专题54 不等式的概念与性质 -2021版跳出题海之高中数学必做黄金100题(解析版)

第54题 不等式的概念与性质

一．题源探究·黄金母题 已知ab0,c0,求证：cc． ad10．于是 ab【试题来源】人教版A版必修5P74例1． 【母题评析】本题考查了不等式的重要性质．作为基础题，不等式性质的应用，是历年来高考的一个常考点． 【思路方法】熟记不等式性质，应用不等式的性质解题． 【证明】ab0,ab0,1111ccab,即,由c0，得． ababbaad二．考场精彩·真题回放 【2020年新高考全国Ⅰ】已知a>0，b>0，且a+b=1，则 A．a2b21 2 B．2ab1 2C．log2alog2b2 【答案】ABD D．ab2 【命题意图】这类题主要考查不等式的性质、指数函数、对数函数、幂函数的性质．本【解析】对于A，a2b2a21a2a22a12题能较好的考查考生分析问题、解决问题的能力等． 【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中1112a， 222当且仅当ab21时，等号成立，故A正确； 2ab等偏易，考查基础知识的识记与理解． 对于B，ab2a11，所以2确； 121，故B正【学科素养】数学运算、逻辑推理 2【难点中心】比较指数式或对数式的大小，若幂的底数相同或对数的底数相同或幂的 1 / 10

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对于C，2指数相同，通常利用指数函数或对数函数或幂函数的单调性进行比较；若底数不同，1ablog2alog2blog2ablog2log2， 可考虑利用中间量进行比较．也可以利用242特殊值法． 当且仅当ab1时，等号成立，故C不正确； 2ab对于D，因为212ab1ab2， 所以ab故D正确； 故选：ABD. 2，当且仅当ab1时，等号成立，2三．理论基础·解题原理 考点一 不等式的性质 1．比较法原理：ab0ab,ab0ab,ab0ab. 2．abba（反对称性）； 3．若ab,bc,则ac（传递性） 4．若ab，则acbc； 5．若ab,c0，则acbc；若ab,c0，则acbc； 6．若ab,cd，则acbd； 7．若ab0,cd0，则acbd； 8．若ab0，则1111；若ab0，则； abab 2 / 10

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9．若ab0，则anbnnN,n2； 10．若ab0，则nanbnN,n2． 四．题型攻略·深度挖掘 【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，一般难度较小，往往考查对基础知识的识记与理解． 考向1 利用不等式的性质判定大小 c3c30，则下列选项中错误的是（ ） 已知ababaA．ba B．acbc C．0 D．ln0 cb【答案】D 【温馨提醒】解决此类题要熟练运用不等式的性质。 c3c3110，当c0时，0，即ba0，∴ba，【解析】ababacbc，abaa0成立，此时01，∴ln0，故选D． cbb考向2 求范围的问题 已知1ab5,1ab3，则3a2b的取值范围是 ( ) 【温馨提醒】根据不等式组确定二元目标式范A．6,14 B．2,14 C．2,10 D．6,10 围的方程有二，其一：利用待定系数法表示目标，直接加减一次即可；其二：利用线性规划的【答案】C 【解析】设3a2bxabyab，易得：x15，y， 22方法处理． ∴3a2b15abab2,10，故选C． 22 3 / 10

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考向3 不等式的性质与充要条件 下列四个不等式：①a＜0＜b；②b＜a＜0；③b＜0＜a；④0＜b＜a，其中能使【温馨提醒】此类题要熟练掌握不等式的性质及充分条件、必要条件的概念。 11成立的充分条件有________． ab【答案】①②④ 【解析】①a＜0＜b⇒1＜0，1＞0⇒1＜1；②b＜a＜0⇒1＜1；③b＜0＜abababa⇒1＞1；④0＜b＜a⇒1＜1．故答案为：①②④． abab五．限时训练*提升素养 1.（2020·浙江）已知a1b1c则下列不等式恒成立的是（ ） A．ac2b 【答案】C 【详解】 A.当a2,b0,c2时，ac2b，所以A不正确； B.当b0或b0时，abbc不成立，故B不正确； C.B．abbc C．acabcb D．bb acc1，c10，当ab时，ac1bc1，即acabcb，故C正确； bb不成立，故D不成立. acD. 当b0或b0时，故选：C 2.（2020·甘肃省）已知xy，则下列判断正确的是（ ） 4 / 10

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A．log2xlog2y B．lg(xy)0 【答案】D 【详解】 C．x2xy D．2x2y 对于A ，当x或y小于零时，结论不成立，需要满足条件xy0，所以A不正确； 对于B，当0xy1时，lg(xy)0，所以B不正确； 对于C，当x0时，结论不成立，所以C不正确； 对于D，因为函数y2为增函数，所以2x2y，所以D正确. 故选：D. x3.（2020·嘉兴市）下列说法中，一定成立的是（ ） A．若ab，则acbc C．若ab，则a2b2 【答案】B 【详解】 A.只有当c0时，才有acbc，故A不成立； B. 若ab，cd，则acbd正确； C.a2,b3时，a2b2不成立，故C不成立； D.当a2,b2，满足故选：B B．若ab，cd，则acbd D．若11，则ab ab11，此时ab，不满足条件ab，故D不正确. ab 5 / 10

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4.（2020·河南）已知1a2b2，22ab1，则8ab的取值范围是（ ） 38 536 5C．4,7 A．5,B．5,D．4,36 5【答案】C 【详解】 因为8ab2(a2b)3(2ab)，1a2b2，22ab1， 所以22(a2b)4，63(2ab)3，48ab7， 故8ab的取值范围是4,7， 故选：C. ab2”是“a1且b1”的（ ） 5.（2020·浙江省）设a,bR，则“ab1A．充分不必要条件 C．充分必要条件 【答案】B 【详解】 B．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 ab2根据不等式的性质由a1且b1能推出 ； ab1111ab3.32 而a=1， 当a=，b3.3时，有333ab1.11 6 / 10

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ab2”是“a1且b1”的必要不充分条件. 则“ab1故选：B． 6.（2020·任丘市）若a0,b0，则“ab”是“a3b3a2bab2”的（ ） A．充分不必要条件 C．充要条件 【答案】A 【详解】 由abababa(ab)b(ba)(ab)(ab)(ab)(ab)， 若a0,b0， 当ab时，可得(ab)(ab)0，即a3b3a2bab2，所以充分性成立； 2332222222B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 当a3b3a2bab2，即(ab)(ab)0，可得a2b，所以必要性不成立. 所以“ab”是“a3b3a2bab2”的充分不必要条件. 故选：A. 117.（2020·洮南市）若实数,满足，则的取值范围是（ ） 23A．11 23B．50 6C．11 23D．10 6【答案】D 7 / 10

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【详解】 11， 23所以1111，，0， 2332所以10. 6故选：D. 8.（2020·北京）已知a0，1b0，那么a，ab，ab2的大小关系为_____________. 【答案】aab2ab 【详解】 由a0，1b0， 则ab0，ab20，0b21， 2又abaab10， 2所以ab2a， 所以aab2ab. 故答案为：aab2ab 11ab22b的大小关系是________． 9.已知ab0，则ba与a【答案】ab112 2baab 8 / 10

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【详解】 ab11abbaabab作差得：22=22 22baabbaab∵ab0，ab0， 22abab∴ab2220. 即ab112. 2baab21. 810.（2020·全国高三月考）已知an是公比为q的等比数列，其前n项和为Sn，且S33，S6（1）求q； （2）设bn是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为Tn，当n2时，试比较Tn与bn的大小. 【答案】（1）q1；（2）答案见解析. 2【详解】 解：（1）当q1时，若S33，则应有S66，这与S621矛盾，故q1． 8由S6a11q61qa11q371213q1q，相除得，解得． S332881q（2）由题意知bn215n， n122nn119nn2Tn2n， 242 9 / 10

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n1n10． 9nn25n当n2时，Tnbn424所以当2n9时，Tnbn； 当n10时，Tnbn； 当n11时，Tnbn．

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