贵州省贵阳市花溪二中八年级数学竞赛讲座 第四讲 分式的概念、性质及运算 人教新课标版

分式包括分式的概念、分式的基本性质、分式的运算、简单的分式方程等主要内容． 从整式到分式，我们可以形象地说是从“平房”到了“楼房”．在脚手架上活动，无疑增加了难点，体现在：解分式问题总是在分式有意义的前提下进行的，因此必须考虑字母取值范围；分式运算中的通分和约分是技巧性较强的工作，需要灵活处理．

分式的运算与分数的运算相似，是以分式的基本性质、运算法则、通分和约分为基础，是以整式的变形、因式分解为工具．分式的加减运算是分式运算的难点，突破这一难点的关键是能根据问题的特点恰当地通分，常用通分的策略与技巧有： 1．化整为零，分组通分； 2，步步为营，分步通分； 3．减轻负担，先约分再通分； 4．裂项相消后通分等 例题求解

【例1】 要使分式

1有意义，则x的取值范围是 ． 1xx

(“希望杯”邀请赛试题)

思路点拨 当分式的分母不为零时，分式有意义，由于分式是繁分式，因此考虑问题应细致周密．

注：在新事物面前，人们往往习惯于把它们与原有的、熟知的事物相比，这里蕴涵的思想方法就是类比．

学习分式时，应注意：

(1)分式与分数的概念、性质、运算的类比；

(2)整数可以看做是分数的特殊情形，但整式却不是分式的特殊情形； （3）分式需要讨论宇母的取值范围，这是分式区别于整式的关键所在．

3x4AB 【例2】 已知2，其中A、B为常数，则4A－B的值为（ ） x2x1xx2 A．7 B．9 C．13 D．5 (江苏省竞赛题)

思路点拨 对等式右边通分，比较分子的对应项系数求出A、B的值． 【例3】计算下列各式：

112a4a3 (1)； ababa2b2a4b4 （2）

x2yzx2(yz)xyzy2zxy2(zx)yzxz2xyz2(xy)zxy； ( “五羊杯”竞赛题)

（3）

2 (江西省赣州市竞赛题)

x32x22x1x32x22x1x1(yx)(zx)(zy)(xy)(xz)(yz)（4）

(x2yz)(xy2z)(xy2z)(yz2x)(yz2x)(x2yz)x31x312(x21) (安徽省马鞍山市竞赛题)

思路点拨 因各分式复杂，故须观察各式中分母的特点，恰当运用通分的相关策略与技巧．对于(1)，分步通分；对于(2)，拆项再通分；对于(3)，先约分再通分；(4)注意到分母与分子的项与项之间的关系，如x－2y+z=(x－y)－(y－z)，采用换元法简化式子． 【例4】 解下列分式方程(组)： (1)

5x96x84x192x21； (“五羊杯”竞赛题) x19x9x6x81abab31bc (2) (“希望杯”邀请赛题)

bc4ca1ca5 思路点拨 若直接通分去分母，则使问属复杂化，对于(1)拆分、分步运算，对于(2)取倒数，逆用加法法则．

33

【例5】 (1)n为自然数，若n+6|n+1996，则称n为1996的吉祥数，如4+6|4+1996，4就是1996年的一个吉祥数．试求1996年的所有吉祥数的和． (北京市竞赛题) (2)计算：

1221100500022005000222k22k100k500099990050009922 (上海市“宇振

杯”竞赛题)

3

思路点拔 (1)由于n+1996的次数高于n+6的次数，所以，通过变形将两个整式整除的问属转化为一个分式的问题来解决，是解本例的关键；(2)首尾配对，考查一般情形，把数值计算转化为分式的运算．

学力训练 a241．（1）要使分式没有意义，则a的值为 ．

13a12a （2）若a5和(b4)2互为相反数，则ab114ab()()(a22abb2)的值为

ababba ． (岳阳市中考题)

222x182．已知x为整数，且为整数，则所有符合条件的x值的和为 ． 2x33xx93．已知

4xab与的和等于2，则a= ，b＝ ． x2x2x4(山东省竞赛题)

4．学校用一笔钱买奖品，若以1枝钢笔和2本日记本为一份奖品，则可买60份奖品；若以1枝钢笔和3本日记本为一份奖品，则可买50份奖品．那么，这笔钱全部用来买钢笔可以买 枝． (江苏省镇江市中考题) 5．已知式子

(x8)(x1)的值为0，则x的值为( )

x1 A．±1 B．－l C．8 D．－1或8

(江苏省竞赛题)

11116．化简的结果是( )

(x1)(x2)(x2)(x3)(x3)(x4)(x4)(x5)A．

4x6x52 B．

3x6x52 C．

2x6x52 D．

1x6x52

(大连市“育英杯”竞赛题) 7．若x取整数，则使分式

6x3的值为整数的x值有( ) 2x1A．3个 B．4个 C．6个 D．8个 (江苏省竞赛题)

1118．若a、b、c满足a+b+c=0，abc=8，则的值是( )

abc A．正数 B．负数 C．零 D．正数或负数 (“希望杯”邀请赛试题) 9．计算下列各题：

11248 （1）； 248x11xx1x1x13x29x72x24x3x3x1 （2）； x1x1x21bccaab （3）2； 22aabacbcbbcabaccacbcab10．(1)火车长为400米，通过隧道(从火车头进入隧道至车尾离开隧道)需10分 钟，若每分钟速度增加0．1千米，则只需9分钟．求隧道长．（大原市竞赛题)

(2)甲、乙两人两次到某粮店去买大米，两次的大米价格分别为每斤。元和6 元，甲每次买100斤大米，乙每次买100元的大米，问谁两次买的大米平均 价格更低些?说明理由． (福州市中考题) ll.若x+y+z=3a(a≠O)，则12．若关于x的方程

(xa)(ya)(ya)(za)(za)(xa)(xa)(ya)(za)222的值为 ．

2xa1的解为正数，则a的取值范围是 ． x2 (湖北省选拔赛试题)

2

13．方程4x一2xy－12x+5y+11=O有 组正整数解．

( “五羊杯”竞赛题)

1260l4．已知2是正整数，则正整数a= ．

aa6 ( “希望杯”邀请赛试题) 15．设a、b、c均为正数,若

cab，则a、b、c三个数的大小关系是( ) abbcca A．c (江苏省竞赛题) 17．分式

6x212x10x22x2可取的最小值为（ ）

A．4 B．5 C． 6 D．不存在

18．设有理数a、b、c都不为零，且a+b+c=0，则

1bca2221cab2221abc222的

值是（ ）

A．正数 B．负数 C．零 D．不能确定 19．解下列方程(组)：

（1）

132x172x192x112x 112x152x172x92x（2）111113x2 （太原市竞赛题） 2x11x20．(1)某工程，甲队单独做所需天数是乙、丙两队合做所需天数的a倍，乙队独做所需天数是甲，丙两队合做所需天数的b倍，丙队独做所需天数是甲、乙两队合做所需天数的c

倍，求

111的值． (江苏省竞赛题) a1b1c1（2）已知A＝

45678901244567890123，B=，试比较A与B的大小．

56789012345678901236 (南京市竞赛题)

21．已知正整数n大于30，且使得4n一1整除2002n，求n的值．

(第14届“五羊杯”邀请赛试题)