(4-2x3)的最小正周期是3π,单调递增 区间是[3k98,3k218](kZ),单调递减区间是 [3k39,3k)(kZ). 882 单位:小时)的函数,记作y=f(t).下表是某日各时的浪高数据: t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 8.已知方程x+x∙sin2θ+cosθ=0的两个实根是x1、x2且数列{(11n1)}的前100项之和为0,求满足0≤θ≤4x1x2y 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5 经长期观察,y=f(t)的曲线可近似地看成是函数y=Acosωt+b的图象. (1)根据以上数据,求出函数y=Acosωt+b的最小正周期T,振幅A及函数表达式; (2)依据规定,当海浪高度高于1m时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天内的上午8:00到晚上20:00之间,有多少时间可供冲浪者进行活动? 解:(1)由表中数据,知周期T=12.∴ω= 22.由T126π的θ值. 解:由韦达定理得x1+x2=-sin2θ, x1∙x2=cosθ,∴ 11x1x2==-2sinθ,∴数列通项公式是x1x2x1x2an=(-2sinθ),∴此数列是首项a1=1,公比q=-2sinθ的等比数列,由S100=0得 n-1 11(2sin)=0,∴sinθ=或 21(2sin)1001sinθ=-(舍去).又由0≤θ≤4π得 251317或θ=或或,代入(sin2)24cos06666t=0,y=1.5,得A+b=1.5 ①,由t=3,y=1.0,得b=1.0 ②.由①②联立解得A=y= 检验得θ= 517或符合题意. 6611,b=1,∴振幅为,函数表达式为229.有一块长为a,宽为b(a>b)的矩形木板,在二面角大小为α的墙角处围出一个直三棱柱的谷仓,试问应怎样围才能使谷仓的容积最大?并求出谷仓容积的最大值. 解:(1)若矩形木板的长边着地,设围出的直三棱柱的底面三角形的另外两边长分别为x与y,则由余弦定理得a=x+y-2xycosα≥2xy-2xycosα=2xy(1-cosα),而由0<α<π知1-cosα>0,∴xy≤ 2 2 2 1cost+1. 62(2)由题意知,当y>1时才可对冲浪者开放.由 1cost+1>1得cost>0,∴2kπ- 2(1cos)2时等号成立),∴此时谷仓容积的最大值是11a2bsinV1=(xysinα)∙b==a2bcot. 224(1cos)4(2)若矩形木板的短边着地,同(1)理可得此时谷仓容积的1最大值是V2=b2acot. 42 ∵a>b,∴V1>V2,从而当木板的长边着地,并且谷仓的底面是以a为底边的等腰三角形时,谷仓的容积最大,最大值是 12abcot. 4210.已知某海滨浴场的海浪高度y(m)是时间t(0≤t≤24, 第四讲三角函数单元测试题 本试卷满分共150分,考试用时120分钟 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的. 1.若角α与角β的终边关于y轴对称,则 (B) A.α+β=2kπ+C.α+β=kπ+ (kZ) B.α+β=2kπ+π (kZ) 2A. 52 B. C. D. 6336(kZ) D.α+β=kπ+π (kZ) 210.若函数f(x)=3sin(ωx+φ)对任意的实数x都有f( 2.设k{4,5,6,7}且sin( +x)=f(-x)，则f()等于 (D) 666A.0 B.3 C.-3 D.3或-3 kk)=-sinα,cos()=cosα则k等于 22 (A) A.4 B.5 C.6 D.7 3.函数y=sin( 2x)cos( 2x),在x=2时有最大值, 则θ的一个值是 (A) A.4 B. 232 C.3 D.4 4.若sinα+cosα=62(04),那么α为 (B) A.512 B. 12 C.56 D.6 5.已知 a=131tan2320log2sin252cos602sin60,b1tan2320,c=20,则a、b、c的大小顺序是 (D) A.a>b>c B.c>a>b C.b>a>c D.b>c>a 6.已知函数y=|sin(2x-6)|,以下说法正确的是 (B) A.函数周期为 4 B.函数图象的一条对称轴为直线x=3 C.函数在[ 253,6]上为减函数 D.函数是偶函数 7.已知sinα=- 14,α(,3432),cos5,(2,2)则 α+β是 (B) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 8.设角α的终边过点P(sin(-3),cos3-1),若0≤α≤2π,则α的值为 (B) A. 32 B.π+3332 C.2-2 D.π+3 9.把函数f(x)=cosx-3sinx的图象向左平移m个单位,所得图象对应函数是偶函数,则m的最小值是 (B) 11.设f(x)=Asin(ωx+φ)(ω、A为正常数,xR),则 f(0)=0是f(x)为奇函数的 (A) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 12.在ABC中,若(a-c∙cosB)sinB=(b-c∙cosA)sinA,则这个三角形是 (D) A.底角不等于450 的等腰三角形 B.锐角不等于450的直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13.在ABC中,A、B、C成等差数列,则tan A2tanCAC23tan2tan2=3. 14.4cos2 350 -cos1700 -tan1600 sin1700 的值是23. 15.函数y=2sinx(sinx+cosx)的单调递减区间是 [k38,k78](kZ) . 16.已知函数f(x)=sinx+cosx,给出以下四个命题: (1)若x[0,2],则f(x)[1,2]; (2)在区间[4,54]上函数f(x)是增函数; (3)点(- 4,0)是函数f(x)图象的一个对称中心; (4)函数f(x)的图象可由y=2sinx的图象向右平移4个单位后而得到. 其中所有正确的命题序号是(1)(3). 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)已知sinθ,sin2x,cosθ成等差数列,sinθ,sinx,cosθ成等比数列,求cos2x的值. 解:由已知得2sin2x=sinθ+cosθ,sin2 x=sinθcosθ. ∴(2sin2x)2 =(sinθ+cosθ)2 , ∴4sin2 2x=1+2sinθcosθ=1+2sin2 x, ∴4(1-cos2 2x)=1+1-cos2x, ∴4cos2 2x-cos2x-2=0,解得cos2x=1338. 又由sin2x=sinθcosθ得2sin2 x=sin2θ,∴sin2θ(0,1]. ∴cos2x=1-sin2θ[0,1),∴cos2x= 1338. 18.(本小题满分12分)已知ABC中,三内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若A、B、C成等比数列,且公比为q=12,求证: 1a1b1c. 证明:由已知得A+A2A4π,解得A=47,则B= 27,C7.由正弦定理知asinAbsinBcsinCk(常数),∴sin4211abksinAksinababsinB77k2sinAsinBksin42=7sin72sin37cos711ksin4Cc72sin7cos7ksinksin1. 719.(本小题满分12分)已知函数 f(x)=2cos2 x+3sin2x+m(mR). (1)当xR时,求f(x)的最小正周期和单调递增区间; (2)若x[0, 2],且f(x)的最小值是2,求m的值.解:(1)f(x)=1+cos2x+3sin2x+m=2sin(2x+6)+m+1.∴f(x)的最小正周期T= 22=π.又由2kπ-2≤2x+6≤2kπ+2,得f(x)的单调递增区间是 [kπ- 3,kπ+6](kZ). (2)当x[0,72]时, 2x+6[6,6],此时当 2x+6=76时,f(x)的最小值是2(12)+m+1=2,∴m=2. 20.(本小题满分12分)已知扇形OAB,O为圆心,A 顶角为α(0<α< 2),半Q P 径为r,在弧AB上有动点 P,由P点作OB的平行线交OA于Q,试求POQ的面积的最大值及这时的 O B POQ. 解:∵PQ∥OB,∴PQO=π-α.设POQ=θ,在POQ中应用正弦定理,得 PQOPsinsinPQO=rsin(),∴PQ= rsinsin,∴S1POQ= 2rPQsin()=1rsin2rsinsin()=r24sin[cos(2)cos].∴当cos(2θ-α)=1,即θ=2时, (S)max=r2(1cos)r2POQ4sin4tan2. 21.(本小题满分12分)已知 x=|cosπt-sinπt|,y=|cos2 πt-sin2 πt|,其中-1 ≤t≤1. (1)作出函数x=f(t)的图象; (2)写出函数y=g(x)的解析式,并作出函数y=g(x)的图象. 解:(1)x=cos2 πt-2sinπt∙cosπt+sin2 πt=1-sin2πt. ∴x=f(t)= 1-sin2πt(-1≤t≤1),其图象如下: x 2 -O 1 t (2)由y=|cos2πt-sin2 πt|=|cos2πt|,得y=cos2 2πt=1- sin2 2πt, 由(1)知,sin2πt=1-x(0≤x≤2),∴y=1-(1-2x)2 =-x2 +2x.∴y=g(x)= -x2 +2x(0≤x≤2),其图象如下: y 1 O 1 2 x 22.(本小题满分14分)某研究所计划把一块边长为20米的等边三角形ABC的边角地辟为植物新品种的实验基地,图中DE需把基地分成面积相等的两部分,D在AB边上,E在AC边上. (1)设AD=x(x≥10),ED=y,试用x表示y的函数关系式; (2)如果DE是灌溉输水管道的位置,为了节约,C 则希望它最短,试求此时AD的长度;如果DE是参E y 观线路,则希望它最长,AD的长又是多少?说明理由. A x D B 解:(1)∵ABC的边长为20米,∴10≤x≤20. 又S1ADE2SABC, ∴ 1xAEsin600112020sin600200222,∴AE=x. 在ABC中,由余弦定理得y=x24104x2200(10≤x ≤20). (2)若DE为输水管道,则需求y的最小值.而y=x24104x2200≥400200=102,当且仅当x24104x2,即x=102时,等号成立,∴y的最小值是102. 若DE作为参观线路,则需求y的最大值.令x2 =t[100,400],则y=t4104t200,设f(t)=t+ 4104 t ,任取100≤t1 1 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容
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