一道课本例题引发的探究

【摘 要】高中数学教材绝大多数例习题都是很经典的，教师应该鼓励学生对其进行积极的探究，引导学生乐于把现有的问题进行演变、引申，发展学生的创新思维，培养他们的探究能力。

【关键词】例习题 问题 探究 引申

高中数学教材绝大多数例习题都是很经典的，教师应该鼓励学生对其进行积极的探究，通过探究让学生大胆的提出问题、解决问题。这样不仅能加深概念、法则、定理等基础知识的理解与掌握，更重要是开发了学生的智力，培养学生的探究能力。现以人教版选修2—1第41页例3的教学为例，并谈谈自己的一些想法。

一、问题的提出

（选修2—1第41页例3）设点A、B的坐标（5,0）、（-5,0）。直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积是-方程。

解答：（略）

本题由学生用直译法做，没有太大的问题。 二、问题的引申

1、逆向思维，大胆猜想：

牛顿说过：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现。”翻开数学史册，可以发现数学的历史就是一部充满猜想的历史。可见猜想与数学发现是形影不离的。我们可以通过例题，引导学生进行大胆猜想与合情推理，发展他们发现问题的能力。针对例3的答案为椭圆方程，学生不禁会问一般的椭圆是不是都有这样的性质呢？

x2y2猜想1：椭圆221(ab0上长轴的两顶点A、B与任意一

ab4，求点M的轨迹9点P（不同于A、B）连线PA、PB的斜率之积为定值.

解答：（略）

有了例3的解答，这个问题让学生自主解决。 2、大胆假设，归纳引申：

先通过大胆假设，再从特殊问题入手，归纳出一般性的结论。这样有利于学生形成良好的认知结构。变式问题中弦AB是长轴，能不能改成一般过原点的弦呢？

我们可以先与学生一起来探究一个特殊的问题，归纳出方法，再引申出一般性的命题。

x2y21上任意一点P与过中心的弦AB的两端点A、问题：椭圆32、PBB连线PA与对称轴不平行，求直线PA、PB的斜率之积。

x12y12x2y21,1,两式相减证明:设P(x,y),A1(x1,y1),则B1(x1,y1),3232得:

x2x12y2y12y2y122 , 2 232xx13 kPAkPByy1yy1y2y122 2xx1xx1xx123让学生自主探究，再让学生归纳引申出一般的问题。

x2y2命题1: 椭圆221(ab0上任意一点P与过中心的弦AB的两

ab、PB端点A、B连线PA与对称轴不平行，则直线PA、PB的斜率之积

为定值.

x12y12x2y2证明:设P(x,y),A1(x1,y1),则B1(x1,y1),221,221,两式相减

ababx2x12y2y12y2y12b2得: 22 222abxx1aKPAKPByy1yy1b22为定值. xx1xx1a3、极限思想，知识串联；

G波利亚说：“类比是一个伟大的引路人”。我们这时引导学生，然后提问：椭圆的极限位置是圆，此性质可以类比圆中什么性质呢？让学生分组探讨，进行类比与归纳。探讨后部分学生提出了对性质的解释:是圆的性质“圆上一点对直径所张成的角为直角”在椭圆中的推广。

这个解释充分揭示了椭圆的本质属性，因而能简洁解决问题。再引导类比圆中的性质，可以引申出以下命题.

命题2：若M是椭圆的弦AB之中点，则直线OM与直线AB的斜率之积为定值。

y A 证明：（如图）连接AO并延长交椭圆 于点C，连结OM,BP,则OM//BP kOMkBP 由性质知KPAKPB KOMKABb22

aO P M . B x

b22为定值

a对性质的解释:是圆中的垂径定理“圆心与弦中点连线垂直于弦”在椭圆中的推广。（学生思考、解释）

4、类比思想，知识拓展

通过以上的探究，椭圆与圆的知识建立完美的解释。学生欣喜之余，进入深深沉思中。学生提问双曲线中是否有类似的性质呢？ 猜想2: 将椭圆改为双曲线，命题是否成立？

让学生课后进行探讨。 三、性质的应用

上述结论的证明主要运用了点差法，在探究中运用类比、极限等思想。这些思想方法在学习高中数学中是必不可少的。而且椭圆中的许多经典结论，再近几年的高考中竞相登场，一年秀似一年。特别是上述结论以及相关的性质是多次在各省市高考中出现。我们要引导学生会应用，能主动利用课本的例习题探究其潜在的一般性质。接下来我们探讨它的应用，特别以对称问题举例。

x2y2x2y22例：已知两椭圆C1:221 ，C2:2222(ab0;120)

abab若不平行于坐标轴的直线l与C1,C2分别相交于A,B和C,D，求证：

ACDB

证明:分别取线段AB,CD的中点M,M, 由推论知

y . D M A C O B x b2b2 klkOM2 klkOM2

aa  kOMkOM 故M与M重合

由于AMBM及CM四、总结与升华

知ACBD D M我们要学会探究中发现问题与解决问题。那么怎么发现问题呢？我们要给自己多问几个“为什么”，对问题进行一般化、特殊化、逆向思维的处理，从命题角度与解法角度进行发散。可以提出“概括型”、“猜想型”、“引申型”、“探究开放型”等问题。

现在社会真正需求是具备创新意识、创新能的创造性人才。因此，教师在教学实践中，应尽量引导学生乐于把现有的问题进行演变、引申，发展学生的创新思维，培养他们的探究能力。

参考文献：

《普通高中课程标准实验教科书》数学2—1 人教版2007年2月第二版 《反思课本例习题，引导学生发现问题》张立兵中学数学教学参考2009.2

a2《简析椭圆中的2》徐勇 高中数学教与学 2011.9

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