北京师范大学学术学位研究生培养方案版

一级学科：数学（代码：0701）

本学科具有 硕士 学位授予权和 博士 学位授予权

一、培养目标（按照《学位授予和人才培养一级学科简介》中对硕士学位和博士学位培养目标的要求，结合自身情况制定）

1.硕士生

本学科培养的硕士生，应掌握扎实的数学基础知识，具有一定的科研能力和应用数学方法解决实际问题的能力；具有良好的科学素质和严谨的治学精神、善于接受新知识、提出新思路、探索新课题、有较宽的理论联系实际的能力和较强的工作后劲。毕业后既可以到科研部门、高等院校从事科学研究和教学工作以及基础教育机构，如中小学、出版社等机构工作，也可以到国民经济各部门利用所学的数学知识和数学思想从事富有创造性的研究工作和实际工作，还可以到需要数学较多的相邻学科进入更高层次的学习。硕士生应在某个专业方向上做出有理论或实践意义的成果；基本掌握一门外国语言。

2.博士生

本学科培养的博士应是数学方面的高级研究人才，掌握坚实宽广的数学基础理论和系统深入的专门知识，熟悉所研究领域的现状和发展趋势，深入掌握某些子学科的专门知识，在其研究方向上受到科研全过程的训练，具有从事科学研究工作的能力，并在有关研究方向的一些较重要的课题中做出系统的、有创造性的成果。至少掌握一门外国语言，能熟练阅读本专业的外文文献，具有良好的写作能力和进行国际学术交流的能力。毕业后可从事数学及其相关学科的科学研究、教学或其他实践工作。

二、学科方向与主要研究内容

序号 1 学科方向 基础数学 主要研究内容 主要研究代数表示论与同调代数、常微分方程与动力系统、偏微分方程及其应用、函数逼近论、复分析、调和分析及其应用、函数空间及其应用、球面上的调和分析及应用、信息基计算复杂性、图论组合、矩阵论及应用、代数组合学、微分几何、辛几何拓扑与非线性分析、拓扑学、数理逻辑与计算机应用等基础性研究。 2 计算数学 主要研究应用偏微分方程及计算方法、计算流体力学与自适应方法、多尺度计算、复杂体系数值模拟、数值代数以及小波分析与图像处理等。包括材料科学、统计物理、生物数学、计算化学等科学中的实际问题的建模、模拟和快速算法的设计、理论基础的建立和程序软件的实现等. 结合应用数学、基础数学和统计学课建立相关的数学理论和软件实现. 同时也研究实际应用问题解决一些应用软件的开发等, 实现产学研的结合. 3 随机数学 研究概率论基础、随机过程与交叉领域、马氏过程、随机分析、平稳过程和数理统计中的理论及应用课题。具体研究内容包括马氏过程的存在惟一性、常返性、遍历性、耦合方法、对偶方法、自由能方法、FKG不等式、位势理论、遍历理论、相变理论、马氏过程的谱理论、大偏差理论、流形上的扩散过程、无穷维扩散过程、随机微分方程、随机偏微分方程、马氏链、分枝过程、测度值过程、随机树、随机环境模型、流体动力学极限、随机过程统计与推断、时间序列分析、统计物理中的随机模型的构造及应用等。 4 应用数学 主要研究图像处理中的偏微分方程方法、微分方程反问题的理论与计算、数学物理和生物中的动力系统及其性质、复杂流体力学与计算。生物统计学, 数量遗传学, 数学生态学，生物信息学，理论流行病学，生物微分方程，种群结构动态模型，生态系统模型，生物控制，人工生物学，生存分析，人口模型，示踪动力学等。模糊数学基础理论: 包括模糊代数, 模糊分析, 模糊拓扑, 随机集落影理论。人工智能有关理论。研究智能控制系统以及新型智能控制算法等。 三、学习年限

1.硕士生

硕士生实行弹性学制，学习年限为2-3年。按规定修满学分、成绩合格、答辩通过的硕士生可以在2年或2年半完成学业。

2.博士生

博士生学习年限一般为3年，硕博连读生、本科直博生学习年限为5年，各类博士生学习年限最长不超过6年。

四、课程设置与学分要求

1.硕士生（最低学分：35分） 课程类别 公共必修课 政治、外语 方法课1门（文/理） 一级学科平台课程 科目和门数 最低学分要求 9学分 学位基础课 学位专业课 专业方向课 必修环节 公共选修课 （含1门方法课） 学科方向课程 12学分 6学分 0学分 2学分 2学分 不计学分 （含专业方向方法课、专题课） 实践（实证、实验）活动 中期考核 公共选修课 注：公共选修课由研究生院培养处组织开设，除一外为小语种的研究生必修二外英语以外，其他研究生可以不修公共选修课。

2.博士生（最低学分：20学分） 课程类别 公共必修课 科目和门数 政治、外语 方法课（文/理） 方法课 学位基础课 学科前沿研讨课 高级研讨课 科研活动 必修环节 国际化经历 中期考核 公共选修课 公共选修课 最低学分要求 6学分 2学分 4学分 1学分 1学分 2学分 2学分 2学分 不计学分

3. 本科直博生、硕博连读博士生（最低学分：45学分）

本直博生和硕博连读博士生应修读全部硕士阶段和博士阶段课程（可免修博士阶段外语课和政治课），并完成硕士综合考试和全部博士必修环节。

4. 港澳台研究生

总学分要求与普通研究生相同，免修公共政治课。

5. 外国留学研究生

免修公共政治和外语课，必修“中国概况”（2学分），硕士生总学分不低于32学分，博士生不低于20学分。

指导教师应根据研究生的学业基础和学业规划指导研究生修读课程。对于非本校生源和跨学科生源研究生应要求相应的补修和先修课程。

五、培养方式与培养环节

1. 硕士生实践（实证、实验）活动要求

合格完成一个学期的助教工作，包括答疑、批作业以及适当课时的习题课课堂教学。

2. 硕士生中期考核要求

硕士生课程学习一般在前三学期完成，中期考核应在第三学期的12月完成。考核的结果将作为硕博连读录取的重要依据。中期考核合格者方能进入撰写论文阶段。

采用系统理论学习，进行科学研究，参加实践活动相结合的办法，既要使硕士生牢固掌握基础理论和专门知识，又要培养硕士生具有从事科学研究，高校教学或担负专门业务工作的能力。在指导方式上，采取导师个别指导和教研室集体培养相结合的方法。充分发挥导师集体的优势。

中期考核一般在修完学位专业课和选修课之后，在第三学期的11-12月内进行。由数学学位分委员会认定的三名以上的教师组成综合考试小组，其中至少有一名教授共同负责出题和实施考核。须进行书面和口试两种形式的考核。综合考试分及格和不及格两种成绩。综合

考试不及格者，不得申请硕士学位。考试小组中所有成员认为考试成绩不及格，即视作不及格。考试小组成员之间对考试成绩评判产生重大分歧时，由学位分委员会作出仲裁。

3. 博士生科研活动

在每学期初，导师应与博士生共同制定一个特定的研究学习计划和目标，并给出主要参考文献。定期进行讨论，掌握该博士生的科研进展。学期结束时对博士生完成情况给予评定和成绩。

4. 博士生国际化经历要求

参加国际学术会议1-2次，参加由国际大师开设的短期课程，以及相关假期学校课程的学习，并取得优良成绩。前往国际知名大学或研究机构进行学习、访问等。

5. 博士生中期考核要求

博士生课程学习安排在第一学年完成，中期考核应在第三学期末完成。

应以科学研究为主，重点是培养从事科学研究工作和进行创造性研究工作的能力。要根据科研课题和拓宽培养口径，扩大知识面的需要，学习必要的学位课程，包括跨门类、跨学科的学位课程。同时注意培养严谨的科学作风。在指导方式上，采取导师负责制。同时提倡建立以导师为首的博士生指导小组，充分发挥集体指导的优势。

中期考核内容包括政治思想品德和治学态度，课程学习，学位论文开题报告。有以下情况之一者，经导师提出意见，所长审核后报研究生院院长批准，终止其博士生学籍。

1. 违反校纪校规和公共道德，学风恶劣，不宜继续培养者。

2. 没有特殊原因，不能按期完成学位课程学习任务，或有两门学位课程（含基础课和专业课）考试成绩在70分以下者。

3. 在学位论文开题报告中明显表现出缺乏科研能力者。

六、导师责任

1．为博士生开设相应的高质量的方课程、学科前沿以及高级研讨课。 2. 积极组织、推荐学生参加国内外重要学术活动。

3. 指导博士生确定研究方向，进而确定毕业论文题目，对博士生的写作过程、论文发表进行全程指导，并对博士生的科研道德行为进行教导和监督。

七、学位论文与论文答辩

1. 硕士生学位论文

硕士生毕业论文类型应多样化，可以为理论性研究，也可以强调“理论联系实际”，通过调查研究解决社会科学中的实际问题，并提供可行性方案。论文字数一般不应低于2.5万字。

确定学位论文的选题之前应在导师指导下认真查阅有关的文献资料，充分了解有关领域的研究现状和学术动态。硕士学位论文应选择有理论意义或应用价值的研究课题，尤其应该注重那些重要而研究基础又比较薄弱的新领域中的研究课题。

论文选题须经过填写个人培养计划和开题报告的阶段，个人培养计划和开题报告均须经过导师的审核通过。

硕士学位论文必须由研究生本人完成，研究阶段不少于两个学期。论文应在某个领域取得新的、有意义的研究成果。论文要层次清楚，结构严密，行文流畅。引言部分应对与选题有关的研究情况做出简单评述。硕士学位论文的主要结果应达到公开发表的水平。

2. 博士生学位论文

博士学位论文应反映出博士生具有从事本学科专业创造性研究工作和实际应用工作的能力。博士生在校期间原则上应该有与学科专业相关的高水平科研成果发表。

在确定学位论文的选题之前应认真查阅有关的文献资料，并向导师和专家咨询。充分了解有关领域的研究现状、学术动态和发展趋势。博士学位论文应选择具有重要的理论意义或应用价值的研究课题，尤其注重研究为国际数学界所关注的领域中的课题。

论文选题须经过填写个人培养计划和开题报告的阶段。个人培养计划和开题报告均须经过导师和博士生指导小组其他专家审核通过。

博士学位论文必须由研究生本人完成，研究阶段不少于三个学期。博士学位论文应在数学学科中的某个重要的研究领域取得有创造性的、系统深入的研究成果。论文要框架清晰，结构严谨，行文流畅，并有专门章节对与选题相关的研究状况进行综合评述，同时对自己的研究成果做出全面说明。博士学位论文综述部分不应超过论文整体的五分之一，全部论文字数一般不应低于6万字。博士学位论文的部分成果应达到在重要国际学术刊物上发表的水平，全部成果均应达到公开发表的水平。

八、课程一览表

开课 学时 学期 72 72 72 72 72 72 72 72 72 春季 春季 秋季 春季 秋季 春季 春季 春季 春季 课程类别 层次 硕/博士 硕/博士 课程中文名称 泛函分析 实分析 概率论基础 微分几何 抽象代数 偏微分方程 代数拓扑 复分析 课程英文名称 Functional Analysis Real Analysis Foundation of Probability Theory 学分 4 4 4 4 4 4 4 4 4 一级学科平台课（任选二门） 硕/博士 硕/博士 硕/博士 硕/博士 Differential Geometry Abstract Algebra Partial Differential Equations Algebraic Topology Complex Analysis 一级学科平台课模块1（基础数学的学生任选一门） 一级学科平台课模块2（应用数学的学生任选一门） 硕/博士 硕/博士 硕/博士 非线性泛函分析 Nonlinear Functional Analysis 硕/博士 硕/博士 硕/博士 硕/博士 硕/博士 随机过程 偏微分方程数值解法 控制理论基础 现代分析基础 泛函分析选讲 Stochastic Processes Numerical Methods of Partial differential Equations Basics of Control Theory Foundation of Modern Analysis Selected Topics in Functional Analysis 4 4 4 3 3 72 72 72 春季 春季 秋季 春/秋季 春/秋季 学位专业课 硕/博士 变分法及其应用 函数空间与偏微分方程 椭圆方程 动力系统基础 Variational Methods and Applications 3 春/秋季 硕/博士 硕/博士 硕/博士 Function Spaces and Partial Differential equations Elliptic Equations Introduction to Dynamical Systems 3 3 3 春/秋季 春/秋季 春/秋季 硕/博士 哈密顿系统 Hamiltonian Systems Introduction to BifurcationTheory and its Applications to Biomathematics 3 春/秋季 硕/博士 分支理论基础及其在生物中的应用 交换代数 群表示论 代数图论 模型论 数字图像处理和分析 数据挖掘 人工智能 图论及其应用 3 春/秋季 硕/博士 硕/博士 硕/博士 硕/博士 硕/博士 硕/博士 硕/博士 硕/博士 Commutative Algebra Representation Theory of Groups Algebraic Graph Theory Model Theory Digital Image Processing and Analysis Data Mining Artificial Intelligence Graph theory with Applications Mathematical Models and Their Applications 3 3 3 3 3 3 3 3 3 春/秋季 春/秋季 春/秋季 春/秋季 春/秋季 春/秋季 春/秋季 春/秋季 春/秋季 硕/博士 数学模型及其应用 硕/博士 最优化理论与算法 硕/博士 硕/博士 硕/博士 有限元方法 谱方法 计算流体力学 Optimization theory and algorithm Finite Element Method Spectral Methods Computational Fluid Dynamics (CFD) 3 3 3 3 春/秋季 春/秋季 春/秋季 春/秋季 硕/博士 辛几何与切触几何 硕/博士 硕/博士 硕/博士 硕/博士 硕/博士 硕/博士 硕/博士 硕/博士 微分拓扑 黎曼几何 李群和李代数 随机微分方程 概率极限理论 金融随机分析 列维过程 同调代数 Symplectic Geometry and Contact Geometry Differential Topology Riemannian Geometry Lie groups and Lie algebras Stochstic Differential Equations Probability Limit Theory Stochastic Calculus for Finance Levy Processes Homological Algebra 3 3 3 3 3 3 3 3 2 36 春/秋季 春/秋季 春/秋季 春/秋季 春/秋季 春/秋季 春/秋季 春/秋季 春/秋季 硕/博士 代数表示论 度量空间上的分析与几何 Representation Theory of Algebras 2 36 春/秋季 硕/博士 Analysis and Geometry on Metric Spaces Representation Theory of Finite Groups 2 36 春/秋季 硕/博士 有限群的表示理论 硕/博士 硕/博士 硕/博士 硕/博士 硕/博士 硕/博士 环与代数 椭圆曲线 函数逼近论 小波与样条 奇异积分算子 Littlewood-Paley理论 实Hardy空间理论及其应用 函数空间及其应用(1) 函数空间及其应用(2) 球调和 正交多项式 整函数 2 2 2 2 2 2 2 36 36 36 36 36 36 36 春/秋季 春/秋季 春/秋季 春/秋季 春/秋季 春/秋季 春/秋季 Rings and Algebras Elliptic Curves Approximation Theory of Functions Wavelets and Splines Singular Integral Operators Littlewood-Paley Theory Theory and Application of Real Hardy Spaces Function Spaces and Their Applications (1) Function Spaces and Their Applications (2) Spherical Harmonics Orthogonal Polynomials Entire Functions H^p Spaces Complex Variable Theory 硕/博士 2 36 春/秋季 硕/博士 2 36 春/秋季 硕/博士 硕/博士 硕/博士 硕/博士 2 2 2 2 2 36 36 36 36 36 春/秋季 春/秋季 春/秋季 春/秋季 春/秋季 硕/博士 H^p空间复变理论 现代偏微分方程基础 粘性解 偏微分方程组 硕/博士 硕/博士 硕/博士 Foundation of Modern Partial Differential Equations Viscosity Solutions System of Partial Differential Equations 2 2 2 2 2 36 36 36 36 36 春/秋季 春/秋季 春/秋季 春/秋季 春/秋季 硕/博士 非线性发展方程 Nonlinear Evolutional Equations 硕/博士 图象处理中的数学Mathematical Problems in 问题 Image Process Mathematical Theory and 硕/博士 反问题理论与计算 Computational Methods of Inverse Problems 2 36 春/秋季 硕/博士 分支理论基础 Foundation of Bifurcation Theory 2 36 春/秋季 硕/博士 微分方程定性理论 子流形和极小子流形 多重线性代数 马氏过程 Qualitative Theory of Differential Equations 2 36 春/秋季 硕/博士 硕/博士 硕/博士 Submanifolds and Minimal Submanifolds Multilinear Algebra Markov Processes Interacting Particle Systems Queueing Theory 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 春/秋季 春/秋季 春/秋季 春/秋季 春/秋季 春/秋季 春/秋季 春/秋季 春/秋季 春/秋季 硕/博士 交互作用粒子系统 硕/博士 排队论 硕/博士 马氏链及其应用 Markov Chains and Applications 硕/博士 硕/博士 硕/博士 分枝过程 大偏差理论 随机树与图 Branching Processes Large Deviation Principle Random and Graphs Functional Inequalities and Applications 硕/博士 泛函不等式与应用 硕/博士 马氏过程遍历性 硕/博士 硕/博士 硕/博士 硕/博士 专业方向课 硕/博士 硕/博士 硕/博士 硕/博士 硕/博士 随机控制理论 控制不等式 矩阵论基础 矩阵计算 模型论 递归论 公理集合论 随机过程及交叉领域 随机金融模型 Ergodic Theory of Markov Processes Stochastic Control Theory Majorizing Inequalities Foundation of Matrix Theory Matrix Computation Model Theory Recursive Theory Axiom Set Theory Stochastic Processes and Interactional Fields Stochastic Financial Models 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 春/秋季 春/秋季 春/秋季 春/秋季 春/秋季 春/秋季 春/秋季 春/秋季 春/秋季 春/秋季 硕/博士 硕/博士 随机分析 耦合及其应用 Stochastic Analysis Coupling and Applications Advanced Markov Chains Measure-Valued Processes Random Walk in Random Environment Limit Properties of Branching Processes Statistical Inference for Stochastic Processes 2 2 2 2 2 36 36 36 36 36 春/秋季 春/秋季 春/秋季 春/秋季 春/秋季 硕/博士 马氏链的最新进展 硕/博士 硕/博士 测度值过程 随机环境中的随机游动 分枝过程的极限理论 过程统计推断 扩散过程与随机分析基础 线性统计模型 硕/博士 2 36 春/秋季 硕/博士 2 36 春/秋季 硕/博士 Diffusion Processes and Elementary Stochastic Calculus 2 36 春/秋季 硕/博士 Linear Statistical Model Errors-in-Variables Model Generalized Linear Models Genetics Mathematical Ecology Factor Space Theory Induction to Fuzzy Sets Optimal Control Theory Adaptive Control System Identification Intelligence Control Computer Control Project Parallel Computing Unix Operating System Methods of Scientific Computing 2 36 春/秋季 硕/博士 度量误差模型 2 36 春/秋季 硕/博士 硕/博士 硕/博士 硕/博士 硕/博士 硕/博士 硕/博士 硕/博士 硕/博士 广义线性模型 遗传学 数学生态学 因素空间论 模糊集引论 最优控制理论 自适应控制 系统辨识 智能控制 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 春/秋季 春/秋季 春/秋季 春/秋季 春/秋季 春/秋季 春/秋季 春/秋季 春/秋季 春/秋季 春/秋季 春/秋季 春/秋季 春/秋季 硕/博士 计算机控制工程 硕/博士 硕/博士 硕/博士 硕/博士 并行计算 Unix操作系统 科学计算方法 文献选读 Seminar of Selected Papers 硕/博士 辛几何与辛拓扑 (I) Symplectic Geometry and Symplectic Topology (I) 2 36 春/秋季 （正文用宋体5号，单倍行距。内容完整，行文简洁）

附件1：全部课程教学大纲

附件2：经典前沿阅读书目（含学术刊物和网站）

附件1：全部课程教学大纲

泛函分析

课程中文名称：泛函分析 课程英文名称：Functional Analysis 总学时：72 学分：4

适合专业：数学一级学科各专业

先修课程：数学分析，复变函数，实变函数，拓扑学，本科泛函分析

教学目标：本课程是本科泛函分析的进一步深化，其目标在于综合运用分析，代数，几何等泛函分析的理论和方法进一步研究无限维空间的结构，是数学一级学科的基础课程。通过教学，使学生更加深刻的理解这一学科的基本概念，理论，培养学生更深层次的理论思维能力，为进一步学习数学学科的其他课程及从事数学研究打下重要的理论基础。

预期效果：学习完本课程，学生能够在更抽象的拓扑向量空间框架下理解泛函分析的概念和理论，抽象思维能力得到进一步训练，为从事数学学科的教学和研究打下扎实的理论基础。

主要内容：距离与拓扑；拓扑向量空间；线性算子与线性泛函；Baire 纲定理；Banach-Steinhaus定理；开映射定理；闭图像定理；Hahn-Banach定理；弱拓扑与弱＊拓扑；赋范空间的对偶；紧算子。

主要章节：

第一章：拓扑向量空间 §1. 介绍 §2. 可分离性质 §3. 线性映射 §4. 可度量化空间 §5. 有界性和连续性 §6. 半范和局部凸 §7. 商空间 第二章：完备性

§1. Baire 纲定理 §2. Banach-Steinhaus定理 §3. 开映射定理 §4. 闭图像定理 §5. 双线性映射 第三章：凸性 §1. Hahn-Banach定理 §2. 弱拓扑 §3. 紧凸集

第四章：Banach空间的对偶 §1. 赋范空间的对偶 §2. 共轭算子 §3. 紧算子

教学方式：面授 考核方式：笔试（闭卷）

教材： W. Rudin, Functional Analysis, Second Edition. 主要参考文献：K. Yosida, Functional Analysis, Sixth Edition.

对任课教师的要求：熟练掌握数学分析、线性代数、复变函数，实变函数，点集拓扑学，泛函分析等课程。 大纲撰写人：丁勇

实分析

课程中文名称：实分析 课程英文名称：Real Analysis 总学时：72 学分：4

适合专业：数学一级学科各专业

先修课程：数学分析，复变函数，实变函数，拓扑学，本科泛函分析，近世代数

教学目标：本课程是本科实变函数课程的进一步深化和抽象，其主要目标在于运用分析，代数，拓扑等方面的理论和方法推广Euclid空间上的测度和积分理论，研究抽象的测度和Lebesgue积分，是数学一级学科的基础课程。通过该课程的教学，使学生更加深刻地理解和掌握这一学科的基本概念和理论体系，培养学生更深层次的理论思维能力和运用所学知识进行科学研究的能力，为进一步学习数学学科的其他课程及从事科学研究打下重要的理论基础。

预期效果：学习完本课程，学生能够理解和掌握抽象的测度和Lebesgue积分理论体系，使得抽象思维能力得到进一步加强，为从事数学学科的教学和科学研究打下扎实的理论基础。

主要内容：Lebesgue 积分论。包括抽象的测度空间及Lebesgue 测度的一般理论，Lebesgue积分，Radon-Nikodym 定理，乘积测度与Fubini定理；Hausedorff 空间上的Radon测度，测度的Radon乘积， Haar测度等。

主要章节：

第一章：抽象的测度和积分 核心要点:

测度的基本性质,积分的基本性质,Minkowski不等式, L^p空间的性质, Hilbert空间的性质,Hahn分解定理,绝对连续与奇异, Radon-Nikodym 定理，外测度，乘积测度，Fubini定理，Tonelli 定理。 §1. 测度

§2. 可测函数，积分 §3. L^p 空间 §4. 符号测度

§5. Radon-Nikodym 定理 §6. 外测度

§7. 乘积测度与Fubini定理 第二章：测度与拓扑 核心要点:

拓扑空间的性质， Urysohn 延拓定理，Hausdorff空间上的连续函数的性质，Tietze延拓定理，Hausedorff 空间上的Radon测度，Riesz表现定理，Lusin’s定理，测度的Radon乘积，Haar测度的性质等。 §1. 拓扑空间及连续映射

§2. 局部紧的Hausdorff空间上的连续函数 §3. Radon测度与 Riesz表现定理 §4. Lusin’s定理

§5. 测度的 Radon乘积（正则积） §6. Haar测度 教学方式：面授 考核方式：笔试（闭卷） 教材：陆善镇王昆扬，《实分析》 主要参考文献：

1. G. B. Folland, Real Analysis, Second Edition, 1999.

2. R. L. Wheeden, Antoni Zygmund, Measure and Integral, 1977 3. W. Rudin, Real and Complex Analysis, Third Edition, 2004 4. H.L. Royden, Real Analysis, Second Edition, 1968.

对任课教师的要求：熟练掌握数学分析，实变函数，点集拓扑学，泛函分析，近世代数等课程。

大纲撰写人：赵纪满

概率论基础

课程中文名称：概率论基础 课程英文名称：Foundation of Probability Theory 总学时:72 学分： 4

适用专业（学科方向）：各专业方向硕士生

先修课程（含已具备的学识基础的要求）：本科数学的基础知识，包括数学分析，高等代数等；简单的拓扑、泛函、复数知识。

教学目标：从测度论的角度讲授，使学生掌握概率论的基础知识，了解概率论的重要结论，学习其基本证明技巧和方法，并在后续更高层次的专业学习中加以应用。

预期效果：学生了解掌握概率论的基本知识结构，能够运用一些常用技巧和方法解决问题。 主要内容：集类与单调类定理，测度扩张定理，可测函数与随机变量，积分与数学期望，不定积分与条件期望，收敛定理，特征函数及其应用, 以及概率距离。 主要章节：

第一章 核心要点：测度论集类与测度 基础知识: §1 单调类定理 §2 集函数与测度

§3 测度扩张定理与测度的完全化

第二章 随机变量与可测函数 §1 可测函数 §2 分布函数与分布率 §3 随机变量

§4 可测函数与随机变量的收敛

第三章 数学期望与积分 §1 定义与性质 §2 收敛定理 §3 数学期望

§4 sigma 可加集函数的分解

第四章 乘积测度空间 §1 Fubini定理 §2 无穷乘积空间 §3 转移测度与转移概率

第五章 条件概率与条件期望 §1 给定sigma 代数下的条件期望 §2 给定函数下的条件期望 §3 正则条件概率 §4 Kolmogorov和谐定理

第六章 特征函数 §1 有限测度的特征函数 §2 测度的弱收敛

§3 弱大数定律与中心极限定理 §4 特征函数的非负定性

第七章概率距离 §1 弱拓扑的度量化 §2 全变差距离 §3 Wasserstein 距离

教学方式：课堂教学，板书 考核方式：考试 教材及参考文献： 概率论基础王凤雨、毛永华 概率论教程 钟开莱 概率论基础 严士健等

无穷粒子系统与马氏过程 严士健 跳过程与粒子系统

陈木法

Foundations of modern probability O. Kallenberg Probability

A.N. Shiryayev

Probability-Theory and Examples R. Durrett

Probability Theory: an Analytical View D.W. Stroock

A Course in the Theory of Stochastic Processes A.D. Wentzell Brownian Motion and Martingales in Analysis

R. Durrett

Gibbs Measures and Phase Transitions H.O. Georgii Interacting Partical Systems T.M. Liggett Theory of Phase Transitions Y.G. Sinai Percolation

对任课教师的要求：本学科具有副教授以上职称的教师。 大纲撰写人：王凤雨、张梅

F.R. Grimmett

微分几何

课程中文名称：微分几何

课程英文名称：Differential Geometry 总学时：72 学分：4

适合专业：数学与应用数学

教学目标

《微分几何》是现代数学的基础课之一，本课程的目标是使一年级研究生掌握微分流形的基础知识，包括流形上的微积分、联络等。为下一步学习黎曼几何、复几何、辛几何等打好基础。

教学内容和学时分配

总论 主要内容：

微分几何的发展概况及其主要研究内容和方法。 教学要求：

明确本课程研究内容与基本思想方法。 第一章：微分流形 主要内容：

§1微分流形相关定义（拓扑流形定义、微分结构、光滑映射）。 §2 切空间、切映射（余切空间、余切映射）。 §3 子流形（Whitney嵌入定理简单情形证明）。

§4 Frobenius定理（基础和重点：关于一维分布的证明）。 教学要求：

本章是基础中的基础，所有概念必须自己在例子基础上进行理解学习（本章需要的主要本科基础知识：拓扑学、多元函数微分、多元隐函数定理）。 重点、难点：

微分流形定义、切空间定义。 第二章：多重线性代数（张量代数） 主要内容：

§1张量积（从多重线性函数、映射引入张量积）。 §2 张量（对称、反对称张量，尤其是反对称张量）。 §3 外代数（外积的基本运算、性质）。

教学要求：

张量是微分几何的基础工具和语言，要求学生掌握定义和运算，尤其是在理解定义来源的基础上进行学习（从本课的内容来讲，本章是为下一章（流形上的外微分、积分）做准备）。 重点、难点： 外积的定义和运算。 第三章：外微分 主要内容：

§1 张量丛（理解其流形结构）。

§2 外微分（从局部容易定义，再证整体性质；Pfaff方程组的理解）。 §3外微分式的积分（两个基础内容是局部有限开覆盖定理和单位分解定理）。 §4 Stokes公式（带边流形的定义；多种经典Stokes类型公式的统一表达）。 教学要求：

流形上的积分是微分几何基础而又重要的语言，Stokes公式更是重要工具之一。要求学生理解掌握外微分式积分的定义（外微分定义、单位分解定理是基础）。 重点、难点：

外微分的整体定义，单位分解定理。 第四章：联络和黎曼度量 §1 向量丛（含切丛）上的联络。 §2 黎曼度量与黎曼联络。 教学要求：

由于课时原因，这部分内容主要以引入为主。要求学生理解掌握为何要引入联络和黎曼度量，以及单位分解在证明存在性时的重要性。 重点，难点：

为何要引入联络和黎曼度量，以及相应存在性的证明。

教材与学习资源（必备项）

1. 陈省身，陈维桓。微分几何讲义，北京大学出版社，2001. 2. 唐梓洲，黎曼几何，北京师范大学出版社，2010.

先修课要求及教学策略与方法建议

先修课程：点集拓扑学，多元微积分。

教学策略与方法建议：本课程是数学众多研究方向的基础，但概念对于初学者来说比较难于理解，所以教授时最好从学生们已知的相关概念出发引申而出，对于具体例子的计算很重要。

考核方式

闭卷考试，平时考核占30%至40%。

抽象代数

课程中文名称：抽象代数 课程英文名称：Abstract Algebra 总学时：72 学分：4

适用专业：数学科学学院各方向 先修课程：高等代数,近世代数

教学目标：本课程是研究生的基础课,目的是为学生介绍基础的代数知识,了解代数背景与发展,培养学生掌握代数方法, 为学生后续专业课程打下基础.主要的内容是在本科代数学基础之上,深入了解群,环,域等基础的代数对象.

主要内容：群论,环论,域论 主要章节： 第一章群论：

§1群的定义和相关概念，同构定理 §2群的直积，Krull-Schmidt定理 §3自由群，群的生成元和生成关系 §4有限生成交换群及结构定理 §5 群在集合上的作用与Sylow 定理 §6 Jodan-Holder定理 §7幂零群与可解群

第二章环论：

§1环的定义和相关概念，同构定理 §2环的直和，中国剩余定理 §3整环的商域与局部化理论 §4 整环的分解理论

第三章域论：

§1域扩张的基本概念,尺规作图问题

§2代数闭域 §3有限域

§4域扩张的正规性与可分性 §5 Galois主定理 §6循环扩张 §7方程根号解

教学方式: 以教师讲授为主, 安排课后习题 考核方式: 闭卷考试. 教材及参考文献：

1. Thomas W. Hungerford, Algebra , GTM 73. 2. Michael Artin, Algebra.

对任课老师的要求：本课程是在本科的近世代数的基础之上的提高课程,应根据学生的基础适当调整内容和进度. 大纲撰写人：曾紫婷

偏微分方程

课程中文名称：偏微分方程

课程英文名称: Partial Differential equations 总学时 :72 学分： 4

适用专业（学科方向）：各专业方向硕士生

先修课程（含已具备的学识基础的要求）：本科数学的基础知识，包括偏微分方程、泛函分析等

教学目标：使学生掌握椭圆型方程、抛物型方程以及双曲型方程三类基本的偏微分方程适定性理论及其常见的分析方法、技巧和泛函分析理论的应用。

预期效果：学生了解掌握Sobolev空间及其性质和基本理论，并在这个空间里建立三类偏微分方程解的适定性，从而为学习其他学科相关理论知识打下良好的理论基础。 主要内容：在Sobolev空间中建立椭圆型方程，抛物型方程，双曲型方程适定性理论。

主要章节： 第一章 预备知识 §1 基本概念

§2 常用不等式与恒等式 §3 Sobolev空间 §4 磨光函数 §5 差商

第二章 二阶线性椭圆型方程 §1 基本概念 §2 弱解的存在性 §3 弱解的正则性 §4 弱解的有界性 §5 极值原理 §6 Hopf原理 §7 基本解

第三章 二阶抛物型方程

§1 基本概念

§2 弱解的存在性和唯一性 §3 弱解的正则性 §4 弱解的有界性

第四章 二阶双曲型方程 §1 基本概念

§2 弱解的存在性和唯一性 §3 弱解的正则性

第五章 变分法 §1 基本概念 §2 线性问题 §3 次线性问题 §4 超线性问题 §5 变分法及其应用

第六章 非线性方程的求解方法 §1 单调性方法 §2 不动点理论 §3 上下解方法

教学方式：课堂教学，板书. 考核方式：考试.

教材（含经典学术名著）及参考文献（含境内外学科主流名刊）：

1. L. C. Evans, Partial Differential Equations (2nd edition), Graduate Studies in Mathematics, vol. 19, American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 2010.

2. G. M. Lieberman, Second Order Parabolic Differential Equations, World Scientific Publish- ing, Singapore, 1996.

3.张辉，保继光，唐仲伟，偏微分方程，北京师范大学出版社，北京，2014. 4.伍卓群，尹景学，王春朋，椭圆与抛物型方程引论，科学出版社，北京，2003. 5.陈亚浙，二阶抛物型方程，北京大学出版社，北京，2003.

6.陈亚浙，吴兰成，二阶椭圆型方程与椭圆型方程组，科学出版社，北京，1997.

对任课教师的要求：副教授以上职称的偏微分方程方向的教师。 大纲撰写人：许孝精

代数拓扑

课程中文名称：代数拓扑

课程英文名称：Algebraic Topology

一、教学目标

代数拓扑是二十世纪数学的主要成就之一，也是现代数学的基础课之一。本课程的目标是使一年级研究生掌握拓扑空间的奇异同调理论。为他们在代数、几何、分析等方面的学习与研究打好基础。

二、教学内容和学时分配

（一）总论学时 1 主要内容：

代数拓扑的发展概况及其主要研究内容和方法。 教学要求：明确本课程研究内容与基本思想方法 （二）第一章：预备知识学时 4 主要内容：

1范畴、函子和自然变换的概念和例子。 2 链复形、链映射和同调。

教学要求：要求学生熟悉范畴、函子和自然变换的语言。理解链复形及链映射的范畴及同调函子。 重点、难点： 自然变换。

（三）第二章：拓扑空间的奇异同调群学时 18 主要内容：

§1奇异链复形函子和奇异同调函子。 §2 奇异同调函子的同伦不变性。

§3 Mayer-Vietoris同调正合序列和切除定理。 §4 利用M-V序列计算简单空间的同调群。

§5 同调群的几何应用—映射度和Brouwer定理，Jordan定理。 §6 映射锥，映射柱和映射的同调正合序列。

§7 空间偶的相对同调群和空间三元组的同调正合序列，约化同调。 §8 带系数的奇异同调。 §9 Eilenberg-Steenrod同调公理。 教学要求：

要求学生掌握奇异单形和奇异链的概念；熟悉同调代数中的按图标追踪的方法；会利用正合序列计算

简单空间和空间偶的奇异同调群；了解同调公理。 重点、难点：

奇异同调的同伦不变性。

（四）第三章：拓扑空间的奇异上同调 12 主要内容：

1 模的投射分解和自由分解。 2 Hom函子和Ext函子。 3 奇异上链复形和奇异上同调。 4 带系数的奇异上同调的万有系数定理。 5 上同调和下同调的Kronecker对偶。 教学要求：

要求学生熟悉Hom和Ext函子；对于Abel群A，B，会计算Ext(A,B)；能够利用万有系数定理从下同调群计算上同调群。 重点、难点： 投射分解和Ext函子。

（五）第四章：同调和上同调的计算学时 14 主要内容：

1 CW复形、胞腔同调和上同调。

2 胞腔同调和奇异同调的关系，欧拉公式。 3 利用胞腔同调计算拓扑空间的同调群--一些例子。 4 张量积和Tor函子。 5 Kunneth定理。

教学要求：能够利用胞腔同调计算常见的简单空间的同调；掌握张量积和Tor函子的基本性质，并能做初步的计算；利用Kunneth定理计算乘积空间的同调。 重点，难点：

Kunneth定理。张量积和Tor函子；

（六）第五章：同调和上同调乘积学时 16（大约） 主要内容： 1 叉积和斜积。 2 上积和卡积。 3 余代数和余乘积。

4 流形的定向和Poincare对偶。 5 流形中的相交乘积。

教学要求：熟练掌握同调和上同调的各种乘积及其性质，对简单空间能熟练计算。熟悉Poincare对偶定理的内容并能自如的应用。 重点，难点

这一章处处都是重点。难点：Poincare定理的证明。通常课程进行到此往往时间已经不够，所以不给证明。

三、教材与学习资源（必备项）

1. 2. 3.

J.W. Vick. Homology Theory. New York and London: Academic Press, 1973。 M.J. Greenberg, J.R. Harper. Algebraic Topology. Benjaming-Cummings, 1981。

James R. Munkres, Elements of Algebraic Topology, Addison-Wesley Publishing Company。

四、先修课要求及教学策略与方法建议 先修课程点集拓扑学，近世代数。

教学策略与方法建议本课程针对的主要是代数表示论和几何拓扑方向的学生，所以介绍了更多的

同调代数方面的内容。

五、考核方式

闭卷考试，平时考核占30%至40%

非线性泛函分析

课程中文名称：非线性泛函分析

课程英文名称：Nonlinear Functional Analysis 总学时 ：72 学分：4

适用专业（学科方向）：各专业方向研究生

先修课程（含已具备的学识基础的要求）：本科数学的基础知识。

教学目标：使学生掌握非线性泛函分析的基本知识，一般方法和技巧，了解非线性泛函分析与其他数学分支以及应用学科间的联系。

预期效果：学生了解掌握非线性泛函分析基本知识结构，能够运用一些常用技巧和方法解决问题。

主要内容：非线性算子，拓扑度理论，非线性算子方程的正解，单调映象，变分方法等

主要章节：

第一章、非线性算子

算子的连续性与有界性、全连续性； Fréchet微分和Gâteaux微分； 隐函数定理

第二章、拓扑度理论Brouwer度 Leray-Schauder度 不动点定理

严格集压缩场和凝聚场的拓扑度 A-proper映象的广义拓扑度

第三章、非线性算子方程的正解锥和半序 增算子和减算子

锥压缩与锥拉伸不动点定理

第四章、单调映象单调映象的概念 单调映象的满射性 多值极大单调映象的满射性

第五章、变分方法泛函的极值与梯度 最速下降法 Minmax原理 偶泛函的临界点

教学方式：课堂教学，板书 考核方式：考试

教材（含经典学术名著）及参考文献（含境内外学科主流名刊）：

1. 钟承奎, 范先令,陈文塬, 非线性泛函分析引论, 兰州大学出版社, 2004 2. 郭大均，非线性泛函分析, 山东科技出版社. 1985

3. K. Deimling, Nonlinear Functional Analysis, Springer-Verlag, 1985; 4. L. Nirenberg, Topics in Nonlinear Functional Analysis, AMS, 2001 5. K.C. Chang, Methods in Nonlinear Analysis, Springer-Verlag, 2005.

对任课教师的要求： 大纲撰写人：袁荣

随机过程

课程中文名称：随机过程 课程英文名称：Stochastic Processes 总学时 ：72 学分：4

适用专业（学科方向）：各专业方向硕士生

先修课程（含已具备的学识基础的要求）：本科数学基础知识，包括数学分析，高等代数，微分方程，点集拓扑等；硕士阶段的泛函分析，概率论等基础知识。

教学目标：本课程在概率论基础之上为研究生进一步学习和掌握本学科的最新前沿研究成果做好知识储备。介绍随机过程、马氏链、鞅论、马氏过程、费勒过程、列维过程、布朗运动等的基础知识。一方面，使学生获得随机数学的基本知识和初步训练，能够在后续专业学习中加以运用。另一方面，也促进学科之间的交叉渗透。

预期效果：学生掌握随机过程的基本知识，了解随机过程的基本概念和性质，能够运用一些常用技巧和方法解决科学问题。

主要内容：随机过程基础知识

主要章节：

第一章随机过程基础 §1.1 基本概念 §1.2 相容性定理 §1.3 可选时间

第二章鞅论基础 §2.1 鞅与鞅序列 §2.2 基本不等式 §2.3 收敛定理 §2.4下鞅的正则化 §2.5下鞅的分解

第三章离散时间马氏链 §3.1转移矩阵 §3.2状态的分类 §3.3常返性判定 §3.4遍历定理

第四章马尔可夫过程 §4.1 马氏性及等价形式 §4.2转移半群 §4.3强马氏性 §4.4加强的流 §4.5博雷尔右过程

第五章 连续时间马氏链 §5.1 链的惟一性 §5.2 常返性与遍历性 §5.3 生灭过程与单生过程 §5.4广义分枝过程

第六章费勒过程 §6.1 费勒半群 §6.2 轨道性质 §6.3 生成元和鞅问题 §6.4拟左连续性

第七章莱维过程 §7.1 增量性 §7.2 普瓦松过程 §7.3 布朗运动 §7.4轨道的构造

教材及参考文献：

1. 陈木法和毛永华 (2010): 随机过程导论. 高等教育出版社, 北京. 2.王梓坤 (1996): 随机过程通论(上、下卷).北京师范大学出版社, 北京.

3.Chen, M.F. (2004): From Markov Chains to Non-Equilibrium Particle Systems. 2nd Ed. World Sci., River Edge, NJ.

4. Chen, M.F. (2004): Eigenvalues, Inequality and Ergodic Theory. Springer, New York.

5. Ethier, S.N. and Kurtz, T.G. (1986): MarkovProcesses: Characterization and Convergence. Wiley, New York.

6. Ikeda, N. and Watanabe, S. (19): Stochastic Differential Equations and Diffusion Processes. 2nd Ed. North-Holland, Amsterdam; Kodansha, Tokyo.

7. Sharpe, M. (1988): General Theory of Markov Processes. Academic Press, New York.

对任课教师的要求：本学科具有副教授以上职称的教师。 大纲撰写人：李增沪、张梅

偏微分方程数值解法

课程中文名称：偏微分方程数值解法

课程英文名称：Numerical Methods of Partial differential Equations 总学时: 学分: 3

适用专业(学科方向): 计算数学，应用数学

先修课程(含已具备的学识基础的要求):数学分析，高等代数，偏微分方程，实变函数, 泛函分析, 至少一种计算机语言

教学目标:学习和掌握偏微分方程数值方法的基本知识，包括格式的选取、稳定性和收敛性分析、算法的实现等，并且培养学生的计算能力。

预期效果: 课程讲授完毕后学生应做到对经典的偏微分方程和几个典型的问题建立计算格式和使用MATLAB或者FORTRAN求解，同时能做一些相关的数值分析。

主要内容：偏微分方程数值解格式的建立, 求解和数值分析.

主要章节：

一、椭圆方程的有限差分法

核心要点: 椭圆方程的有限差分格式,收敛速度估计,先验估计和有限体积法.

网格、网格函数与差分逼近，有限差分格式、有限体积格式，截断误差、相容性、稳定性与收敛性，边界条件的处理，基于最大值原理的误差估计，渐近误差分析与外推。 二、抛物方程的有限差分法

核心要点: 差分格式, 稳定性收敛性, 有限体积法

显式与隐式格式，截断误差、相容性、稳定性、收敛性，最大值原理与一致稳定性， Fourier分析方法与L稳定性，耗散与守恒性，交替方向隐式格式、局部一维格式和算法的并行性。

三、双曲型方程的有限差分法

核心要点: Lax-Wendroff格式, Fourier分析、色散和L稳定性, 显式与隐式格式，稳定性的能量分析方法.

一阶双曲型方程(组)，特征线法，影响区域、依赖区域和 CFL 条件, 迎风格式与Lax-Wendroff格式, Fourier分析与差分格式的耗散、色散和L稳定性, 二阶双曲型方 程,

22

2

显式与隐式格式，稳定性的能量分析方法。 四、线性发展型方程有限差分方法的一般理论 核心要点: 稳定性很能量方法.

Lax等价定理，von Neumann 稳定性和强稳定性，修正方程分析，能量法分析。

教学方式: 讲课+上机

考核方式: 平时成绩+期末设计

教材(含经典学术名著)及参考文献(含境内外学科主流名刊)：

1. 李治平: 偏微分方程数值解讲义, 自编 (将于2010年由北京大学出版社出版) 2. Morton, Mayers: Numerical Solution of Partial Differential Equations, Cambridge

University Press, (中译本, 人民邮电出版社) 3. 李荣华：微分方程数值解法(第三版)，高等教育出版社。

4. 胡祖织、雷功炎: 偏微分方程初值问题差分方法，北京大学出版社。 5. 汤怀民、胡健伟: 微分方程数值方法, 南开大学出版社。

对任课教师的要求: 应该为计算数学方向有偏微分方程数值解经历的老师

大纲撰写人: 张辉

控制理论基础

课程中文名称：控制理论基础

课程英文名称：Foundation of Control Theory 总学时：72 学分： 4

适用专业：数学各专业

先修课程：数学分析、线性代数、常微分方程、普通物理学。

教学目标：使学生了解控制理论的应用背景，认识到这是一门进行应用数学研究所必须的理论基础课程。明白控制理论既是应用背景明确的技术理论，也是理论严谨和结论优美的数学理论。并且在重视理论推导的同时，学会合理地提出控制问题。

预期效果：掌握控制理论基础知识，了解控制问题的来源与形成过程。

主要内容：介绍控制理论产生的背景，其研究对象、研究的基本问题等。

主要章节：

1、 控制的意义和作用； §1.1、控制的意义和作用； §1.2、控制系统的构成； 2、 受控对象的数学描述；

§2.1、连续时间系统的状态空间描述； §2.2、传递函数与传递矩阵； §2.3、离散时间控制系统的描述； §2.4、z-传递函数和z-传递矩阵； §2.5、受控对象方程的参数辨识； 3、控制系统的分析； §3.1、一阶、二阶系统； §3.2、稳定性的代数判定； §3.3、稳定性的频率判定； §3.4、多项式族的稳定性判定； 4、线性系统的能控性和能观性；

§4.1、线性系统的能控性、能观性、能达性、能稳性； §4.2、状态渐进估计器和调节器的设计； 5、线性系统的实现； §5.1、线性系统的外部表示； §5.2、线性系统的实现； §5.3、最小实现； 6、不变性原理和干扰解耦； §6.1、常系数线性常微分方程组； §6.2、不变性原理； §6.3、干扰解耦问题； §6.4、（A，B）不变子空间； §6.5、干扰解耦问题的解； 7、控制系统最优调节器的设计； §7.1、控制系统的镇定； §7.2、控制装置的参数选择；

§7.3、平方可积函数与其Fourier变换； §7.4、线性二次最优调节器的设计。

教学方式：课堂教学。

考核方式：笔试。

教材及参考文献：

1. 李训经、雍炯敏、周渊，《控制理论基础》，第二版，高等教育出版社，2010.

2. Wonham W. M., Linear Multivariable Control: A Geometric Approach, 2nd edition,

Springer-Verlag, 1979.(有中译本)

对任课教师的要求：无。

大纲撰写人：郑创

复分析

课程中文名称：复分析

课程英文名称：Complex Analysis 总学时： 学分：3

适合专业：数学一级学科各专业

先修课程：数学分析，复变函数，实变函数，拓扑学，本科泛函分析，近世代数

教学目标：本课程是本科复变函数课程的进一步深化，其主要目标在于运用分析，代数，拓扑等方面的理论和方法分析复变函数出现的问题，研究一般复空间理论，是数学一级学科的基础课程。通过该课程的教学，使学生更加深刻地理解和掌握这一学科的基本概念和理论体系，培养学生更深层次的理论思维能力和运用所学知识进行科学研究的能力，为进一步学习数学学科的其他课程及从事科学研究打下重要的理论基础。

预期效果：学习完本课程，学生能够理解和掌握复分析的理论体系，使得抽象思维能力得到进一步加强，为从事数学学科的教学和科学研究打下扎实的理论基础。

主要内容：

1. 复变函数基本理论.

2. 介绍正规族, Riemann映射定理和保形映射. 3. 介绍解析函数的零点.

4介绍调和函数和次调和函数的基本内容和一些重要性质. 5 .介绍$H^p$ 空间和全纯Fourier变换以及它们之间的联系 . 6 .介绍有理函数一致逼近.

主要章节：

第一章：解析函数基本知识 §1. 预备知识

§2. 解析函数的基本性质 §3. 整体Cauchy定理 §4. 符号测度

第二章：正规族和保形映射

§1. 正规族

§2. 单连通区域的保形映射 §3. 边界对应定理 §4. 单叶解析函数 §5. Picard 定理

第三章：解析函数的零点 §1. 无穷乘积

§2. Weierstrass因子分解定理 §3. 整函数的级与型

§4. 零点的收敛指数，亏数与典型乘积 §5. Γ-函数

第四章：调和函数和次调和函数 §1. 调和函数的基本性质 §2. 上半连续函数 §3. 次调和函数

§4. Dirichlet 问题和Green 函数 §5. 单位圆盘中的调和函数 §6. 上半平面中的调和函数 第五章：Hp空间和全纯Fourier变换 §1. 单位圆盘中的Hp空间 §2. 上半平面中的Hp空间

§3. Fourier变换和全纯Fourier变换 第六章：有理函数的一致逼近

§1. 有理函数的一致逼近和单连通区域 §2. 复数域上多项式的一致逼近

教学方式：面授 考核方式：笔试（闭卷） 教材：邓冠铁，《复分析》 主要参考文献：

1.张南岳, 陈怀惠编著. 复变函数论选讲. 北京: 北京大学出版社, 1995 2..马库雪维奇著. 黄正中等译. 解析函数论. 北京: 高等教育出版社, 1957 3. 李锐夫, 戴崇基, 宋国栋编著. 复变函数续论.北京:高等教育出版社,19

4. 龚升编著. 简明复分析. 北京: 北京大学出版社, 1999

5. [德]Dieter Gaier 著. 沈燮昌译. 复变函数逼近论. 长沙: 湖南教育出版社,1992 6. 余家荣, 路见可编. 复变函数专题选讲. 北京: 高等教育出版社, 1993 7. M. Andersson. Topics in Complex Analysis}.北京: 清华大学出版社, 2005 8. V.Ahlfors. Complex Analysis (Third Edition).北京:机械工业出版社,2004 9. John B. Conway. Functions of One Complex Variable. Springer-Verlag, New York Heidelberg Berlin, 1978 2nd. Edition,

10. P. L. Duren, Theory of H$^{p}$-Spaces.} Academic Press, New York, 1997 11. W. Rudin. Real and Complex Analysis.Third edition. McGraw-Hill Publishing, New Delhi, 1987

12. E. M. Stein and R. Shakarchi. Complex Analysis,Princeton Lectures in Analysis II. Princeton Univ. Press, Princeton. 2003

13. E. M. Stein and G. Weiss. Real and Complex Analysis . China Machina Press,

Beijing. 2004

对任课教师的要求：熟练掌握数学分析，实变函数，点集拓扑学，泛函分析， 近世代数等课程。

大纲撰写人：邓冠铁

现代分析基础

课程中文名称：现代分析基础

课程英文名称：Foundation of Modern Analysis 总学时： 学分：3

适用专业：基础数学

先修课程：本科的数学分析，高等代数，实变函数，复变函数，泛函分析等课程

教学目标：通过学习加强现代分析基础知识、熟练掌握奇异积分算子理论、恒等逼近、插值理论、Fourier变换等相关理论，为从事分析和偏微分方程方向的学习和研究打好理论基础。

预期效果：学完本课程，学生能够了解和掌握现代分析中知识、思想和方法，在从事分析类方向的教学和研究打下扎实的理论基础。

主要内容：极大函数、Poisson积分、恒等逼近、算子内插理论、Fourier变换、Schwartz函数类、缓增分布、上半空间调和函数、球调和函数、Hilbert变换、Riesz变换、奇异积分算子。

主要章节： 第一章：基本知识 §1. 卷积

§2. Hardy-Littlewood极大算子 §3. 恒等逼近 §4. 算子内插定理

第二章：Fourier变换

§1. Fourier变换的L^1理论 §2. Fourier变换的L^2理论 §3. 复测度的Fourier分析

第三章：Schwartz函数和缓增广义函数 §1. Schwartz函数空间

§2. 缓增广义函数空间 §3. 与平移可交换算子的刻画

第四章：调和函数

§1. R^n上的调和函数的基本性质 §2. R^{n+1}_+上的调和函数的边界值 §3. 球面调和函数

第五章：奇异积分算子 §1. Hilbert变换 §2. Riesz变换

§3. Calderon-Zygmund奇异积分算子 §4. Fourier乘子

教学方式：面授

考核方式：笔试（闭卷或开卷）

教材：丁勇. 现代分析基础（第2版）. 北京：北京师范大学出版社，2013. 主要参考文献：

1. E. M. Stein. Harmonic Analysis: Real Varial Methods, Orthogonality, and Oscillatory Integrals. Princeton Univ. Press, Princeton, 1993.

2. E. M. Stein and G. Weiss. Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces. Princeton Univ. Press, Princeton, 1971.

3. Modern Fourier Analysis. 2nd Edi., Graduate Texts in Math. 250, Springer-Verlag, Berlin, 2008.

对任课教师的要求：熟练掌握数学分析、复变函数，实变函数，泛函分析等课程。

大纲撰写人：丁勇

泛函分析选讲II

课程中文名称：泛函分析选讲II

课程英文名称：Selected Topics in Functional Analysis II 总学时： 学分：3

适合专业：数学一级学科各专业

先修课程：熟知本科数学分析，实变函数，泛函分析； 略知本科复变函数，拓扑学 (不要求)

教学目标：本课程是本科泛函分析内容的深化和延续，在本科《泛函分析》知识基础上, 深入学习紧算子和算子谱理论的知识，为学生进一步在数学各个学科的学习和科研奠定良好的基础.

预期效果：学习完本课程，学生能够在本科泛函分析知识的基础上, 进一步掌握算子谱理论以及泛函演算以及算子半群理论的基本知识.

主要内容：闭算子, 自伴算子, 谱族, 谱分解, 线性算子半群，无穷小生成元, Hilbert-Schmidt算子, 迹算子

主要章节： 第一章： 无界算子 §1. 闭算子

§2. Cayley变换与自伴算子的谱分解 §3. 无界正常算子的谱分解 第二章：算子半群 §1. 无穷小生成元 §2. 无穷小生成元的例子 §3. 单参数酉群和Stone定理

教学方式：面授

考核方式：笔试（闭卷）

教材：

杨大春、袁文,《泛函分析选讲》, 北京师范大学出版社即将出版

主要参考文献:

1. 张恭庆、林源渠,《泛函分析讲义(上)》, 北京大学出版社 2. 张恭庆、郭懋正,《泛函分析讲义(下)》, 北京大学出版社

对任课教师的要求：熟练掌握本科数学分析、线性代数、复变函数，实变函数，点集拓扑学，泛函分析等课程。

大纲撰写人：杨大春、袁文

变分法及其应用

课程中文名称：变分法及其应用

课程英文名称: Variational Methods and Applications 总学时： 学分：3

适用专业（学科方向）：各专业方向硕士生

先修课程（含已具备的学识基础的要求）：实分析，泛函分析

教学目标：使学生掌握变分法基本知识

预期效果：学生了解掌握变分法基本知识结构，能够运用一些常用技巧和方法解决问题

主要内容：直接方法，极小极大方法，非线性偏微分方程解的存在性

主要章节： 第一章 准备知识 §1 Banach 空间中微分 §2 Sobolev 空间的基础知识 第二章 直接方法

§1 泛函的下半连续性与极小元的存在性 §2 p-Laplace 方程的边值问题 §4 具有条件的极小问题 第三章 集中紧性原理 §1 集中紧性原理引理一 §2 集中紧性原理引理二

§3 Sobolev 不等式的极值函数的存在性 第四章 Minimax 理论 §1 Minmax 方法总概

§2 Mountain Pass 定理及其应用 §3 Mountain Pass 定理的推广

教学方式：课堂教学，板书

考核方式：考试

教材（含经典学术名著）及参考文献（含境内外学科主流名刊）：

Paul H. Rabinowitz :Minimax methods in critical point theory with applications to differential equations.

Michael Struwe :Variational methods. Applications to nonlinear partial differential equations and Hamiltonian systems.

Michel Willem: Minimax Methods.

对任课教师的要求：

大纲撰写人：唐仲伟，熊金钢

函数空间与偏微分方程

课程中文名称：函数空间与偏微分方程

课程英文名称: Function Spaces and Partial Differential equations 总学时: 学分： 3

适用专业（学科方向）：各专业方向硕士生

先修课程（含已具备的学识基础的要求）：本科数学的基础知识，包括偏微分方程、泛函分析等

教学目标：使学生掌握Besov空间、Triebel-Lizorkin空间、Morrey-Campanato空间的基本知识与基本技术，并了解这些空间在一些偏微分方程研究中的应用。

预期效果：学生了解掌握Besov空间、Triebel-Lizorkin空间、Morrey-Campanato空间的基本知识结构，能够运用这些函数空间的技巧和方法去研究偏微分方程。

主要内容：Besov空间与Triebel-Lizorkin空间，Morrey-Campanato空间，这些函数空间在偏微分方程中的应用等

主要章节：

第一章 通常的函数空间简介 §1 Sobolev空间 §2 Holder空间 §3 BMO空间

第二章 Besov空间与Triebel-Lizorkin空间 §1 Bernstein不等式

§2 齐次与非齐次的Littlewood-Paley分解 §3 Besov空间与Triebel-Lizorkin空间的定义 §4与Sobolev空间、Holder空间等通常空间的关系 §5 Besov空间与Triebel-Lizorkin空间的一些性质

§6 Besov空间与Triebel-Lizorkin空间的Gauss刻画与差分刻画 §7 仿微分运算

§8 Besov空间框架下三维Navier-Stokes方程组的适定性 §9 Triebel-Lizorkin空间框架下三维Euler方程组的适定性

第三章 Morrey-Campanato空间 §1 定义 §2 一些基本性质

§3 与Sobolev空间、Holder空间等通常空间的关系 §4 在三维Navier-Stokes方程组的适定性问题上的应用

第四章 函数空间在偏微分方程中的进一步应用 §1 在Besov空间框架下求解输运方程

§2 输运方程在Besov空间框架下的导数损失估计

§3 Morrey-Campanato空间在带有压力项的输运扩散方程的正则性问题上的应用 §4 Morrey-Campanato空间在椭圆型方程正则性问题上的应用

教学方式：课堂教学，板书 考核方式：考试

教材（含经典学术名著）及参考文献（含境内外学科主流名刊）：

1. H. Bahouri, J.-Y. Chemin and R. Danchin, Fourier analysis and nonlinear partial differential equations, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 343, Springer, 2011 2. R. Danchin, Fourier Analysis Methods for PDE's

3. P.G. Lemarie-Rieusset, Recent development in the Navier-Stokes problem, volume 431 of Chapman & Hall, 2002

4. L. Sivestre and V. Vicol, Hölder continuity for a drift-diffusion equation with pressure, Ann. I. H. Poincaré – AN 29 (2012), 637–652

5. H. Triebel, Theory of function spaces, Monographs in Mathematics, v.78 Birkhuser Verlag, 1983.

对任课教师的要求：

大纲撰写人：薛留堂

动力系统基础

课程中文名称：动力系统基础

课程英文名称：Introduction to Dynamical Systems 总学时 学分： 3

适用专业（学科方向）：各专业方向研究生

先修课程（含已具备的学识基础的要求）：本科数学的基础知识。

教学目标：使学生掌握动力系统的基本知识，一般方法和技巧，了解动力系统与其他数学分支以及应用学科间的联系。

预期效果：学生了解掌握动力系统基本知识结构，能够运用一些常用技巧和方法解决问题。

主要内容：拓扑共轭与结构稳定性，双曲不动点，Smale马蹄与Anosov环面同构，双曲集，生物中的应用等

主要章节：

第一章到第四章为离散动力系统，第五章介绍连续动力系统及其在生物中的应用 第一章、动力系统初步 §1.1基本概念

§1.2拓扑共轭与结构稳定性 §1.3圆周同胚

第二章、双曲不动点 §2.1双曲线性同构

§2.2双曲不动点在扰动下的保持 §2.3双曲性在扰动下的保持 §2.4Hartman-Grobman 定理 §2.5双曲不动点的局部稳定流形

第三章、Smale马蹄与Anosov环面同构

§3.1符号动力系统 §3.2 Smale马蹄 §3.3 Anosov环面同构

第四章、双曲集 §4.1双曲集的概念 §4.2双曲性在扰动下的保持 §4.3可微性

§4.4双曲集的稳定流形族 §4.5双曲集的结构稳定性 §4.6跟踪引理

第五章、连续动力系统介绍 §5.1中心流形 §5.2正规型 §5.3分支理论介绍 §5.4生物中的应用

教学方式：课堂教学，板书

考核方式：考试

教材（含经典学术名著）及参考文献（含境内外学科主流名刊）：

1. 文兰, 微分动力系统，高等教育出版社, 2014 2. 张筑生，非线性泛函分析, 科学出版社，

3. Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems, Cambridge University Press, 4. Differential Equations, Dynamical Systems &An Introduction to Chaos, Academic Press 5. Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos, Springer-New York.

对任课教师的要求：

大纲撰写人：刘志华

; 哈密顿系统

课程中文名称：哈密顿系统 课程英文名称：Hamiltonian systems 总学时: 学分： 3

适用专业（学科方向）：各专业方向硕士生

先修课程（含已具备的学识基础的要求）：本科数学的基础知识，包括常微分方程、泛函分析等

教学目标：使学生掌握拉格朗日变分框架和哈密顿力学系统的基本知识，掌握哈密顿系统的一般方法和技巧，了解哈密顿系统与其他数学分支（如辛几何、变分法、经典力学、优化控制等）以及应用学科间的联系。

预期效果：学生了解掌握哈密顿系统基本知识结构，能够运用一些常用技巧和方法解决问题。

主要内容：牛顿力学，拉格朗日变分框架，哈密顿系统等 主要章节： 第一章 牛顿力学 §1 牛顿力学系统示例 §2 质点在三维空间中的运动 第二章 拉格朗日变分框架 §1 拉格朗日变分原理 §2 拉格朗日方程与哈密顿方程 §3 和乐约束

§4 流形上的拉格朗日动力学 第三章 哈密顿力学 §1 哈密顿动力系统 §2 庞加莱截面

§3 哈密顿向量场及哈密顿函数的李代数 §4 辛向量空间 §5 辛流形

§6 哈密顿-雅克比方法

§7 典则变换与生成函数 第四章 扰动理论初步

§1 环面上的周期及拟周期运动 §2 可积系统 §3 作用量、角变量 §4 平均法简介

教学方式：课堂教学，板书

考核方式：考试

教材（含经典学术名著）及参考文献（含境内外学科主流名刊）： 哈密顿系统的指标理论及其应用，龙以明 哈密顿系统中的有序与无序运动，程崇庆、孙义燧 Lectures on Hamiltonian systems, J. Moser

Introduction to Hamiltonian Dynamical Systems and the N-Body Problem, K. Meyer and G.Hall and D. Offin

Hamiltonian Dynamical Systems and Applications, W. Craig Mathematical Methods of Classical Mechanics, V.I. Arnold

对任课教师的要求：

大纲撰写人：苏喜锋

分支理论基础及其在生物中的应用

课程中文名称：分支理论基础及其在生物中的应用

课程英文名称：Introduction to bifurcation theory and its applications in biology mathematics 总学时 ： 学分： 3

适用专业（学科方向）：各专业方向硕士生

先修课程（含已具备的学识基础的要求）：本科数学的基础知识

教学目标：使学生掌握分支理论基础的基本知识，掌握分支理论中的一般方法和技巧，了解分支理论在生物数学中的应用。

预期效果：学生了解掌握分支理论的基本知识，能够运用一些常用技巧和方法解决问题。

主要内容： Hopf 分支，同宿分支，多重闭轨分支，异宿分支， BT 分支，结构种群模型的分支问题等 主要章节：

第一章 基本概念和准备知识 §1 动力系统及其结构稳定性 §2 分支与分支问题的提法 §3 中心流形定理 §4 正规形

§5 普适开折与分支的余维数 第二章 常见的局部与非局部分支 §1 奇点分支 §2 闭轨分支 §3 Hopf 分支 §4 平面同宿分支 §5 Poincare分支 §6 BT 分支

第三章 空间中双曲鞍点的同宿分支 §1 具有三个实特征值的鞍点的同宿分支 §2 空间中鞍焦点的分支

第四章 结构种群模型的分支问题

§1 具有大小，年龄或空间结构的种群模型 §2 结构种群模型的Hopf分支 §3 结构种群模型的BT分支

教学方式：课堂教学，板书

考核方式：考试

教材（含经典学术名著）及参考文献（含境内外学科主流名刊）：

【1】向量场的分支理论基础，张芷芬, 李承治, 郑志明, 李伟固，高等教育出版社, 北 京, 1997.

【2】Chow, S. N., Li, C. Z. & Wang, D. Normal Formsand Bifurcation of Planar Vector Fields (Cambridge University Press)，1994.

对任课教师的要求：副教授以上职称的偏微分方程方向的教师。

大纲撰写人：赵丽琴

交换代数

课程中文名称：交换代数

课程英文名称：Commutative Algebra 总学时： 学分：3

适用专业：数学科学学院基础数学各方向

先修课程：高等代数、抽象代数；要求掌握高等代数的基本技巧和群、环、域的基础知识，了解主理想整环是唯一分解整环。

教学目标：交换代数是数学专业必修课“抽象代数”的后续课，是近代代数学的主流方向代数几何与代数数论的基础，并且与同调代数、群和代数的表示理论等代数学分支有重要的关联。通过本课程的学习，使学生受到更严格的代数学思维训练，提升学生的数学深度和广度，并为他们进一步学习代数几何和代数数论等课程打下基础。

预期效果：（同教学目标）

主要内容：素理想和极大理想，模与张量积，分式环和分式模，Noetherian环和Artin环，整扩张和正规化，代数集和零点定理，理想的准素分解，离散赋值环和Dedekind整环，分次环和完备化，维数理论。

主要章节：

第一章：交换环和理想

核心要点：幂零根和Jacobson根的刻画；局部环的定义和例子。 §1. 素理想和极大理想 §2. 幂零根和Jacobson根 §3. 局部环 第二章：模

核心要点：Nakayama引理；张量积的泛性质定义；张量积的右正合性。 §1. 模的定义 §2. 有限生成模 §3. 正合序列及Hom函子 §4. 模的张量积

§5. 正合序列及张量函子 §6. 代数的张量积 第三章：分式环和分式模

核心要点：分式环的构造及其中的理想；分式环的平坦性；局部化方法。 §1. 分式环的构造 §2. 分式环中的理想 §3. 关于素理想的局部化 §4. 分式模 §5. 局部性质 第四章：链条件

核心要点：升链条件和降链条件；合成序列。 §1. Noetherian模和Artin模 §2.有限长度的模

第五章：Noetherian环和Artin环

核心要点：Hilbert基定理；Noetherian环上的有限生成模。 §1. Noetherian环及其上的模 §2. Hilbert基定理 §3. Artin环的结构 第六章：整扩张

核心要点：整性的有限性条件；卧上、上行和下行定理；Noetherian正规化。 §1. 整元和整闭包 §2. 理想和整扩张

§3. Noetherian正规化及弱零点定理 第七章：零点定理

核心要点：零点定理的证明；代数簇（几何）与理想（代数）的对应关系。 §1.代数簇 §2. 零点定理

§3. 不可约簇与素理想的对应 §4. 代数簇的Zariski拓扑 §5. SpecA的Zariski拓扑 第八章：准素分解

核心要点：理想的准素分解的唯一性与存在性。 §1. 模的Supp和Ass

§2. Supp和Ass的关系 §3. 准素理想和准素分解 §4. Noetherian环上的准素分解 第九章：离散赋值环和Dedekind整环

核心要点：离散赋值环是1维Noetherian局部整环；Dedekind整环的局部化是离散赋值环；代数整数环是Dedekind整环。 §1. 离散赋值环的定义和例子 §2. 离散赋值环的刻画 §3. Dedekind整环及其刻画 §4. Dedekind整环上的模 第十章：完备化

核心要点：交换环的I-adic拓扑；Artin-Rees引理；形式幂级数环和p-adic数环。 §1. I-adic拓扑环和完备化 §2. 模的I-adic完备化 §3. 相伴分次环 第十一章：维数理论

核心要点：分次环（模）的Hilbert函数；Noetherian局部环上维数的三种等价定义。 §1. Hilbert函数

§2. Noetherian局部环的维数理论 §3. 正则局部环 §4. 维数的几何定义

教学方式：课堂讲授为主，适当安排习题课。

考核方式：闭卷、开卷及其它灵活的考试方式。

教材及参考文献：

1. M.F.Atiyah and I.G.Macdonald, Introduction to commutative algebra, Addison-Wesley, 1969.

2. M.Reid, Undergraduate commutative algebra, Cambridge University Press, 1995. 3. J.Rotman, Advanced modern algebra, Higher Education Press (English reprint), 2004.

4. D.Eisenbud, Commutative algebra with a view toward algebraic geometry, Springer-Verlag, New York, 1995.

对任课老师的要求：多举例子以印证抽象的概念和定理；对于基本的思想和关键的技术细节，讲授宜细致，以使学生掌握本课程的精华，并养成严谨的思维习惯。

大纲撰写人：刘玉明、张翀。

群表示论

课程中文名称：群表示论

课程英文名称：Representation Theory of Groups 总学时： 学分：3

适用专业（学科方向）：数学科学学院基础数学各方向

先修课程（含已经具备的学识基础的要求）：高等代数，抽象代数；要求掌握线性变换和矩阵的概念与性质，对群、环、域有一定程度的了解。

教学目标：群表示论是现代数学的重要理论之一，广泛地应用于各数学分支，是一门综合的学问。本课程介绍群表示论的基本概念与基本方法，侧重代数方法的应用，着重于讲解有限群的表示理论，使学生对群表示论有初步的了解，为今后进一步的学习打下基础。

预期效果：使学生掌握有限群的表示的基础知识，对群表示论的基本方法有所了解。

主要内容：群表示的概念，表示的构造方法，特征标理论及其应用，诱导表示的性质，Artin定理与Brauer定理，紧群的表示

主要章节：（一至五章均为有限群的表示理论）

第一章：群表示的基本概念

核心要点：群表示的概念和几种构造表示的基本方法，表示的分解，Schur引理，Maschke定理

§1. 群表示的定义和例子

§2. 子表示，商表示，表示的张量积，诱导表示 §3. 不可约表示与完全可约表示 §4. Maschke定理

第二章：特征标理论

核心要点：特征标与类函数，特征标的正交关系，迹公式的理解与运用，特征标理论在群论中的应用

§1. 特征标的概念 §2. 特征标的基本性质 §3. 特征标理论的应用 §4. 有限群上的迹公式 §5. 特征标的计算举例

第三章：诱导表示

核心要点：诱导表示几种等价刻画，Frobeius互反律，Mackey定理 §1. 诱导表示的定义与性质 §2. 诱导表示的特征标 §3. 诱导表示不可约性的判定

第四章：一些例子

核心要点：Young图，Frobenius特征标公式，一些简单李型群表示的分类 §1. 对称群的表示

§2. 有限李型群GL(2), SL(2)的表示

第五章：Artin定理与Brauer定理 核心要点：Artin定理与Brauer定理 §1. 有理特征标的Artin定理 §2. Brauer诱导定理

第六章：紧群的表示

核心要点：拓扑群与紧群的定义，紧群上的迹公式，Peter-Weyl定理，一些简单的branching law

§1. 紧群的定义 §2. 紧群上的不变积分 §3. Peter-Weyl定理 §4. 特征标与矩阵系数 §5. SU和SO的表示

教学方式：以教师讲授为主，学生讨论为辅。

考核方式：闭卷考试。

教材及参考文献：

1. Jean-Pierre Serre, Linear representations of finite groups, GTM 42. 2. William Fulton, Joe Harris, Representation theory, a first course. GTM 129.

3. Michael Artin, Algebra (second edition), Addison Wesley. （机械工业出版社有影印版）

对任课老师的要求：

除讲授基本内容外，可多举例讲解几类重要具体的群的表示，并提及一般的规律与性质，宜从选材上加入分析、几何的方法，让学生意识到表示论是门综合的学问，教师也可从自身科研方向的角度向大家阐明表示论的重要性。

大纲撰写人：张翀

代数图论

课程中文名称:代数图论

课程英文名称: Algebraic Graph Theory 总学时: 学分: 3

适用专业(学科方向):基础数学和应用数学相关方向

先修课程(含已经具备的学识基础的要求):代数学基础, 组合数学

教学目标:本课程主要介绍线性代数、多项式和群论在图论中应用. 让学生学会在图论问题中使用代数工具, 体会代数工具在组合中的重要性和实用性. 为学生学习后续专业课程打下良好基础.

预期效果: 使学生学会在图论问题中使用代数工具.

主要内容: 图的邻接谱; 图的拉普拉斯谱; 染色多项式; Tutte 多项式;图的自同构; 对称图; 结合方案; 距离正则图.

主要章节: 第一章: 图谱理论

核心要点：图的邻接矩阵与图的组合性质的关系; 特征值的交织; 平衡划分; 求图的特征值方法; 图的特征值的应用. §1. 图的基本概念 §2. 对称矩阵的一些性质 §3. 图的邻接矩阵 §4. 线图和二部图 §5. 图的顶点划分和谱 §6. 交织

§7. 平衡划分及其应用 §8. Kneser 图的特征值

第二章: 图的拉普拉斯谱

核心要点:图的拉普拉斯谱与图的生成树的个数的关系; 图的拉普拉斯谱与图的连通性的关系.

§1. 关联矩阵 §2. 图的拉普拉斯谱 §3. 生成树 §4. 连通性

第三章: 图的染色

核心要点：染色多项式的性质和图的其它参数的关系; Tutte多项式的性质和图的其它参数的关系 §1. 染色多项式 §2. 子图扩张 §3. 诱导子图扩张 §4. Tutte 多项式 §5. 染色多项式和生成树

第四章: 图的对称性和正则性

核心要点：确定图的自同构群的方法; 对称图的性质; 3-正则对称图的分类; 距离传递图的性质.

§1. 图的自同构 §2. 点传递图 §3. 对称图 §4. 3-正则对称图 §5. 距离传递图

§6. 给定围长的极小正则图

第五章: 结合方案和距离正则图

核心要点:特征矩阵的正交关系; Krein 参数的关系式; P-多项式和Q-多项式方案的判定; 计算距离正则图的谱及谱的应用. §1. 结合方案的定义和例子 §2. 邻接代数 §3. Krein 参数

§4. 结合方案的本原性和非本原性 §5. P-多项式和Q-多项式方案 §6. 距离正则图 §7. 距离正则图的谱

教学方式:以教师讲授为主, 以学生讨论为辅.

考核方式:闭卷考试.

教材及参考文献:

1. E. Bannai and T. Ito, Algebraic Combinatorics I : Association Scheme,Benjamin. 2. N. Biggs, Algebra graph theory, Cambridge university press, 1993.

3. A. Brouwer, A. Cohen and A. Neumaier, Distance-regular graphs, Springer-Verlag,

Berlin, Heidelberg, 19.

4. A. Brouwer and W. Haemers, Spectra of graphs, Springer, 2011. 5. C. Godsil and G. Rodsil, Algebra graph theory, Springer, 2004. 6. C. Godsil, Algebraic Combinatorics, Chapman and Hall, New York, 1993.

对任课教师的要求: 多画图多从直观的角度讲授; 注重代数方法在图论中的应用, 多讲授图的相关矩阵及群的性质和图的组合性质的相互关系, 以辅助学生体会代数工具在组合中的重要性和实用性.

大纲撰写人:吕本建

模型论

课程中文名称：模型论 课程英文名称：Model Theory 总学时： 学分：3

适用专业（学科方向）：数学科学学院各专业

先修课程：《数理逻辑》，要求具备一阶逻辑的基础知识，了解哥德尔完备性定理

教学目标：使学生掌握模型论的基础理论和基本技巧，了解理论的基本分类，和模型论 理论在代数几何等领域的应用。本课程强调基础理论和基本方法的教学，适当开拓知识 面，提高学生对数学基础的理解，训练学生严谨的数学思维，提高数学科研的能力，并 对本学术分支的研究动态有一定了解。

预期效果：（同教学目标）

主要内容：

§1. First order logic (summary)

帮助学生复习一阶逻辑等预备知识，为课程统一基本概念和符号的使用。 §2. Compactness and nonstandard analysis

模型论的第一个基本工具，多用实例，也可引导学生自己寻找和讲解实例。 §3. Quantifier elimination and its applications in DLO, DAG, ACF, DCF 第二个基本工具，非常强大，特别是对模型的可定义集的分析非常彻底。强调该方 法的各种等价条件和变形形式的应用。 §4. Realizing and Omitting types

另一个基本概念，是Compactness 的延伸，结合compactness 一起讲解。举例讲解 该方法的应用。

§5. Saturated/Homogeneous model

是type 理论的语义部分，证明各种极大/极小模型的存在和唯一性分析，注重与types 的关系。

§6. Indiscernibles：Paris-Harrington Theorem

一个非常特殊且强大的构造模型的方法，在集合论中应用非常广泛。多结合实例讲 解，有机会稍许介绍该方法在Pari-Harrington 问题上的应用。

其他高阶的内容（如果时间允许）：

 Classification theory, introduction  Morley’s Categoricity Theorem  o-minimal theory  Forking

 Algebraic independence  Stable theory  Simple theory  Unstable theory

 Recent developments in model theory

主要章节：（同主要内容1-6）

教学方式：课堂教学，结合师生互动

考核方式：课程论文一篇 教材及参考文献：

1. Model Theory: An Introduction, by David Marker. Springer, 2003. 2. Model Theory, by C.C. Chang and H.J. Keisler. Elsevier, 3rd ed., 1990.

对任课老师的要求：理论结合实例，多与学生互动，可根据学生掌握情况调整内容和讲 解速度

大纲撰写人：施翔晖

数字图像处理和分析

课程中文名称：数字图像处理和分析

课程英文名称：Digital Image Processing and Analysis 总学时： 学分：3 适合专业： 先修课程：

人工智能是目前高科技的主要研究方向，机器视觉是人工智能的重要组成部分，而图像处理和分析是实现机器视觉的基础和前提条件。大量的人工智能应用和产品要用到机器视觉作为信息的采集，采集到的图像信息经过处理和分析转换为数字信息，作为进一步实现目标识别和场景理解的基础。因此掌握一定的图像处理知识和图像分析技能，可以为将来从事相关邻域的科研、开发和创新工作奠定基础。

本课程是一门为应用数学专业研究生开设的学位基础课。通过学习使学生掌握有关数字图像处理的基本概念、方法、原理和应用，了解图像分析的特点、应用范围和现状，培养和增强学生数字图像处理和分析的创新意识和创新思维，提高学生利用图像处理和分析的方法解决实际问题的能力。

本课程主要介绍图像处理的物理背景和数学方法，着重讲解数学公式的物理含义以及公式的使用方法，通过具体项目的科研成果讲授理论在实践中的应用，学生通过编程实验进行理论和算法的学习。课程适当设置编程作业实现图像处理的功能，并结合实际应用设置一到二个综合图像分析的项目。

通过本课程的学习，学生应当掌握数字图像变换、空域图像增强、频域图像增强、图像恢复、彩色图像处理等基本原理和相关运算；掌握图像分割、特征提取、区域描述、目标表达等图像分析技术；了解数学形态学方法；学会设计图像处理应用系统的方法，能够通过编写程序解决基本的图像处理问题。 章节 第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 绪论 图像采集 图像变换 空域图像增强 频域图像增强 图像恢复 内容 3 3 6 6 3 3 学时 第七章 第八章 第九章 第十章 第十一章 第十二章 第十三章 彩色图像增强 图像分割技术 特征提取 区域描述 目标表达 数学形态学方法 图像处理和分析应用 合计 3 6 3 3 3 3 3 48 第一章 绪论 主要内容：

§1、数字图像及应用；

§2、数字图像处理和分析的主要内容和方法； §3、数字图像的表示、显示和存储； 要求：

§1、了解数字图像和数字图像处理的基本概念； §2、了解数字图像处理和分析的内容和方法； §3、理解数字图像的表示、显示和存储。

第二章 图像采集 主要内容：

§1、连续图像的数学描述； §2、图像采样； §3、图像的量化； §4、数字图像的格式。 要求：

§1、理解连续图像的数学描述； §2、理解图像采样和图像量化原理； §3、掌握一种数字图像的格式。

第三章 图像变换 主要内容：

§1、图像的几何变换；

§2、图像的代数变换； §3、图像的离散傅立叶变换； §4、图像的离散余弦变换；

§5、图像的离散沃尔什—哈达玛变换； §6、图像的K-L变换； §7、图像的小波变换。 要求：

§1、掌握图像的平移、旋转、缩放、镜像等几何变换； §2、掌握图像的加、减、乘、除代数运算； §3、掌握图像的离散傅立叶变换和离散余弦变换；

§4、了解图像的离散沃尔什—哈达玛变换、K-L变换和小波变换。

第四章 空域图像增强 主要内容： §1、灰度变换； §2、邻域运算；

§3、直方图均衡化和直方图变换； §4、图像的空间域滤波； §5、图像的平滑与模糊； §6、图像的锐化与清晰。 要求：

§1、掌握图像的灰度映射原理； §2、理解邻域运算的概念和实现方法； §3、理解灰度直方图的概念及其计算方法； §4、掌握直方图均衡化和直方图变换； §5、了解空间域滤波的基本原理；

§6、掌握图像的平滑与模糊处理的实现方法； §7、掌握图像的锐化与清晰处理的实现方法。

第五章 频域图像增强 主要内容： §1、低通滤波器； §2、高通滤波器；

§3、带阻带通滤波器； §4、空域技术与频域技术比较 要求：

§1、掌握低通滤波和高通滤波技术； §2、会设计低通滤波器和高通滤波器； §3、了解带阻带通滤波器；

§4、会选择空域方法和频域方法解决实际问题。

第六章 图像恢复 主要内容：

§1、图像退化模型； §2、图像复原技术； §3、噪声模型； §4、逆滤波复原； §5、维纳滤波器； §6、中值滤波器。 要求：

§1、理解图像退化的基本模型；

§2、了解图像复原技术的概念、分类和主要用途； §3、理解噪声的概念和噪声模型；

§4、掌握逆滤波复原和维纳滤波器的基本原理； §5、掌握中值滤波器的基本原理和方法。

第七章 彩色图像处理 主要内容：

§1、人类视觉和色度学原理； §2、彩色模型和转换； §3、彩色增强。 要求：

§1、了解人类视觉和色度学原理；

§2、掌握各种颜色模型以及各种模型之间的相互转换； §3、了解彩色增强方法。

第八章 图像分割技术 主要内容：

§1、图像分割的概念； §2、阈值选择与阈值化处理； §3、并行边界技术； §4、串行边界技术； §5、并行区域技术； §6、串行区域技术； §7、SUSAN检测算子； §8、主动轮廓模型。 要求：

§1、理解图像分割的基本概念；

§2、掌握阈值化处理方法，了解全局阈值和自适应阈值等方法 §3、掌握并行和串行边界技术； §4、了解并行和串行区域技术； §5、会用SUSAN检测算子； §6、会设计主动轮廓模型。

第九章 特征提取 主要内容：

§1、区域形状特征； §2、区域纹理特征； §3、运动特征。 要求：

§1、掌握区域形状特征的提取方法； §2、理解区域纹理特征的提取方法； §3、了解运动特征的提取方法。

第十章 区域描述 主要内容：

§1、基于边界的描述； §2、基于区域的描述； §3、基于关系的描述；

§4、相似性描述。 要求：

§1、掌握基于边界和基于区域的描述； §2、了解基于关系的描述； §3、了解相似性描述。

第十一章 目标表达 主要内容： §1、目标标记； §2、基于边界的表达； §3、基于区域的表达。 要求：

§1、掌握目标标记方法； §2、了解边界和区域表达方法。

第十二章 数学形态学方法 主要内容：

§1、形态学基本原理； §2、膨胀和腐蚀运算； §3、开、闭运算； §4、组合运算。 要求：

§1、理解形态算的概念和原理； §2、掌握腐蚀、膨胀、开、闭运算； §3、了解组合运算；

§4、会正确运用形态算进行图象处理。

第十三章 数字图像处理和分析应用） 主要内容：

§1、图像处理的主要应用领域； §2、图像处理和分析系统的组成； §3、图像处理和分析的研究现状。 要求：

§1、了解图像处理的主要应用领域； §2、掌握图像处理和分析系统的组成； §3、了解图像处理和分析的研究现状。

[1] Rafael C. Gonzalez, Richard E. Woods, DigitalImage Processing，Second Edition，电子工业出

版社，2008.

[2] Rafael C. Gonzalez, Richard E. Woods, Steven L. Eddins, DigitalImage Processing Using MATLAB，

电子工业出版社，2009.

[3] KENNETH R. CASTLEMAN, Digital Image Processing, 清华大学出版社, 2003. [4] 章毓晋编著，图像处理和分析教程，人民邮电出版社，2009.

[5] 赵荣椿，赵忠明，赵歆波，数字图像处理和分析，清华大学出版社，2013.

1．平时考核（40分）：平时作业：20分；综合设计：20分

2．期末考试（60分）：闭卷考试或者机考，考试题目可以多样化，但应当包括编程题目。

数据挖掘

课程中文名称：数据挖掘 课程英文名称：Data Mining 总学时： 学分：3

适用专业（学科方向）：各专业方向 先修课程：数理统计、程序设计

教学目标：通过课程的学习让学生了解数据挖掘的含义，理解数据挖据的基本原理，熟练掌握数据挖据的基本方法和应用步骤。

预期效果：通过本科程的学习，使学生熟练掌握数据挖掘的基本方法并会应用到实际问题。 主要章节

第一章 绪论 §1. 数据挖掘的含义 §2. 数据挖掘的任务与问题 §3. 数据挖掘的理论基础

第二章 数据与数据预处理 §1. 数据对象与属性 §2. 数据的基本统计特性 §3. 数据的相似性及度量 §4. 数据的预处理

第三章 关联规则挖掘

§1. 关联规则挖掘的基本概念 §2. 关联规则的发现算法 §3. 连续值属性的关联规则挖掘 §4. 多层关联规则挖掘 §5. 约束关联规则挖掘

§6. 增量关联规则挖掘 §7. 模式挖掘

第四章 分类分析 §1. 分类的基本概念 §2. 决策树分类 §3. 贝叶斯分类 §4. 基于规则的分类 §5. 基于支持向量机的分类 §6. 基于神经网络的分类 §7. 分类的评估

§8. 提高分类准确率的技术 §9. 其它分类方法

第五章 聚类分析

§1. 聚类分析的基础知识 §2. 层次聚类方法 §3. 基于划分的方法 §4. 基于密度的聚类 §5. 基于网格的聚类方法 §6. 基于模型的聚类 §7. 基于知识的聚类 §8. 聚类的评估

§9. 聚类的其他问题及方法

第五章 离群点检测 §1. 离群点的基本概念 §2. 基于统计的检测方法 §3. 基于临近性的检测方法 §4. 基于聚类的检测方法 §5. 基于分类的检测方法 §6. 离群点检测的其他问题及方法

第六章 数据挖掘的发展趋势及前沿 §1. 复杂数据类型的挖掘 §2. 数据的可视化 §3. 大数据集的数据挖掘 §4. 在线数据挖掘 §5. 数据挖掘与计算智能 §6. 数据挖掘的应用

教学方式：讲授为主，实践为辅

考核方式：平时考核、期末考试结合 教材：

[1] 韩家炜等著，范明等译，数据挖掘：概念与技术（第三版），机械工业出版社，2012.7。 [2] Jiawe Han， Micheline Kamber， Jian Pei，Data Mining：concepts and techniques, Third

Edition, Elsevier Inc., 2012.

[3] 焦李成刘芳缑水平刘静陈莉，智能数据挖掘与知识发现，西安电子科技大学出版社，2006。 [4] 邵峰晶，于忠清，数据挖掘：原理与方法，中国水利水电出版社，2003。

对任课教师的要求：熟悉相关数学知识、人工智能、计算智能，数据库等相关知识

大纲撰写人：于福生

人工智能

课程中文名称: 人工智能 课程英文名称:Artificial Intelligence 总学时: 学分：3

适用专业: 应用数学 先修课程： 教学目标：

使学生了解人工智能的基本概念、基本原理、基本分析方法以及当前技术的重要发展方向和趋势，从而达到对人工智能技术有一个初步的认识 预期效果:

通过本课程的学习使学生了解人工智能的发展、应用以及当前国际国内研究的热点和重要成果；理解人工智能系统的组成、工作原理以及应用（专家系统）；掌握人工智能系统中的最基本的概念、基础知识、基本方式、基本原理以及基本技术等。使学生在完成本课程学习后，掌握人工智能技术的基本知识，拓宽专业学习的知识面和视野。 主要内容: 第一章 绪论

掌握人工智能的基本概念，了解人工智能的历史、现状和发展趋势。掌握人工智能的研究内容、分支领域、主要学派与其争论焦点、及人工智能的应用领域。

第二章 人工智能逻辑

掌握基于逻辑的人工智能系统的研究内容及方法。

第三章 约束推理

掌握约束推理的基本内容和研究方法。掌握有限域上的约束满足问题的主要研究手段，及了解约束语言COPS和ILOG

第四章 定性推理

掌握定性推理的基本方法，主要研究内容有定性模型推理、定向仿真推理、定性进程推理、代数方法定性推理和几何空间定性推理。

第五章 基于范例的推理

掌握基于范例的推理的基本方法。主要研究范例的表示、索引与检索、相似性关系研究，范例的保存、学习、及约简算法。

第六章 概率推理

掌握贝叶斯网络的基本方法及贝叶斯学习模型。。

第七章 模糊推理和模糊理论

理解模糊集的基本概念，掌握模糊性与随机性的区别。

掌握模糊集上的基本运算，并能够利用贴近度进行模糊模式识别。掌握模糊关系的定义、特性及模糊关系的合成。掌握模糊等价关系的定义，能够基于模糊等价关系进行聚类。

第八章 归纳学习

掌握归纳学习的基本方法，实例学习和观察与发现学习两种研究方法。掌握AQ、CLS、ID3、BSDT等归纳学习算法。

第九章 支持向量机

掌握支持向量机的基本方法。掌握结构风险最小归纳原理，及基于分类超平面的海量数据分类方法。

第十章 解释学习

掌握解释学习的基本方法。掌握解释学习模型，解释与泛化的基本方法。

第十一章 强化学习

掌握强化学习模型。掌握蒙特卡罗方法、时序差分学习、Q学习等强化学习方法。

第十二 章知识发现

掌握知识发现的研究内容、对象、任务、基本方法、相关算法及研究进展。

第十三章 专家系统

理解专家系统的概念和结构；初步掌握专家系统设计与实现方法；了解专家系统的发展。

第十四章 分布智能

掌握分布式人工智能的研究内容，体系结构、协作机制和研究进展。

第十五章 神经网络

了解神经网络的发展史。掌握神经网络的基本概念与特性。理解神经网络的构成，掌握常用的神经元、网络模型和学习算法。掌握多层感知器、BP算法等。了解Hopfield网络及其应用。

第十六章 进化算法

理解进化算法的基本思想，掌握其组成部分。理解各种进化算法的实质，能够区分它们的不同。掌握遗传算法的特点及存在的问题，掌握应用遗传算法的基本步骤。

第十七章 人工生命

掌握人工生命的探索进展，人工生命模型及研究方法。理解细胞自动机理论、形态形成理论、混沌理论。

教学方式:讲授 考核方式:笔试

教材(含经典学术名著)及参考文献(含境内外学科主流名刊): [1] 高级人工智能，史忠植，科学出版社，2006。

[2] Artificial Intelligence: A Guide to Intelligent Systems, Second Edition，Michael Negnevitsky，Pearson Education, 2005；

[3]Artificial Intelligence: Structures and Strategies for Complex Problem Solving，6th Edition，(美)George F.Luger ，Addison Wesley，

[4]人工智能：复杂问题求解的结构和策略(原书第6版)，郭茂祖刘扬玄萍王春宇（译），机械工业出版社，2010 年 对任课教师的要求: 大纲撰写人:刘玉铭

图论及其应用

课程中文名称：图论及其应用

课程英文名称：Graph theory with applications 总学时： 学分：3

适用专业（学科方向）：各专业方向硕士生先修课程（含已具备的学识基础的要求）：本科数学的基础知识

教学目标：图论是一个应用广泛的数学分支。该课程的目的是使学生了解掌握图论的基本概念和经典参数，能够运用图论的知识和方法去分析、解决一些实际问题。预期效果：学生了解掌握图论的基本概念和经典参数，能够运用图论的知识和方法去分析、解决一些实际问题。

主要内容：图的概念、网络流与连通度、树、欧拉图、Hamilton圈、着色理论、匹配、集和团、平面图等。 主要章节： （一）第一章概论 主要内容：

§1.1 图的概念 §1.2 图的同构

§1.3 关联矩阵和邻接矩阵 §1.4 图的顶点度和运算 §1.5 路与圈 §1.6 连通与连通分支 §1.7 最短路问题

（二）第二章树 主要内容：

§2.1 树的定义和一般性质 §2.2 割边和键 §2.3 割点 §2.4 Cayley公式 §2.5 最优生成树 （三）第三章连通度

主要内容： §3.1 连通度 §3.2 块

§3.3 可靠通讯网络的构造

（四）第四章Euler 图与Hamilton 图 主要内容： §4.1 Euler 环游 §4.2 Hamilton 圈 §4.3 中国邮递员问题 §4.4 货郎担问题 （五）第五章匹配与集 主要内容： §5.1 匹配 §5.2 集

数学模型及其应用

课程中文名称: 数学模型及其应用

课程英文名称：Mathematical Models and Their Application 总 学 时:48 学 分: 3

适用专业（学科方向）：应用数学

先修课程（含已具备的学识基础的要求）: 已修完常微分方程，且对数学建模有一定了解。

教学目标: 通过本课程的学习，学生能够较系统地掌握数学模型应用于生物学及其他领域中所需理论知识及计算和分析能力。能够熟练地运用数学模型描述和刻画生物学及相关领域的一些实际问题, 能熟练运用计算机及数学软件, 初步具有进行理论研究的能力或运用专业知识与有关专业人员合作解决某些实际应用问题的能力,

主要内容: 研究种群生态学中种群动态模型所涉及的各类方程：常微分方程，微分泛函方程，反应扩散方程，差分方程；以及这些方程的初边值问题，动态解，平衡态解，周期解等各类解的存在性，唯一性，基本的解算子半群理论，线性算子谱理论，不动点理论；有关解的定性理论，动态解的渐进性质，平衡态解的线性稳定性，分岔理论，极限环，吸引子，不变流形。

主要章节：

第一章： Continuous Population Models for Single Species §1.1 Continuous Growth Models

§1.2 Insect Outbreak Model: Spruce Budworm §1.3 Delay Models

§1.4 Linear Analysis of Delay Population Models: Periodic Solutions 第二章： Discrete Population Models for a Single Species §2.1 Introduction: Simple Models

§2.2 Cobwebbing: A Graphical Procedure of Solution §2.3 Discrete Logistic-Type Model: Chaos

§2.4 Stability, Periodic Solutions and Bifurcations 第三章：Models for Interacting Populations

§3.1 Predator–Prey Models: Lotka–Volterra Systems §3.2 Complexity and Stability

§3.3 Realistic Predator–Prey Models

第四章：Temperature-Dependent Sex Determination (TSD)

§4.1 Biological Introduction and Historical Asides on the Crocodilia §4.2 Nesting Assumptions and Simple Population Model §4.3 Age-Structured Population Model for Crocodilia §4.4 Density-Dependent Age-Structured Model Equations

第五章：Modelling the Dynamics of Marital Interaction: Divorce Prediction and Marriage Repair

§5.1 Psychological Background and Data: Gottman and Levenson Methodology §5.2 Marital Typology and Modelling Motivation §5.3 Modelling Strategy and the Model Equations §5.4 Steady States and Stability 第六章：Reaction Kinetics

§6.1 Enzyme Kinetics: Basic Enzyme Reaction

§6.2 Transient Time Estimates and Nondimensionalisation §6.3 Michaelis–Menten Quasi-Steady State Analysis §6.4 Suicide Substrate Kinetics

第七章：Biological Oscillators and Switches §7.1 Motivation, Brief History and Background §7.2 Feedback Control Mechanisms

§7.3 Oscillators and Switches with Two or More Species 第八章：BZ Oscillating Reactions

§8.1 Belousov Reaction and the Field–K¨or¨os–Noyes (FKN) Model

§8.2 Linear Stability Analysis of the FKN Model and Existence of Limit Cycle Solutions

§8.3 Nonlocal Stability of the FKN Model

第九章：Perturbed and Coupled Oscillators and Black Holes §9.1 Phase Resetting in Oscillators §9.2 Phase Resetting Curves §9.3 Black Holes

第十章：Dynamics of Infectious Diseases §10.1 Historical Aside on Epidemics

§10.2 Simple Epidemic Models and Practical Applications

§10.3 Modelling Venereal Diseases

§10.4 Multi-Group Model for Gonorrhea and Its Control. §10.5 AIDS: Modelling the Transmission Dynamics

第十一章：Reaction Diffusion, Chemotaxis, and Nonlocal Mechanisms §11.1 Simple Random Walk and Derivation of the Diffusion Equation §11.2 Reaction Diffusion Equations §11.3 Models for Animal Dispersal §11.4 Chemotaxis

第十二章：Oscillator-GeneratedWave Phenomena

§12.1 Belousov–Zhabotinskii Reaction Kinematic Waves

§12.2 Central Pattern Generator: Experimental Facts in the Swimming of Fish §12.3 Mathematical Model for the Central Pattern Generator 第十三章：BiologicalWaves: Single-Species Models §13.1 Background and the Travelling Waveform

§13.2 Fisher–Kolmogoroff Equation and Propagating Wave Solutions §13.3 Asymptotic Solution and Stability of Wave front Solutions of the Fisher–Kolmogoroff Equation . .

§13.4 Density-Dependent Diffusion-Reaction Diffusion Models and Some Exact Solutions

第十四章：Use and Abuse of Fractals

§14.1 Fractals: Basic Concepts and Biological Relevance §14.2 Examples of Fractals and Their Generation

§14.3 Fractal Dimension: Concepts and Methods of Calculation §14.4 Fractals or Space-Filling?

教学方式: 课堂教学 考核方式: 提交论文

教材：Mathematical Biology (third edition) , Murray JD, Springer. 参考文献：

1. 数学建模基础（第二版），薛毅，科学出版社。

2. 数学建模方法与分析，刘来福，杨淳，黄海洋（译），机械工业出版社 3. Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos, Stephen Wiggins, Springer 对任课教师的要求: 具有较高的数学模型相关理论和应用科研能力

大纲撰写人: 张勇

有限元方法

课程中文名称：有限元方法

课程英文名称：Finite Element Method 总学时: 学分:3

适用专业(学科方向): 计算数学，应用数学

先修课程(含已具备的学识基础的要求):数学分析，高等代数，偏微分方程，泛函分析，数值分析，数值代数，至少一种计算机语言

教学目标:本科程的主要内容是有限元方法的误差估计以及在偏微分方程求解中

的应用。

预期效果: 课程讲授完毕后学生应掌握有限元先验误差估计的方法，对线性偏微

分方程以及简单非线性问题，低阶有限元进行误差分析，对经典的偏微分方程和几个典型的问题能自己编制简单程序进行求解，同时能做一些相关的数值分析。

主要内容：有限元方法在偏微分方程数值解中的应用

主要章节： 第一章：预备知识

核心要点: 引入有限元分析所需要的基本数学工具，有限元的基本原理。 §1.变分原理 §2.广义（弱）导数 §3.Sobolev空间 §4.嵌入定理、迹定理

§5.Sobolev空间中的Green公式 §6. 等价模定理

第二章：椭圆型方程的有限元方法

核心要点：从变分问题的Galerkin方法出发、构造各种单元上、不同阶数的有限元空间，同时要求学生理解有限元方法的计算过程。 §1.变分问题的Galerkin方法

§2.有限元空间的建立 §3.有限元方法的计算过程

第三章：有限元方法的收敛理论

核心要点: 介绍基本的有限元误差估计的方法和技巧。 §1. Sobolev空间差值理论 §2. 能量模估计 §3. L2模估计

第四章：自适应有限元方法

核心要点：后延误差估计、自适应算法，以及收敛性分析。 §1. 奇性解的例子 §2. 后验误差分析 §3. 自适应算法 §4. 收敛性分析

第五章：有限元多重网格方法

核心要点: 本章主要介绍多重网格方法的计算过程以及工作量估计，自适应多重网格的构造。 §1. 模型问题 §2. 迭代方法

§3. 多重网格方法的工作量估计 §4. 自适应多重网格

第六章：混合有限元方法

核心要点: 本章主要介绍混合有限元空间的构造，以及误差分析。 §1. Possion方程的混合有限元方法 §2. Stokes问题的混合有限元方法

第七章：抛物线方程的有限元方法

核心要点: 本章主要介绍抛物线方程如何构造有限元空间，进行离散，误差估计，后延误差分析，以及自适应算法的设计。 §1. 抛物线方程的弱解 §2. 半离散近似 §3. 全离散近似 §4. 后延误差估计 §5. 自适应算法

教学方式: 讲课+上机

考核方式: 平时成绩+期末设计

教材(含经典学术名著)及参考文献(含境内外学科主流名刊)：

1. Zhiming Chen, Haijun Wu , Selected Topics in Finite Element Methods, Science Press, Beijing, 2010

2. Brenner S. C., The Mathematical Theory of Finite Element Methods, Springer, 2010.

对任课教师的要求:应该为计算数学方向有偏微分方程数值解经历的老师

大纲撰写人: 纪光华

谱方法

课程中文名称：谱方法

课程英文名称：Spectral Methods

总学时: 学分:3

适用专业(学科方向): 计算数学，应用数学

先修课程(含已具备的学识基础的要求):数学分析，高等代数，偏微分方程，至少一种计算机语言

教学目标:本科程的主要内容是谱方法和相关高阶方法在常见的线性和非线性问

题中的应用。

预期效果: 课程讲授完毕后学生应做到对经典的偏微分方程和几个典型的问

题建立谱方法格式和使用MATLAB或者FORTRAN求解，同时能做一些相关的数值分析。

主要内容：谱方法及其在偏微分方程数值解中的应用

主要章节： 第一章：预备知识

核心要点: 引入谱方法的概念和相关的背景，复习和掌握几种著名的多项式及其性质。学习快速傅立叶变换的数学原理。 §1.谱方法概念 §2.正交多项式 §3.Chebyshev多项式 §4.Legendre多项式

§5.Jacobi多项式和广义Jacobi多项式 §6.多项式近似的误差估计 §7.快速傅立叶变换

第二章：谱配置法

核心要点：配置法就是要求近似解在一些配置点上满足当前的方程（组），要求学生学会典型的几种配置法及其配置点的选法。学会经典线性问题的配置法求解。

§1.多项式基函数的微分矩阵 §2.傅立叶配置方法的微分矩阵 §3.Chebyshev配置法的特征值

§4.两点边值问题的Chebyshev配置方法 §5.弱形式下的谱配置法

第三章：谱Galerkin方法

核心要点: 谱Galerkin法是基于方程的变分形式的谱方法，要求学生掌握实现谱Galerkin方法的步骤，并能够对典型问题数值求解。 §1. Legrendre-Galerkin方法 §2. Chebyshev-Galerkin方法

§3. Chebyshev-Legendre Galerkin方法 §4. 预条件迭代法

§5. 高阶方程的谱Galerkin方法及相关误差估计

第四章：无界区域上的谱方法

核心要点：对于无界区域，我们要选择Hermite多项式，Laguerre多项式和径基函数等，本章不作为本课程的重点，学生点到为止，不需要深入学习。 §1. Hermite谱方法 §2. Laguerre谱方法

§3. 径向函数谱方法以及相关的误差估计 第五章：谱方法在一维问题的应用

核心要点: 本章所有问题，从谱方法的建立到计算机实现都要掌握。 §1. 边界层问题的伪谱方法 §2. Fredholm积分方程的伪谱方法 §3. 抛物型方程的Chebyshev谱方法 §4. KDV方程的傅立叶谱方法 §5. 本质无震荡谱方法 第六章：高维问题的谱方法

核心要点: 本章所有问题，从谱方法的建立到计算机实现都要掌握。 §1. 矩形区域上的谱配置法 §2. 谱Galerkin方法

§3. 圆柱形区域上的谱Galerkin方法 §4. 快速Poisson方程求解器 第七章：高维问题上的一些应用

核心要点: 本章所有问题，从谱方法的建立到计算机实现都要掌握。 §1. 波动方程的谱方法

§2. 薛定谔方程的Laguerre-Hermite方法 §3. Stokes方程的谱方法近似 §4. Navier-Stokes方程的谱投影法 §5. 圆柱绕流的轴对称问题

教学方式: 讲课+上机

考核方式: 平时成绩+期末设计

教材(含经典学术名著)及参考文献(含境内外学科主流名刊)：

1. Jie Shen and Tao Tang, Spectral and High-Order Methods with Applications, Science Press, Beijing, 2006

2. Jie Shen, Tao Tang and Lilian Wang, Spectral Methods: Algorithms, Analysis and Applications, Springer, 2011

3. Lloyd N. Trefethen, Spectral Methods in Matlab, SIAM,Philadelphia, 2000

对任课教师的要求:应该为计算数学方向有偏微分方程数值解经历的老师

大纲撰写人: 张争茹

计算流体力学

课程中文名称：计算流体力学

课程英文名称：Computationall Fluid Dynamics (CFD) 总学时: 学分: 3

适用专业(学科方向): 计算数学，应用数学

先修课程(含已具备的学识基础的要求):数学分析，高等代数，偏微分方程（非必修），偏微分方程数值解（非必修），至少一种计算机语言

教学目标:

随着计算机科学的发展和应用的高度普及，计算流体力学已成为科研工作者的常规应用工具。本课程主要面向研究生和高年级本科生讲授现代计算流体力学的基本理论和数值方法，以及在现代科学中的基本应用，为将来从事科学研究和工程应用打下良好的基础。并通过该课程的学习，理解现代科学研究的基本手段和发展趋势。

预期效果:

通过该课程的学习，使学生掌握现代计算流体力学有关的基本概念与基本理论，学会将数学、流体力学知识和计算机技术有机地结合起来，对科学研究和工程应用中的流动问题进行数值模拟的方法。具体有：使学生弄清现代计算流体力学的基本概念、基本理论、分析问题的思路和方法；培养学生分析问题和解决问题的能力；指导学生阅读参考书、文献和资料，培养学生自学获取知识的能力。

主要内容：现代计算流体力学的理论、方法与应用

主要章节：

第一章：计算流体力学概述 1. 什么是计算流体力学

2. 计算流体力学的基本概念、方法、拟解决的问题 3. 计算流体力学的应用领域及其展望 第二章流体力学方程组概述 1、流体运动遵循的原理 §1.1 流体运动遵循的物理定律

§1.2 欧拉和拉格朗日表述 2、流体动力学的控制方程 §2.1 质量守恒律 §2.2 动量定律 §2.3 能量守恒律 §2.4 状态方程和本构方程 §2.5 边界条件综述 §2.6 湍流和层流的介绍 3. 流体力学方程组的数学描述 §3.1 流体力学方程组的微分形式 §3.2 流体力学方程组的积分形式 4. 流体力学方程组的分类

第三章计算流体力学的基本数值方法 1. 有限差分方法

§1.1常微分方程数值解法：龙格－库塔方法 §1.2双曲型方程的差分方法 §1.3抛物型方程的查分方法 §1.4椭圆型方程的差分方法 §1.5几种常用差分方法算例 2. 有限体积方法 §2.1有限体积方法简介

§2.2Burgers方程的有限体积方法 §2.3欧拉方程组的有限体积方法

§2.4可压缩纳维－斯托克斯方程组的有限体积方法 §2.5算例举例 3. 有限元方法

§ 3.1 椭圆型方程的变分方法 §3.2 流体力学方程组的弱形式 §3.3 流体力学方程组的有限元方法 §3.4 算法举例 4. 分子运动学方法

5. 直接模拟的Monte-Carlo方法 第四章可压缩流体力学的数值方法

1. 迎风格式 2. 中心格式 3. Godunov格式 4. Lax-Wendroff方法 5. 数值耗散和人工粘性 6. 高阶和高精度格式 7. 算法举例

第五章不可压缩流体力学方程组的数值方法 1. 不可压缩流体的物理特性 2. 压力修正方法 3. 涡团法 4. 算法举例

第六章现代流体力学中的某些高级算法 1. 激波捕捉格式 2. 界面追踪法 3. 虚拟压缩方法 4. 间断有限元方法 5. 实用算例

教学方式: 讲课+上机

考核方式: 平时成绩+期末设计

教材(含经典学术名著)及参考文献(含境内外学科主流名刊)：

1. 计算流体力学入门，John D.Anderson，清华大学出版社，2002年。 2. 计算流体力学,傅德薰、马延文编, 高等教育出版社,2002

对任课教师的要求: 应该为计算数学方向有偏微分方程数值解经历的老师

大纲撰写人: 李杰权

辛几何与切触几何

课程中文名称：辛几何与切触几何

课程英文名称： Symplectic Geometry and Contact Geometry 总学时: 学分: 3

适用专业(学科方向): 计算数学，应用数学

先修课程(含已具备的学识基础的要求):数学分析，高等代数，偏微分方程（非必修），偏微分方程数值解（非必修），至少一种计算机语言 教学目标

本课程从辛几何与切触几何的经典力学背景开始, 全面介绍辛几何与切触几何的基础知识，为进入辛几何与辛拓扑、切触几何与切触拓扑, 数学物理的相关课题的研究提供必要的准备. 教学内容 总论

主要内容：介绍辛几何与切触几何的从经典力学背景到现代辛几何与辛拓扑, 切触几何与切触拓扑发展历史，近期发展状况与其它数学分支之间的广泛联系及在不同的学科中的广泛应用。

教学要求：使学生掌握辛几何与切触几何的基础理论。 第一章：线性辛几何学时 主要内容：

1． 辛向量空间与辛线性群； 2． 拉格朗日子空间； 3． 仿射非挤压定理； 4． 复结构与辛向量丛；

教学要求：通过这章的学习，学生应该对辛向量空间、辛线性群、拉格朗日子空间、复结构与仿射非挤压定理有最必要的熟悉；还应掌握了辛向量丛及其Maslov类。 第二章：辛流形 主要内容：

1 辛流形及其子流形的定义和例子、哈密顿向量场及哈密顿流； 2 Darboux定理与Moser稳定性定理；

3 Weinstein 拉格朗日邻域定理及辛邻域定理；

教学要求：掌握辛流形及几种重要子流形的基本概念、Darboux定理与Moser稳定性定理的

内容与Moser技巧；熟悉Weinstein 拉格朗日邻域定理及辛邻域定理的内容及证明。 第三章：切触流形 主要内容：

1 切触结构, 切触形式及切触流形的定义和例子, Reeb场及切触流形的辛化； 2 Darboux定理, Gray稳定性定理, 勒让德邻域定理； 3 切触哈密顿向量场及切触动力系统；

教学要求：掌握切触结构, 切触形式及切触流形及几种重要子流形的基本概念、Reeb场的定义性质、及切触流形的辛化, Darboux定理与Gray稳定性定理的内容与Moser技巧；熟悉勒让德邻域定理的内容及证明, 切触哈密顿向量场及切触动力系统的基本性质。 第四章：近复结构

1 相容近复结构空间的可收缩性； 2 可积性与Kaehler流形； 3 Dolbeault理论与伪全纯曲线。

教学要求：掌握相容近复结构空间的可收缩性的证明，熟悉近复结构的可积性条件与Kaehler流形及Kaehler子流形的基本概念；了解Dolbeault理论、伪全纯曲线及其摸空间初步。 第五章：矩映射与哈米尔顿群作用 1矩映射及例子； 2 辛约化；

3 环面作用, 凸性定理；

4 辛环流形, Duistermaat-Heckman定理. 第五章：辛微分同胚群 1生成函数；

2 哈米尔顿辛微分同胚； 3 流量同态与Calabi同态； 4辛微分同胚群的拓扑；

教学要求：掌握生成函数的定义、性质与构造、哈米尔顿辛微分同胚群的构造与性质、流量同态与Calabi同态的定义与基本性质；了解辛微分同胚群的拓扑及复杂性。 第五章：矩映射与哈米尔顿群作用 1矩映射及例子； 2 辛约化；

3 环面作用, 凸性定理；

4 辛环流形, Duistermaat-Heckman定理.

教学要求：熟悉辛圆周作用的定义及是哈米尔顿圆周作用的条件；掌握矩映射及辛约化的基

本过程与特点；熟悉关于凸性的Atiyah-Guillemin-Sternberg定理, 辛环流形及局部化的Duistermaat-Heckman定理的内容并理解它们的证明。 第六章：辛不变量 1 非挤压与辛容量； 2 刚性； 3 Hofer 度量；

4 Floer同调与Gromov-Witten不变量简介。 教学要求：

掌握辛容量的定义、Hofer-Zehnder 辛容量与Hofer 度量的构造及性质；熟悉辛容量与非挤压的关系与对刚性的刻化, Floer同调与Gromov-Witten不变量构造思想。

三、教材与学习资源

J．柯歇尔，邹异明，辛几何引论，科学处版社 1997。 Ana Cannas da Silva， Lectures on Symplectic Geometry， LNM(17), Springer-VerlagBerlin 2001.

D.McDuff and D.Salamon, Introduction to Symplectic Topology, Clarendon Press·Oxford 1998.

D.McDuff and D.Salamon, J-curves and Symplectic Topology, (AMS)Colloquium Publications( Vol.52), Providence, Rhode Island 2004 H.Hofer and E.Zehnder， Symplectic Invariants and Hamiltonian Dynamics， Birkhauser Advanced Texts: Verlag Basel.Springer-Verlag Berlin 1994.

四、先修课要求

具备微分流形，微分几何与代数拓扑基本知识。

五、考核方式

闭卷考试，平时考核占30%至40%

微分拓扑

课程中文名称：微分拓扑

课程英文名称：Differential Topology 学分数: 3

适用专业 数学与应用数学 学时数 :

教学目标

微分拓扑是当代数学的一个重要分支。本课程的目标是使一年级研究生掌握微分拓扑的基本概念, 思想, 方法和技巧。

教学内容和学时分配

总论和预备知识 主要内容：

1、微分拓扑的发展概况及其主要研究内容和方法。 2、微分流形的概念和例子; 可微映射,切空间和切映射。 3、单位分解

教学要求：要求学生熟悉微分流形和光滑映射的概念, 理解并能运用单位分解。 重点、难点： 单位分解。

第二章：Whitney嵌入定理 主要内容：

1、零测集和弱Sard定理。 2、Whitney 浸入定理。

3、常态映射与 Whitney 嵌入定理。 教学要求：

要求学生理解Whitney嵌入定理的证明的主要技巧, 包括弱Sard定理的运用和从局部到整体的过渡。 重点、难点：

Whitney嵌入定理的证明。 第三章：管状邻域定理及其应用 主要内容： 1 向量丛。 2 管状邻域定理。

3 映射和同伦的光滑化。 教学要求：

要求学生熟悉管状邻域定理的内容, 并能简单运用它。 重点、难点： 管状邻域定理的证明。 第四章：正则值与横截性

1 正则值与Sard定理, 正则值原像定理。 2 横截性和横截原像定理。 3 横截逼近定理。 4 带参数的横截性定理。 5 Brouwer不动点定理 教学要求：

能够理解正则值和横截性的概念, 能理解并运用Sard定理和横截逼近定理。 重点、难点：

横截性的概念, Sard定理和横截逼近定理. 第五章：向量场与流，Morse 函数 1 向量场与流。 2 流形的匀齐性。 3 Morse函数。 教学要求：

理解向量场和流之间的关系，了解Morse理论的基本思想。 重点，难点：

从具紧支集的光滑向量场生成流； Morse引理的证明。 第六章：映射度

1模２映射度和模２环绕数。 2 流形的匀齐性。 3 Morse函数。 4 Borsuk-Ulam 定理。

5 流形的定向，定向映射度和定向环绕数。 6 Hopf 定理 教学要求：

掌握映射度的概念， 理解Borsuk-Ulam 定理和Hopf 定理. 重点，难点：

定向映射度的概念, Borsuk-Ulam 定理和Hopf 定理的证明

相交数，向量场奇点的指标与Poincare-Hopf定理 1 模２相交数和定向相交数。 2 向量场孤立零点的指标 3 Poincare-Hopf定理

教学要求：

掌握相交数的概念，了解Poincare-Hopf定理。 重点，难点：

定向相交数的概念, Poincare-Hopf定理。

三、教材与学习资源（必备项）

J. Milnor, Topology from a differential viewpoint, University of Virginia Press. V. Guillemin, A. Pollack, Differential Topology, Prentice Hall, Inc. M. Hirsch, Differential Topology, Springer.

四、先修课要求及教学策略与方法建议

先修课程 ：点集拓扑学.

教学策略与方法建议：本课程针对的主要是几何, 拓扑方向的学生，如果选课学生已经学过或正在学微分流形方面的课程，预备知识部分就可少讲。

五、考核方式

闭卷考试，平时考核占30%至40%

黎曼几何

课程中文名称：黎曼几何

课程英文名称：Riemannian Geometry 学分数: 3

适用专业 数学与应用数学 学时数 :

教学目标

《黎曼几何》是微分几何这个大的方向中的基础课，本课程的目标是使一、二年级研究生掌握黎曼几何的基础知识。为下一步学习研究微分几何中的相关问题打好基础。

教学内容和学时分配

总论 主要内容：

黎曼几何的发展概况及其主要研究内容和方法，以及微分流形、单位分解定理回顾。 教学要求：

明确本课程研究内容与基本思想方法。 第一章：黎曼度量 主要内容：

§1 黎曼度量定义、存在性证明、例子。 §2 体积形式。 教学要求：

要求学生掌握黎曼度量定义、存在性证明，以及常曲率空间经典度量形式如何得来（这里面包含诱导度量的概念）。 重点、难点：

利用单位分解定理证明黎曼度量存在性。 第二章：联络 主要内容：

§1仿射联络（为何要引入联络是重点）。 §2 Levi-Civita联络。 §3 黎曼流形上的微分算子 教学要求：

本章是黎曼几何中计算的基础，要求学生掌握为何要引入联络、联络定义、Levi-Civita联络定义及其唯一性证明（局部坐标下和整体的证明都要掌握）、黎曼流形上经典微分算子的计

算。 重点、难点：

Levi-Civita联络定义及其唯一性证明。 第三章：测地线 主要内容：

§1 测地线、指数映射、Gauss引理、测地线极小性。 §2 测地凸邻域。 §3 度量的完备性。 教学要求：

要求学生掌握黎曼流形上测地线、指数映射的定义，掌握Gauss引理、测地线极小性，测地凸邻域的存在性，Hopf-Rinow定理。 重点、难点：

测地线定义及存在性和性质、Gauss引理、Hopf-Rinow定理。 第四章：曲率 主要内容：

§1、 曲率张量、截面曲率。 §2、 Ricci曲率、数量曲率。 教学要求：

要求学生熟练掌握曲率张量运算及性质、截面曲率定义（和2维时经典Gauss曲率的关系），作为例子掌握空间型式。 第五章：Jacobi场 主要内容： §1 、Jacobi方程。

§2、 Ricci曲率、数量曲率。 §3、Cartan-Hadamard定理。 教学要求：

要求学生掌握Jacobi方程（和截面曲率的关系）、场，理解掌握Cartan-Hadamard定理证明。 重点，难点：

利用Jacobi方程证明Cartan-Hadamard定理。 第六章：第一、二变分公式 主要内容：

§1 第一、二变分公式。 §2 Synge定理。

§3 Morse指标形式和Bonnet-Myers定理 教学要求：

要求学生熟练掌握第一、二变分公式。理解Synge定理、Bonnet-Myers定理及证明。 重点，难点：

利用第二变分公式证明Synge定理，Bonnet-Myers定理及证明。 第七章：比较定理 主要内容：

§1 Rauch、Hessian、Laplace算子、Toponogov比较定理。 §2 球面定理。 教学要求：

要求掌握Rauch比较定理，理解Hessian、Laplace算子、Toponogov比较定理以及球面定理。 重点，难点： Rauch比较定理证明。 第八章：子流形几何 主要内容： §1第二基本形式。 §2 基本方程。 教学要求：

要求掌握黎曼子流形第二基本形式定义及相关计算，理解基本方程，了解超曲面的存在性定理。 重点，难点： 基本方程的得到。

三、教材与学习资源（必备项）

1. 唐梓洲。黎曼几何基础。北京师范大学出版社，2010。

2. 伍鸿熙、沈纯理、虞言林。黎曼几何初步，北京大学出版社，19。 四、先修课要求及教学策略与方法建议 先修课程：微分几何（流形）。

教学策略与方法建议：本课程是几何方向的基础课，对于具体例子的计算很重要。 五、考核方式

闭卷考试，平时考核占40%。

李群与李代数

课程中文名称：李群与李代数

课程英文名称：Lie groups and Lie algebras 学分数 3

适用专业 数学与应用数学 学时数

一、教学目标

李群和李代数在数学的很多领域，如几何、代数和数学物理中都扮演着重要的角色。在李群和李代数理论中，几何、代数、分析有机的结合在一起。本课程将系统介绍：李群的基本理论；紧李群和紧李代数（包括复半单李代数）的结构和分类理论；紧李群的自同构群和紧李群的表示理论。使学生能够在一学期的学习中掌握这些现代数学的基本结果。为学习微分几何，几何分析等课程及进一步学习李群、李代数打下一个基础。通过本课程学习，学生将体会到综合应用几何、代数、分析和表示论的方法所产生的威力，能够从李群及李代数的观点理解现代数学的一些重要结果。

二、教学内容和学时分配

总论

主要内容：介绍李群李代数发展历史，李群、李代数理论在数学中的重要地位，它们与其它数学分支之间的广泛联系及它们在不同的学科中的广泛应用；介绍李群、李代数理论研究的近期发展状况。

教学要求：使学生初步认识李群、李代数理论在数学中的重要地位，及与其它数学分支之间的广泛联系及它们在不同的学科中的广泛应用。加强学生把所学理论应用到相关的学科中去的意识。

第一章：李群的基本理论 主要内容： §1 拓扑群。

§2 李群、李代数的定义及例子。 §3 李群的局部性质。

主要内容为SophusLie的三个基本定理及其逆定理。从李群出发构造李代数，从李代数出发积分得到局部李群，再从局部李群构造整体李群。 §4 李子群和单参数子群。

包括：指数映射；李群上的Taylor展开式；连通李子群与其李子代数的一一对应；闭子群为

正则李子群的Cartan引理； §5 李群的同态和同构。

主要包括：李群同态诱导李代数同态，李代数同态诱导局部李群同态；李群之间连续同态即解析；李群上解析结构的唯一性。 §6 覆盖群。

§7 李群的商空间和商群。 §8 李群的自同构群。 §9 李群和李代数的伴随表示。

教学要求：通过这章的学习，学生应该对李群理论建立基本的认识。掌握以下内容 1 李群和李代数的基本概念，如李子群、同态、同构、伴随作用和伴随表示； 2 熟悉主要的线性矩阵群，如一般线性群、正交群、酉群和辛群。 3李群的齐性空间和商群。 4李群和李代数表示的基本概念。 5计算给定李群的李代数。

在此基础上，建立单连通的李群的范畴与李代数的范畴之间是等价的这一观念，并能自如的应用这一等价来讨论问题。 重点、难点：

因为李群理论涉及到代数、几何、拓扑及分析等很多方面，所以学生如果不是在这些方面都有较好的基础，可能会有些吃力。但是，如果能够承认一些结果并做一些补习，可以大大减少这些困难。为解决这些问题，可分别用一次课介绍流形及其上的向量场；要建立李群范畴和李代数范畴之间的完整联系，会涉及到偏微分方程组及其可积性条件的一些结果，所以在这部分上可以简略的介绍，有兴趣的同学可以自己去通过查阅文献搞清楚。 第二章：紧李群和紧李代数的结构 主要内容：

§1 约化李群和半单李群。 §2 紧李群的不变内积。

§3 紧李代数的Catrtan分解和根系。 §4 紧李群的Cartan子群的共轭性。 §5 紧李群和紧李代数的分类。 §6 复半单李代数的分类。 教学要求：

了解约化李代数，特别是紧李代数可以分解为单李代数的直和；掌握有关Cartan分解和Weyl基方面的主要结果；对于经典的紧致线性李代数能够熟练计算Killing型，根系，和素根系及

Cartan矩阵。熟悉Cartan子代数中的根系，素根系和Weyl房的几何性质；掌握紧李代数和复半单李代数的分类结果。 重点、难点：

重点是Cartan分解的建立和根系的性质的讨论，这同时也是难点。可通过具体例子让学生体会。

第三章：紧李群的自同构群和表示理论 §1 紧李代数的自同构群。 §2 Weyl群和扩展Weyl群。

§3 紧李代数的复表示理论，最高权表示。 §4 紧李代数的实表示。 教学要求：

了解紧李代数的自同构群的结构；熟悉Weyl群和扩展Weyl群的几何和代数性质。掌握紧李代数的复表示的结构，并在此基础上理解紧李代数的实表示。 重点、难点：

Weyl群和扩展Weyl群的性质是难点。另外基本表示的构造需要较多的代数准备，只给出存在性结果不去证明可能是一个不错的选择。

三、教材与学习资源

Lie群及其李代数，严志达，许以超，北京，高等教育出版社，1985年。 李群讲义，项武义，侯自新，孟道骥，北京大学出版社，北京，1994。

Lie Groups, Lie Algebras, and Their Representation：V.S. Varadarajan，Springer-Verlag，World Publishing Corporation，Beijing，China，1984。

孟道骥，复半单李代数引论，北京大学出版社，北京，1998。 万哲先，李代数，科学出版社，北京，19。

Differentiial Geometry , Lie Groups, and Symmetric Spaces, S. Helgason, Academic, New York, 1978。

Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, J. E. Humphreys, Springer-Verlag, New York Berlin, Heidelberg , 1972。

四、先修课要求

抽象代数，微分方程，微分几何，点集拓扑学。

五、考核方式

闭卷考试，平时考核占30%至40%

分枝过程

课程中文名称：分枝过程

课程英文名称：Branching Processes 总学时 学分： 3

适用专业（学科方向）：各专业方向硕士生

先修课程（含已具备的学识基础的要求）：本科数学的基础知识，包括概率论、随机过程等 教学目标：使学生掌握分枝过程基本知识，掌握分枝过程的一般方法和技巧，了解分枝过程与其他数学分支以及应用学科间的联系。

预期效果：学生了解掌握分枝过程基本知识结构，能够运用一些常用技巧和方法解决问题。 主要内容：Galton-Watson过程，连续时间Markov分枝过程，多物种分支过程，特殊的分枝过程等 主要章节：

第一章 Galton-Watson过程 §1 基本概念与性质 §2 灭绝概率 §3 收敛定理 §4条件极限定理

§5 临界情形的指数型极限定理 §6 上临界情形的强收敛定理 §7 非临界情形fn(s)的收敛性 §8 上临界GW过程的分解 §9 中心极限定理

第二章 连续时间Markov分枝过程 §1 定义和构造 §2 母函数 §3 灭绝概率和矩 §4 生灭过程 §5 极限定理

§6 利用Poisson过程的构造

第三章多物种分支过程 §1 定义和性质 §2 临界情形的极限定理 §3 上临界情形的极限定理

第四章特殊的分枝过程 §1 随机游动 §2 分枝扩散 §3 鞅方法的应用

§4 随机环境下的分枝过程 §5 移民分枝过程

教学方式：课堂教学，板书 考核方式：考试

教材（含经典学术名著）及参考文献（含境内外学科主流名刊）：

Branching Processes, K.B. Athreya and P.E. Ney The Theory of Branching Processes， T.E. Harris

Introductory Lectures on Fluctuation of Levy Process with Application, A.E. Kyprianou Spatial Branching Processes, Random Snakes and Partial Differential Equations, Jean-François, Le Gall

对任课教师的要求： 大纲撰写人：张梅

列维过程

课程中文名称：列维过程 课程英文名称：Levy Processes

总学时 学分： 3

适用专业（学科方向）：概率论方向硕士生

先修课程（含已具备的学识基础的要求）：本科数学的基础知识，包括数学分析，高等代数，概率论等；简单的拓扑、泛函、复数知识。

教学目标：从随机过程的角度讲授，使学生掌握列维过程的基础知识，了解一些重要的列维过程的基本性质和重要结论，学习其基本证明技巧和方法，并在后续更高层次的专业学习中加以应用。

预期效果：学生了解掌握列维过程的样本轨道结构和基本性质，能够掌握一些常用列维过程的性质。

主要内容：泊松过程，布朗运动，稳定过程，列维伊藤分解，列维辛钦公式，无穷可分分布，逃逸概率，游弋律，局部时，连续状态分枝过程 主要章节：

第五章 泊松随机测度 §1 泊松分布

§2 泊松点过程与复合泊松过程 §3 泊松随机测度

第六章 布朗运动 §1 轨道空间拓扑 §2 布朗运动的构造 §3 布朗运动的基本性质 §4 不变原理

第三章 无穷可分分布 §1 定义与性质 §2 收敛定理 §3 可加过程 §4 稳定分布

第四章 列维伊藤分解与列维辛钦公式 §1 列维过程定义 §2 列维伊藤分解 §3 随机游动的极限定理 §4 列维辛钦公式

第五章 样本轨道性质 §1 从属子 §2 逃逸问题 §3 保险风险 §4 分形性质

第六章 游弋律与局部时 §1 马氏性与生成元 §2 游弋律的构造 §3 局部时性质

第七章 连续状态分枝过程与列维树 §1 Galton-Watson 过程与随机游动 §2 连续状态分枝过程与列为过程 §3 列维树

教学方式：课堂教学，板书 考核方式：考试

教材（含经典学术名著）及参考文献（含境内外学科主流名刊）：

无穷粒子系统与马氏过程 严士健 跳过程与粒子系统

陈木法

Levy processes, J. Bertoin

Introductory Lectures on Fluctuation of Levy Process with Application, A.E. Kyprianou Stable Non-Gaussian Random Processes: Stochastic Models with Infinite Variance, G. Samorodnitsky and M.Taqqu

Levy Processes and Infinitely Divisible Law, K. Sato Levy Processes and Stochastic Calculus, D. Applebaum

Levy Processes: Theory and Applications, E. Banrdorff and Thomas Mikosch Foundations of modern probability O. Kallenberg

A Course in the Theory of Stochastic Processes A.D. Wentzell Brownian Motion and Stochastic Calculus

I. Karatzas et al两人不用 et al

Stochastic Differential Equations and Diffusion Processes N. Ikeda et al Measure-valued Branching Processes, Zenghu Li

对任课教师的要求： 大纲撰写人：何辉

随机微分方程

课程中文名称：随机微分方程

课程英文名称：Stochastic Differential Equations 总学时 学分： 3

适用专业（学科方向）：各专业方向硕士生

先修课程（含已具备的学识基础的要求）：本科数学的基础知识，包括概率论、常微分方程、随机过程、泛函分析

教学目标：使学生掌握鞅论的基本知识，掌握随机微分方程的求解方法和技巧，了解随机微分方程与其他数学分支间的联系。

预期效果：学生了解掌握随机微分方程的基本知识结构，能够运用一些常用技巧和方法解决问题。

主要内容：鞅论初步，随机积分，Ito公式，随机微分方程求解方法，扩散过程，耦合方法与应用，无穷维随机微分方程等。 主要章节： 第一章鞅论初步 §1 基本概念与性质 §2 鞅不等式

§3 鞅收敛定理与停止定理 §4 上鞅分解

第二章随机积分 §1 Ito随机积分

§2 Stratonovich 随机积分 §3 随机积分的性质

第三章 Ito公式 §1 1维Ito公式 §2 Ito公式 §3 鞅表示定理

第四章 随机微分方程

§1 解的定义与基本方法 §2 存在唯一性

§3 Girsanov变换与弱解 §4 Yamada-Watanabe 原理 §5 扩散过程

第五章 随机微分方程的耦合与应用 §1 耦合与变测度耦合 §2 梯度估计

§3 导数公式与Harnack不等式 §4 不变测度与遍历性

第六章 无穷维随机微分方程简介 §1 随机范函微分方程 §2 半线性随机偏微分方程 §3 非线性随机偏微分方程

教学方式：课堂教学，板书 考核方式：考试

教材（含经典学术名著）及参考文献（含境内外学科主流名刊）：

Stochastic Differential Equations B. Oksendal

Harnack Inequalities for Stochastic Partial Differential Equations Feng-Yu Wang Brownian Motion and Stochastic Calculus

I. Karatzas et al

Stochastic Differential Equations and Diffusion Processes N. Ikeda et al

对任课教师的要求： 大纲撰写人：王凤雨

金融随机分析

课程中文名称 金融随机分析

课程英文名称： Stochastic calculus for finance 总学时 学分： 3

适用专业（学科方向）：各专业方向硕士生

先修课程（含已具备的学识基础的要求）：本科数学的基础知识，包括数学分析，高等代数等；基本的概率测度理论。

教学目标：讲述基本的随机分析理论，介绍常见的技巧，并讲述其在金融数学中的应用。 预期效果：学生了解掌握随机分析的基本知识结构，能够运用一些常用技巧和方法解决问题。 主要内容：条件期望与鞅，布朗运动，伊藤积分及伊藤公式，随机微分方程，风险中性定价，保险模型及风险度量 主要章节：

第一章 概率论基础知识

要点：介绍概率测度空间的概念；条件期望的定义及性质；Markov过程及性质；鞅的概念及性质。 第二章 布朗运动

要点：布朗运动的定义；布朗运动的基本性质；一维布朗运动的反射原理；破产概率的计算。

第三章 伊藤积分及伊藤公式

要点：关于布朗运动的随机积分的定义和性质；伊藤公式； 第四章 随机微分方程的基本理论

要点：随机微分方程的解的概念；解的存在性唯一性；对于股票价格等模型的数学刻画 第五章 风险中性定价

要点：Black-Scholes 定价理论；风险中性定价方法；欧式、美式期权的定价理论 第六章保险模型及风险度量

要点：基本的保险模型；收益最大化问题；风险度量 教学方式：课堂教学，板书 考核方式：考试

教材（含经典学术名著）及参考文献（含境内外学科主流名刊）：

1. Steven E. Shreve, Stochastic calculus for finance, Springer, 2004. 2. M. Steele, Stochastic Calculus and Financial Applications. Springer, 2000.

3. A. Etheridge, A Course in Financial Calculus. Cambridge Univ Press, 2002

对任课教师的要求： 大纲撰写人：邵井海

硕士生学位专业课课程简介

同调代数 (Homological Algebra)

介绍范畴和函子的概念，特别是Hom函子与张量函子，定义复形与同调，上同调；上同调群Ext与扩张的关系。介绍几种同调维数。

代数表示论 (Representation Theory of Algebra)

介绍代数表示论的基础理论，包括Auslander-Reiten序列的存在唯一性， Ar-箭图；有限型及Tame型路代数的分类；Tilting理论；复盖理论。

有限群的表示理论 (Representation Theory of Finite Group)

介绍有限群的常表示，也就是半单群代数的表示，即特征标理论。介绍有限群的模表示，即非半单群代数的表示理论。

环与代数（Ringes and Algebras）

介绍环与代数的基本理论，如关于半单代数结构的Wedderburn-Artin定理；环的根：包括幂零根，谐零根，Jacobson根；介绍几种常用的环与代数，如中心单代数，本原环， Goldie环。

椭圆曲线（Elliptic Curves）

主要讲授椭圆曲线的群结构, 有限域上的椭圆曲线, 局部域上的椭圆曲线, 整体域上的椭圆曲线, 椭圆曲线的zeta函数, 椭圆曲线与Galois表示, 椭圆曲线与模形式等

函数逼近论 (Approximation Theory of Functions)

一般线性赋范空间内最佳逼近的存在性、唯一性、特征刻画。最佳逼近的正定性、逆定性，即 Jackson 型定性与Berstein型定理，最佳逼近的对偶定理。周期卷积类用三角多项式，样条的逼近度的精确估计，样条函数的基本知识与理论， N-宽度性论，最优求积公式，最优误差的估计与最优算法的构造。

小波与样条 (Wavelets and Splines)

样条函数论在实际应用中是一个很有用的数学工具。样条函数类具有许多优美的结构性质和极佳的逼近功能，其内容包括各种样条空间的代数，分析和逼近论性质。

小波分析是近年出现的一种新的数学方法。是Fourier分析发展的结晶。它同时具有理论深刻

与应用十分广泛的双重意义。基本内包括小波级数，多分辨分析，小波分解与重构，时频局部化，积分小波变换，二进小波，框架，样条小波，非正交小波，半正交小波，半正交小波和正交小波。小波包等。

奇异积分算子 (Singular Integral Operators)

介绍第一代、第二代和三代奇异积分算子的发展历程，经典结果，以及最新进展情况：主要讨论奇异积分算子及其相关的分数次积分算子、振荡积分算子、交换子等算子的有界性。

Littlewood-Paley理论 (Littlewood-Paley Theory)

Littlewood-Paley 理论在多个数学领域，如调和分析和偏微分方程等，都有很重要的应用。特别是Littlewood-Paley 分解理论在处理粗糙核算子方面起着重要的作用，我们主要对此理论的内容，意义和应用做深入的介绍。并详细介绍与之相关的Littlewood-Paley 算子的各种结果。

实Hardy空间理论及其应用 (Theory and Application of Real Hardy Spaces)

主要介绍实Hardy空间理论包括原子分解，分子结构及其对偶空间BMO，以及经典C-Z奇异积分算子等在此空间上的有界性。

函数空间及其应用(1) (Function Spaces and Their Applications (1)

函数空间理论在偏微分方程，多复变等其他分析学科中有重要的应用。本课程将主要讲授：Fourier变换、广义函数及插值；极大函数、恒等逼近和Calderón-Zygmund分解；奇异积分算子的Lp有界性；Hardy空间及BMO空间等。

函数空间及其应用(2) (Function Spaces and Their Applications (2)

本课程是函数空间及其应用（1）的继续，主要讲授奇异积分算子在各种函数空间（其中包括Hardy空间，Besov空间及Triebel空间等）上的有界性；加权不等式；Littlewood-Paley理论及乘子；T(1)定理；Heisenberg群；伪微分算子等。

球调和 (Spherical Harmonics)

讲授球面上Fourier-Laplace展开的基础知识及近代发展，并介绍关于球面上函数的构造性质的知识。

正交多项式 (Orthogonal Polynomials)

介绍关于不同的测试（或加权）的正交多项式系，特别是Jacobi 多项式的基本知识，这在球调和理论中有重要应用，在具体的物理力学问题中也有广泛的应用。

整函数 (Entire Functions)

讲授整函数的增长性，积分表达公式，分解定理，零点分布与增长性的联系，示性函数，次调和函数，指数型整函数，指数函数系的完备性和最小性，C 类整函数和应用

H^p 空间 (H^p Spaces)

介绍调和和次调和函数, H^P函数的基本结构, 共轭函数，平均增长和光滑性, Taylor系数, 作为线形空间的H^P，端点问题, 插值定理, 一般区域上的H^P空间，半平面上的H^P空间, Corona定理

现代偏微分方程基础 (Modern Partial Differential Equation Basis)

偏微分方程的基本概念以及这一学科的特点，广，微分方程解的公式表示，线性方程理论，非线性方程理论以及一些基本方程。

粘性解 (Viscosity Solutions)

介绍偏微分方程的粘性解基本理论及其较新的进展，其内容包括：粘性解的定义，极值原理，存在唯一性和正则性以及一些典型问题。

偏微分方程组 (Partial Differential Equation Groups)

介绍椭圆型偏微分方程组的基本理论，包括线性散度型椭圆组的 L2理论, Schauder理论, Lp理论，非线性椭圆组弱解的存在性和正则性。

非线性发展方程（Nonlinear Evolutional Equations）

物理、生物中的偏微分方程动态模型。抛物型、双曲型微分方程解的存在性、惟一性和正则性，发展方程的定性研究，包括解的渐近性质，吸引子的存在性及其分形维数，解的破裂现象，分岔理论等。

图象处理中的数学问题（Mathematical Problems in Image Process）

图像去噪、去模糊、配准、分割等图像处理基本问题中的数学方法，偏微分方程模型及其适定性，数值方法的设计及其收敛性。

反问题理论与计算（Mathematical Theory and Computational Methods of Inverse Problems） 反问题的基本概念，不适定性与吉甫诺夫正则化方法，正则化参数的选择，统计 估计分析，数值求解的优化，以及逼近的精度估计。

分支理论基础 (Foundation of Bifurcation Theory )

动力系统和结构稳定性；分支与分支问题的提法；中心流形定理；正规形；分支的余维数；分支图；奇点的分支，闭轨的分支；Hopf分支；平面同宿分支；Poincare 分支和弱Hilbert 16问题;多角环的环性

微分方程定性理论 (Qualitative Theory of Differential Equations)

平面常系数线性方程组的相图分析，平面动力系统，极限集，非线性微分方程奇点性态分析，Poincare-Bendixson环城定理，极限环，无穷远奇点，全局相图，Hopf分支，环面上常微系统，非自治微分方程的周期解。

子流形和极小子流形 (Submanifolds and Minimal Submanifolds)

围绕黎曼流形, 介绍子流形几何的极小子流形研究中的一些基本概念、结果和方法，较详尽地讨论欧氏空间中或球面中的极小子流形、Kaehler流形及其子流形，给出第二变分公式并讨论稳定性，并利用Bochner技巧给出刚性定理方面的若干结果。

多重线性代数 (Multilinear Algebra)

多重线性映射，张量空间，线性映射的张量积，群的表示和特征标，对称多重线性映射，张量的对称类，反对称张量空间，完全对称张量空间，广义矩阵函数，各种诱导线性映射的性质等。

控制不等式 (Majorization)

控制不等式的各种等价条件，控制不等式与随机矩阵的关系，凸函数和广义凸函数与控制不等式的关系，控制不等式的各种应用，矩阵特征值和奇异值的控制不等式，矩阵和与矩阵积的特征值和奇异值的控制不等式等。

矩阵论基础 (Foundation of Matrix Theory)

介绍向量与矩阵范数理论、矩阵函数、线性矩阵方程、矩阵与多项式惯性理论、矩阵的广义逆理论、矩阵特征值的定位与扰动、非负矩阵理论、M-矩阵等。

矩阵计算（Matrix Computations）

矩阵计算概论，矩阵分解(LU, QR, SVD)，求解线性方程组的直接法和迭代法，线性最小二乘问题，共轭梯度法；求解特征值问题的QR方法和同伦方法；Lanczos方法以及求解Jacobi矩阵特征值反问题的正交约化方法，矩阵函数及专题讨论等.

模型论 (Model Theory)

它将数学中的命题，定理和代数结构作为研究对象，研究数学理论的语法和理论的解释模型之间的关系，模型论提供了许多新的思路，新的构造模型的方法。模型论对逻辑，数学和计算机科学等方面有许多应用。

递归论 (Recursive Theory)

用逻辑的方法研究可计算和可判定性理论，用图灵机的方法描述原始递归函数，递归函数，即可计算函数。研究递归谓词，部分递归谓词，进而研究一类问题的可判定性和不可解度。递归论也是计算复杂性理论的基础。

公理集合论 (Axiom Set Theory)

研究集合的序数，基数的性质，集合的分层，选择公理，连续统假设与ZF公理的性， Forcing方法，大基数问题。

马氏过程 (Markov Processes)

深入讲述马氏过程的各个专题。主要内容包括：半群理论，强马氏性，Feller过程，Hunt过程，位势理论，布朗运动，鞅问题, 稳定性理论等。

随机分析 (Stochastic Calculus)

主要讲述关于平方可积鞅的随机积分与随机微分方程理论。主要内容：随机积分的定义，平方变差过程，伊藤公式，随机微分方程与扩散过程，流形上的扩散过程, 稳定性理论等。

概率极限理论(Probability Limit Theory)

概率的弱收敛，大数定律，中心极限定理，连续轨道空间，左极右连轨道空间，胎紧性判据，若干具体应用。

交互作用粒子系统 (Interacting Particle Systems)

讲述耦合方法、对偶方法、谱估计方法、自由能方法和FKG不等式等数学工具。剖析几种典

型模型的构造、遍历性、完全收敛性和相变现象。通过流体动力学极限，建立与非线性偏微分方程之间的联系。

随机环境中的随机游动(Random Walks in Random Environments)

介绍随机环境中的随机游动的基本理论，方法和最新进展。主要内容：annealed概 率和quenched概率，0-1律，遍历定理，中心极限定理和大偏差等的相关结果和新进展。

线性统计模型 (Linear Statistical Model)

讲述线性统计模型的基本思想和方法，参数估计。主要内容包括：线性模型的建立和意义，线性参数与误差方差参数的估计、显著性检验、区间估计，BLUE，最小二乘估计，线性模型的拟合与诊断，认识线性模型在统计分析中的作用等。

大样本统计推断 (Large Sample Statistical Inference)

讲述大样本统计推断的基本概念、思想、方法和渐近理论。主要内容包括：大样本统计推断的作用，几种常用的收敛概念，大数定律、中心极限定理，尾部概率不等式和极大不等式，统计量的渐近分布，求渐近分布的常用方法，检验与渐近功效函数等。

度量误差模型 (Errors-in-Variables Model)

讲述度量误差模型的建立，参数估计及性质。主要内容包括：线性度量误差模型、半参数度量误差模型的建立、可识别性、未知参数的估计及其性质，线性联立方程组的可识别性，仪器变量方法，模型拟合与计算等。

广义线性模型（Generalized Linear Models）

介绍广义线性模型的基本概念、思想和应用。主要包括三方面的内容：建模、统计分析、模型选择和诊断等。

遗传学 (Genetics)

孟德尔定律: 分离定律, 自由组合定律, 遗传的染色体学说, 基因的作用及其与环境的关系, 性别决定与伴性遗传, 染色体和连锁群, 细菌和噬菌体的重组和连锁, 数量性状遗传。

数学生态学 (Mathematical Ecology)

种群动态, 单种种群和多种种群的空间格局, 种对的连接, 种-多度的关系, 生态多样性及其测度。

因素空间论 (Factor Spaces Theory)

为知识表示技术提供一种框架,为人工智能提供一种新的数量工具。内容包括:因素及其状态空间, 因素的充分性测度, 反馈外延及因素的重合性, 概念内涵的表达及状态的合成, 综合分析和变权分析。

模糊集引论 (Introduction to Fuzzy Sets)

介绍模糊分析, 模糊代数, 模糊拓扑的基础知识, 主要内容: 从普通集合到模糊集合的扩充, L-集合套与L-模糊集, 可能性测度与模糊积分, 模糊测度与积分, 模糊拓扑, 模糊群与模糊范畴等。

最优控制理论（Optimal Control Theory）

主要内容：最优控制问题的提出；数学准备；变分法及其在最优控制中的应用；极大值原理；时间最优调节器；动态规划；线性二次型最优调节器；最优调节器的鲁棒性与综合；线性最优控制中的几个问题。

自适应控制（Adaptive Control）

本课程讲授自适应控制、自适应预报、自适应滤波的理论与方法。主要内容包括：模型参考自适应控制的理论基础；模型参考自适应控制系统；在线参数估计；自校正控制系统以及自适应预报与滤波。

系统辨识（System Identification）

本课程内容包括：系统辨识与建模的一般过程；随机信号的描述与分析；动态系统的数学描述；经典的建模方法；动态系统模型参数估计的最小二乘法、辅助变量法、广义最小二乘法、极大似然法等批量算法和递推算法；递推算法的收敛性分析；模型阶次的确定；多变量系统模型辨识；神经网络模型辨识算法；闭环系统辨识；辨识中的实际问题。

智能控制（Intelligence Control）

主要内容：智能控制的基本概念；智能控制理论的发展；学习控制问题的提出；模式识别基本原理；基于模式识别的学习控制；基于重复和迭代的学习控制。专家控制的由来；专家系统基本原理；专家控制系统典型结构；实时推理与知识获取；专家控制示例。模糊控制：模糊集合、模糊关系与模糊逻辑；基于控制规则库的模糊推理；模糊控制的基本原理；模糊控制系统的分析与设计。神经控制：人工神经元网络基本原理；基于神经网络的系统建模与辨

识；神经网络控制系统设计。分层递阶智能控制：一般结构原理；组织级；协调级；执行级。

计算机控制工程（Computer Control Project）

计算机控制系统的常规设计方法；基于状态方程和传递函数模型的极点配置与最优控制的设计方法；系统辩识和自适应控制；计算机控制系统仿真和性能计算；采样周期选择和量化效应分析等；计算机控制系统集成，包括系统各组成部件的正确连接，模拟部件及传感器工作状态、参数设置，系统反馈通道的连接等；

并行计算 (Parallel Computing)

本课程讲授的内容包括：并行体系结构；并行算法设计；基于消息传递的编程；基于共享内存的编程；OpenMP和MPI混合编程等。

Unix操作系统 (Unix Operating System)

本课程讲授的内容包括：Unix和Linux系统的常用命令；Shell编程；在Unix系统中的C语言编程方法；Unix系统调用；Unix操作系统的内核结构；Unix操作系统的管理和配置。

科学计算方法 (Science Computing Method)

本课程主要介绍现代科学计算中常用的数值计算方法及其原理与相应算法的计算机实现。主要内容包括：数值计算原理与计算精确度；插值法；数据拟合与函数逼近；数值积分与数值微分；线性代数方程组的数值解法；非线性方程组数值解法；矩阵特征值的计算方法；常微分方程数值方法。

文献选读 (Seminar of Selected Papers)

文献选读旨在培养硕士生在查阅文献和了解综合国内外本研究方向的历史、现状和发展趋势的能力，为硕士学位论文选题提供必要依据。硕士生应在导师指导下，结合研究方向及论文选题范围，有目标地进行，要求在进入学位论文阶段前阅读中外文文献不少于40篇，其中外文原版文献不少于30篇。

辛几何与辛拓扑 (I) （Symplectic Geometry and Symplectic Topology (I)）

本课程从辛几何与辛拓扑的经典力学背景开始, 全面介绍辛几何与辛拓扑的基础知识,为进入辛几何与辛拓扑、数学物理的相关课题的研究提供必要的准备.主要内容: 线性辛几何, 辛流形, 近复结构, 辛微分同胚群, 矩映射与哈米尔顿群作用, Gromov非挤压与辛容量初步等。

度量空间上的分析与几何 (Analysis and Geometry on Metric Spaces)

本课程主要讲解关于当前数学研究领域热门的研究方向度量空间上的分析与几何上的基础知识及最新进展。 在本科实变函数、黎曼几何和偏微分方程知识基础上, 深入学习度量空间上的分析与几何知识, 为学生进一步学习数学相关的领域奠定良好的基础。