初三数学.相似与位似.教师版

中考内容与要求

相似与位似

中考要求 B 会用比例的基本性质解决有关问题；会用相似多边形的性质解决简单的问题；能利用位似变换将一个图形放大或缩小 会利用相似三角形的性质与判定进行简单的推理和计算；会利用三角形的相似解决一些实际问题 中考内容 相似 A 了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段，会判断四条线段是否成比例，会利用线段的比例关系求未知线段；了解黄金分割；知道相似多边形及其性质；认识现实生活中物体的相似；了解图形的位似关系 C 相似三了解两个三角形相似的概念 角形

三角形的相似是平面几何中极为重要的内容，是北京中考数学中的重点考察内容，近几年的中考题虽然以直接证相似为结论的题目在减少，但作为一种解决问题的工具，在解题中必不可少。相似形应用广泛，与三角形、平行四边形联系紧密。

估计北京中考的填空题、选择题将注重“相似三角形的判定与性质”等基础知识的考查，将在圆的有关计算等解答题中加大知识的横向与纵向联系的力度。 中考考点分析

年份 题号 分值 2011年 4，20 9分 根据三角形相似求比例；三角形相似与圆、解直角三角形的综合 2012年 11 4分 利用相似三角形解决实际问题 2013年 5，20 9分 根据三角形相似求长度；三角形相似与圆、解直角三角形的综合 考点

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题型一：位似变换

思路导航

位似变换：设O是平面上的一个定点，当k0时，点O在线段AA'或A'A的延长k是非零常数，如果平面上任意一点A通过变换后线上；当k0时，点O在线段AA'上，如图． 得到点A'，满足OA'kOA，则这个变换称为(A')(A)平面上的一个位似变换，记作HO，k，定点OA'AO称为位似中心，常数k称为位似系数或位似比． Ak>0 A'Ok<0 【教师备案】位似的基础知识我们已经在暑期课程中介绍过，这里不再涉及相关题目，老师们可以先出几个简单的题目对位似的概念作简单的复习．

典题精练

【例1】 如图，P、Q分别为四边形ABCD的边BC、AD上的点，且

直线PQ与AB之间的夹角等于直线PQ与CD之间的夹角．

FEDQAQBPAB，求证：QDPCCDFEDAQBAFEQDPCAMBPC

M

BPC【解析】 设BPkCP，作位似变换HP，k，则CB，DM，∴

∵

PMBMBP， PDCDCP

AQBPABAQPM，∴ABBM，，∴PQ∥AM， QDPCCDQDPD∴BAMBEP，AMPFPD， 又BMPCDP，∴AMBDFP， ∵BAMBMA，∴BEPCFP．

【点评】该题是之前一道经典的中位线问题的一般化情况，也有类似证法，辅助线给出，证明过

程不再赘述．当然此证法也利用了位似变换．

题型二：位似旋转变换

思路导航

在近两年的模拟题中，时常会有出现位似旋转变换的题目，它的基本原理和旋转相同，但是在旋转的过程中，将图形按比例进行放大和缩小，除了对应线段成比例以外，其它的性质和旋转相同。 A'位似旋转变换：如图，平面内一点A绕定点O旋转角后得到点A'，满足⑴OA'kOA，⑵AOA'（此角为有向角），则这个变换称为平面内的一个位似θOA．其中定点O称为位似旋旋转变换，记作SO，k， 转中心，常数k称为位似系数或位似比，定角称为旋转角．

三角形的位似旋转变换：如图，将△AOB按SO，k，作位似旋转变换，得到△A'OB'，那么可以得到结论：⑴ 直线AB与直线A'B'的夹角为；⑵ △AOA'和△BOB'也满足位似旋转关系．这是位似旋转变换中非常常用的性质． BB'A'θPθOAθ

典题精练

【例2】 在平面内，先将一个多边形以点O为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对

应线段的比为k，并且原多边形上的任一点P，它的对应点P在线段OP或其延长线上；接着将所得多边形以点O为旋转中心，逆时针旋转一个角度，这种经过位似和旋

，其中点O叫做位似中心，k叫做转的图形变换叫做位似旋转变换，记为SO，k，位似比，叫做旋转角．

⑴ 填空：

①如图1，将△ABC以点A为位似中心，放大为原来的2倍，再逆时针旋转60，得到△ADE，这个位似旋转变换记为S（A， ， ）；

②如图2，△ABC是边长为1cm的等边三角形，将它作位似旋转变换

SA，3，90，得到△ADE，则线段BD的长为 cm；

⑵ 如图3，分别以锐角三角形ABC的三边AB，BC，CA为边向外作正方形ADEB，BFGC，CHIA，点O1，O2，O3分别是这三个正方形的对角线交点，试分别利用△AO1O3与△ABI，△CIB与△CAO2之间的关系，运用位似旋转变换的知识说明线段O1O3与AO2之间的关系．

DIEDEECA图1BBC图2DFAO2GBCO1AO3H图360； 【解析】 ⑴ ①SA，2，

②∵∠BAD90，AD3AB．

∵△ABC是边长为1cm的等边三角形 ∴AB1cm，∠B60

∴BD2AB2cm

⑵ 将△AO1O3作位似旋转变换SA，2，45得△ABI，此时，线段O1O3变为线段BI； 2SC，，45△CIB经过位似旋转变换，得到△CAO2，此时，线段BI变为线段2AO2．

BI2AO2，∴AO2O1O3且AO3O1O3．



【例3】 设D是△ABC内一点，使得ABab，ACac，ADad，BCbc，BDbd，

b，c，d均为正数．求证：ABDACD60． CDcd，其中a，【解析】 如图，设ACkAB，作位似旋转变换SA，k，BAC，

则BC，DE，

AECEACcad∴，∴AEc，CEcd ADBDABbb∵BADCAE，∴BACDAE，

DEADd∴△ADE∽△ABC，则，∴DEcd，

BCABb∴△CDE是等边三角形，∴DCE60，

∴ACEACD60，即ABDACD60．

ABCDADBC2【例4】 四边形ABCD中，BADBCD90．求证：BD．

ACACE22AEDBCDAC

DBAC【解析】 设BDkAD，作位似旋转变换SD，k，ADB，则AB，CE，连接

ED、EB、EC，

CECD∴，DCEDAB，∴DCEBCD90，即BCE90． ABADBDDEBEBD又，BDEADC，∴△BDE∽△ADC，∴． ADCDACAD在△BCE中，BCE90，∴BC2CE2BE2，

CDACABCDADBC2ABBD，即∴BCBD． ADADACAC22222B

【例5】 在△ABC中，AD为BC边上的高，DEAC于E，AFBE于F，求证：

AEFBD． FDDCAEFBDCEFBGCD

【解析】 由已知ADBC，设DEkAE，作位似旋转变换SE，k，90，则AD，DEAC，

DC，设FG，则G在AC上，且FG∥DC，AFDG，

∵AFBE，∴BE∥DG， BDEGEF∴． DCGCFD

【例6】 如图，在任意△ABC的外部作△BPC、△CQA和△ARB，使PBCCAQ45，

BCPQCA30，ABRBAR15，求证：RPRQ，PRQ90．

CPQCPQBRABRAD

【解析】 设ACkAQ，作位似旋转变换SA，k，45，则QC，RD，连接

AD、RD、BD、CD，

AQACQRAR∴，∵QARCAD，∴△AQR∽△ACD，∴，ARQADC． ARADCDAD由CAQ45，ACQ30可得AQC105，则ARD105， ∵RABRBA15，∴ARB150，∴BRD105

则DR在线段AB的中垂线上，即ADBD，∴△ABD是等边三角形， ∴ADRBDR30，DBR45，

BDBR∴△BDR∽△BCP，∴， BCBP

又PBRCBD，∴△PBR∽△CBD，∴

PRBR，BRPBDC． CDBD∴PRQR，PRQ90．

训练1. 对任意四边形ABCD，均有ABCDADBC≥ACBD．

E思维拓展训练(选讲)

ADADB【解析】 设ACkAB，作位似旋转变换SA，k，BAC，则BC，DE，连接CE， DEADAD，即DEBC，

BCABABACAECEACAC由知△ACE∽△ABD，∴，即CEBD， ABADBDABABADAC∵CDDE≥CE，∴CDBC≥BD，即ABCDADBC≥ACBD．

ABAB当且仅当C、D、E三点共线，即ABCD是圆内接四边形时等号成立．

【点评】该题为“广义托勒密定理”

C BC

训练2. 在△ABC中，AD是BC边上的高，点E在AD上，满足

AECD，过点D作DFBEEDDBAEFC于F，求证：AFC90．

【解析】 由题意知ADBC，DFBE，设FDkFB，作位似旋转变

换SF，k，90， DEEF， BDFDAECDDEAEEFAE∵，∴，∴， EDDBBDCDFDCD又BDFDEF，∴AEFCDF，∴△AEF∽△CDF，

B∴AFECFD，∴AFC90．

【点评】该结论在钝角三角形及点E在直线AD上时依然成立．

则BD，DE，∴

D

训练3. 分别以任意△ABC的边AB、BC、CA为边外做等边三角形△ABD、△BCE、△ACF，

则三个等边三角形的中心P、Q、R构成等边三角形．

DAPRBQCBQDAPRCFFE【解析】 连接AE、BF、CD，

利用全等三角形容易证明AEBFCD． 连接AP、BP、BQ、CQ、CR、AR， APBPBQCQCRAR1则， ADBDBECECFAF3∴△APR∽△ADC，△BPQ∽△ABE，△CQR∽△CBF， PRPQQR1∴，∴PQQRRP，即△PQR为等边三角形． CDAEBF3【点评】该题为著名的“拿破仑三角形”

ABAEBD训练4. 设D、E为△ABC的边BC上的两点，且BADEAC，求证：． ACADECAA

E

FDE

【解析】 设ADkAB，作位似旋转变换SA，k，BAD，则BD，EF，F在AC上，

BDECBCABAE，即ABEFAEBD， BDEF又ADBAFE，则ADCCFE，∴△ADC∽△EFC， ADAC∴，即ACEFADEC， EFECABAEBD∴． ACADEC【点评】AD、AE称为BAC的等角线，解析中是处理等角线问题较常用的位似旋转变换的方

法．该题用面积法证明也是非常不错的选择．

则△ABD∽△AEF，∴

复习巩固

题型一 位似变换

【练习1】 设P、Q分别为四边形ABCD的边BC、AD上的点，且

线AC、BD分别交于M、N，求证：CMPDNQ．

AQMNBPCDBPDQBD，PQ与对角PCQAACAQEMND

【解析】 证明过程与例题类似，不再赘述．

BPC

题型二 位似旋转变换

【练习2】 （2012海淀区初三期末）已知在平行四边形ABCD中，AEBC于点E，DF平分

ADC 交线段AE于点F．

⑴ 如图1，若AEAD，ADC60，请直接写出线段CD与AFBE之间所满足的

等量关系；

⑵ 如图2，若AEAD，你在（1）中得到的结论是否仍然成立， 若成立，对你的结

论加以证明，若不成立，请说明理由；

⑶ 如图3，若AE:ADa:b，试探究线段CD、AF、BE之间所满足的等量关系，请

直接写出你的结论.

ADADADFFCFCB

图1 图2 图3

EBBEEC

【解析】 ⑴ CDAFBE．

⑵ ⑴ 中的结论仍然成立.

G 证明：延长EA到G，使得AGBE，连结DG．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴ABCD，AB∥CD，ADBC． 2AD ∵AEBC于点E，∴AEBAEC90， 314∴AEBDAG90，∴DAG90．

∵AEAD，

∴△ABE≌△DAG， F ∴12，DGAB，

∴GFD903．

MBEC ∵DF平分ADC，

∴34，

∴GDF2314180FAD3903， ∴GDFGFD，∴DGGF，

∴CDGFAFAGAFBE，即CDAFBE．

abb⑶ CDAFBE或bCDaAFbBE或CDAFBE．

baa

【练习3】 如图，△AOB和△COD中，AOBCOD90，ABOCDO，M是AD的中

点，求证：OMBC．

AMDOOEAMDB

【解析】 设ODkOC，作位似旋转变换SO，k，90，则CD，BE，DEBC，

∵AOBCOD，ABOCDO，∴△AOB∽△DOC，∴∴OEkOB，且A、O、E三点共线，∴OEOA，

∵M是AD的中点，∴OM∥DE，∴OMBC．

【练习4】 如图，P、Q分别是正方形ABCD的边AB、BC边上的点，且BPBQ，过B作PC的

垂线BH，垂足为H，求证：DHHQ． AD【解析】 ∵ABC90，BHCP，设BHkPH，作位似旋转变换

SH，k，90，则PB，BC，

BCBHk，即CDkBQ， BPPH又CHkBH，CBHDCH， ∴△BHQ∽△CHD， ∴BHQCHD，

OAODk， OBOCC BC

∴

PHBCQ

∴OHD90，即DHQH．

【练习5】 如图，△ABC的顶角A的平分线交边BC于D，求证：AD2ABACBDDC．

AAED 【解析】 设ADkAB，作位似旋转变换SA，k，BAD，则BD，DE，

BDCBC则E在AC边上，AD2ABAE①，AEDADB，∴CEDADC，

CECD∴△CDE∽△CAD，∴ CDAC∵AD是BAC的平分线， ABACABCD∴，∴， BDCDBDCE即BDCDABCE②，

则①+②得AD2BDDCABAEABCEABAC， 即AD2ABACBDDC．