2021年湖北省武汉市中考数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑. 1．（3分）实数3的相反数是（ ） A．3
B．﹣3
C． 31
D．−
1
32．（3分）下列事件中是必然事件的是（ ） A．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 B．随意翻到一本书的某页，这一页的页码是偶数 C．打开电视机，正在播放广告
D．从两个班级中任选三名学生，至少有两名学生来自同一个班级
3．（3分）下列图形都是由一个圆和两个相等的半圆组合而成的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）计算（﹣a2）3的结果是（ ） A．﹣a6
B．a6
C．﹣a5
D．a5
5．（3分）如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）学校招募运动会广播员，从两名男生和两名女生共四名候选人中随机选取两人，则两人恰好是一男一女的概率是（ ）
第1页（共25页）
A．
3
1
B．
2
1
C． 3
2
D． 4
3
7．（3分）我国古代数学名著《九章算术》中记载“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思是：现有几个人共买一件物品，每人出8钱，多出3钱；每人出7钱，还差4钱．问人数，物价各是多少？若设共有x人，物价是y钱，则下列方程正确的是（ ） A．8（x﹣3）＝7（x+4） C．
𝑦−38
B．8x+3＝7x﹣4 D．
𝑦+38
=
𝑦+47
=
𝑦−47
8．（3分）一辆快车和一辆慢车将一批物资从甲地运往乙地，其中快车送达后立即沿原路返回，且往返速度的大小不变，两车离甲地的距离y（单位：km）与慢车行驶时间t（单位：h）的函数关系如图，则两车先后两次相遇的间隔时间是（ ）
A．h
35
B．h
2
3
C．h
5
7
D．h
3
4
̂沿BC翻折交AB于点D，再9．（3分）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，先将𝐵𝐶̂沿AB翻折交BC于点E．若𝐵𝐸̂=𝐷𝐸̂，设∠ABC＝α，则α所在的范围是（ ）将𝐵𝐷
A．21.9°＜α＜22.3° C．22.7°＜α＜23.1°
B．22.3°＜α＜22.7° D．23.1°＜α＜23.5°
10．（3分）已知a，b是方程x2﹣3x﹣5＝0的两根，则代数式2a3﹣6a2+b2+7b+1的值是（ ） A．﹣25
B．﹣24 C．35
第2页（共25页）
D．36
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卡指定的位置.
11．（3分）计算√(−5)2的结果是 ．
12．（3分）我国是一个人口资源大国．第七次全国人口普查结果显示，北京等五大城市的常住人口数如下表，这组数据的中位数是 ． 城市 常住人口数万
𝑚2+113．（3分）已知点A（a，y1），B（a+1，y2）在反比例函数y=（m是常数）的图象
𝑥北京 2189
上海 2487
广州 1868
重庆 3205
成都 2094
上，且y1＜y2，则a的取值范围是 ．
14．（3分）如图，海中有一个小岛A．一艘轮船由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上；航行12nmile到达C点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上．小岛A到航线BC的距离是 nmile（√3≈1.73，结果用四舍五入法精确到0.1）．
15．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），a+b+c＝0．下列四个结论： ①若抛物线经过点（﹣3，0），则b＝2a； ②若b＝c，则方程cx2+bx+a＝0一定有根x＝﹣2； ③抛物线与x轴一定有两个不同的公共点；
④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，若0＜a＜c，则当x1＜x2＜1时，y1＞y2． 其中正确的是 （填写序号）．
16．（3分）如图（1），在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，边AB上的点D从顶点A出发，向顶点B运动，同时，边BC上的点E从顶点B出发，向顶点C运动，D，E两点运动速度的大小相等，设x＝AD，y＝AE+CD，y关于x的函数图象如图（2），图象过点（0，2），则图象最低点的横坐标是 ．
第3页（共25页）
三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形.
2𝑥≥𝑥−1，①17．（8分）解不等式组{请按下列步骤完成解答．
4𝑥+10＞𝑥+1．②（1）解不等式①，得 ； （2）解不等式②，得 ；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（4）原不等式组的解集是 ．
18．（8分）如图，AB∥CD，∠B＝∠D，直线EF与AD，BC的延长线分别交于点E，F，求证：∠DEF＝∠F．
19．（8分）为了解落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的实施情况，某校从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们平均每周劳动时间t（单位：h），按劳动时间分为四组：A组“t＜5”，B组“5≤t＜7”，C组“7≤t＜9”，D组“t≥9”．将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图．
第4页（共25页）
根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次抽样调查的样本容量是 ，C组所在扇形的圆心角的大小是 ； （2）将条形统计图补充完整；
（3）该校共有1500名学生，请你估计该校平均每周劳动时间不少于7h的学生人数． 20．（8分）如图是由小正方形组成的5×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点，矩形ABCD的四个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． （1）在图（1）中，先在边AB上画点E，使AE＝2BE，再过点E画直线EF，使EF平分矩形ABCD的面积；
（2）在图（2）中，先画△BCD的高CG，再在边AB上画点H，使BH＝
DH．
̂的中点，过点C作AD21．（8分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，C是𝐵𝐷的垂线，垂足是E．连接AC交BD于点F． （1）求证：CE是⊙O的切线； （2）若
𝐷𝐶𝐷𝐹
=
√6，求cos∠ABD的值．
第5页（共25页）
22．（10分）在“乡村振兴”行动中，某村办企业以A，B两种农作物为原料开发了一种有机产品．A原料的单价是B原料单价的1.5倍，若用900元收购A原料会比用900元收购B原料少100kg．生产该产品每盒需要A原料2kg和B原料4kg，每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒．
（1）求每盒产品的成本（成本＝原料费+其他成本）；
（2）设每盒产品的售价是x元（x是整数），每天的利润是w元，求w关于x的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；
（3）若每盒产品的售价不超过a元（a是大于60的常数，且是整数），直接写出每天的最大利润． 23．（10分）问题提出
如图（1），在△ABC和△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝90°，BC＝AC，EC＝DC，点E在△ABC内部，直线AD与BE于点F．线段AF，BF，CF之间存在怎样的数量关系？ 问题探究
（1）先将问题特殊化如图（2），当点D，F重合时，直接写出一个等式，表示AF，BF，CF之间的数量关系；
（2）再探究一般情形如图（1），当点D，F不重合时，证明（1）中的结论仍然成立． 问题拓展
如图（3），在△ABC和△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝90°，BC＝kAC，EC＝kDC（k是常数），点E在△ABC内部，直线AD与BE交于点F．直接写出一个等式，表示线段AF，BF，CF之间的数量关系．
第6页（共25页）
24．（12分）抛物线y＝x2﹣1交x轴于A，B两点（A在B的左边）．
（1）▱ACDE的顶点C在y轴的正半轴上，顶点E在y轴右侧的抛物线上；
①如图（1），若点C的坐标是（0，3），点E的横坐标是，直接写出点A，D的坐标．
23
②如图（2），若点D在抛物线上，且▱ACDE的面积是12，求点E的坐标．
（2）如图（3），F是原点O关于抛物线顶点的对称点，不平行y轴的直线l分别交线段AF，BF（不含端点）于G，H两点．若直线l与抛物线只有一个公共点，求证：FG+FH的值是定值．
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2021年湖北省武汉市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑. 1．（3分）实数3的相反数是（ ） A．3
B．﹣3
C． 31
D．−
1
3【解答】解：实数3的相反数是：﹣3． 故选：B．
2．（3分）下列事件中是必然事件的是（ ） A．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 B．随意翻到一本书的某页，这一页的页码是偶数 C．打开电视机，正在播放广告
D．从两个班级中任选三名学生，至少有两名学生来自同一个班级 【解答】解：A、抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上，是随机事件； B、随意翻到一本书的某页，这一页的页码是偶数，是随机事件； C、打开电视机，正在播放广告，是随机事件；
D、从两个班级中任选三名学生，至少有两名学生来自同一个班级，是必然事件； 故选：D．
3．（3分）下列图形都是由一个圆和两个相等的半圆组合而成的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A．既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意； B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意； C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； 故选：A．
4．（3分）计算（﹣a2）3的结果是（ ）
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A．﹣a6 B．a6 C．﹣a5 D．a5
【解答】解：（﹣a2）3＝﹣a6， 故选：A．
5．（3分）如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：从正面看易得有两层，底层三个正方形，上层中间是一个正方形． 故选：C．
6．（3分）学校招募运动会广播员，从两名男生和两名女生共四名候选人中随机选取两人，则两人恰好是一男一女的概率是（ ） A．
31
B．
2
1
C． 3
2
D． 4
3
【解答】解：画树状图如图：
共有12种等可能的结果，抽取的两人恰好是一男一女的结果有8种， ∴两人恰好是一男一女的概率为故选：C．
7．（3分）我国古代数学名著《九章算术》中记载“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思是：现有几个人共买一件物品，每人出8钱，多出3钱；每人出7钱，还差4钱．问人数，物价各是多少？若设共有x人，物价是y钱，
第9页（共25页）
8
12
=，
3
2
则下列方程正确的是（ ） A．8（x﹣3）＝7（x+4） C．
𝑦−38
B．8x+3＝7x﹣4 D．
𝑦+38
=
𝑦+47
=
𝑦−47
【解答】解：设物价是y钱，根据题意可得：
𝑦+38
=
𝑦−47
．
故选：D．
8．（3分）一辆快车和一辆慢车将一批物资从甲地运往乙地，其中快车送达后立即沿原路返回，且往返速度的大小不变，两车离甲地的距离y（单位：km）与慢车行驶时间t（单位：h）的函数关系如图，则两车先后两次相遇的间隔时间是（ ）
A．h
35
B．h
2
𝑎6
3
C．h
5
7
D．h
3
4
【解答】解：根据图象可知，慢车的速度为𝑘𝑚/ℎ． 对于快车，由于往返速度大小不变，总共行驶时间是4 h， 因此单程所花时间为2 h，故其速度为𝑘𝑚/ℎ．
2𝑎
所以对于慢车，y与t的函数表达式为𝑦=𝑡(0≤𝑡≤6)•①．
𝑎
(𝑡−2)(2≤𝑡＜4)⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅②,2对于快车，y与t的函数表达式为𝑦={𝑎 −2(𝑡−6)4≤𝑡≤6)⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅③,
𝑎6联立①②，可解得交点横坐标为t＝3， 联立①③，可解得交点横坐标为t＝4.5， 因此，两车先后两次相遇的间隔时间是1.5， 故选：B．
̂沿BC翻折交AB于点D，再9．（3分）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，先将𝐵𝐶̂沿AB翻折交BC于点E．若𝐵𝐸̂=𝐷𝐸̂，设∠ABC＝α，则α所在的范围是（ ）将𝐵𝐷
第10页（共25页）
A．21.9°＜α＜22.3° B．22.3°＜α＜22.7°
C．22.7°＜α＜23.1°
D．23.1°＜α＜23.5°
【解答】解：如图，连接AC,CD,DE．
∵𝐸𝐷̂=𝐸𝐵̂, ∴ED＝EB,
∴∠EDB＝∠EBD＝α, ∵𝐴𝐶
̂=𝐶𝐷̂=𝐷𝐸̂, ∴AD＝CD＝DE,
∴∠DCE＝∠DEC＝∠EDB+∠EBD＝2α, ∴∠CAD＝∠CDA＝∠DCE+∠EBD＝3α, ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°, ∴∠CAB+∠ABC＝90°, ∴4α＝90°, ∴α＝22.5°, 故选：B．
10．（3分）已知a，b是方程x2﹣3x﹣5＝0的两根，则代数式2a3﹣6a2+b2+7b+1的值是（第11页（共25页）
）
A．﹣25 B．﹣24 C．35 D．36
【解答】解：∵a，b是方程x2﹣3x﹣5＝0的两根， ∴a2﹣3a﹣5＝0，b2﹣3b﹣5＝0，a+b＝3, ∴a2﹣3a＝5，b2＝3b+5， ∴2a3﹣6a2+b2+7b+1 ＝2a（a2﹣3a)+3b+5+7b+1 ＝10a+10b+6 ＝10(a+b)+6 ＝10×3+6 ＝36． 故选：D．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卡指定的位置.
11．（3分）计算√(−5)2的结果是 5 ． 【解答】解：√(−5)2=|﹣5|＝5．
12．（3分）我国是一个人口资源大国．第七次全国人口普查结果显示，北京等五大城市的常住人口数如下表，这组数据的中位数是 2189 ． 城市 常住人口数万
【解答】解：将这组数据重新排列为1868，2094，2189，2487，3205， 所以这组数据的中位数为2189， 故答案为：2189．
13．（3分）已知点A（a，y1），B（a+1，y2）在反比例函数y=上，且y1＜y2，则a的取值范围是 ﹣1＜a＜0 ． 【解答】解：∵k＝m2+1＞0，
𝑚2+1
∴反比例函数y=𝑥（m是常数）的图象在一、三象限，在每个象限，y随x的增大
𝑚2+1
（m是常数）的图象𝑥北京 2189
上海 2487
广州 1868
重庆 3205
成都 2094
而减小，
①当A（a，y1），B（a+1，y2）在同一象限，
第12页（共25页）
∵y1＜y2， ∴a＞a+1， 此不等式无解；
②当点A（a，y1）、B（a+1，y2）在不同象限， ∵y1＜y2， ∴a＜0，a+1＞0， 解得：﹣1＜a＜0， 故答案为﹣1＜a＜0．
14．（3分）如图，海中有一个小岛A．一艘轮船由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上；航行12nmile到达C点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上．小岛A到航线BC的距离是 10.4 nmile（√3≈1.73，结果用四舍五入法精确到0.1）．
【解答】解：过点A作AE⊥BD交BD的延长线于点E， 由题意得，∠CBA＝60°，∠EAD＝30°， ∴∠ABD＝30°，∠ADE＝60°， ∴∠BAD＝∠ADE﹣∠ABD＝30°， ∴∠BAD＝∠ABD， ∴AD＝AB＝12nmile，
在Rt△ADE中，sin∠ADE=𝐴𝐷，
∴AE＝AD•sin∠ADE＝6√3≈10.4（nmile）， 故小岛A到航线BC的距离是10.4nmile， 故答案为10.4．
𝐴𝐸
第13页（共25页）
15．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），a+b+c＝0．下列四个结论： ①若抛物线经过点（﹣3，0），则b＝2a； ②若b＝c，则方程cx2+bx+a＝0一定有根x＝﹣2； ③抛物线与x轴一定有两个不同的公共点；
④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，若0＜a＜c，则当x1＜x2＜1时，y1＞y2． 其中正确的是 ①②④ （填写序号）．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），a+b+c＝0， ∴（1，0）是抛物线与x轴的一个交点． ①∵抛物线经过点（﹣3，0）， ∴抛物线的对称轴为直线x=
𝑏
1+(−3)
=−1， 2∴−2𝑎=−1，即b＝2a，即①正确；
②若b＝c，则二次函数y＝cx2+bx+a的对称轴为直线：x=−2𝑐=−2， 且二次函数y＝cx2+bx+a过点（1，0）， ∴
1+𝑚2
𝑏
1
=−，解得m＝﹣2，
2
1
∴y＝cx2+bx+a与x轴的另一个交点为（﹣2，0），即方程cx2+bx+a＝0一定有根x＝﹣2；故②正确；
③△＝b2﹣4ac＝（a+c）2﹣4ac＝（a﹣c）2≥0， ∴抛物线与x轴一定有两个公共点，
且当a≠c时，抛物线与x轴一定有两个不同的公共点．故③不正确； ④由题意可知，抛物线开口向上，且＞1，
𝑎𝑐
∴（1，0）在对称轴的左侧， ∴当x＜1时，y随x的增大而减小， ∴当x1＜x2＜1时，y1＞y2．故④正确． 故答案为：①②④．
16．（3分）如图（1），在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，边AB上的点D从顶点A出发，向顶点B运动，同时，边BC上的点E从顶点B出发，向顶点C运动，D，E两点运动速度的大小相等，设x＝AD，y＝AE+CD，y关于x的函数图象如图（2），图象过点（0，2），则图象最低点的横坐标是 √2−1 ．
第14页（共25页）
【解答】解：∵图象过点（0，2），
即当x＝AD＝0时,点D与A重合，点E与B重合， 此时y＝AE+CD＝AB+AC＝2, ∵△ABC为等腰直角三角形， ∴AB＝AC＝1，
过点A作AF⊥BC于点F，过点B作NB⊥BC，并使得BN＝AC，如图所示：
∵AD＝BE,∠NBE＝∠CAD， ∴△NBE≌△CAD(SAS)， ∴NE＝CD， 又∵y＝AE+CD, ∴y＝AE+CD＝AE+NE,
当A、E、N三点共线时，y取得最小值，如图所示，此时： AD＝BE＝x,AC＝BN＝1， ∴AF＝AC•sin45°=2,
第15页（共25页）
√2
\\又∵∠BEN＝∠FEA，∠NBE＝∠AFE ∴△NBE∽△AFE ∴
𝑁𝐵𝐴𝐹
=
𝐵𝐸𝐹𝐸
，即1√22
=
𝑥√2−𝑥2
，
解得：x=√2−1，
∴图象最低点的横坐标为：√2−1． 故答案为：√2−1．
三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形.
2𝑥≥𝑥−1，①17．（8分）解不等式组{请按下列步骤完成解答．
4𝑥+10＞𝑥+1．②（1）解不等式①，得 x≥﹣1 ； （2）解不等式②，得 x＞﹣3 ；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（4）原不等式组的解集是 x≥﹣1 ． 2𝑥≥𝑥−1，①【解答】解：{
4𝑥+10＞𝑥+1．②（1）解不等式①，得x≥﹣1； （2）解不等式②，得x＞﹣3；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（4）原不等式组的解集是x≥﹣1． 故答案为：x≥﹣1；x＞﹣3；x≥﹣1．
18．（8分）如图，AB∥CD，∠B＝∠D，直线EF与AD，BC的延长线分别交于点E，F，求证：∠DEF＝∠F．
第16页（共25页）
【解答】证明：∵AB∥CD， ∴∠DCF＝∠B， ∵∠B＝∠D， ∴∠DCF＝∠D， ∴AD∥BC， ∴∠DEF＝∠F．
19．（8分）为了解落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的实施情况，某校从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们平均每周劳动时间t（单位：h），按劳动时间分为四组：A组“t＜5”，B组“5≤t＜7”，C组“7≤t＜9”，D组“t≥9”．将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次抽样调查的样本容量是 100 ，C组所在扇形的圆心角的大小是 108° ； （2）将条形统计图补充完整；
（3）该校共有1500名学生，请你估计该校平均每周劳动时间不少于7h的学生人数． 【解答】解：（1）这次抽样调查的样本容量是10÷10%＝100， C组所在扇形的圆心角的大小是360°×100=108°， 故答案为：100，108°；
第17页（共25页）
30
（2）B组的人数＝100﹣15﹣30﹣10＝45（名）， 条形统计图如图所示，
（3）1500×
30+10
=600（名）． 100答：估计该校平均每周劳动时间不少于7h的学生人数为600．
20．（8分）如图是由小正方形组成的5×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点，矩形ABCD的四个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． （1）在图（1）中，先在边AB上画点E，使AE＝2BE，再过点E画直线EF，使EF平分矩形ABCD的面积；
（2）在图（2）中，先画△BCD的高CG，再在边AB上画点H，使BH＝
DH．
【解答】解：（1)如图，直线EF即为所求． （2）如图，线段CG,点H即为所求．
第18页（共25页）
̂的中点，过点C作AD21．（8分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，C是𝐵𝐷的垂线，垂足是E．连接AC交BD于点F． （1）求证：CE是⊙O的切线； （2）若
𝐷𝐶𝐷𝐹
=
√6，求cos∠ABD的值．
【解答】（1）证明：连接OC交BD于点G， ̂的中点， ∵点C是𝐵𝐷
∴由圆的对称性得OC垂直平分BD， ∴∠DGC＝90°, ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°, ∴∠EDB＝90°, ∵CE⊥AE， ∴∠E＝90°,
∴四边形EDGC是矩形， ∴∠ECG＝90°， ∴CE⊥OC,
∴CE是⊙O的切线；
第19页（共25页）
（2）解：连接BC，设FG＝x,OB＝r， ∵
𝐷𝐶𝐷𝐹
=
√6，
设DF＝t,DC=√6t,
由（1）得，BC＝CD=√6t,BG＝GD＝x+t, ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°, ∴∠BCG+∠FCG＝90°, ∵∠DGC＝90°, ∴∠CFB+∠FCG＝90°, ∴∠BCG＝∠CFB, ∴Rt△BCG∽Rt△BFC, ∴BC2＝BG•BF,
∴（√6t）2＝（x+t）（x+2t）
解得x1＝t,x2=−2t（不符合题意，舍去）， ∴CG=√𝐵𝐶2−𝐵𝐺2=√(√6)2−(2𝑡)2=√2t, ∴OG＝r−√2t,
在Rt△OBG中，由勾股定理得OG2+BG2＝OB2, ∴（r−√2t）2+（2r）2＝r2, 解得r=
3√2t, 2𝐵𝐺2𝑡2√2=√=． 𝑂𝐵32𝑡325
∴cos∠ABD=
22．（10分）在“乡村振兴”行动中，某村办企业以A，B两种农作物为原料开发了一种有机产品．A原料的单价是B原料单价的1.5倍，若用900元收购A原料会比用900元收
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购B原料少100kg．生产该产品每盒需要A原料2kg和B原料4kg，每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒．
（1）求每盒产品的成本（成本＝原料费+其他成本）；
（2）设每盒产品的售价是x元（x是整数），每天的利润是w元，求w关于x的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；
（3）若每盒产品的售价不超过a元（a是大于60的常数，且是整数），直接写出每天的最大利润．
【解答】解：（1）设B原料单价为m元，则A原料单价为1.5m元， 根据题意，得解得m＝3， ∴1.5m＝4.5，
∴每盒产品的成本是：4.5×2+4×3+9＝30（元）， 答：每盒产品的成本为30元；
（2）根据题意，得w＝(x﹣30)[500﹣10(x﹣60)]＝﹣10x2+1400x﹣33000， ∴w关于x的函数解析式为：w＝﹣10x2+1400x﹣33000；
（3）由（2）知w＝﹣10x2+1400x﹣33000＝﹣10（x﹣70）2+16000， ∴当a≥70时，每天最大利润为16000元，
当60＜a＜70时，每天的最大利润为(﹣10a2+1400a﹣33000)元． 23．（10分）问题提出
如图（1），在△ABC和△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝90°，BC＝AC，EC＝DC，点E在△ABC内部，直线AD与BE于点F．线段AF，BF，CF之间存在怎样的数量关系？ 问题探究
（1）先将问题特殊化如图（2），当点D，F重合时，直接写出一个等式，表示AF，BF，CF之间的数量关系；
（2）再探究一般情形如图（1），当点D，F不重合时，证明（1）中的结论仍然成立． 问题拓展
如图（3），在△ABC和△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝90°，BC＝kAC，EC＝kDC（k是常数），点E在△ABC内部，直线AD与BE交于点F．直接写出一个等式，表示线段AF，
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900𝑚
−
9001.5𝑚
=100，
BF，CF之间的数量关系．
【解答】解：（1）如图（2），∵∠ACD+∠ACE＝90°，∠ACE+∠BCE＝90°， ∴∠BCE＝∠ACD， ∵BC＝AC，EC＝DC， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE＝AD＝AF，∠EBC＝∠CAD， 故△CDE为等腰直角三角形， 故DE＝EF=√2CF，
则BF＝BD＝BE+ED＝AF+√2CF； 即BF﹣AF=√2CF；
（2）如图（1），由（1）知，△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CAF＝∠CBE，BE＝AF， 过点C作CG⊥CF交BF于点G，
∵∠FCE+∠ECG＝90°，∠ECG+∠GCB＝90°， ∴∠ACF＝∠GCB，
∵∠CAF＝∠CBE，BC＝AC， ∴△BCG≌△ACF（AAS），
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∴GC＝FC，BG＝AF，
故△GCF为等腰直角三角形，则GF=√2CF， 则BF＝BG+GF＝AF+√2CF， 即BF﹣AF=√2CF；
（3）由（2）知，∠BCE＝∠ACD， 而BC＝kAC，EC＝kDC， 即
𝐵𝐶𝐴𝐶
=
𝐸𝐶𝐶𝐷
=𝑘，
∴△BCE∽△CAD， ∴∠CAD＝∠CBE，
过点C作CG⊥CF交BF于点G，
由（2）知，∠BCG＝∠ACF， ∴△BGC∽△AFC， ∴
𝐵𝐺𝐴𝐹
=
𝐵𝐶𝐴𝐶
=𝑘=
𝐺𝐶𝐶𝐹
，
则BG＝kAF，GC＝kFC，
在Rt△CGF中，GF=√𝐺𝐶2+𝐹𝐶2=√(𝑘𝐹𝐶)2+𝐹𝐶2=√𝑘2+1•FC， 则BF＝BG+GF＝kAF+√𝑘2+1•FC， 即BF﹣kAF=√𝑘2+1•FC．
24．（12分）抛物线y＝x2﹣1交x轴于A，B两点（A在B的左边）．
（1）▱ACDE的顶点C在y轴的正半轴上，顶点E在y轴右侧的抛物线上；
①如图（1），若点C的坐标是（0，3），点E的横坐标是，直接写出点A，D的坐标．
23
②如图（2），若点D在抛物线上，且▱ACDE的面积是12，求点E的坐标．
（2）如图（3），F是原点O关于抛物线顶点的对称点，不平行y轴的直线l分别交线段
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AF，BF（不含端点）于G，H两点．若直线l与抛物线只有一个公共点，求证：FG+FH的值是定值．
【解答】解：（1）对于y＝x2﹣1，令y＝x2﹣1＝0，解得x＝±1，令x＝0，则y＝﹣1， 故点A、B的坐标分别为（﹣1，0）、（1,0），顶点坐标为（0，﹣1）， ①当x=2时，y＝x2﹣1=4，
由点A、C的坐标知，点A向右平移1个单位向上平移3个单位得到点C， ∵四边形ACDE为平行四边形，
故点E向右平移1个单位向上平移3个单位得到点D，
5517则+1=2，+3=4， 243
3
5
故点D的坐标为（，2
5174
）；
②设点C（0，n），点E的坐标为（m，m2﹣1）， 同理可得，点D的坐标为（m+1，m2﹣1+n），
将点D的坐标代入抛物线表达式得：m2﹣1+n＝（m+1）2﹣1， 解得n＝2m+1，
故点C的坐标为（0，2m+1）；
连接CE，过点E作y轴的平行线交x轴于点M，交过点C与x轴的平行线与点N，
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则S△ACE＝S梯形CNMA﹣S△CEN﹣S△AEM=（m+1+m）（2m+1）−×（m+1）（m2﹣1）−m[2m+1﹣（m2﹣1）]=S▱ACED＝6， 解得m＝﹣5（舍去）或2， 故点E的坐标为（2,3）；
（2）∵F是原点O关于抛物线顶点的对称点，故点F的坐标为（0，﹣2）， 由点B、F的坐标得，直线BF的表达式为y＝2x﹣2①， 同理可得，直线AF的表达式为y＝﹣2x﹣2②， 设直线l的表达式为y＝tx+n，
联立y＝tx+n和y＝x2﹣1并整理得：x2﹣tx﹣n﹣1＝0， ∵直线l与抛物线只有一个公共点，
故△＝（﹣t）2﹣4（﹣n﹣1）＝0，解得n=−4t2﹣1， 故直线l的表达式为y＝tx−t2﹣1③， 联立①③并解得xH=4， 同理可得，xG=
𝑡−2
， 4𝑡+2
141
12121212∵射线FA、FB关于y轴对称，则∠AFO＝∠BFO，设∠AFO＝∠BFO＝α， 则sin∠AFO＝∠BFO=𝐵𝐹=
−𝑥
𝑥𝑂𝐵
1√1+22=
1=sinα， √5𝑡+24
𝐺𝐻则FG+FH=𝑠𝑖𝑛𝛼+𝑠𝑖𝑛𝛼=√5（xH﹣xG）=√5（
−
𝑡−24
）=√5为常数．
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