工程光学习题一答案

4. 一厚度为200mm的平行平板玻璃（设n=1.5），下面放一直径为1mm的金属薄片。若在玻璃板上盖一圆形的纸片，使得在玻璃板上方任何方向上都看不到该金属薄片，问纸片的最小直径应为多少？

解：如图所示，设纸片的最小直径为L，考虑边缘光线满足全反射条件时

n1sinI2sin9000.6667

n2cosI210.666720.74536

L=(2x+1)mm=358.77mm

n1 I1900 L x n2 200mmm

16. 一束平行细光束入射到一半径r30mm、折射率n=1.5的玻璃球上，求经玻璃球折射后会聚点的位置。如果在凸面（第一面）镀反射膜，其会聚点应爱何处？如果在凹面（第二面）镀反射膜，则反射光束在玻璃中的会聚点又在何处？反射光束经前表面折射后，会聚点又在何处？说明各个会聚点的虚实。

解：（1）此时的成像过程如图（4）所示，平行细光束入射到玻璃球上，经左侧球面折射后形成中间像A1'，它又是右侧球面的物A2，经右侧球面再次成像于A2'。

'将l1，n11，n11.5，r130mm代入单个折射球面

成像公式

n'nn'n'lr得 l'n1.530'1rl1'mm90mm

0.5n1n1'nl11'由于l1和l1异号，1n'l0，故无限远物与像A1'虚实相同，11即A1'为实像。但由于右侧球面的存在，实际光线不可能到达此处，故对于右侧球面A2为虚物。 将

'l2l1'2r(9060)mm30mm,n21.5,n21,r230mm

再次代入单个折射球面成像公式得

10.51.51 '303015l2'nl22'所以l215mm，此时2n'l0，物A2与像A2'虚实相反，212即A2'为实像。

（2）当凸面镀反射膜时，平行细光束入射到玻璃球上，经左侧球面反射后成像，如图（5）所示。 112将l代入公式'得

llrrl15mm，为虚像。

2'（3）当凹面镀反射膜时，成像过程如图（6）所示：平行细光束入射到玻璃球上，经左侧球面折射后形成中间像A1'，它又是右侧反射球面的物A2，经右侧反射球面再次成像于A2'，再经过前表面折射，最后成像于A3'。 112由（1）知l230mm，代入公式'得

llr112 '30l230'所以l210mm，为实像。

（4）再继续经前表面折射时，光线由右向左传播成像，需根据光路的可逆性原理，将物看成像，将像看成物，即将

l3'50mm代入单个折射球面成像公式得

1.51.511l3()75mm，为虚像。

5030r230mm

r130mm o 'l2 'A2 (A2)A1' l2 l1'

r230mm 图（4）

r130mm A' o l' 图（5）

l3 r230mm r130mm o 'A2(A3) A3' 'l2 (A2)A1' l3' l2 l1'

图（6）

18.一直径为400mm，折射率为1.5的玻璃球中有两个小气泡，一个位于球心，另一个位于1/2半径处，如图1（a）和（b）所示。沿两气泡连线方向在球的两边观察，问看到的气泡在何处？如果在水中观察，看到的气泡又在何处？ 解：依题意A点有两种情况如图1(a)和(b)：

r1200mm r2200mm

A B 图1（a）

r1200mm r2200mm

B A 图1（b）

条件图1(a):

'从右测观察时，将r200mm，n=1.5，n1和物距

lA300mm，lB200mm，分别代入公式

n'nn'n'lr 得 l''lA400mm，lB200mm，物像位置如图（2）所示。

r1200mm r2200mm

B' A' A B 'lBlB200mm

lA300mm 'lA400mm

从左侧观察时：

图（2）

认为A、B均为像点，求其物。

'l此时，将r200mm，n=1，n1.5和A100mm，

'''nnnn'lB200mm，分别代入公式'lr解得 llA80mm，lB200mm，物像位置如图（3）。

r1200mm r2200mm

B' A A' B lA80mm 'lA100mm 'lBlB200mm

图（3）

在水中观察：

从右测观察时，将r200mm，n=1.5，n'1.33和物距

lA300mm，lB200mm，分别代入公式

n'nn'n'lr 得 llA'320mm，lB'200mm

从左侧观察时：

认为A、B均为像点，求其物。

''ln1.5r200mm此时，将，n=1.33，和A100mm，

''nnnn'lB200mm，分别代入公式'lr解得 llA93.99mm，lB200mm。

条件图1（b）:

'从右测观察时，将r200mm，n=1.5，n1和物距

lA100mm，lB200mm，分别代入公式

n'nn'n'lr 得 llA'80mm，lB'200mm

从左侧观察时：

认为A、B均为像点，求其物。

'l此时，将r200mm，n=1，n1.5和A300mm，

'''nnnn'lB200mm，分别代入公式'lr解得 llA400mm，lB200mm，

在水中观察：

'从右测观察时，将r200mm，n=1.5，n1.33和物距

lA100mm，lB200mm，分别代入公式

n'nn'n'lr 得 llA'93.99mm，lB'200mm

从左侧观察时：

认为A、B均为像点，求其物。

''此时，将r200mm，n=1.33，n1.5和lA300mm，

''nnnn'lB200mm，分别代入公式'lr解得 llA320mm，lB200mm。

19 有平凸透镜r1100mm,r2,d300mm,n1.5，当物体在

时，求高斯像的位置。在第二面上刻一个十字丝，问其通

过球面的共轭像在何处？当入射高度h10mm时，实际光线的像方截距为多少？与高斯像面的距离为多少？

解：（1）根据近轴光的光线光路计算公式可求高斯像位置。将l1,n1'1.5,n11,r1100mm代入单个折射球面成像公式

n'nn'n'l'，得1300mm lrl'l2ld=（300-300）mm=0mm，所以l20mm

'1即：物体位于时，其高斯像点在第二面的中心处。 （2）由光路的可逆性可知：第二面上的十字丝，其共轭像在物方处。

（3）当h110mm时，如图（7）所示。利用课本公式（1-9）～（1-12）求解得

h110光线经第1面折射，sinI1r1000.1，

1sinI1'n11sinI0.10.0667 1'1.5n1'0Iarcsin0.06673.822所以1

U1'U1I1I1'(05.7393.822)01.91720

sinI1'0.0667Lr1(1)100(1)mm299.374mm。 '0.0334sinU1'1'd0.626mm,I2U1'1.91720，光线再经第2面折射，L2L1

'sinI则2n20'0sinI1.5sin1.91720.05018,I2.8765 22'n2''U2U2I2I21.917201.917202.876502.87650

由三角关系可得

xL2tanU1'0.626tan1.917200.0210mm，

0.0210L0.4169mm。 0tan2.8765'2即它与高斯像面的距离为-0.4169mm。

d=300mm r1100mm I1 I1' L'2 'U2 U''B' B I2 '1 x A'(A'') 'I2 n1.5 'L1 L2

图（7）