2016年华师一附中自主招生考试数学试题(word版附答案)

华中师大一附中2016年高中招生考试

数学试题

考试时间：80分钟 卷面满分：150分

说明：所有答案一律书写在答题卡上，写在试卷上作答无效．

一、选择题 (本大题共6小题，每小题7分，共42分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的．)

1.已知方程xax1有一个负根，而且没有正根，则a的取值范围是( ) A．a1 2.关于x的方程A．a3

B．a1

C．a1

D．a1

x1xa的根为负数，则a的值为( ) 2x2x1xx2B．a3 C．a1且a3 D．a1且a3

3.如图，抛物线y1ax2bxc(a0)的顶点为A(1,3)，且与x轴有一个交点为B(4,0)，直线y2mxn与抛物线交于A、B两点，下列结论： ①2ab0；②abc0；

③方程ax2bxc3有两个相等的实数根； ④抛物线与x轴的另一个交点坐标是(1,0)，

O1Bxy3A⑤当1x4时，有y2y1．其中正确的是( ) A．①②③

B．①③④

C．①③⑤

D．②④⑤

4.已知,是方程x22axa60的两实数根，那么(1)2(1)2的最小值为( ) A．41 4B．2 C．10 D．32

5.设S1A．2015

11111111，则S最接近的整数是( ) 122222322016220172

B．2016

C．2017

D．2018

6.如图，菱形ABCD中，A60，AB6，⊙A、⊙B的半径分别为4和2，P、E、F分别是线段CD、⊙A和⊙B上的动点，则PEPF的最大值是( ) A．6312

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EADPBFC B．6316 C．18

AD．6

EBHFCDG

二、填空题(本大题共6小题，每小题7分，共42分)．

7.如图，四边形ABCD是菱形，E、F、G、H分别是各边的中点，随机地向菱形ABCD内掷一粒米，则米粒落在阴影区域内的概率是 . 8.已知

xy2zx2yz2xyz(xy)(yz)(zx)且xyz0，则 .

zyxxyz9.满足mxmn1的整数对(m,n)共有 对.

pq(p1)510.已知2，则以p、q为实数根的一元二次方程为 . 2pqpq63311.函数ymax{t4,t,}表示对于给定的t的值，代数式t4、t、的值中最大的数，

tt例如当t1时，ymax{5,1,3}5，当t1时，ymax{3,1,3}3，则当t 时函数y的值最小.

12.在平面直角坐标系中，同时满足下列两个条件的点的坐标为 . (1)直线y2x3通过这样的点；

(2)不论m取何非零实数值，抛物线ymx2(2m1)x3m都不通过这样的点. 三、解答题(本大题共4小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤) 13. (本小题满分16分)对于任意实数k，方程(k21)x22(ka)2xk24kb0总有一个根是1.

(1)求实数a、b； (2)求另一个根的范围.

14. (本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－2x＋4与x轴交于A点，与y轴交于B点，以AB为直径作⊙O1，过B作⊙O1的切线交x轴于点C. (1)求C点的坐标；

(2)设点D为BC延长线上一点，CDBC，P为线段BC上的一个动点(异于B、C)，过P点作x轴的平行线交AB于M，交DA的延长线于N，试判断PMPN是否为定值，如果是，求出这个值，若不是，说明理由.

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DPCOBMO1AxNy1

15. (本小题满分16分)在四边形ABCD中，AD∥BC，BACD，点E在边BC(点C除外)上运动，点F在边CD上运动，且AEFACD.

(1)如图1，若ABkBC(k为常数)，则AE与EF之间是否存在某种确定的数量关系？若存在，请证明，若不存在，请说明理由； (2)如图2，若ABAC5，sinBAC点运动时，求m的变化范围.

24，BAC为锐角，设EF的长度为m，当E、F25ADADFFBECBEC

16. (本小题满分16分)已知抛物线C:yx22x4，其顶点为E，与y轴交于点D. (1)直线l2:ykx(k0)与抛物线C交于不同两点P、Q，并与直线l1:y2x8交于点R，分别过P、Q、R作x轴的垂线，其垂足依次为P若11u，求u的值； 1、Q1、R1，

OP1OQ1OR11(2)若直线l3:yx8与抛物线C在第一象限交于点B，交y轴于点A，求ABDDBE3的值； (3)若F(1,13)、A(0,8)，请在抛物线C上找一点K，使得KFA的周长最小，并求出4周长的最小值.

yl2l1QyABl3yADPRKDEDFOP1R1Q1xOxOx

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华中师大一附中2016年高中招生考试

数学试题参及评分标准

考试时间：80分钟 卷面满分：150分

说明：所有答案一律书写在答题卡上，写在试卷上作答无效．

一、选择题(本大题共6小题，每小题7分，共42分．在每小题给出的四个选项中，有且只

有一项是正确的．)

题号 答案 1 B 2 D 3 C 4 B 5 C 6 A ニ、填空题(本大题共5小题，每小题7分，共35分)． 7． ２１

8．－1或8(只填对一个只得3分) 9．6 11．2

10．x2－3x＋2 =0 (填了x2－2x＋3 =0给4分)

12．(－3，9)，(1，1)，(3，－3)[(正确答案个数－错误答案个数)×2。扣完为止，最少0分。] 三、解答题(本大题共3小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．) 13．解：(1)∵(k21)x22(ka)2xk24kb0总有一个根是1， ∴(k2＋1)－2(k＋a)2＋k2＋4k＋b=0………………………………2分 (－4a＋4)k－2a2＋b＋1＝0，它对任意实数k都成立。 −4𝑎+4=0∴{，………………………………6分 −2𝑎2+𝑏+1=0𝑎=1∴{，………………………………8分 𝑏=1 (2)设x1＝1，则x2＝x1x2＝

𝑘2+4𝑘+𝑏𝑘2+1

＝

𝑘2+4𝑘+1𝑘2+1

，………………………………10分

∴(x2－1)k2－4k＋x2－1=0有实数解， ①若x2=1，满足…………………………12分

𝑥2≠1

②若x2≠1，则{，∴－1≤x2≤3且x2≠1，

△=16−4(𝑥2−1)2≥0由①②可得－1≤x2≤3．………………………16分.

14．解：(1)由y＝－x＋4知B(0，4)，A(8，0) …………………………2分

21

∴OA＝8，OB＝4，又∵BC是⊙O1的切线，AB是直径，∴AB⊥BC， ∵BO⊥AC，∴△AOB∽△BOC，∴OB＝OC·OA，∴OC＝(2) PMPN是定值，其值为20，理由如下：

方法1：∵MN∥x轴，∴△BPM∽BCA，∴10=BC………………………10分 同理10=CD=

PN

PD

PC＋BCBC

PM

BP

2

4×44

＝2，∴C(－2，0)……………6分

………………………12分

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PM＋PN10

BP＋PC＋BC

BC

相加得=＝2，∴PMPN＝20是定值．………………………16分

方法2：∵BC＝CD，∴D(－4，4) ………………………8分 可求得lBD：y＝2x＋4，lBD：y＝x－………………………10分

3

31

8

设P(a，2a＋4)，∵MN∥x轴，由－2x＋4＝2a＋4得x＝－4a，∴M(－4a，2a＋4) ……12分 由3x－3＝2𝑎＋4得x＝6a＋20，∴N(6a＋20，2a＋4) ………………………14分 ∴PM＝－4 a－a＝－5 a ，PN＝6a＋20－a＝5a＋20，

∴PMPN＝－5 a＋5a＋20＝20是定值．………………………16分

15.解：方法一：（1）连接AF，∵∠AEF＝∠ACD，∴A、E、C、F四点共圆，……………2分 ∴∠AFE＝∠ACE＝∠CAD．易证△AEF∽△DCA．…………………………4分 又∵∠BAC＝∠D，∠CAD＝∠ACB，∴△DCA∽△ABC，………………………6分 ∴△AEF∽△ABC，∴EF=BC＝k，∴AE＝kEF．………………………8分 （2）∵AB＝AC＝5，sinBACAE

AB

AE

5AE

AB

1

8

1

24，易求出BC＝6，………………………9分 25由（1）得EF=BC，EF=6，………………………11分

当AE是BC底边上的高时，AE最短，AE＝4，此时EF＝4．8；………………………13分 当AE最长时，即点E与点B重合，F与C重合，AE＝5，此时EF＝6．…………………15分 ∴4．8≤m≤6．………………………16分

方法二：（1）存在：AE＝kEF．连接AF，设AC、EF交于点H， ∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，又∵∠BAC＝∠D， ∴∠B＝∠ACD＝∠AEF，…………………………2分

又∵∠AHE＝∠FHC，∴△AEH∽△FCH，…………………………4分 ∴

EHAH

＝，又∵∠AHF＝∠EHC，∴△EHC∽△AHF，∴∠ACB＝∠AFE………………………6分

FH

AE

AB

CH

又∵∠B＝∠AEF，∴△ABC∽△AEF，∴EF=BC＝k，∴AE＝kEF．………………………8分 （2）作BT⊥AC于T，AS⊥BS于S．

∵＝sin∠BAC，∴BT＝AB·sin∠BAC＝5×＝，

AB

25

5

BT

24

24

∴AT＝√AB2−BT2＝5…………10分

∴TC＝AC－AT＝5－5＝5，∴BC＝√BT2+TC2＝6，∴DS＝2BC＝3， ∴AS＝√AB2−BS2＝4………………………12分

∴AS≤AE≤AB，即4≤AE≤5，………………………14分 由（1）知EF=BC＝6，∴AE＝6EF＝6m，∴4≤6m≤5， ∴4．8≤m≤6．………………………16分

AE

AB

5

5

5

5

7

18

1

7

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𝑦=𝑥2−2𝑥+4

16.解：（1）由{，得𝑥2−(𝑘＋2)𝑥＋4=0，

𝑦=𝑘𝑥∴xP＋xQ＝𝑘＋2，xP·xQ＝4，………………………2分

𝑦=−2𝑥+88由{，得(𝑘＋2)𝑥＝8，∴xR＝，………………………3分

𝑘＋2𝑦=𝑘𝑥

11OP1＋OQ1

由11u，得u＝OR1(OP＋OQ)＝OR1×OP ·OQ

OP1OQ1OR11111

＝xR×𝑥P·𝑥Q＝

𝑥P＋𝑥Q8

𝑘＋2

·

𝑘＋24

＝2………………………6分

（2）如图，连接DE，作BS⊥y轴于点S，由题意知E(1，3)，A(0，8)，D(0，4)

𝑦=𝑥2−2𝑥+4由{，得B(3，7)，∴BD＝√(7−4)2+32＝3√2，1

𝑦=−𝑥＋8

3

DE＝√12+12＝√2，BE＝√(3−1)2+(7−3)2＝2√5， 由BD＋DE＝BE，得∠BDE＝90°，且＝3，

DE

2

2

2

BD

又∵BS＝3，AS＝8－7＝1，∴

BDDE

＝，∠BDE＝∠BSA＝90°，

AS

BS

∴△BSA∽△BDE………………………9分

∴∠ABS＝∠EBD，∴∠ABD－∠DBE＝∠ABS＋∠SBD－∠DBE＝∠SBD， ∵SD＝7－4＝3，∴△BSD为等腰直角三角形，

∴∠SBD＝45°，即∠ABD－∠DBE＝45°………………………12分 （3）设K(x，y),作KT⊥x轴于T，则KF＝√(𝑥−1)2+(𝑦−√(𝑦−11)＝|𝑦−11|＝KT－11………14分，

444∴C△KFA＝AK＋KF＋FA

＝AK＋(KT－)＋√(0−1)2+(8−

411

132

2

132

)＝√(𝑦−3)+(𝑦−4

1324

)＝

)＝AK＋KT－4＋4

11

11

√377

，………………………1

分

则当A、K、T三点共线时，C△KFA最小＝AO－4＋此时K在D(0，4)处．………………………18分

11√37721＋√377√377

＝8－＋4＝4， 44

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