陕西省西安市高新一中等五校2013届高三第一次联考数学理试卷[1]

长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学

高2013届第一次模拟考试

数学（理）试题

第Ⅰ卷

1．已知集合M={x|一3A．{x|3x1} C．{-3，-2，-1，0,1）

B．{x|0x2} D．{-2，一1，0}

2．已知直线a和平面，那么a//的一个充分条件是 A．存在一条直线b，a//b且b

B．存在一条直线b，ab且b C．存在一个平面，a∥且// D．存在一个平面，//且//

aa2a3,,,n,„是首项为1，公比为2的等比数列，则a5等于 a1a2an13．如果数列a1,

A．32

2B． C．—32 D．—

4．过抛物线y2px(p0)的焦点作直线交抛物线于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点，若

x1x22,|PQ|4，则抛物线方程是

A．y4x

22B．y8x

2 C．y2x

2 D．y6x

25．(x

1x)展开式中，常数项为15，则n的值可以为

nA．3 B．4 C．5 D．6

6．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是

A．22326 B．2(12)6

C． D．23226

7．给出15个数：1，2，4，7，1 l，„，要计算这15个数的和，现给出解决该问题的程序

框图（如右图所示），那么框图中判断框①处和执行框②处应分别填入

A．i16?;ppi1 C．i15?;ppi1

B．i14?;ppi1 D．i15?;ppi

x1(1x0)|x|,则点(x,y)在函数f(x)8．已知实数x，y满足2的图象与坐

|y|1cosx(0x)2标轴所围成的封闭图形的内部的概率为

A．

32143412 B． C． D．

9．台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区

为危险区。城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为 A．0．5小时 B．I小时 C．1．5小时 D．2小时

10．对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“”如下：当m，n都为正偶数或正奇数

时，m

n=m+n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m

**n=mn。则在此定

义下，集合M{(a,b)|a

A．10个

b12,aN,bN}中的元素个数是

B．15个 C．16个 D．18个

第Ⅱ卷 （共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置． 11．设F1、F2是双曲线

x216y2201的两焦点，点P在双曲线上．若点P到焦点F1的距离

等于9，则点P到焦点F2的距离等于 。

xy12．已知向量a(x1,2),b(4,y),若ab,则93的最小值为 。

13．若函数f(x)x6bx3b在（0，1）内有极小值，则实数b的取值范围是 。

3

14．以下有四种说法： ①若p或q为真，p且q为假，则p与q必为一真一假；

②若数列{an}的前n项和为Snn2n1,nN*,则an2n,nN*；

③若实数t满足f(t)t,则称t是函数f(x)的一个次不动点，设函数f(x)lnx与函数g(x)ex(其中e为自然对数的底数）的所有次不动点之和为m，则m=0

④若定义在R上的函数f(x)满足f(x2)f(x1),则b的函数f(x)的周期。

以上四种说法，其中正确说法的序号为 。

15．（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题评分）

A．（不等式选讲）已知函数f(x)log2(|2x1||x2|m)．若关于x的不等式

f(x)1的解集是R，则m的取值范围是

B．（坐标系与参数方程）己知圆C的极坐标方程为

2cos23sin,则圆心C的一个极坐标为 。 C．（几何证明选讲）如图，半径为2的⊙O中，∠AOB=90°，

D为OB的中点，AD的延长线交⊙O于点E，则线段DE的

长为 。

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答写在答题卡相位置，应写出文字说明、证明

过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知平面上三点A（2，0），B（0，2），C（cos，sin）

2

（I）若（OAOC）=7（O为坐标原点），求向量OB与OC夹角的大小；

17．（本大题满分12分）

如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、为棱DD1上任意一点，下为对角线DB的中

点。

（I）求证：平面CFB1⊥平面EFB1；

D1ED1D34,

（Ⅱ）若ACBC，求sin2的值．

（II）若三棱锥B—EFC的体积为1，且

①求此正方体的棱长；

②求异面直线EF与B1C所成角的余弦值。

18．（本小题满分12分）

数列{bn}（n∈N*）是递增的等比数列，且b1b35,b1b34.数列{an}满足

anlog2bn3.

（I）求数列{bn},{an}的通项公式：

4Sn11nn （II）设数列{an}的前n项和为Sn,是否存在正整数n，使得数列{}前n项和

为Tn满足Tn(n1)24025？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由。

19．（本小题满分12分）

西安市某省级示范高中为了了解学校食堂的服务质量情况，对在校就餐的1400名学生按5%比例进行问卷调查，把学生对食堂的“服务满意度”与“价格满意度”都分为五

个等级：1级（很不满意）；2级（不满意）；3级（一般）；4级（满意）；5级（很满意），其统计结果如下表所示（服务满意度为x，价格满意度为y）。

（I）作出“价格满意度”的频率分布直方图；

（II）为改进食堂服务质量，现从满足“x5且y3”的人中随机选取2人参加座谈会，记其中满足“x3且y1”的人数为X，求X的分布列与数学期望。

20．（本小题满分13分）设椭圆D：

xa22yb221(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，

上顶点为A，在x轴负半轴上有一点B，满足BF1F1F2,且AB⊥AF2．

（I）若过A、B、F2三点的圆C恰好与直线l：x3y30相切，求圆C方程及椭圆D的方程；

（II）若过点T（3，0）的直线与椭圆D相交于两点M、N，设P为椭圆上一点，且满足  OMONtOP（O为坐标原点），求实数t取值范围．

21．（本小题满分13分）已知函数f(x)1(x1)ln(x1).

（I）求函数f(x)的单调区间； （II）是否存在实数m，使不等式

1x1ln2mln(x1)在1x0时恒成立？若存

在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由。

1 （III）已知正整数列{cn}中,(Cn)

(n1)2ef(n)(nN),求数列{cn}中的最大项。

*