【doc】实用符号动力学

实用符号动力学

物理学进展1O卷 实用符号动力学 郏伟谋郝柏林

(中国科学院理论访理研究所) 提要

本文是为物理工作者和工程人员而写的一篇综述,介绍一维映射符号动力学的最新进

展,及其在研究非线性系统周期和混沌运动中的应用. 一 ,引言

符号动力学作为动力学系统—般理论的一个分支,源远流长.至少早在上一世纪中 叶,使有逸方面的工作,但系统性的研究还始于上世纪和本世纪之交.之后,符号动力

学发展成为各态历经理论的核心数学家们以艰深的拓扑学理论的新成果不断丰富其内

容,使之赢加抽象,形成令外人望面生畏的数学城堡.然而,符号动力学研究的系统, 是实际系统的简化和抽象,因为模型极为简单,便于用严格的方法作深人的研究.一旦

在符号动力学和实际动力学之间建立某种对应关系之后,可将由研究符号动力学系统所

得到的结果,应用于研究实际系统,具体化后引伸出适合于该系统的结论.因而,可以

说学习动力学系统理论的第一课,应是符号动力学.此话说来容易,对非数学专业的工

作者而言做来难.不过,1970年吼来,人们将符号动力学的深刻思想在一维映射系统中

形象化,具体化,演化出一种可称作实用符号动力学的方法,它可以只用极通俗的语言

如单调性,连续性,道出符号动力学的精髓,并在实际应用中发生奇效.本文试图向非

数学工作者介绍这种实用符号动力学,叙述中但求形象,直观,不拘泥于数学严格性.

1.1何谓符号动力学

形式上非常简单的动力学系统,也可表现出极其复杂的行为.为描述逸些复杂行 为,需要尽可能简化的模型系统.所有系统中最简者可说是符号动力学系统.比如 说,取两个不同的符号或是字母和工,可构造出许多无限长的符号序列,随手写下一 个有?

RLRRLLLRLRL….

台其第一字母月,便可得另一序列t 三月月￡工三月工工….

3期郏伟谋等,实用符号动力学

这种割舍酋字母派生出新序列的作法称为移位操作或移位.想象每个符号序列代表一个

点,所有这样的符号序列点便支起一个符号序列空间如果给定一个符号序列,或者 说给定此空间中一点,通过移位可得到一系列新点,它们可称为\"轨遭.于是,由移位 操作定义了符号动力学系统的动力学.在这个动力学中,符号序列如 LLLLLLL…

是移位不变的,它是不动点,而符号序列如 RLRRLRRLR…

则是周期3点.这些序列简单而有规则,可写成L及(RLR),知其现在即可知其 将来.还有一些序列极不规贝6,得到它们的方法只能是将逐个字母写出来,它们就是

混沌的序列.选种序列点的轨道就是混沌轨道.

对符号动力学系统的讨论,如不与实际系统联系,则如游戏一般,但一旦在两者之 间建立起对应关系,则符号动力学可成为研究实际系统的强有力工具.通常在物理观测

中,由于仪器的精度有限,粗粒描述必不可免,这可看作是我们将观测值域划分成许多

间隔,赋予每个间隔一个符号,读数时并非读取一个无限精确的理想值,而是读取一个

符号.但是,这里还看不出实际系统和符号系统之间的本质联系.符号动力学的讨论着

重于建立符号动力学与实际动力学之间深刻的内在联系,从而得出丰富的结果,换言

之,首先将实际系统简化抽象出符号动力学系统加以研究,然后将符号动力学的研究结

果再反过来应用于研究实际系统. 1.2关于符号动力学的文献

据文献1中所录史料,符号序列的使用可归溯至1851年.1921年M.Morse首先注意

到符号动力学方法在动力学系统研究中的重要性.1938年在关于动力学系统拓扑理论的 一

篇文章I中,Morse和Hedlund详细讨论了符号动力学.此后,R.Bowen,D.Ruelle 和Ya.Sinai等人在窖态历经理论和微分动力学系统理论方面发展了符号动力学.V.M.

Alekseev1811979年将Bowen的6篇文章14-9]编辑成书l;【俄文出版,书名就叫《符号动力

学方法'.他和M.V.Yakobson为此书合写了一篇附录.逸篇附录的英文译本\"稍后 作为综述文章在综述刊物'物理报告(Phys.Rep.)'上发表.J.Ford为在物理杂志上发 表的这篇纯数学性文章写了前言,强调了符号动力学方法对于物理学基础的深远意义,

极度推崇期刊编者大胆的远见卓识,称他们的勇气犹如敢于在1922年将一篇关于Hilb—

ert空间算符代数的数学评述在《物理评论(Phys.Rev.)'上发表.也许这种说法并非吉 过其实.

Milnor和Thurston1977年有上下两篇讨论一维映射符号动力学的文章,题为《揉捏

理论》,只以预印本形式流传很长一段时期,对中国读者却是久寻而不可得,近来已正式

发表1.11l.Guckenbeimer有一篇讲演谈及关于揉捏理论的研究结果\".ColleL~Eck—

mann的书I,虽然数学味较浓,但详尽地讨论了一维映射的符号动力学. 将符号动力学实用化的新近努力始自Metropolis,Stein和Stein的一篇文章\"\"及

物理学进展1O卷

Derrida,Gervois和Pomeau,的另一篇\"I.关于符号动力学的论文数目,正在缓慢而 稳步地上升.我们在文献目录中仅能列入与我们的讨论关系较为密切的数篇. 中国科学院理论物理所非线性动力学组也开展了映射符号动力学的研究工作,井将

符号动力学用于研究微分方程.一些结果已收人新近出版的一本专着…中.(另有简要

综述一篇\".)该书印行后,又有一些新的进展.关于符号动力学,未见有中文综 述.

二,单峰映射的符合序列 我们考虑如下的一维映射 +1:,(,),

其中为参数或参数组合.函数,将区间I变换到自身.以下以一维单峰映射,作为最 简单而又非平庸的动力学系统,开始讨论. 2.1单蜂映射

如图1所示,单峰映射,()有唯一的投值 点(又称临界点)C,它将区间分割成两音盼, 在C点左侧映射I噩数为上升的,右侧为下降 的.映射函数的作用是将图中包含C点的区间 拉讳,然后折叠一次,置回原区间内.给定区 间上一点‰,,以其为初始点进行迭代,可得一 条轨道

勘,她=,(‰),也:f(xt),…, =,(焉.1),..?(2)

如果我们不关心靠在区间上的确切位置,只问 共落在C点的左侧和右侧,分别记下字母工或 图1单峰映射匝数,()有唯一的 极值点C,其左佃0为上升支工, 右侧为下降支曰.

R,如果恰好落在C上则记C.于是,由轨道(2)可得一个符号序列 如果 (3) (4)

逡里的符号序列只涉及两种字母工和(字母C可认为是退化的L或月),这是最简单的

情形.显然,符号序列(3)比之轨道(2)在描述方法上粗糙得多.然而,这种只问左右

3期郑伟谋等实甩符号动力学0l9

_……一一.__,……—___.一._'__-_●h_-_-__''一'…一

的粗粒描述,却带来许多简化且更能反映某些本质.首先,轨道与符号序列问的多一对

应,提供了将不同轨道按等价类分类的方法,便于进一步分析研究.其次,符号序列只

反映映射拉伸和折叠的本质,不同映射函数的具体形式,只问单调性,于是,由分析符

号序列所得到的结果可有极大的普遍性,便于刻划和分析共性,对动力学系统进行科学 的分类.

既然符号动力学的研究对象是符号序列,首先必须了解对于给定的单峰映射,什么 样的符号序列可以出现,以及对于绐定的符号序列是否可找到一单峰映射的一条轨道与

该符号序列相对应.这就是允字条件,它是决定一个符号序列或一个字应予禁止或允许

的规则.在讨论允字条件之前,必须引进符号序列排序的概念. 2.2祷号序列的排序

我们知道,区间上取定一点w为初始点,则经迭代可获得一条轨道,进而有一符号 序列j(),j()将称作的符号序列,由此建立符号序列和空间点之间的对应.由于粗 粒化,不同相空间点可对应同一符号序列.一个极简单的例子如图2所示,容易看出,

区间上在C点右侧的所有点,符号序列均为L,而在C点的左侧则为L.区间上所有 点的符号序列只能是月L,CL和. L三种之一.'

'显然,不同的符号序列必定对应 于相空间的不同点,否则将与映射为 决定论性的前提相悖.如果区阊上两 点的符号序列不同,则可将区间上此— =点的大小序自然地赋予它们的符号 序列,即段位居右边之点的符号序列一 为大,或以式子表作 >y===》,()≥,()(5) 如果的符号序列为j():s.s1s0 …+l…,其次迭传为/f)=

弘则显然应有y的符号序列为,(y)= s.….然而,一般不能反过来写 0 X

图2不周峰高的单峰映射. =

厂(y),因为此处逆函数,不单值,即可取左支也可取右支求逆.分别记左,右支 之逆为,L和,R一,在指定左,右支之后,逆函数使单值地定义了.例如,()=RLRRL… 且=,'()时,应有=,R-o,LI0,Ro,R()且<0.由这个例子可I墉出,

字母和￡分别与逆函数,R和,L相对应,以后只要不弓l起混淆,我们也直接以和 L记,R和,L-.相应地,上例可写作:RLRR(y).

轨道点一字母一逆函数的对应关系,是符号动力学中基本关系,有必要再说几旬. 如果粕的符号序列为$o8-\"s…,由字母与逆函数的对应有如下的逆函数关系式

320物理学进展1O卷 0=50()=sL(2)一?=s01…s～}(), 两边作用以,则有 ,(0):…s一L(), ,(0)=$25a…$n-1<.), (6) (7)

等等,体现出映射和移位的对应关系.

函数的升降决定于一阶微商.由逆函数和复合函数舶微商规则知,任意有限个单调 函数逆函数的多重复合函数,其升降性仅决定于复合函数所含降函数的个数,个数为奇

则复合函数为降,否则为升.以下我们由此规则推出符号序列排序规则. 两个符号序列不同的最简单情形为…R?和三:…L?.如果区间上某点的符号序 列为三,则根据定义它应在C点右侧,而以三为符号序列的点必在左侧,根据序列的

排序约定,应有三>最.逸对应于自然序L<C<月.如果两个序列第一个字母相同,

但第二个字母不同,逸时须区分两种情形.首字母为工时,如,()=LR…,和,<)= ￡L…,于是 =

,LI1<月)>,L(L)=,

此处记,L<月)YO某个正数的,L-函数值,,LI1<L)YO负数的函数值,上式是,L为升函数

的直接结果.首字母均为月时,因,R为降函数,有倒序关系,A(R)<,置I1<L).于是

得涉及二字母的排序规则t LL<三月<月月<月L. 一

般的情形下.两个序列和三:有一公共字头三,随后出现第一个不同的字母, 如

z1=zR…,z}=zL…,z=8o$1SEo\"?s_自

此处s.只取月或L.如果某4-s.恰巧为C,则两序列必相同而不予考虑.如果有两点她和

分别以三和为其序列,则可通过在C点右侧取某合适点施加复合函数而获得, 如则相应于C点左侧菜点,即=Z(R)2Lxz=三(L),此式三现在指函数.上面讲过, 复合函数三的升降性取决于它所含下降函数总数的奇偶性即字符串中字母月的数目的

奇偶性,具体说,如果月的总数为奇,则=为降函数,否则三为升函数.据此,可方便 地约定字母L的偶性为+1,的偶性为一】,C的偶性相应地定作O.由字母月和L 组成的一个有限字符串或字节,如果它所含字母月的数目为奇,则称奇字节,否则称偶

字节,与它所含字母L的数目无关.于是,为偶字节时,应有三…ZR?>L…= 三t.而为奇字节时三.<三.

比较两个符号序列时,须找出最长公共字节及其随后的第一个不同字母,我们称公

共字节加上第一个不同字母组成的字节作主字节.三为偶时,三和中较大者三有主 字节三月为奇,三为奇时,较大者为,它的主字节为￡,此时也为奇的.最后,可 归纳出如下的

3期郑伟谨等,实用符号动力学321

排序规则两个不同的符号序歹u,以主字节为奇者为大.

如果男有符号序列三.=vC…,即公共字节以c后继,则不难看出,三.必在和 三之间.因此,定出三和三z的顺序后,三.相对于三和的顺序也自然地决定了. 假定一条周期5的轨遘有符号序列为(RLRRL),根据排序规则可定出轨道五点 在相空间中的排序.以l.=(RLRRL)为第0点.,它的一次迭代为,=(LRRLR), 得第1点t,依此类推可得五点如表I.序列,和,.以￡为首字母,显然有{,.,,)< {,o,,z,18).两序列,t和,.的主字节分别为LRR和LRL,后者为奇,所以,,l<,.确定主 裹I符号序刊(RLRRL)的移位理葛排序

字节再检验其奇偶,类似地可得>,n>,:.最后得五个序歹咔的排序为to>,a>,>,> L.

以下给出比较喇个不同符号序列大小的一个且C程序t 5REMPROGRAMFORCOMPARINGTWODIFFERENTWORDS 10DEFINTI-PICLS

2OINPUT\"THEFIRSTWORDIS?,S1$ 3OINPUTTHESECONDW0RDIsIs2$ 4ON=LEN(S1$)IP=1

5OFORI=1TON.C$=MID$(S1$,I,1) 6OIFCS=.RTHENP=一P

7OIFCS>MID$($2S,I,1)THENGOTO90 80NEXTI

90Bs=GREATER,IFP=1THENB$.SMALLER lO0PRINTS1$}ls}BS;THAN.Is2$,. 110STOPIEND

这个程序中整变量P为字节偶性指标,奇字节有P为一1,每遇一字母月,它改变一次

符号(见语句6o).

显而易见,所有符号序列中以三为最小,因为与任何其它序列相比,它的主字节永 远为偶,也不难看出,最大的符号序列为且￡,因为与任何其它序列相比,它的主字节

永远为奇.以￡与0对应,RL与1对应,可建立和￡的符号序列与[0,1]上实数 间的一一对应关系.由排序规则还可以证明,如果蜀=△口…和最=△ffz…均以 奇字节△起酋,则>l寺l2…<fI乱…,即奇字头倒序.由l>毛,得:的主

322物理学进晨10卷

字节为奇,又由△为奇,得子序列?和\"rIf…中前者的主字节必为偶,充分性得 证.必要性的证明完全类似,从m辱.请注意,此处子序列z…和ft…可含公共字 节.

三,揉序列和允字条件

有了符号序列的排序规则后,允字条件可看图识字地由映射函数的图形读出.由 图1可知,函数在c点取最大值.设c点的符号序列为,<c)=∞.s…s…,并设在c点 左,右两侧任意二点札和xR有符号序列fL=￡kf?和fR=Rr.…,则应有 rurl…≤0…s-…, (8)

0jl…≤l…s…,

因为XL~CR的迭代值必须小于,(C).点,<C)的符号序列决定了字母￡和凡的可能后继

序列,ffC)的序列将特别地称作揉序列,并记作. 5.1允字条件

给定任一符号序列,以L记序列中所有字母￡的后继序列,R的意义类推.例如, 对于序列<RLRR￡)有 L=~(RRLRL),(RLRRL),,

R=((LRRLR),(凡￡肛曰),(LRLRR)).

采用记号L和R,单峰映射的允字条件可表述如下.如果符号序列三是允许的,则应满 足 L≤,R≤.

前面说过,一个符号序列可以对应相空间的一个子区间,也可只对应于区间上一点.如

果只代表一点,例如在含字母c时,则允字条件中的等号不出现.

设有揉序列K=<RLL),此时符号序列(兄己肛)就是允许的,因为它的L和R 共五个序列如表I所列,均满足允字条件.但是,对于同一,符号序列曰工且己.曰…就

是禁止的,固为这时有 <肚0曰…∈L.? 违反允字条件.

我们定义符号序列的移位算符如下.. (0o0ls.一s…)=01…s…(9)

因为揉序列本身也必须满足允字条件,所以揉序列必须是移位最大的,即 <K)≤K,k=0,1,2….(10)

因为,<c)随参数而变,所以揉序列也可随参数发生变化.但是,无论如何变化,单峰映

§期郑伟谋等一实用符号动力学323

射的揉序列总是移位最大的,反过来说,移位最大序列可成为单峰映射的揉序列,于是

这时可称移位最大序列为揉序列字.

给定的揉序列下,允许的符号序列或允许字可有相空间的对应点,即可找到区间上 某点,它的轨道与该序列符合.不被允许的符号序列,也称禁戒字,不可能在区间上找

到对应点.允许字有可能大于揉序列,例如,(RLRRL)是=(RLL)时的允许 字,有

置(矗L月月￡)>.

但是,至多经过一次移位后,任何允许字将必小于揉序列.对于如图3以粗线段标 出的子区间￡,=[,.(C),,(C)],任何在之外的点,经过有限次迭代后,必定落八【,o 因为,(U)=U,一旦经过平庸的暂态过程 落八U后,就永远在U内.区间U称为映 射的动力学不变子区间.如果对乎庸暂态 过程不感兴趣,可只限于考虑子区间.U 上所有点的符号序列均不大于揉序列. 也许在这里可说几句暂态过程.假定 在某参数值下映射有稳定周期轨道,我们 任取一点为初始点,数值地寻找这个周期 轨道.如果初始点不恰好为周期点且计算 精度是无限的,则永远处于暂态状态,周 期点永远不可及.只是因为精度有限,我圜3 们才迟早可看到周期运动.然而,采用符 动力学不变子区间U=[严(G),,(G)]. 【,上任意点的符号序列均不大子揉序列. 号描述时,最终得到周期字节,处理暂态

更显自然,这也可见符号动力学粗粒描述的方便之处.数学文献中用到\"终周期序列一

词,它可对应予暂态,也可属非皙态,后者将在下文讨论. 现在证明两条简单命题,

(1)除L和外,揉序列字必以L起首.假设存在一个揉序列字不以肛起首, 剐它必以工\"月(≥1)或月L忡≥2)起酋,但是, ￡一只…<n(L—R…)…R?, 或者

tL…<m(R-..)=RL…,

均与揉序列字的移位最大性矛盾,命题得证.

(2)揉序列字不得以重复的奇字节开头,除非它为该字节的周期序列.假设揉序 列字以重复的奇字节△超酋而又不是△,将△所含字母数n称作其长度,记作IAI =n,刚可写=AAF…,此处r…年且IFI=IAI.因为为揉序列字,应有 △△r…≥()=AF….

324物理学进展1O卷

因为奇字头导致倒序,所以由上式得△r…≤r…,亦即△≤r.再由 △△r…≥\"(K)=r…,

又有△≥r.最后只可能△=r.依次类推,应有 K=△0…=△'……一△. 与年△的假定矛盾.命题得证.

最后给出检验以C结尾昀符号序列是否为揉序列字的BASIC程序. 5REMPROGRAMFORCHECKrNGADMISSIBILITY 1ODEFINTI-P.PRINTPLEASESETCAPS—LOCKKEYON. 2OINPUTTHEWORDTOBEcHECKEDIs,S$ 30N=LEN(S$)

4OFORr=lTON一1,P=llFORj;1TON—l 50C$;MID$(S$,J,1)tIFC$=.RTHENP=一P 6oIFe$t>MID$tS$,I+J,I)THENGOTOB0 70NEXTJ

80rFP=lTHENPRINTTHEWORDISINADMISSIBLE.STOP 90NEXTrtPRINT.THEWORDISADMISSIBLE.STOP 100END

5.2麒稳揉序列和MSS袁

对于单峰映射,揉序列决定了给定映射下可能出现的所有符号序列,实际可出现的 任意符号序列,至多经一次移位操作后,必不大于揉序剐.由于揉序列直接反映动力

学,它可方便地作为映射参数的一个度量,而称给定映射为揉序列取某字的映射.

揉序列含字母C时,称作超稳揉序列.对于给定的一条周期轨道,常以由一阶微商 给出的切变换刻划轨遭点对初值微扰的敏感性.当该周期轨道含临点C时,由复合函

数一阶微商的涟乘法则知,它有最小敏感性,因此,这样的轨道称为超稳轨道,相应 地,与之对应的含字母C昀揉序列得名超稳揉序列.通常超稳揉序列只写至第一个字母

C,而不特别明显地写出无穷周期重复.

实际观测及数值计算精度均有限,人们往往通过认识周期轨道及其切空间去把握系

统动力学行为.这是周期轨道在研究混沌中的意义.以下将看到,有超稳揉序列,剐必

有与之关联约非超稳周期揉序列,因此,短超稳揉序列具有特别重要的意义.将字长不

超过某给定整数的所有超稳揉序列,依从小到大的顺序排列成表,就是第n级MSS 谙稳揉序列排序表,简称MSS~~,最先由MetroPolis,Stein和Stein得到\".这里在 表Ⅱ给出第7级S虢. 5.5届期窗口定理

Metropolis,Stein和Stein最初找排序表时,;l八了一个符号彦Ⅱ的谐序列和反谐 序列的概念,提出了获得介于给定的酯个超稳揉序列之间的最短超稳揉序列即中介字的

§期郑伟谋等实用符号动力学32s

方法.可是,揉序列的反谐序列不再为揉序列,反谐序列是人为地引进的,实际上也无

必要,它既掩盖了推导过程的物理图象,也不易推广至其它非单峰映射.本文不再介绍

他们的方法.这里将采用的方法,只涉及判单调性和连续性的简单概念,它以下述定理 为基础t

周期窗口定理\"如果.s…sc为揉序列字,其中s为工或月,目Ⅱ符号序列(s.s.?一 s二)和(s.s…s.月)也为揉序列字.

定理的证明将在附录中给出,这里讨论一下它的含义.周期窗口定理基于连续 性,因为C是退化的工或R.符号序列的周期窗口定理可与映射函数的周期窗口定理相

对应.后一定理说,稳定周期轨道的参数值形成区间,它又是基于如下的稳函数定理; a

假设G:R一只为一次可微函数,且在点(确,Yo)处满足G(xo,yo)=0和素■G(xo,yo), 牟O,ⅢⅡ存在含x.的开区间J和含y0的开区间J,以及可微函数P:J—J,它满足P(x.)=

yo,且对所有∈I有G(,p(x))=0.

根据周期窗口定理,由一超稳揉序列字,可生成两个非超稳揉序列字(三月)和

326物理学进腱l0卷

(三L).以下将三月和暑L中较大者记作(三C)+,较小者记作(三c)一,显然恒有(三c)+

为奇.我们将分别称[(三C)+]和[(三C)一]为三C的上,下序列.

周期窗口定理的逆定理未必成立,仅须举一反例使可说明问题.显然=(RRR) 是揉序列字,但RRC不为揉序列字.然而,仍可找到如下的修正逆定理如果周期符号

序列(乱…st)的揉序列字,且$1o~o不可表成更短字节的周期重复(或称不可约), 此处,s,…,s和f只取或,则序列…s.C也为揉序列字.这个定理的证明与 周期窗口定理的证明相似,仅在最后一步有所差异(见附录). 5.4中介宇的生成\"

现在运用周期窗口定理求中介字.给定两个揉序列字三c和三.C,假设c<邑C 由周期窗口定理知,存在揉序列字[(三C)+]和[(三C)一],满足 三1C<[(三1C)+]≤[(三2C)一 ]=<三2C.

如果

[(三C)+]=三'…,[(三C)一 ]:三.\"…,

此处三'为两个序列的最长公共字头,且牟,则可证明三C即为中介字.显然介于 三c和三zC之间的所有符号序列必须均以三'为字头,'C为最短无疑,余下仅须证实其

移位最大性.假设三C非移位最大,则存在≤'『,使得三.C<(三C).不难看出, (三')和(三.)中总有一个应小于(三C),不妨设它为前者,则有'…<

(三'C)<(三'…),与序列三'…为移位最大的结论矛盾,于是证实了三'C的移 位最大性.如果[(三.C)+]=[(三:C)一],则三tC和三=C之间不存在中介字,称三C和 三±C相邻.

以下给出求字长不超过预设值的中介字的BASIC程序t 5REMPROGRAMFORCONSTRUCTINGMEDIANWORD l0DEFINTI—T,PCLS

21)INPUTTHESMALLERWORDIS.,S1$ 30INPUTTHEGREATERWORDIS.,s2$

40INPUTTHEMAXLENGTHOFTHEMIDIANWORDIS;.N 5ON1=LEN(S1$)N2;LEN(s2$)

6ONN=Nl一1一S$=MIDS(s1$,1,NN)lP=1,GOSUB200.S1$=SS 70NN=N2—1tS$=MID$(s2$,1,NN){P=一1tGOSUB200;s2$=S$ 80FORI=OTON一1lI1=(IMODN1)+1II2=(IMODN2)+1 0OIFMID$(s1$,I1,1)()MID$(s2$,I2,1)THENGOTO120 1OONEX个I

110PRINT\"NOMEDIANWORDSHORTERTHAN';N;.lSTOP 120S$=MID$(s$,1,I1—1)+\"clIFI~N1-1THENs$=s1$+S$ 130PRINTTHEMIDIANWOilDISIIS$j\".ISTOP 200FORI=1TONN

210IFMID$(s$,I,1)=R,THENP=一P 4

王 } t二

3期郑伟谋等t实用符号动力学327 220NEXTI

230C$\"R.IFP=一1THENC$=L 240S$=S$+C$;RETURN 250END

程序中语句120P_,用到揉序列字不得以重复奇字节为首的性质. 我们知道,周期不超过月的揉序列字中,最小者C,最大者为RLC.由此二超 稳字可得第一级中卉字,这个中介字分别与最初的两个超稳字,又可生成第二级中介

字,逐级进行这个手续,保留其中字长不超过给定整戮月者,可得MSS表. 超稳揉序列字有两条简单的性质.其一也用在周期窗l=I定理的证明中,即如果字长

为月的超稳揉序列字2C与其k次移位字(2C)相比,除后者的末字母C外,所有(\" 一一

1)个字母完全相同,N2c的前(\"一k)个字母必构成奇字节.其=是由周期为 \"的超稳揉序列字XC,可生成一个周期2n的超稳揉序列字(XC)+XC,且二字相邻. 首先证明这个倍周期字的移位最大性.如果月≤^<2n,显然有 (三C)+三C>三C>5,\"(三C)=5,((三C)+三C).

当1≤k<月时,如果(三)不构成三的酋字节,则三C的移位最大性,保证了该倍周 期字的移位最大性,否则,由上一性质,(2C)+的前(一)个字母构成奇字节,将之 记作r.此时如((X-C)+)为偶,则无须多言.如果该字节与r相台,将之移去后须验 证

((X-C)+三C)<2C,

此武当然成立,因为由(2C)+及r为奇得n'k((2C)+)应为偶.于是,倍周期字的移 位最大性得证.再由

[((三C)+2C).]:[(2C)+(2C)+]=[(2C)+], 可知单周期字与倍周期字之间无中介字. 四,二次方映射

前面虽经提到,符号动力学方法将研究对象尽可能地简化,但符号动力学系统只显 示骨骼,而实际系统则为血肉之躯,最终还须建立符号动力学系统和实际系统之间的联

系,将符号动力学的结果应用于研究实际系统本节以符号动力学方法讨论一个实际系

统——二次方映射

,():1一.,∈[一1,1],∈(0,2],(11)

此式为参数.这个简单而远非平庸的映射在非线性动力学系统研究中扮演了扳重要的

角色.在阻后深入讨论符号动力学之前,有必要简要地叙述关于二次方映射的一些重要 结果.

数值计算发现,参数的大小排序,与映射(11)的揉序列排序一致对于任意的单

328l物理学进展iO卷

峰映射而言,情况未必是这样,倒如只须对(11)式中的作一变换=<),容易选 择变换函数使得两个k值可对应于同一值,于是在参数的空间,该值对应的揉序 列将出现两次.MSS表的意义在于,如果在参数々和k.时分别有不同的揉序列和‰,则

必可在k和k.之间找到某参数k,使它对应的揉序列为处于和之间的任意揉序列. 4.1由二次方映射产生M$S表

上节介绍了生成中介字的方法,原则上运用该法可得到MSS表.符号动力学不问 系统细节,MSS表对于所有单峰映射普适,既然如此,MSSZ表也可通过二次方映射的

实例产生.这里舟绍一个非常实用均方法,给出如下产生MSS表的BASIC程序. 5REMPR0GRAMF0RGENERATINGMSS—TABLE 6REMBASEDONTHELOGISTICMAP

l0CLStDEFINTI.J 2Os$=lA.=9DA=.0l 30s$:X=IlFORI=1TO7

4OB$=RtIFX<OTHENB$=\"L 50x=I—AX-xIsl$:sl$+B$ 60NEXTI

7OAA+BAlIFS$=s1$THENGOTO3n 8OFORJ=lTO7

9OIFMID$(s$,J,1))MID$(s1$,J,1)THENGOTO110 100NEXTJ

110PRINTJ;P,MIDS(s1$,l,J—1);c 120IFSl$=RLLLLLLTHENSTOP l30DA=.9DA:S$=S1$tGOTO80 140END

以上程序可打印出第7级MSS表,不难将程序改写得更一般些.参数变化的步长在程

序运行中逐步缩小,以免某些超稳揉序卿字可能漏网.必要时须检验表中揉序列字彼此

相邻.这个程序的主要耳的在于说明,运甩确定中介字的原理,可不浪费任何数据地确

定短周期的存在,周期长度就是所需的迭代次数,不必担心暂态过程.粗粒化的优越性

由此又.可窥一斑.

4.2提升符号字的●散确定潦

对于实际系统,往往希望知道给定的超稳揉序列字所对应的参数值.例如,取K= RLRC时,问参数应为何值.一个办法是所谓参数提升法,它在各支逆函数可知时 有效.映射(儿)属这种情形,它有两支逆函数如下 月<)=,-IR(y)=√二(1一y),

3期螂仆谋等t实用符号动力学329 ￡():f-'L(y)一√古(1一y). 因为K=肛C_意味着 ,(0)=月0￡0,(o,, 将(13)式代人可得

1=√吉(1了一i,一/Fi1…_j11)-)

这个决定参数的方程,两边同乘以后可化成如下的迭代不动点问题… =+ √ (12) (13) (14) (15)

选择适当初值最后可求得=1.625413725.对于表Ⅱ昕列的另外两个周期与揉序列字

RLRC和.C只须改变(15)式右端表达式中的某些加减号.这里可以看到,符号动力 学考虑逆迭代,它消除了正迭代下同字长揉序列字的简并,这在周期较长而简并度很

高时,尤为重要. 4.5:分涪参熬确定涪

在映射函数求逆容易时,符号字提升法可用于求参麴.此外,还可用二分法确定参 数,它直接利用符号序列,非常简便.仍以=RLRC为例.设初始参数值m和:下分 别有揉序列字和.,.IlK<<.取=吉(+)求,如果,>,则可取

为新的№,否则取为新的,继续二分.重复此过程直至精确地求出待定的. 以下是为此目的而写的一个BASIC程序.

REMBISECTIONMETHODFORDETERMIKINGPARAMETER CLSDEF1NTI—P INPUTTHEWORDIS,S$ A1=1lA2=2.N=LEN(S$)l X=1|S1$=

F0RI=1TONB$=R;IF X=1一A-X*X:g1$=s1$十B$ NEXTI PRINT

DA=.00000l:A;A2 X<OTHENB$=L

P1FORI=1TON:C$:MID$(Sl$,I,j) IFC$=RTHENP=一P

IFC$>MIDS(S$,I,1)THENGOTO120 NEXTI

IFP=～1THENA2=AELSEA1=A ∞鲫鲫印吣∞曲蛐n

330物理学进展lo卷

130A=.5(A1+A2)tIFA—At>DAANDA2一A>DATH'ENGOTO4O 140PRINT\"THEPARAMETERIS..,A}.,STOP 150END

4.4分支圈的自相似 一

维单参数映射的分支和混沌结构,可用分支图形象地描述.以参数空问为横坐 标,以相空间为纵坐标,画下不同参数值下的渐近轨道,就是分支图.如果分辨率足够

高,则可辨认出许多倍周期系列及半周期混沌带系列.这样的分支图屡见不鲜,这里就

不再给出.(稍后我们将给出立方映射的分支图)在二次方映射(11)的分支图上极易看

到下述轨道t

参数1.01.31071.38151.401151.43041.54371.752.0 符号序列RCRLRCRLR0LRC月RLRz(L)RLR*RLCRL*

这里列出的某些代表性揉序列字,将在下节解释.

间期轨道h)i.t的稳定性决定于稳定性指标S=n\"'./,(').由分支理论知,

倍周期分支在S=一1时发生.于是,发生倍周期分支的周期符号序列,其基本字节必

须为奇.由上节知,有揉序列字C,刚有窗口((C一,C,(C)+),窗口的偶 性为(+,0,一),另有倍周期揉序列字(C)+C.因而,如果基本字节为奇,如(C)., 则轨道的周期可与此基本字节等长或为其两倍.如果基本字节为偶,则二者等长. 在=1.75处,混沌带突然消失,出现周期3.在周期3之前的这个混沌区,是所 谓的阵发混沌.下节将从符号动力学角度考察阵发混沌.

取分支图中由月C至RLR的一段,适当放大,可得整个原始分支图的两套叠置的复

制.这可称作沿参数轴的自相似性.事实上,选择子图经适当标度而复制垒图的方式有 无穷多种.

此外,如果考察在倍周期分支的累积点(参数=1.40115…)处单一轨道,取其在区 向上的一小段轨道点,经适当放大,可获得垒轨道的复制.达可称为相空间的自相似性.

逸两种自相似性都是符号序列变换规律的表现.这些变换规律的讨论,是符号动力 学的重点之一,将是下节的内容. 4.5周期系的数目\"t0

不能写成(C)+,VC或((c)+(C))形式的揉序列字,称基本字,由基本字出.

发经迓次倍周期分支所得所有倍周期字的总俸,称属于该基本字的周期系.以下讨论基

本字的周期长度为月时周期系的数目(n).周期长度为的所有符号序列有2种,此处 不考虑字母C,因为它不过是月或￡的退化.其中显然含月和￡,它们应属于周期1' 的周期系.于是,如果P为质数,刚应有 2一2=2PM(尸)(17)

此处右边的系数2尸中的2诗及月和￡属同一周期系的事实,尸则是循环诗敬.于 是,有

3期郑伟谋等-实用符号动力学 (18)

这个在P为质暂时准确的公式,对非质数P也是很好的近似.对于为非质数的一般情

形,我们需要考虑的因子d,因为属于周期d的周期系中的符号序列应排除在M(n) 之外.最后,有如下的建推公式\"t .

1<d<\"

}[z～一∑/-12～{加㈤],㈣

其中d表示d可整除\".(10)式右边的第一个求和项,在n=奇数×2(≥1)时出现 第二个求和项中的因子0(d)=2,而叉来自的分解=d×奇数×2(≥O).逸个

式子是递归深度随月变化的一组方程,可以取(2)=O作为初条件J当\"为质数时,它 退化为08)式.由公式(19)计算直至=151~M(n),结果见表.表中也列出反称立方 映射的周期系数目,该映射也有类似的(\")公式,详见文献22. 寰周期幂的蠢目 4.6分支盈中的暗娩

所有一维映射的分支图都有一个特点,即许多条暗线穿过其间,井构成混沌带的边 界.某种意义上可说它们勾勒出分支围的轮廓.这些暗线的方程桠易写出?用同样∞映

射函数,可递归地写下参数的一族函数'P.(p))如下Ⅲ'l

物理学进展1O卷 .()=C, (20)

P+1()=,(,()),月=0,1,….

这些P,()只不过是临界点C的多次迭代,并将之看作u的函数.一个简单的物理解释见

文献16的2.1.3节,P.直至P.的曲线在图4中示出.对于多临界点的映射也可定义如(20)

的暗线方程,只是此时每个临界点有一族.另外,上式中u可代表多个参数,有用盼一

例是正弦平方映射… 0A2

图4二敬方映射的函数尸Ⅱ()曲线. +-=Asi(*一B),(21)

它与光学双稳问题关系密切.

通过暗线函数,我们可从不同的角度考察几类符号序列.在暗线图中可看到许多相 交和相切.稍加分析可以发现,如果两个函数曲线P和只在某参数值下相切(或相交),

mB存在无穷多的函数两两相切(或相交).后面将会看到,相切发生在对应于超稳揉序

列字的参数处,而相交则对应于型的揉序列字. 五,乘积和广义合成律 将?