2020年初升高自主招生数学模拟试题(含解析)

一、填空题（共10小题，每小题5分）． 1．求值cos30sin45tan60 ．

2．设实数a,b满足ab1，则a3b33ab的值为 ． 3．反比例函数y1与二次函数yx24x3的图象的交点个数为 ． xxa22a4．若实数a为常数，关于x的不等式组的整数解只有8个，则a的取值范围

x7为 ．

5．对任意三个实数a,b,c，用Ma,b,c表示这三个数的平均数，用mina,b,c表示这三个数中最小的数，若M2xy2,x2y,2xymin2xy2,x2y,2xy，则

xy ．

6．在等腰梯形ABCD中，ABCD13，AD6，BC16，CEAB，则△BCE的内切圆半径为 ．

AEB7．已知2m11m3m8，则m的取值范围为 ． 8．已知x,y为实数，则5x24y28xy2x4的最小值为 ． 9．已知正整数x,y满足2xyxy127，则xy ． 10．在△ABC中，B2C，AD为A的平分线，若

DC

ABBD2，则BDABtanC ．

二、解答题（共5小题，每小题10分）．

11．已知关于x的一元二次方程x2kx50与x25xk0只有一个公共的实根，求关 于x的方程x2kxk所有的实根之和．

1

12．三角形的一边和该边上的高相等的三角形称为“优美三角形”．

⑴如图①，在33的网格中找一个格点C，使得△ABC是优美三角形．符合条件的C点共有几个？

⑵已知抛物线yax2经过A1,1，P是y轴正半轴上一动点（不与原点重合），射线AP 与抛物线另一交点为B．问△AOP和△POB是否一定是“优美三角形”，若是，请说明理由；若不是，求出P点的位置，使得两个三角形均为“完美三角形”．

yBPA图①BAO

x

图②

13．平面直角坐标系内有四个定点Ax1,y1、Bx2,y2、Cx3,y3、Dx4,y4，其中

x1x2x3x48，y1y2y3y412．试确定点P的坐标，使得P到A,B,C,D四

个点的距离的平方和最小．

2

14．若一个正整数n能写成另外两个整数的平方和，则称这样的数n为“好数”，若一个实

数x能写成两个好数的商，则称这样的数x为“坏数”．例如51222，90232，52592921212，则2,5,9是好数，从而,,,,,均为“坏数”．

259592求证：⑴任何两个好数的积还是好数；

⑵任何一个坏数可以写成两个有理数的平方和．

15．如图，数轴上从左到右依次有A,B,C,D四个点，它们对应的实数分别为a,b,c,d，如

果存在实数，满足：对线段AB或CD上的任意点M，其对应的数为x，若实数

对x应的点N仍然在线段AB或CD上，则称a,b,c,d,为“完美数组”，例如：1,2,3,6,6就是一组“完美数组”，已知AB1，BC5，CD4，求此时所有的“完美数组”．

AB

CD

3

答案与解析

一、填空题（共10小题，每小题5分）． 1．求值cos30sin45tan60 ． 答案：32． 43232． ··3224解答：cos30sin45tan602．设实数a,b满足ab1，则a3b33ab的值为 ． 答案：1．

解答：a3b33ababa2abb23ab

a2abb23abab12

3．反比例函数y答案：3． 解答：如右图．

1与二次函数yx24x3的图象的交点个数为 ． xyOx

xa2a4．若实数a为常数，关于x的不等式组的整数解只有8个，则a的取值范围

x72为 ． 答案：a1

解答：由已知得这8个整数解应恰为6,5,4,3,2,1,0,1，则12aa22．

由12aa2得a22a10，即

a1-320，则a1．

-7-6-5-4-2-1012

5．对任意三个实数a,b,c，用Ma,b,c表示这三个数的平均数，用mina,b,c表示这三个数中最小的数，若M2xy2,x2y,2xymin2xy2,x2y,2xy，则

xy ．

4

答案：4

解答：由已知得2xy2，x2y，2xy的平均数等于三者中的最小数，则

x3，于是xy4． 2xy2x2y2xy，解得y16．在等腰梯形ABCD中，ABCD13，AD6，BC16，CEAB，则△BCE的内切圆半径为 ． 答案：

32． 13AErD解答：作DHBC于H，由已知记DCHEBC，且易

1得CHBCAD5，则DHCD2CH212，

2从而得cosB512，sin． 1313HC

则BEBC·cos80192BECEBC32，CEBCsin，进而得r． 13132137．已知2m11m3m8，则m的取值范围为 ． 答案：m3或m8．

解答：记y2m11m3m8，则

m3时，y112m3m8m0；

3m5.5时，y112mm38m62m0； 5.5m8时，y2m11m38m2m160； m8时，y2m11m3m80．

综上，当m3或m8时恒有y0，即原等式成立．

8．已知x,y为实数，则5x24y28xy2x4的最小值为 ． 答案：3．

解答：原式4xyx13，则当xy1时原式取最小值3．

229．已知正整数x,y满足2xyxy127，则xy ． 答案：15或27或43

解答：由已知得4xy2x2y1255，即2x12y1255，不妨设xy，则

5

2x132x152x115或或，即 2y1852y1512y117x7x1x2或或，进而得xy15或27或43． y8y42y2510．在△ABC中，B2C，AD为A的平分线，若

ABBD2，则BDABtanC ．

答案：1

解答：不妨设BD1，且设ABx，则x12． x1 延长CB至E，使得EBABx，连接AE，则EEABABCC．

2 由于AD平分BAC，则ADEC12EABEAD，故AEDEx1． 又因为CE，则ACAE1x．

由角平分线的性质得由xACAB1x． x，则CDCDBDx1则CAE90，进而得C45，故tanC1． 2得CDBDABBE，

xA121+xx1+xxC1+1xD1BE

二、解答题（共5小题，每小题10分）．

11．已知关于x的一元二次方程x2kx50与x25xk0只有一个公共的实根，求关 于x的方程x2kxk所有的实根之和． 答案：12．

m25解答：设这两个方程的公共根为m，显然m0，则km25m，故

mm34m250，即m1m25m50．

①m25m50，则k5，从而两个方程有两个相同根，不符题意；

②m1，得k6，则考察的方程为x26x6，即x396，由对称性知其所有根之和为12．

12．三角形的一边和该边上的高相等的三角形称为“优美三角形”．

6

2⑴如图①，在33的网格中找一个格点C，使得△ABC是优美三角形．符合条件的C点共有几个？

⑵已知抛物线yax2经过A1,1，P是y轴正半轴上一动点（不与原点重合），射线AP 与抛物线另一交点为B．问△AOP和△POB是否一定是“优美三角形”，若是，请说明理由；若不是，求出P点的位置，使得两个三角形均为“优美三角形”．

yBEFO图②x

PDAAB图①

答案：⑴8个；⑵不是，当P为0,1或0,2时满足两个三角形均为“优美三角形”． 解答：⑴满足条件的8个顶点如图所示如图．

⑵△POB一定是“优美三角形”,而△AOP不一定是，当P为0,1或0,2时满足两个三角形均为“优美三角形”，理由如下：

将A点坐标代入二次函数解析式得a1，即二次函数解析式为yx2． 设直线AB的解析式为ykxb，将A点坐标代入得1kb，即kb1． 故直线AB的解析式为yb1xb，其中P0,b．

2yx联立，得x2b1xb0，解得x11，x2b．

yb1xb于是B到y轴的距离与OP恒相等，即△POB恒为“优美三角形”． 设△AOP三边上的高分别为AD,OE,PF，若△AOP是“优美三角形”，则 ①ADOP，即bxA1．

②PFAO，已知AO2，且易知POA45，则PFOP·cos452b2，即b2． 211③APOE，此时S△AOP·AP·OEAP2，而由A1,1，P0,b得

2221b122AP1b1，即S△AOP ．

22b，2于是得

又S△AOP1b1b1b，解得b1或2． ·OP·AD，得

22222综上得当P为0,1或0,2时，△AOP为“优美三角形”．

7

13．平面直角坐标系内有四个定点Ax1,y1、Bx2,y2、Cx3,y3、Dx4,y4，其中

x1x2x3x48，y1y2y3y412．试确定点P的坐标，使得P到A,B,C,D四

个点的距离的平方和最小． 答案：2,3．

解答：设Px,y，并记P到A,B,C,D四个点的距离的平方和为S． 则Sxx1yy1xx2yy2xx3yy3

xx4yy4

222222224x22x1x2x3x4x4y22y1y2y3y4y

222222x12x2x3x4y12y2y3y4

222222x3x4y12y2y3y4由A,B,C,D是定点知x12x2为常数，记为C，则

S4x216x4y224yC 4x24y3C52

22故当P为2,3时，S取最小值．

14．若一个正整数n能写成另外两个整数的平方和，则称这样的数n为“好数”，若一个实数

x能写成两个好数的商，则称这样的数x为“坏数”．例如51222，90232，

52592921212，则2,5,9是好数，从而,,,,,均为“坏数”．

259592求证：⑴任何两个好数的积还是好数；

⑵任何一个坏数可以写成两个有理数的平方和．

证明：⑴设M,N是两个“好数”，Ma2b2，Nc2d2，其中a,b,c,d均为整数．

则MNa2b2c2d2acbdadbc，由acbd,adbc均为整数知

22MN亦为“好数”．

x2y2⑵设A是“坏数”，则A可表示为A2，其中x,y,z,w均为整数．

zw2x2y2z2w2xzyw2xwyz222则A，即A是两个有理数的平方和． 22222zwzwzw15．如图，数轴上从左到右依次有A,B,C,D四个点，它们对应的实数分别为a,b,c,d，如

果存在实数，满足：对线段AB或CD上的任意点M，其对应的数为x，若实数

对x应的点N仍然在线段AB或CD上，则称a,b,c,d,为“完美数组”，例如：1,2,3,6,6就是一组“完美数组”，已知AB1，BC5，CD4，求此时所有的“完美数组”．

AB8

CD

答案：2,3,8,12,24或4,3,2,6,12或2,1,4,8,8．

解答：由已知，不妨设A,B,C,D对应的数依次为a,a1,a6,a10．

由题意知0对应的点既不在线段AB，也不在线段CD上，则当存在实数使得

a,a1,a6,a10,构成“完美数组”时，可分情况讨论如下：

①a0，按要求，此时必有0，则(ⅰ)a(ⅱ)

a10a6a1a，

a10a6a1aa1，则aa1aa1，矛盾．

a10a6a1aa6a10a6a10，矛盾．

a6a10，则

(ⅲ)aa10a6a1且a6a1aa10，则

aa10aa10且a1a6a1a6，得

aa10a1a6，解得a2，进而得“完美数组”2,3,8,12,24．

②a10且a60，即6a1， (ⅰ)0，则于是aa1a0a10a6，

a1aa1且a6a10a6a10，

进而得aa1aa1且a10a6a10a6，

故aa1a10a6，解得a4，进而得“完美数组”4,3,2,6,12．

(ⅱ)0，则于是a6a10a60a1a，

aa1a10且aa6a10a1，

进而得aa6aa6且a1a10a1a10，

故aa6a1a10，解得a2，进而得“完美数

组”2,1,4,8,8．

③a100，即a10，易得0．此情形讨论与①相同，同样解得a2，矛盾． 综上，满足条件的“完美数组”有2,3,8,12,24或4,3,2,6,12或2,1,4,8,8．

9