组合投资分析

1 引言

1.1选题背景及意义

1952年，哈里·马科维茨发表了一篇题为《证券组合选择》的论文。这篇著名的论文标志着现代证券组合理论的开端。马科维茨考虑的问题是单期投资问题：投资者在某个时间(称为“期初”)用一笔自有资金购买一组证券并持有的一段时期(称为“持有期”)，在持有期结束时(称为“期末”)，投资者出售他在期初购买的证券并将收入用于消费或再投资。马科维茨在考虑这一问题时，第一次对证券投资中的风险因素进行了正规阐述。他注意到一个典型的投资者不仅希望“收益高”，而且希望“收益尽可能确定”。这意味着投资者在寻求“预期收益最大化”的同时也追求“收益的不确定性最小\"，在期初进行的决策时必然力求使这两个相互制约的目标达到某种平衡。马科维茨分别用期望收益率和收益率方差来衡量投资的预期收益水平和不确定性(风险)，建立均值方差模型来阐述如何全盘考虑上述两个目标，从而进行决策。推导的结果是，投资者应该通过同时购买多种证券而不是一种证券进行分散化投资。

现代资产组合理论的提出主要是针对化解投资风险的可能性。“不要把所有的鸡蛋放在一个篮子里”就是多元化投资组合的最佳比喻，而这已成为现代金融投资世界中的一条真理。随着我国市场经济建设的高速发展，人们的生活水平大幅度提高，可支配收入也渐渐多了起来，大家的金融意识和投资意识也日益增强，投资理财越来越成为一个热门的话题．由于我国的资本市场不发达，人们的投资选择范围相对要窄一些，在实际利率为负的情况下，直接投资股市成为人们的主流投资行为，因此如何正确使用资产组合模型来管理自己的投资具有十分重要的实践意义。

1.2 研究内容

本文主要讨论了如何根据综合评分法建立新资产投资组合模型的问题。通

过建立并对新投资组合模型的研究，可以让我们更好的管理自己的资产。 根据本文所做的研究内容，首先介绍了课题研究背景及意义，本文的结构安排；再介绍本论文将用到的相关理论，主要包括了证券投资分析学上的一些财务指标如何求解，什么是证券投资分析学上的综合评分法以及如何使用Hesse矩阵和二

次规划的求解；多目标决策中的方法等； 然后主要根据证券投资分析学上的综合评分法理论，在综合考虑一个公司的收益能力，偿债能力和成长能力以后创立了一个新的投资组合模型。运用运筹学上的解二次规划方法并结合Excel对新模型进行实例求解，并与原模型做了对比；最后对本文进行了小结，并提出一些今后进一步工作的展望。

2.1 组合投资分析的相关理论 2.1.1 综合评分法

证券业从业资格考试统编教材《证券投资分析》[25]中指出公司财务评价的内容主要是盈利能力，其次是偿债能力，此外还有成长能力。它们之间大致可按

5:3:2分配比重。如果以100分为总评分，则评分标准分配可如下表1所示：

表2-1 行业最高比例

（%） 47

41 15 63 126

最高评分 45 30 45 15 15

最低评分 15 10 15 5 5

每分比率（%） 0.93 1.6 0.53 4.2 11

评分值

盈利能力 销售净利率 30 净资产报酬

20

率 偿还能力 权益负债比

30

例 成长能力 主营业务增

10

长率 净利率增长

10

率 合计 100

指标

标准比例

（%） 33 25 7 42 71

标准比率以本行业平均数为基础(这里选择了金融业，数据来源于中证网中的上市公司金融业的2007年的年报)。对其中数据适当进行了理论修正。在给每个指标评分时应规定上限和下限，以减少个别指标异常对总分造成不合理的影响。上限可定为正常评分值的倍，下限定为正常评分值的．此外，给分时不采用“乘”的关系，而采用“加”或“减”的关系来处理。例如，销售净利率的标准值为33%，标准评分为30分；行业最高比例为47%，最高评分为30分，则每分的财务比率为0.93(47%33%)/(45分30分)*100%．销售净利率每提高1%，

多给0.93分，但该项得分不超过45分；反之，不低于15分。

2.1.2 相关财务指标计算方法

销售净利率=净利润／平均资产总额

平均资产总额=(年初资产总额+年木资产总额)／2 销售净利率=净利润／营业收入

净资产报酬率=税前利润总额／平均净资产总额 平均净资产总额=(年初净资产总额+年末净资产总额)／2 权益负债比率=所有者权益／负债总额

主营业务增长率=(年末主营业务收入一年初主营业务收入)／年初主营业务收入×100％

净利润增长率=(年末净利润一年初净利润)／年初净利润×100％ 2.2 Hesse矩阵

定义2.2.1 设S是Rn的子集，若对于任意的s1,s2S，均有

s1(1)s2S，[0,1],

则称S是Rn的凸集。

定义2.2.2 设函数f:SR1，S是Rn的非空凸子集，若

f(x1(1)x2)f(x1)(1)f(x2)，x1,x2S,[0,1]，

则称f是S上的凸函数，当上式成立严格不等号时，则称f是S上的严格凸函数。

定义2.2.3 设函数f:SR1具有二阶连续的偏导数，x*S，令

f(x)f(x)f(x)Tf(x)(,,,)x1x2xn****，H(x)(*f(x)xixj2*)nn，

则称f(x*)为函数f在点x*处的梯度向量，称H(x*)为函数f在点x*处的Hesse矩阵。

定理2.2.1 设S是Rn的非空开凸集，函数f:SR1具有一阶连续的偏导数，则函数f为凸函数的充要条件是恒有

f(x2)f(x1)f(x1)(x2x1)，x1,x2S

T，

其中f(x1)为函数f在x1处的梯度向量。

证明 必要性 x1,x2S，因为S是Rn的非空开凸集，所以

x1(x2x1)(1)x1x2S，(0,1)。

因为函数f为凸函数，所以

f(x1(x2x1))f(x2)(1)f(x1)

从而有

f(x1(x2x1))f(x1)(f(x2)f(x1))

由于0，上述不等式两边同时除以得到

f(x1(x2x1))f(x1)(f(x2)f(x1))

由于f具有一阶连续的偏导数，故有

f(x1(x2x1))f(x1)f(x1)[(x2x1)]o((x2x1))

T所以

limf(x1(x2x1))f(x1)f(x1)(x2x1)

T0于是得到

f(x2)f(x1)f(x1)(x2x1)

T充分性 x1,x2S，(0,1)，因为S是Rn的非空开凸集，则

x1(1)x2S，

由题目充分性条件式得

f(x1)f(x1(1)x2)f(x1(1)x2)[(1)(x1x2)] f(x2)f(x1(1)x2)f(x1(1)x2)[(x1x2)]TT

以和1分别乘以上述两个不等式的两边，并相加整理得

f(x1)(1)f(x2)f(x1(1)x2)，x1,x2S，(0,1)。

又定义2.2.2知函数f为凸函数。

定理2.2.2 设S是Rn的非空开凸集，函数f:SR1具有二阶连续的偏导数，则函数f为凸函数的充要条件是函数f的Hesse矩阵H(x)在S上为半正定矩阵。函数f为严格凸函数的充要条件是函数f的Hesse矩阵H(x)在S上为正定矩阵。

证明 必要性 因为S是Rn的非空开凸集，所以

(0,1)，x1(x2x1)(1)x1x2S。

函数f为严格凸函数，xS，zRn，因为S是Rn的非空开凸集，所以存在

0，当[,]时，有xzS，由定理2.2.1得

f(xz)f(x)f(x)zT

因为函数f:SR1具有二阶连续的偏导数，由Taylor展开式得

f(xz)f(x)f(x)zT12zH(x)zo()

2T2所以由上两式得

122zH(x)zo()0

2T2上式两边同时除以，注意到limo()20T20，则有

zH(x)z0

即Hesse矩阵H(x)在S上为半正定矩阵。

充分性 xS，由Taylor展开式得

f(x)f(x)f(x)(xx)T12(xx)H(x(xx))(xx)

T其中(0,1)。因为S是凸集，所以x(xx)S，由充分性的条件知Hesse矩阵H(x)在S为半正定矩阵，从而H(x(xx))为半正定矩阵，即有

(xx)H(x(xx))(xx)0，

T所以

f(x)f(x)f(x)(xx)T

由定理2.2.1知函数f为S的凸函数。

第二个结论的证明只要把上述的不等号换成严格的不等号即知成立。 2.3 二次规划的求解 2.3.1 K-T条件

设非线性规划的一般形式为

nminf(X),XRE RXgj(X)0,j1,2,,l （2-1）

现将库恩-塔克（Kuhn—Tucker,简写为K-T）条件叙述如下：

设X*为非线性规划（2.1）式中的极小点，而且在X*点的各起作用约束的梯度

**T,,n)，使下列条件成立： 线性无关，则存在向量*(1*,2l***f(X)jgj(X)0j1 *jgj(X*)0,j1,2,,l （2-2）

*j0,j1,2,,l 条件（2-2）式常简称为K-T条件。满足这个条件的点（它当然也满足非线性规划的所有约束条件）称库恩-塔克点（或K-T点）。 2.3.2 二次规划

若某非线性规划的目标函数为自变量X的二次函数，约束条件又全是线性的，就称这种规划为二次规划。二次规划师非线性规划中比较简单的一类，它比较容易求解。

二次规划的数学模型可以表述如下：

n1nnminf(X)cjxjcjxjxk2j1k1j1k1,2,,ncjkckj,naijxjbi0,i1,2,,nj1j1,2,,nxj0,（23）

(24)（25）（2-3）式右端的第二项为二次型。如果该二次型正定（或半正定），则目标

函数为严格凸函数（或凸函数）；此外，二次规划的可行域为凸集，因而，上述规划属于凸规划（在极大化的问题中，如果上述二次型为负定或半负定，则也属于凸规划）。由最优化理论相关知识可知道，此时，凸规划的局部极值即为其全局极值。对于这种问题来说，库恩—塔克条件不但是极值点存在的必要条件，而且也是充分条件。

将库恩—塔克条件（2-2）式中的第一个条件应用于二次规划（2-3）至（2-5）式，并用y代替库恩—塔克条件中的，即可得到

nm cjkxkaijyn1yjcj,j1,2,n （2-6）

k1I1 在（2-4）式中引入松弛变量xni，（2-4）式即变为（假定bi0

n

aj1ijxjxnibi0,i1,2,,n （2-7）

再将库恩—塔克条件中的第二个条件应用于上述二次规划，并考虑到（2-6）式。这就得到

xjyj0,j1,2,nm （2-8） 此外还有

xj0,yj0,j1,2,nm （2-9） 联立求解（2-6）式和（2-7）式，如果得到的解也满足（2-8）和（2-9）式，则这样的解就是原二次规划问题的解。但是，在（2-6）式中，cj可能为正，也可能为负。为了便于求解，先引入人工变量zj（zj0，其面前的符号可取正或负，以便得出可行解），这样（2-6）式就变成了

mnij

ai1yniyjck1jkxksgn(cj)zjcj,j1,2,,n （2-10）

sgn(cj)1；sgn(cj)1。 其中sgn(cj)为符号函数，当cj0时，当cj0时，

这样一来，可立刻得到初始基本可行解如下：

zjsgn(cj)cj,xnibi,xj0,y0,ij1,2,,ni1,2,,mj1,2,,nj1,2,,nm

但是，只有当zj0时才能得到然来问题的解。故必须对上述问题进行修正，从而得到如下的线性规划问题：

nmin(z)zjj1nmaijyniyjcjkxksgn(cj)zjcj,k1i1n axxb0,ijjn1ij1xj0,y0,jz0,jj1,2,,ni1,2,mj1,2,,nmj1,2,,nmj1,2,,n （2-11）

该线性规划尚应满足（2-8）式，若得到最优解：

(x1,x2,,xnm,y1,y2,,ynm,z10,z20,,zn0)

********,,xn)就是原二次规划问题的最优解。 则(x1*,x22.4 将多目标化为单目标的方法

在生产，经济，科学和工程活动中经常需要对多个目标（指标）的方案，计划，设计进行好坏的判断，例如设计一个导弹，既要其射程远，又要耗燃料少，还要命中率高等；又如选择新厂的厂址，除了要考虑运费、造价、燃料供应费等经济指标外，还要考虑对环境的污染等社会因素，只有对各种因素的指标进行综合衡量后，才能做出合理的决策。由于直接解决多目标问题的最优化较困难，因此可考虑将之化为较容易求解的单目标或双目标问题。下面介绍一种将多目标化为单目标的方法—方法。

方法是线性加权法的一种，其思想是：若有m个目标fi(x)，分别给以系

数i(i1,2,m)，然后作新的目标函数（也称效用函数）：

mU(x)i1ifi(x)

先以两个目标为例，假设一个目标是要求劳动量消耗f1(x)为最小，另一个目标是收益f2(x)为最高。R也为线性约束，即

RxAxb，

A为矩阵，b为列向量。 作新目标函数

U(x)2f2(x)1f1(x)

其中1,2由下述方程组来去确定

1f12f2c11f*10*2f02c1

其中

f1minf1(x)f1(xxR00(1)),f2f2(x**(1)) )

f21maxf2(x)f2(xxR(2)),f1f1(x(2)其中c1可为任意的常数(c10)，这方程组可解得

1c1(f2f2)f*10*f*2f1f*0002

2c1(f1f1)f*1f*2f1f002

若规定121，即可得到

c1f1f2f1f20****000f2f2f1f1

从而有

1f2f2f020*f*2f*1f10

2f1f10**0*0f2f2f1f1

易见

12f2f2f*10*f10k

由这样定义的1,2做出新目标函数为

U(x)2f2(x)1f1(x)(f1f1)f2(x)(f2f2)f1(x)f2f2f1f10**0*00*

当要求实现最大时，可表示为

maxU(x)max(2f2(x)1f1(x))xRxR

3.1 马克维茨的经典投资模型及其有效边界

投资的收益率本文用净资产收益率来衡量。净资产收益率是净利润与净资产的百分比，也称“净资产值报酬率’’或“权益报酬率”。该指标在证券投资分析上主要反映了报告期未公司股东所持权益的盈利能力。

净资产收益率=净利润／期末净资产*100％。

n设投资者投资于每个股票所占比重为xi(i1,2,n,xi0,xi1)，第i种

i1证券的收益率为Ri，R0为股票投资收益的既定水平，令第i种证券与第j种证券的协方差为ij，则在既定收益水平下，方差最小的证券投资组合模型为：

nn2minpxixjiji1j1nxiRiR0i1nxi1i1i1,2,,nxi0

又令X(x1,x2,,xn)T，(ij)nn为股票收益率之间的协方差矩阵。

R1R2RnA111R0B1 则马科维茨的经典投资模型可以表为

2minpXAXBTX

文献[25]中利用拉格朗日乘子法，将之解得

1T1T1XA(AA)B2TT1T1XXB(AA)Bp

3.2 基于综合评分法的组合优化模型

我认为评价一个公司的表现单纯只看它的收益能力是不够的，我们还应该考虑它本身的偿债能力和成长能力。因此应根据最大化投资组合的综合评分而不是最大化收益来衡量，在此建立基于综合评分法的组合优化模型

maxCCixinn2minxixjijpi1j1n xiRiR0 （3-1）

i1nxi1i1x0ixi为投资者投资于每个股票所占的比重，第i种证劵的综合评价得分为Ci，

令第i种证劵与第j种证劵的协方差为ij，则得到此同时满足最大化综合评分值和最小化方差的模型。 3.3 实例分析

本文根据行业相同，数据跨度长等原则在银行业中随机选取了华夏银行股份有限公司(600015，以下简称华夏)，上海浦东发展银行股份有限公司(600000，以下简称浦发)和招商银行股份有限公司(600036，以下简称招商)这三家上市公司。所有数据来源于中证网上所披露的各公司从2005年到2007年的年报。年报是对一个公司过去经营状况的总结，用过去来模拟未来，的确会存在误差，但是毕竟只要一个公司经营正常，外部环境和内部环境没有重大变化的话，还是可以认为一个公司现在的财务状况预示着未来的财务状况。

下面结合运筹学的相关知识来用Excel求解模型（3-1）.先对模型（3-2）用

Excel求解，过程如下：

nn2minpxixjiji1j1nxiRiR0i1nxi1i1i1,2,,nxi0 （3-2）

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

A B C D

年份 2005 2006 2007

统计量计算 单项期望值 单项方差

协方差矩阵

华夏 浦发 招商

投资比例

预期收益率

总风险(方差)

表3-1

三个股票的利润率历史数据 华夏 浦发 招商 0.12 0.16 0.16 0.13 0.14 0.14 0.16 0.19 0.21 0.136666667 0.163333333 0.17 0.0002888 0.000422222 0.000866667

华夏 浦发 招商 0.0002888 0.000277778 0.000433333 0.000277778 0.000422222 0.0006 0.000433333 0.0006 0.000866667

华夏 浦发 招商 0.4625 0.5375 0

实际值 0.151 0.000321885

E

合计 1

以上B4:D6为手工输入的历史财务数据，B9:D10各单元格对应添加excel中的函数如下，其中单项期望值为这三个银行各自三年历史数据的期望，单项方差为这三个银行各自三年历史数据的方差；B13:D15各单元格对应添加excel中的函数如下，其中协方差矩阵为三个银行收益率的协方差矩阵；E18用来对计算出来的三个股票份额进行求和；B21用来计算相应的投资收益率；B23用来计算总方差及目标函数值。

表3-2

8

统计量计算 单项期望值 单项方差 协方差矩阵

=AVERAGE(C4

:C6) =VARP(C4:C6

)

浦发 =COVAR($B$4:$B$6,C4:C6

)

=C10 =D14

=AVERAGE(D4

:D6) =VARP(D4:D6

)

招商 =COVAR($B$4:$B$6,D4:D6

) =COVAR(C4:C6,D4:D6) =D10

9 10 12

=AVERAGE(B4:B6) =VARP(B4:B6)

华夏

13 华夏 14 浦发 15 招商 17 18

=B10 =C13 =D13

=SUMPRODUCT(B9:D9,B18:

D18) =SUMPRODUCT(MMULT(B18:D18,B13:D15),B18:D18)

合计 =SUM(B18:D18)

预期21 收益

率 总风23 险(方

差)

当选择R00.151时，用Excel经如上计算可得，

2p0.00039016x10.4625x20.5375x0.00003

根据2.1.1介绍的综合评分计算方法，对浦发银行的财务状况进行了综合评分，如表3-3所示。数据来源于中证网上浦发银行2007年的公开年报。

表3-3

指标 盈利能力 销售净利率 净资产报酬率 偿债能力 权益负债比例 成长能力 主营业务增长率 净利率增长率 合计

3实际比标准比差异○每分比

1 例2 =○1-○2 例4 例（%）○（%）○（%）○

调整分

5=○3○4 /○

-12.90 10 -7.55 -1.19 -0.63

标准评

6 分值○

30 20 30 10 10 100

得分

5=○6 +○ 17.09 30 22.45 8.81 9.36 87.72

21 41 3 37

33 25 7 42 71

-12 16 -4 -5 -7

0.93 1.6 0.53 4.2 11

同理，对华夏和招商分别进行综合评分，最后汇总得分列出如表3-4所示

表3-4

银行

综合得分值

列出综合评分模型为：

maxCCixinxiRiR0i1nxi1i1xi0华夏 63.11 浦发 87.72 招商 115.97

（3-3）

同样用上面介绍的方法用Excel求解，因为模型（3-3）目标函数是要求最大值的，所以首先要选择“最大值”选项，因为这是个线性规划，所以在“选项”栏应选择采用“线性模型”，然后在R00.151时，可解得

C85.79x10.57 x20x0.433将模型（3-2）和（3-3）的目标函数用第2.4节介绍的“将多目标化为单目标的方法”在R00.151时，可求得

10.6073 20.3927因此得到的单目标函数为：

nnimaxC0.6073Cixi0.3927xi1j1xjij

故模型（3-1）可表示为：

maxC0.6073Cixi0.3927nxiRiR0i1nxi1i1xi0nnixi1j1xjij

nni此模型的目标函数右端第二项中，因为2pxi1j1xjij，左边是一个平方，

因此不管右边x取何值，函数值都显然大于等于0，故这是一个正定矩阵，根据2.3.2节介绍的相关知识可知目标函数为凸函数，上述规划属于凸规划，其局部极值即为其全局最值。用以上介绍的Excel方法解之并列表3-5如下：

表3-5

R0

0.142 0.00029067

0.82 0.1

0.143 0.144 0.145 0.146 0.00030017 0.685 0.175

p x1 x2

20.00029239 0.000294 0.00029714 0.1862 0.1188

0.7525 0.1375

0.7187 0.1563

x3 R0

0.08 0.147 0.000303 0.6512 0.1938 0.155

0.095 0.148

0.11 0.149

0.125 0.15

0.14 0.151 0.000321 0.5162 0.2688 0.215

p x1 x2

x3

20.000307 0.000311 0.00031667 0.6183 0.2084 0.1733

0.5837 0.2313 0.185

0.55 0.25 0.2

而没有使用综合评价法的模型3-2相应的结果为表3-6

表3-6

R0

20.142 0.143 0.00032251 0.7625 0.2375 0 0.148 0.0003626 0.575 0.425 0

0.144 0.00032943 0.755 0.275 0 0.149 0.00037061 0.5375 0.4625 0

0.145 0.00033678 0.6875 0.3875 0 0.15 0.00038017

0.5 0.5 0

0.146 0.00034458

0.65 0.35 0 0.151 0.00039016 0.4625 0.5375 0

p 0.00031603 x1 x2

x3 R0

20.8 0.2 0 0.147

p 0.00035282 x1 x2

x3

0.6125 0.3875 0

对比表3-5与表3-6可以看出：

(1) 不管是新模型还是原模型，随着收益率的增长，风险也是呈现增加的趋势。例如当收益率由0.142增长到0.151时，新模型风险由0.00029067逐步增加到0.000321，原模型风险也由0.00031603逐步增加到0.00039016；符合经济学上的高收益都伴随着高风险的理论；

(2) 从数据对比中我们可以看到，在同等的收益率情况下，新模型比原模型

的方差更小，达到了降低风险的目的。

(3) 模型使用方便，而且在求解过程是使用常用Excel办公软件进行求解，求解过程简单快捷。此外，当用此模型确定了收益率后，就很容易的可以计算出方差大小，以及各种投资的精确比例。使用者可以根据自己的需要来配置资产投资。 4.1 总结

投资组合主要研究如何建立适合各种要求的模型和求解模型的方法，以得到更好的投资收益和更低的风险。

本文基予证券投资分析上评价一个公司财务状况的综合评分法建立的模型。综合评分法在评价一个公司的财务状况时不仅仅只是考虑了该公司的盈利的状况，还综合考虑了该公司的偿馈能力和成长能力。这在财务理论和实践上都吃只是考虑一个公司的盈利状况要科学。在求解模型的过程中，首先运用运筹学相关知识把多目标规划化为单目标规划，然后使用了常见的办公软件Excel的线性规划求解功能对模型进行了求解；通过模型的求解结果可以看到，所建立的模型比原模型在同等投资收益的情况下具有更低的风险。

本文的局限性在于由于综合评价法所需要计算的财务指标太多，虽然在财务理论和实践上用综合评分法来评价公司都比只是单纯考虑公司的收益率更为准确，但由于计算综合评分法计算过程较为繁琐，限于时间和精力，我只选取了较小的样本测试新模型，没有通过大量的数据对比。因此，还需继续通过大量的数据分析后才能确认模型的有效性。 4.2 展望

综合评分法中的关键是在“标准评分值\"的确定和“标准比率’’的建立，这两个指标都只有长期连续实践，不断修正，才能取得较好效果。此外，模型在求解的过程中需要进行大量繁琐的计算来处理前期数据，过程中容易出现错误，如何编写出较好的算法，处理好前期数据，以便进行模型的求解也是未来值得研究的一个方向。 参考文献

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