小波变换

小波变换

学院：电子信息工程学院

班级：34020101

学号：2013040201023

姓名：徐景辉

对Fourier变换、Gabor变换和小波变换进行比较，从Fourier变换 的定义出发进行分析阐述，指出了Fourier变换不具有局部化分析的功能以及时频完全分离的缺点。通过对Gabor变换的核函数进行时频两域分析，说明了它品质因数是不恒定的以及它的一些缺陷;最后对小波变换的核函数进行分析，论述了小波变换具有品质因数恒定和多分辨率分析等优点。

Fourier分析方法(Fourier,1807)提供了一种把时域信号转换到频域进行分析的途径,但它只考虑时域和频域之间的一对一映射关系,是一种时频完全分离的分析方法[1]。这种方法用于分析平稳信号，在分析非平稳信号时就有些力不从心了。 针对Fourier变换不能局部化分析,Gabor于1946年引入了Gabor变换,又称短时Fourier变换(Short time Fourier transform);它在一定程度上解决了Fourier变换的时频分离的不足。但是,Gabor变换在待分析信号上加一个窗口函数,改变了原信号的性质,并且它本身仍然存在一些缺陷难以克服。 小波变换(Wavelet transform)理论是继Fourier分析之后的一个突破性进展[2],它给许多相关领域提供了一种强有力的分析工具。小波变换是一个时间和频率的局域变换,利用联合的时间-尺度函数分析非平稳信号，能有效地从信号中提取信息，通过伸

缩和平移等运算功能对函数或信号进行多分辨率细化分析,从根本上克服了Fourier分析只能以单个变量描述信号的缺陷.

Fourier变换

Fourier变换把信号分析的时域与频域联系起来,但同时又把它们割裂开来，如果一个信号f(t)在(-∞,+∞)上满足： (1) f(t)在任一有限区间上满足狄氏条件； (2) f(t)在(-∞,+∞)上绝对可积,即 |()|ftdt就可以通过 Fourier变换 ()|()|jwt Fwfte dt把时域信号f(t)转换到频域进行处理,然后再通过Fourier反变换1 ()|()|2jwt ftftedw 把频域信号转换回时域。很多在时域难以解决的问题,转换到频域便可以得到很好的解决,大大提高了信号处理的质量。 Fourier变换将信号的时域特征和频域特征联系起来，能分别从信号的时域和频域进行分析，但却不能把二者有机地结合起来，这是因为信号的时域波形中不包含任何频域

信息而频域波形中又不包含任何时域信息。Fourier变换是时域与频域完全分离的， 对于Fourier谱中的某一频率,无法知道这个频率是在什么时候产生的[2]。Fourier变换适合处理长时间内比较稳定的信号[4]，而在实际的信号处理中，尤其是对非平稳信号(如语音信号、探地信号等)的处理中，这些信号的频域特性随时间变化[5]，所以信号在任一时刻附近的频域特征都很重要，这种情况下时频两域便不能完全分离。这样，Fourier变换在时域和频域局部化的问题上就显现出了它的局限性。这就促使人们去寻找一种新的分析方法,能将信号的时域和频域结合来构成信号的时频谱,也就是所谓的时频分析法。

Gabor变换

Gabor变换的基本思想是:把信号划分成许多小的时间间隔,用Fourier变换分析每一个时间间隔,以便确定信号在该时间间隔存在的频率[2]，其处理方法是对信号f(t)施加一个滑动窗w(t-τ)(τ是移位因子,反映滑动窗的位置)后，再作Fourier变换，即：

(,)()()jwtfSFwftwtedt（1） Gabor变换虽然在一定程度上克服了Fourier变换不具有局部分析能力的问题,但它自身存在着不可克服的缺陷。 公式(1)也可以看成是f(t)和()()jwtgtwte的内积，(,)()()jwtfSFwftwtetdt (2) Gabor变换是对原信号f(t)施加一个窗口函数w(t -ω)，相当于对f(t)w(t -τ)进行 Fourier变换，所以f(t)w(t -τ)与原信号f(t)的Fourier变换频谱一定不同，Gabor变换所得信号STF(ω,τ)相对于Fourier变换所得结果F(ω)是有误差的，它在一定程度上受到窗口函数的影响。例如，一个定义域在(-∞,+∞)上的余弦信号 10()cosXtwt，它的Fourier变换是100[()][()()]FXtWwwww，再定义 一个定义域在(-τ/2, +τ/2)上的余弦信号20()cos[()()22Xtwtutut，这也 相当于在余弦信号10()cosXtwt

上加一个长度为τ的矩形窗口。由此可见，当定义域的长度Δτ为有限时,余

弦信号的频谱由原来的在-ω0和ω0处的两条直 接扩展到整个ω轴，而且Δτ越小越严重，因为此时信号频谱中不仅包含余弦信号,而且还包含一个矩形信号。由此可见，对原信号f(t)施加一个窗口函数w(t-τ)，必然会导致原信号f(t)的Fourier频谱失真,这也就是Gabor变换的内在缺陷。

小波变换

小波变换继承和发展了Gabor变换的局部化思想,同时又克服了Gabor变换不恒Q、缺乏离散正交基等缺点，特别是在分析一个非平稳信号时，信号波形变化剧烈时，主频率是高频,就要有较高的时间分辨率,要求窗口在时间轴上要窄一些,而波形变化比较平缓的时刻,主频率是低频,则要有较高的频率分辨率，要求窗口在频率轴上要窄一些[6]，而Fourier变换和Gabor变换都无法做到这样的多分辨率分析。