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基于小波变换的边缘检测5

来源：尚车旅游网

2000年4月

第30卷第2期西北大学学报(自然科学版)

JournalofNorthwestUniversity(NaturalScienceEdition)Apr.2000

Vol.30No.2

基于小波变换的边缘检测

张书玲,张小华

(西北大学数学系,陕西西安　710069)

摘要:根据Mallat的多尺度边缘检测的思想,实现了多尺度B样条的边缘检测算法。在检测之前,

对图像进行自适应平滑处理,在选取小波函数时提出一种更加有效的小波函数。同时,提出一种简单而有效的检测和边缘点连接的算法,最后,在分解和重建时采用一种基于滤波器系数特征的快速算法。结果表明,该方法比较适合于精确快速边缘检测。

关　键　词:计算机视觉;自适应平滑滤波;边缘检测;小波变换;多尺度分析

中图分类号:TN911173　　文献标识码:A　　文章编号:10002274󰂳(2000)0220093205　　在计算机视觉中,检测图像的边缘具有极其重要的意义。图像或信号的大部分信息往往携带在图像或信号的不规则结构和不平稳现象中,这些边缘信息在分析图像性质和结构的重要特征中有着很重要的应用。Canny(1986)提出一种多尺度边缘检测算子,先用高斯函数对图像f(x,y)进行滤波,得到f3GΑ(x,y),其中Α为相应的尺度因子,然后计算其梯度矢量的模和方向[1,2]

MΑ=‖󰂈f(x,y)3GΑ(x,y)‖,AΑ=󰂈GΕ3f(x,y)󰃗‖󰂈GΑ3f(x,y)‖。图像边缘点即为在方向AΑ上使MΑ取得局部极大值的点。基于这种思想,Mallat(1992)提出小波变换极大值方法,并用于分析信号的奇异性和图像的边缘检测,使其成为图像边缘检测的重要工具[3,4]。

(x,y)=󰃜a󰃜-17

x-by-b,,aa

a,b

a,b∈R,a≠0(1)

叫做分析小波或连续小波。7(x,y)叫做基本小波

或母小波,a为伸缩因子,b为平移因子。若7(x,y)是双窗函数,则称7(x,y)为窗口小波。

定义2　设7i(x,y)是基本小波,{7a,b(x,y)}i=1,2是按照式(1)给出的连续小波族。对任意函数f∈L2(R×R),可定义信号f(x,y)的连续小波变换W1f(a,b)为

Wf(a,b)=f37a,b=

󰃜a󰃜-

∫

f(x,y)7

b-xb-y,dxdy,aa

a,b∈R,a≠0。(2)

1　连续小波与离散小波

近年来,小波(wavelets)变换作为一种变换域

信号处理方法,在计算机视觉和图像处理研究领域引起人们极大的兴趣。目前,二维小波主要应用于图像编码压缩方面,但小波的优良特性在初级视觉初级处理中具有极其重要的意义和应用。

定义1　设7(x,y)∈L2(R×R)∩L1(R×δR)且7(0,0)=0,则经由函数7(x,y),伸缩和平移得到的函数族:

在实际应用中,特别是在计算机实现上,往往需要将

连续小波及其变换离散化。一种方便的形式是对变换进行二进制离散。我们把这种经过离散化的小波及相应的小波变换,称为二进制小波和二进制小波变换。

2　小波变换的边缘检测特征

在边缘提取中,一般取小波函数71(x,y)=5Η(x,y)󰃗5x和72(x,y)=5Η(x,y)󰃗5y。其中Η(x,y)为平滑函数,满足Η(x,y)dxdy=1,且Η(x,y)Ε

∫∫

　　收稿日期:1999212206

　　基金项目:陕西省教委重点资助项目(95JZK06)

　　作者简介:张书玲(19572),男,陕西丹凤人,西北大学数学系副教授,博士,主要从事小波分析和图像学的研究。

(自然科学版)　　　　　　　　　　　　　　　　　　第30卷　　　　　　　　　　　　　　　　　　　西北大学学报—94—

0,显然其为低通滤波器(3)对迭代图像进行加权平均

5(f3Η2j(x,y))Wf(x,y)=f37(x,y)=2,

2j(x,y))22j5(f3ΗW2jf(x,y)=f372j(x,y)=2。5y

1j2

k+1

(x,y)=

i=-1j=-1∑∑f

(x+i,y+i)Wk(x+i,y+i)

(x+i,y+j)

如果设M　　　　A

=(W1j2f(x,y))+(W

2j22j2

2j2f(x,y)),

i=-1j=-1

∑∑W

=arctg

则点集X=2jf(x,y)󰃜≠0}是f3Η。M2j的大2j(x,y)中具有灰度变换的点的集合

小反映f(x,y)3Η(x,y)在点(x,y)的灰度变化的剧烈程度,完全刻划f(x,y)3Η(x,y)灰度变化特征。M2jf(x,y)在A2j方向取极大值的点对应f(x,

y)的突变点,在图像中对应图像的边缘,因此该特

W,W

{(x,y):󰃜M

其中f0(x,y)为原始图像,K决定了具有多大幅值的突变边缘将得到保存,即被锐化,小于K的突变边缘将被平滑,可以看出平滑滤波具有良好的抑制噪音的性能,为以后的精确检测打下基础。图2为K=8和经过4次迭代以后的图像与原图像对应点的差所得图像。由此可见,边缘点被锐化,而其他点被平滑,差图已基本上描述出图像的轮廓。

性可用于图像的边缘检测。

4　多尺度B样条检测算法

411　小波函数的选取3　自适应平滑滤波

由上述可知小波函数具有边缘检测特性,可用于边缘检测。其实质是先对图像进行低通滤波,然后再求其导数,最后检测导数模的极大值点,优点是可避免噪音的干扰,但同时会去掉一些弱的边缘。为了避免这个缺点,提取模糊的边缘,可采用自适应平滑

滤波。该方法的优点是:①平滑迭代运算可使图像的边缘得到锐化,边缘检测精度较高;②经过多次迭代运算,图像按边缘自动分块,实现自适应平滑,但不会使边缘模糊;③可以实现人工控制,即在迭代过程中,如果信号的梯度幅度足够大(󰃜f(x)󰃜>k),幅值将随迭代次数增加而增强,达到锐化边缘的作用,否则将被平滑。其基本原理为:利用一种小的平均加权模板与图像进行迭代卷积,该模板的权系数是由对应点的信号的连续性决定的。在本文中,我们构造权函数Wk(x)=f(dk(x)),其中dk(x)是对信号不连续性程度的度量,f(dk(x))为单调递减函数,f(0)=1,且随d(x)的增大而减小。在本文中,

-Gx(x,y)+Gy(x,y)取f(dk(x))=exp。其第

2k2

K次迭代算法为:

(1)计算梯度Gx(x,y)和Gy(x,y),其中

1[f(x+1,y)-f(x-1,y)],21Gy(x,y)=[f(x,y+1)-f(x,y-1)];

(2)计算连续权系数22

Gx(x,y)+Gy(x,y)()Wx,y=exp-;

2k2

Gx(x,y)=

在图像的边缘检测中,小波函数的选取直接关系到检测的结果。在尺度给定时,小波变换相当于对图像进行带通滤波,在一定程度上排除了噪音的影响,但同时也去掉了一些模糊边缘。这就要求寻找一种具有好的取噪特性的小波函数,同时又能精确地提取边缘,反映图像灰度的变化。文献从时频分析的角度对n阶B样条的性质进行了研究,认为三阶B样条在边缘提取中滤波特性渐近最优。取尺度函数Υ(x,y)=Β2(x)Β2(y),其中Β2(x)为三阶B样条,小波函数7i(x,y)取为

71(x,y)=7(x)Ν(y),72(x,y)=7(y)Ν(x)。在这里,Ν(x)=2Β2(2x),7(x)=dΗ(x)󰃗dx,Η(x)

为一维光滑函数,Η(x)=Β42-1(x),这里Β(x)为4次B样条。由卷积的性质可知7(x)=2Β(2x+1)-2Β(2x)。由此可以看出,f(x)的小波变换W2jf(x)实际上是对S2j-1f(x)的一阶向前差分,不能准确地描述图像的灰度变化,文献[2]中证明中心差分逼近微商的精度比一阶差分要高,所以在本文中取

-1(x+-1(x)),则小波函数Η(x)=1󰃗1)+Β42(Β422

7(x)=2Β(2x+1)-2Β(2x-1)。由此可见,其相应的小波变换实际上是对S2j-1f(x)的一阶中心差分。实验结果表明,该小波函数能更精确地反映图像的灰度变化。

412　快速离散算法

设尺度函数Υ(x,y)的Fourier变换满足

jδ(Ξx,Ξy)󰃜2=δi(2jΞ,2jΞ),󰃜Υ7δ(2jΞx,2Ξy)ςxy

∑

jΕ1,i

并设由此所定义的尺度函数可以表示为Υ(2Ξx,2Ξy)

　第2期　　　　　　　　　　　　　　张书玲等:基于小波变换的边缘检测　　　　　　　　　　　　　　　　　—95—

=e-

iΣxΞx-iΣyΞy

H(Ξx)H(Ξy)Υ(Ξy,Ξy)。其中,H(Ξ)是dd

S2jf=S2j-1f3(H

j-1

)

以2Π为周期的周期函数。在本文取Υ(x,y)=Β3(x)Β3(y),我们定义基本小波Υi(x,y)与重构小波ςi(x,y)为:71(2Ξx,2Ξy)=G(Ξx)Υ(Ξx,Ξy),72(2Ξx,2Ξy)=G(Ξx)Υ(Ξx,Ξy),ς1(2Ξx,2Ξy)=

K(Ξx)L(Ξy)Υ(Ξx,Ξy),ς(2Ξx,2Ξy)=K(Ξx)L(Ξx)Υ(Ξx,Ξy)。其中:H(Ξ)=

(1)d2j(2)d2j

f=S2j-1f3(Gj-1,D)d

f=S2j-1f3(D,Gj-1)

D为Dirac滤波器,其脉冲在0处为1,其余为0。

其中(4)到(6)可表示为

j-1j-1

S2jf(x,y)=∑hlhkS2j-1f(x-2l,y-2k),

l,k∈Z

∑　K(Ξ)=∑ke

hne

l∈Zn∈Z

-inΞ

;　　G(Ξ)=

-inΞ

∑

;　　L(Ξ)=∑le

gne

n∈Zn∈Z

-inΞ

。。

(7)

1j22j2

f(x,y)=f(x,y)=

-inΞ

它满足如下关系:G(Ξ)K(Ξ)+󰃜H(Ξ)󰃜2=1;L1+󰃜H(Ξ)󰃜2=。

由此有关系:S2jf(Ξx,Ξy)=f(Ξx,Ξy)Υ(2j-1Ξx,2j-1Ξy)H(2j-1Ξx,2j-1Ξy);

1j2

(Ξ)(3)(4)(5)

∑gS∑gS

l∈Z

2j-1

f(x-2j-1l,y),2j-1l)。

(8)

2j-1

f(x,y-

同理可得重构公式为

S2j-1f=W

Kj-1)+S2j(H

1dj2f3(Kj-1,L

j-1

)+W2dj2f(L

j-1

,Hj),Sd2f(x,y)=

j-1j-1j-1

f(Ξ)=f(Ξx,Ξy)Υ(2Ξx,2Ξy)G(2Ξx);

m,n∈Z

2j2f(Ξ)=f(Ξx,Ξy)Υ(2

j-1

Ξx,2

j-1

Ξy)G(2

j-1

Ξy)。

(6)

m,n∈Z

m,n=Z∑W∑W∑S1d2j2dj2f(x-f(x-

2j-1m,y-2j-1n)kmln+2j-1m,y-2j-1n)lmkn+

(9)

dj-1

j-1j-1

f(x+2m,y+2n)hmhn。

它们之间的计算公式写为

相应的hn与gn系数如下:

表1　滤波器系数Tab.1　Thecoefficientoffilter

nhngn

-300

n-1

-2011250

1-n

-101375-1

0013750

1011251

200

300

事实上,hn=h-,gn=g-n,kn=k-,gl=g-l,=h1h-l(l=-1,0,1,2),M(5-9

2k,3)=h-kh1(k

所以,可进一步改进(7)到(9)式以提高运算的速度。此方法还可以推广到任意偶数阶B样条。设B样条的阶数为n,则有如下公式:

j-1j-1

S2jf(x,y)=∑h1hkS2j-1f(x-2l,y-2k)=

l,k∈Z

n=-1,0,1,2),其余系数均为零,可验证

∑M

i,j=1

(i,j)=1。

413　边界点的检测

当一个像素点满足以下3个条件时,则被定义为是图像的边缘点:

(1)该点的边缘强度大于沿该点梯度方向的两个相邻像素点的边缘强度;

(2)与该点梯度方向两个相邻像素点的梯度方向差小于45度;

(3)以该点为中心的3×3的邻域中的边缘强度极大值小于某个事先给定的阈值。

l,k=0

∑

nhlhk(S2j-1f(x-1

2j-1l,y-2j-1k)+-x,(k+1)2j-1

j-S2j-1f((l+1)2-y))+

l,k=0

∑hh

11j2

(S2j-1f(x-2j-1l,2j-1(k+1)-y)+

j-S2j-1f((l+1)2-x,y-k2j-1));

2j-1,y);2j-1)。

f(x,y)=

j-1

S2j-1f(x+2,y)-S2jf(x-

(i,j)=112

W2f(i,j)×W2f(i,j)×W2f(i,j),

1j2f(x,y)=j2Ai,W1s=W2jf(i,j)󰃗2jf(i,j)。

j-1

S2j-1f(x,y+2)-S2jf(x-

M2j(i,j)和A2j(i,j)分别定义边缘强度和梯度方向。

容易发现,S2jf(x,y)实质是对二维图像f(x,y)以M(9,9)为掩模的低通滤波的结果。其中,M(5+2k,5+2l)=h-kh1(k,l=0,1,2),M(3,5+2l)

只要检测出满足上述3个条件的点,就可检测到图像的边缘,但在光栅格离散状态下,与一个像素点紧密相连的是周围的8个像素点,分别对应方向0,

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Π󰃗4,Π󰃗2,3Π󰃗4,Π,5Π󰃗4,6Π󰃗4,7Π󰃗4,而A2j(i,j)的取

值范围为[0,2Π]。如何精确计算方向A2jf(x,y)和A2jf(x,y)+Π与点(x,y)相邻的两个像素点的边缘强度,关系到整个检测的精确性,不同的文献采取不同的方法,其中最常用的是插值法。本文给出一种简单而有效的方法,实验结果表明该方法优于插值法。设TΗ表示f(x,y)沿Η方向灰度的变化强度,则

5f(x,y)()5f(x,y)()

TΗf(x,y)=󰃜cosΗ+sinΗ󰃜,首先

5x5y

找出沿Η=0,Π󰃗4,Π󰃗2,3Π󰃗4这4个方向的边缘强度变化的极大值点,然后再将4个方向的极大值点进行叠加,即可得到该尺度下图像的边缘。实验结果表明,该方法可以检测出大部分边缘点。在不同的尺度下,小波函数抑制噪音和提取边缘的能力不同,在小尺度下,边缘提取的精确性较高,但仍存在少量噪音影响,但噪音的幅度相对较小,且随尺度的增大而减少。为了保证边缘提取的精确性和剔除噪音,在本文中,选取尺度为2的分解结果作为检测对象,然后选5-1(Maxm-Minm)进行比较,2

其中Maxm=max{M2j(i,j)},Minm=min{M2j(i,j)},边缘强度大于罚值者,即为边缘点,否则为是噪

414　边缘点的连接

图3是对图1标准Girl图像进行二次分解,并检测局部极大值点而到相应的边缘检测结果。实验结果表明,边缘提取效果较好,但存在一部分断点,

Yamada

[5]

提出了一种简单连接方法,将其用于存在

断点的扫描文字的连接中,通过该算法可以有效地将断点连接起来,因而在手写体识别中起着很重要的作用。算法如下:

1918161312107222017141186

43224232115954

1或258283031

26293234

27333536

0393837

3454140

2474442

1484643其中,矩阵中的数字表示搜索的先后顺序,图3是未运用Yamada算法而直接检测到的边缘图像,图4是运用Yamada算法连接图3中的断点并去掉边缘曲线长度小于8的边缘图像。实验结果表明,此算法适合于图像边缘断点的连接,同时又能很好地避免错误点的连接,且随着罚值的增大,模糊的边缘将被去掉,以便进一步特征提取和数据压缩。

取罚值T=

音点,将其舍掉。

图1　Lena原图

Fig.1　Originalimage

图2　原图与滤波后图像的差图像

Fig.2　Minusimage

图3　未连接的图像边缘

Fig.3　Edgeimage

图4　边缘长度大于10的边缘

Fig.2　Edgeimageprocessed

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5　实验结果及分析

实验结果表明,在检测边缘之前,先对图像进行自适应平滑滤波处理,不仅可提高检测精度,又能提

高运算的效率,减少分解次数。文中给出的小波函数能有效地反映图像的灰度变化,同时,又可避免噪音的干扰。同时,边缘检测算法可以避免大量的计算。应用该方法可以检测出绝大部分边缘,得到了理想的检测结果。

参考文献:

[1]　郑南宁.计算机视觉与模式识别[M].北京:国防工业出版社,1998.

[2]　王玉平,蔡元龙.多尺度B样条小波边缘检测算子[J].中国科学(A),1995(4):4262437.

[3]　Mallat.S,HuangWL.Singularitydetectionandprocessingwhitwavelet[J].IEEETrans,1992(2):6172643.[4]　MallatSZhong.Characterizationofsignalfrommultiscaleedge[J].IEEETransPAMI,1992(7):7102732.

(编　辑　姚　远)

Edgedetectionbasedonwavelettransform

ZHANGShu2ling,ZHANGXiao2hua(DepartmentofMathematics,NorthwestUniversity,Xi′an710069,China)

Abstract:AnalgorithmofedgedetectionisimplementedwithB2SplinebasedonMallat′smultiscaleedgedetection.Beforedetection,anauto2adaptationfilterisused.Atthesametimeanewwaveletfunctionisgiven,whichcandescribethechangeofimagebetterthanothersdo.Whenlinkingedgepoint,Yamadaalgorithmisused.Atlast,anewfastdetectionalgorithmisusedbasedonwaveletcoefficient.Theresultshowsthemethodfeasible.

Keywords:computervision;edgedetection;wavelettransform;MRA

・学术动态・

本刊被确定为中国学术期刊检索和评价数据库来源期刊

《中国学术期刊(光盘版)》、中国期刊网是我国目前最大的集成化期刊全文数据库,是社会各界重要的知识信息来源。该编委会与中国科学文献计量评价研究中心通过对我国8000多种期刊的研究分析,初步确定3500种期刊为“《中国学术期刊综合评价数据库》来源期刊”、1500种科技类期刊为“《中国科学引文数据库》来源期刊”、900种人文社科类期刊为“《中国人文社科引文数据库》来源期刊”。

1999年1月19日,中国学术期刊(光盘版)编委会、中国科学院文献情报中心、中国社会科学院文献信息中心、北京大学图书馆提请国务院新闻办公室和新闻出版署备案后,在西安向我刊等100余种期刊颁发了“来源期刊证书”。

本刊自1994年以来的全部论文,已录入中国学术期刊(光盘版)。该光盘版和中国期刊网,是我国目前最大的集成化期刊全文数据库,是国家权威科学文献计量评价的来源数据库,在国内外得到广泛应用。中共中央宣传部出版局局长邬书林认为,这一数据库的建立,是“中国期刊发展史上的一件大事”,并希望各有关单位积极推动这项工作,更好地为提高民族素质服务。

(姚　远)

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