《模态比例因子》word版

1 线性系统的运动方程及其矩阵表达式

1.1 刚度矩阵、质量矩阵与阻尼矩阵

刚度系数𝑘𝑖𝑗定义为只在坐标𝑥𝑗上产生单位位移（其他坐标上的位移为零）而在坐标𝑥𝑖上需要加的力：

𝑘𝑖𝑗=𝑓𝑖|

对于图所示系统，刚度矩阵为：

𝑘1+𝑘2−𝑘2

[𝑘]=[

⋮0

−𝑘2𝑘2+𝑘3

⋱−𝑘𝑛

0−𝑘3

] 1.1.2 ⋮𝑘𝑛+𝑘𝑛+1

𝑥𝑗=1

𝑥𝑖=0(𝑟=1,2,⋯,𝑛,𝑟≠𝑗)

1.1.1

对于这类弹簧-质量-阻尼系统，一般存在下述规律：

（1）刚度矩阵（或阻尼矩阵）中的对角元素𝑘𝑖𝑖(或𝑐𝑖𝑖)为联接在质量m𝑖上的所有弹簧刚

度（或阻尼系数）的和；

（2）刚度矩阵（或阻尼矩阵）中的非对角元素𝑘𝑖𝑗(或𝑐𝑖𝑗)为直接联接在质量𝑚𝑖与𝑚𝑗之间

的弹簧刚度（或阻尼系数），取负值；

（3）一般而言，刚度矩阵和阻尼矩阵都是对称矩阵；

（4）如果将系统质心作为坐标原点，则质量矩阵是对角矩阵，但一般情况下质量矩阵

并不一定是对角的。

1.2 特征值问题

多自由度系统的运动微分方程为：

[𝑚]{𝑥̈(𝑡)}+[𝑐]∙{𝑥̇(𝑡)}+[𝑘]∙{𝑥(𝑡)}={𝑓(𝑡)} 1.2.1

式中，

{𝑥(𝑡)}={𝑥1(𝑡),𝑥2(𝑡),⋯,𝑥𝑛(𝑡)}𝑇

{𝑓(𝑡)}={𝑓1(𝑡),𝑓2(𝑡),⋯,𝑓𝑛(𝑡)}𝑇

[𝑚],[𝑐],[𝑘]分别是质量、阻尼和刚度矩阵。

1.2.1 无阻尼和比例阻尼系统

考虑无阻尼和比例阻尼系统的自由振动，其运动微分方程为：

[𝑚]{𝑥̈(𝑡)}+[𝑘]∙{𝑥(𝑡)}={0} 1.2.2

或展开为：

𝑛

∑𝑛𝑗=1𝑚𝑖𝑗𝑥̈𝑗(𝑡)+∑𝑗=1𝑘𝑖𝑗𝑥𝑗(𝑡)+=0 (𝑖=1,2,⋯,𝑛) 1.2.3

为了研究它的解，先试探一种最简单的、特殊形式的解：各质量合拍地进行运动，即各坐标之比𝑥j(𝑡)/𝑥𝑖(𝑡)等于常数，称这种运动为同步运动。可将同步解写为：

𝑥𝑗(𝑡)=𝜑𝑗𝑆(𝑡) (𝑗=1,2,⋯,𝑛) 1.2.4

式中，𝜑𝑗(𝑗=1,2,⋯,𝑛)是一组参数；𝑆(𝑡)是依赖时间的实函数，对所有坐标都相同。由此式可推出：

𝑥𝑗(𝑡)

𝑖

=𝑥(𝑡)

𝜑𝑗𝜑𝑖

=𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 (𝑖,𝑗=1,2,⋯,𝑛) 1.2.5

将1.2.4代入1.2.3，得：

𝑛

𝑛

𝑆(𝑡)∑𝑚𝑖𝑗𝜑𝑗+𝑆(𝑡)∑𝑘𝑖𝑗𝜑𝑗=0 (𝑖=1,2,⋯,𝑛)

𝑗=1

𝑗=1

将上式分离变量，得：

∑𝑛𝑆(𝑡)𝑗=1𝑘𝑖𝑗𝜑𝑗

=−𝑛 (𝑖=1,2,⋯,𝑛)

∑𝑗=1𝑚𝑖𝑗𝜑𝑗𝑆(𝑡) 1.2.6

方程1.2.6的左端仅与时间t有关，右端仅与位移（坐标）有关，为使该等式能成立，其两端都必须等于一个常数；由于𝑆(𝑡)是实函数，故该常数必为实数，不妨假定为λ，于是有

𝑆(𝑡)+λ𝑆(𝑡)=0 1.2.7a

∑𝑛𝑗=1(𝑘𝑖𝑗−λ𝑚𝑖𝑗)𝜑𝑗=0 (𝑖=1,2,⋯,𝑛) 1.2.7b

对于方程1.2.7a，已知它的解为

𝑆(𝑡)=𝐶cos(𝜔𝑡−𝜃) 1.2.9

式中𝜔2=λ，而𝜔是实数，为简谐运动的频率，𝐶和𝜃是任意参数。

频率𝜔（或）λ不能是任意的，它的确定应该考虑到使方程1.2.7b有非零解。将方程1.2.7b写出矩阵形式

([𝑘]−𝜔2[𝑚]){𝜑𝑗}={0} 1.2.10

这是一个关于{𝜑𝑗}的𝑛元线性齐次方程组，该方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式等于零，即

Δ(𝜔2)=|𝑘𝑖𝑗−𝜔2𝑚𝑖𝑗|=0 1.2.11

式1.2.9称为系统的特征方程，式1.2.10成为系统频率方程，该行列式称为特征行列式，将它展开后得到关于𝜔2的𝑛次代数方程

𝜔2n+𝑎1𝜔2(n−1)+𝑎2𝜔2(n−2)+⋯+𝑎𝑛−1𝜔2+𝑎𝑛=0 1.2.12

假定系统的质量矩阵与刚度矩阵都是正定的是对称矩阵。在数学上可以证明，在这一条件下，频率方程1.2.11的𝑛个根均为正实根，它们对于系统的𝑛个自然频率。这里假设各根互补相等，即没有重根，因而可由小到大按次序排列为

22

ω1<ω22<⋯<ω𝑛

其中最低的频率ω1称为基频，在工程应用中它是最重要的一个自然频率。

(r)

将各特征根λ𝑟=ω2称为系统的模态向量𝑟分别代入方程1.2.9便可得各相应的解{𝜑}，

或振型向量。自然频率𝜔𝑟和模态向量{𝜑𝑟}构成了系统的第r阶自然模态，它表征了系统的一种基本运动模式，即一种同步运动。𝑛自由度系统一般有𝑛种同步运动，每一种均为简谐运动，但频率𝜔𝑟不同，而且其振幅在各自由度上的分配方式，即模态向量{𝜑𝑟}也不

同。每一种同步运动可写为

{𝑥(𝑡)𝑟}={𝜑𝑟}cos(𝜔𝑟𝑡−𝜃𝑟) (𝑟=1,2,⋯,𝑛) 1.2.13

由于1.22或1.23是齐次方程，因此以上个解的线性组合仍为原方程的解，由此得系统自由振动的通解为

𝑛

𝑛

{𝑥(𝑡)}=∑𝐶𝑟{𝑥(𝑡)𝑟}=∑𝐶𝑟{𝜑𝑟}cos(𝜔𝑟𝑡−𝜃𝑟) (𝑟=1,2,⋯,𝑛)

r=1

𝑟=1

1.2.14

式中𝜔𝑟、{𝜑𝑟}(𝑟=1,2,⋯,𝑛)由系统参数决定，𝐶𝑟、𝜃𝑟(𝑟=1,2,⋯,𝑛)为待定常数，由初始条件决定。

1.2.2 一般粘性阻尼

1.3 正交性、标准化与比例换算因子

2 传统振动测试方法获得比例换算因子

2.1 解析法

模态分析解析法的出发点是根据质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵来估计结构的质量、刚度和阻尼分布。这些矩阵决定了特征值问题，

(p[

[0][𝑀]−[𝑀][0]

]+[]){𝑌}={0}

[𝑀][𝐶][0][𝐾]

其特征值就是满足下列方程的p的值

|p[𝐴]+[𝐵]|=0

特征值λ𝑟就是系统极点，λ𝑟=σ𝑟+jω𝑟，既包含阻尼因子，又包含阻尼固有频率。将特征值λ𝑟（系统极点）代入上式得到特征向量[Φ]𝑟

λ{𝜑}𝑟

[Φ]𝑟=[𝑟]

{𝜑}𝑟

λ{𝜑}

[Φ]=[11

{𝜑}1

⋯λ𝑛{𝜑}𝑛⋯{𝜑}𝑛∗

λ∗1{𝜑}1

∗{𝜑}1

⋯

⋯

∗

λ∗𝑛{𝜑}𝑛

] {𝜑}∗𝑛

模态𝑎矩阵由特征向量与系统矩阵来确定：

λ1{𝜑}𝑇1[⋮

∗𝑇λ∗𝑛{𝜑}𝑛

{𝜑}𝑇1[0][𝑀]λ1{𝜑}1

⋮][][

[][]{𝜑}1𝑀𝐶𝑇

{𝜑}∗𝑛

𝑎∗⋯λ∗𝑛{𝜑}𝑛

]=[

⋯{𝜑}∗𝑛

⋱

]

𝑎

比例因子𝑄𝑟等于对应模态𝑎𝑟的逆，或者：

𝑄[

⋱

]=[𝑄

𝑎

−1

⋱

] 𝑎

上式给出了适当的比例换算因子，从而使我们可以借助模态参数构造出频率响应函数，见下式：

𝑛

[𝐻(𝑗𝜔)]=∑(

𝑟=1

𝑄𝑟{𝜑}𝑟{𝜑}𝑇𝑟

𝑗𝜔−λ𝑟

+

{}∗{}∗𝑇𝑄∗𝑟𝜑𝑟𝜑𝑟𝑗𝜔−λ𝑟

)

2.2 实验法

模态分析的实验方法是从测量上面这个频率函数矩阵（或其一部分）开始的。然后根据上式（或其等效时域脉冲响应函数，或有关的关系式如直接时间响应）用适当的参数估计法来估计模态参数λ𝑟、{𝜑}𝑟；按照A.1.2.8节提出的某种比例换算方法估计比例因子

𝑄𝑟；根据

𝑄[

⋱

]=[𝑄

𝑎

−1

⋱

] 𝑎

得到模态𝑎矩阵的相应值。因为在一般情况下实验模态数据库是不完整的（自

由度树大大超过估计的模态数），所以从这些实验模态数据不可能得到正确估计出系统的质量、刚度和阻尼矩阵。

3 OMA中Mass Change Method 推导比例换

算因子的方法

3.1 E. Parloo et al基于敏感度的比例换算因子推导

3.2 Rune Brincker基于运动方程的比例因子推导及改进 3.2.1 基本步骤

为了获得完备的模态参数（固有频率、阻尼因子和归一化的模态振型），其步骤如下： （1） 对结构进行OMT测试，然后进行OMA分析得到结构的固有频率ω1、阻尼因子ζ1和未

归一化的模态振型{𝜑}1；

（2） 在结构的某些点上附加质量Δm以改变结构特性；

（3） 重新对结构进行OMT测试，然后进行OMA分析得到改变后结构的固有频率ω2、阻尼

因子ζ2和未归一化的模态振型{𝜑}2；

（4） 通过附加质量和模态参数得到比例因子α。

3.2.2 理论基础

考虑无阻尼和比例阻尼系统的自由振动，其运动微分方程如1.2.2：

[𝑚]{𝑥̈(𝑡)}+[𝑘]∙{𝑥(𝑡)}={0}

其特征方程为1.2.9：

([𝑘]−𝜔2[𝑚]){𝜑𝑗}={0}

在附加质量之前由上式可得：

2[]{}[𝑘]{𝜑}1=𝜔1𝑚𝜑1 3.2.1

在附加质量之后由上式可得：

2([][𝑘]{𝜑}2=𝜔2𝑚+[Δ𝑚]){𝜑}2 3.2.2

用3.2.1减去3.2.2得：

2{}2{})2{}[𝑘]{{𝜑}1−{𝜑}2}=[𝑚](𝜔1𝜑1−𝜔2𝜑2−[Δ𝑚]𝜔2𝜑2 3.2.3

这里需要假设附加质量引起的模态振型的变化很小以致可以忽略，得：

{𝜑}1≅{𝜑}2≅{𝜑}

则3.2.3变为：

22

[𝑚](𝜔21−𝜔2){𝜑}=[Δ𝑚]𝜔2{𝜑}

方程两边左乘{𝜑}𝑇，得：

2𝑇2{𝜑}𝑇[𝑚]{𝜑}(𝜔21−𝜔2)={𝜑}[Δ𝑚]{𝜑}𝜔2

由式上式简化为：

2𝑇2{𝜑}𝑇[𝑚]{𝜑}(𝜔21−𝜔2)={𝜑}[Δ𝑚]{𝜑}𝜔2

方程两边同乘α2 得：

22𝑇2α2{𝜑}𝑇[𝑚]{𝜑}(𝜔21−𝜔2)=α{𝜑}[Δ𝑚]{𝜑}𝜔2

考虑到{Ψ}=α{𝜑}，{Ψ}𝑇[𝑚]{Ψ}=1上式化简得：

22𝑇2

(𝜔21−𝜔2)=α{𝜑}[Δ𝑚]{𝜑}𝜔2

22)(𝜔1−𝜔2

α=√𝑇2 {𝜑}[Δ𝑚]{𝜑}𝜔2

（注：素材和资料部分来自网络，供参考。请预览后才下载，期待你的好评与关注！）