都昌县二中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

一、选择题

1． 已知函数

，函数

，其中b∈R，若函数y=f（x）

﹣g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（ ） A．

B．

C．

D．

2． 若函数fx1cosxsinxcosxsinx3asinxcosx4a1x在2，0上单调递增，则实数的21 B．1，

7取值范围为（ ） 11 A．， 71C.(，][1，)

7

D．[1，)

x2y23． F1，F2分别为双曲线221（a，b0）的左、右焦点，点P在双曲线上，满足PF 1PF20，

ab31若PF1F2的内切圆半径与外接圆半径之比为，则该双曲线的离心率为（ ）

2A.2 B.3 C. 21 D. 31

【命题意图】本题考查双曲线的几何性质，直角三角形内切圆半径与外接圆半径的计算等基础知识，意在考查基本运算能力及推理能力．

4． 设双曲线焦点在y轴上，两条渐近线为A．5

5． 如图，已知双曲线

B．﹣

C．

，则该双曲线离心率e=（ ）

D．

=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，|F1F2|=4，P是双曲线右支上一点，

直线PF2交y轴于点A，△AF1P的内切圆切边PF1于点Q，若|PQ|=1，则双曲线的渐近线方程为（ ）

A．y=±x B．y=±3x C．y=±x D．y=±x

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6． 函数f(x)在定义域R上的导函数是f'(x)，若f(x)f(2x)，且当x(,1)时，(x1)f'(x)0，设af(0)，bf(2)，cf(log28)，则（ ）

A．abc B．abc C．cab D．acb

7． 圆心在直线2x＋y＝0上，且经过点（－1，－1）与（2，2）的圆，与x轴交于M，N两点，则|MN|＝（ ） A．42 C．22

B．45 D．25

8． “x≠0”是“x＞0”是的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

9． 棱锥被平行于底面的平面所截，当截面分别平分棱锥的侧棱、侧面积、体积时，相应截面面积 为S1、S2、S3，则（ ）

A．S1S2S3 B．S1S2S3 C．S2S1S3 D．S2S1S3 10．设函数f（x）=A．11

B．8

C．5

D．2

，f（﹣2）+f（log210）=（ ）

11．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，.若

,f(x-1)≤f(x),则实数a的取值范围为 A[B[C[D[

]

]

+1的图象大致为（ ）

C．

D．

] ]

12．函数f（x）=lnx﹣A．

B．

二、填空题

13．抽样调查表明，某校高三学生成绩（总分750分）X近似服从正态分布，平均成绩为500分．已知P（400＜X＜450）=0.3，则P（550＜X＜600）= ．

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14．【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知函数fxxlnx4的零点在区间

k1内，则正整数k的值为________． k，15．设函数关系是______．

16．【徐州市第三中学2017～2018学年度高三第一学期月考】函数fxxx的单调增区间是__________．

3 则______；若，，则的大小

17．将一个半径为3和两个半径为1的球完全装入底面边长为6的正四棱柱容器中，则正四棱柱容器的高的最小值为 ． 18．不等式

的解集为 ．

三、解答题

19．对于任意的n∈N*，记集合En={1，2，3，…，n}，Pn=

．若集合A满足下

列条件：①A⊆Pn；②∀x1，x2∈A，且x1≠x2，不存在k∈N*，使x1+x2=k2，则称A具有性质Ω． 如当n=2时，E2={1，2}，P2=所以P2具有性质Ω．

（Ⅰ）写出集合P3，P5中的元素个数，并判断P3是否具有性质Ω． （Ⅱ）证明：不存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使E15=A∪B． （Ⅲ）若存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使Pn=A∪B，求n的最大值．

20．如图所示，一动圆与圆x2+y2+6x+5=0外切，同时与圆x2+y2﹣6x﹣91=0内切，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线．

．∀x1，x2∈P2，且x1≠x2，不存在k∈N*，使x1+x2=k2，

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21．在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且（Ⅰ）求角B的大小；

（Ⅱ）若b=6，a+c=8，求△ABC的面积．

22．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程轴建立极坐标系．

（Ⅰ）求圆C的极坐标方程； （Ⅱ）直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+的交点为Q，求线段PQ的长．

）=3

，射线OM：θ=

与圆C的交点为O，P，与直线l

（φ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极

．

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23．已知椭圆C：的右顶点．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

N两点，MN、ON的斜率依次成等比数列，（Ⅱ）设不过原点O的直线与椭圆C交于M、且直线OM、求△OMN面积的取值范围．

24．如图，已知边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC=2点

（Ⅰ）试在棱AD上找一点N，使得CN∥平面AMP，并证明你的结论． （Ⅱ）证明：AM⊥PM．

，M为BC的中

+

=1（a＞b＞0）与双曲线

2

﹣y=1的离心率互为倒数，且直线x﹣y﹣2=0经过椭圆

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都昌县二中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参）

一、选择题

1． 【答案】 D

【解析】解：∵g（x）=﹣f（2﹣x），

∴y=f（x）﹣g（x）=f（x）﹣+f（2﹣x）， 由f（x）﹣+f（2﹣x）=0，得f（x）+f（2﹣x）=， 设h（x）=f（x）+f（2﹣x）， 若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，

2

则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2+x+x，

若0≤x≤2，则﹣2≤﹣x≤0，0≤2﹣x≤2，

则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2， 若x＞2，﹣x＜﹣2，2﹣x＜0， 作出函数h（x）的图象如图：

22

则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=（x﹣2）+2﹣|2﹣x|=x﹣5x+8．

22

当x≤0时，h（x）=2+x+x=（x+）+≥， 22

当x＞2时，h（x）=x﹣5x+8=（x﹣）+≥，

故当=时，h（x）=，有两个交点， 当=2时，h（x）=，有无数个交点，

由图象知要使函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点， 即h（x）=恰有4个根，

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则满足＜＜2，解得：b∈（，4）， 故选：D．

【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件求出函数的解析式，利用数形结合是解决本题的关键．

2． 【答案】D 【

解

析

】

考

点：1、导数；2、单调性；3、函数与不等式.

3． 【答案】D

2222【解析】∵PF1PF2，即PF1F2为直角三角形，∴PF1PF2F1F24c，1PF20，∴PF|PF1PF2|2a，则2PF1PF2PF12PF22(PF1PF2)24(c2a2)，

(PF1PF2)2(PF1PF2)24PF1PF28c24a2.所以PF1F2内切圆半径 rPF1PF2F1F2312c2a2c，外接圆半径Rc.由题意，得2c2a2cc，整理，得

22c()2423，∴双曲线的离心率e31，故选D. a4． 【答案】C

【解析】解：∵双曲线焦点在y轴上，故两条渐近线为 y=±x， 又已知渐近线为故双曲线离心率e==故选C．

，∴ =，b=2a，

=

=

，

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【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，判断渐近线的斜率=，是解题的关键．

5． 【答案】D |PF1|=m，|QF1|=n，

由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，即有m﹣（n﹣1）=2a，① 由切线的性质可得|AM|=|AN|，|NF1|=|QF1|=n，|MP|=|PQ|=1， |MF2|=|NF1|=n， 即有m﹣1=n，② 由①②解得a=1， 由|F1F2|=4，则c=2， b=由双曲线

=﹣

，

=1的渐近线方程为y=±x，

x．

【解析】解：设内切圆与AP切于点M，与AF1切于点N，

即有渐近线方程为y=故选D．

【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查切线的性质，运用对称性和双曲线的定义是解题的关键．

6． 【答案】C 【解析】

考点：函数的对称性，导数与单调性．

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【名师点睛】函数的图象是研究函数性质的一个重要工具，通过函数的图象研究问题是数形结合思想应用的不可或缺的重要一环，因此掌握函数的图象的性质是我们在平常学习中要重点注意的，如函数f(x)满足：

f(ax)f(ax)或f(x)f(2ax)，则其图象关于直线xa对称，如满足f(2mx)2nf(x)，

则其图象关于点(m,n)对称． 7． 【答案】

【解析】选D.设圆的方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0）． 2a＋b＝0



由题意得（－1－a）＋（－1－b）＝r，

（2－a）＋（2－b）＝r

2

2

2

2

2

2

解之得a＝－1，b＝2，r＝3，

∴圆的方程为（x＋1）2＋（y－2）2＝9， 令y＝0得，x＝－1±5，

∴|MN|＝|（－1＋5）－（－1－5）|＝25，选D. 8． 【答案】B

【解析】解：当x=﹣1时，满足x≠0，但x＞0不成立． 当x＞0时，一定有x≠0成立， ∴“x≠0”是“x＞0”是的必要不充分条件． 故选：B．

9． 【答案】A 【解析】

考

点：棱锥的结构特征． 10．【答案】B 【解析】解：∵f（x）=∴f（﹣2）=1+log24=1+2=3，

=5，

∴f（﹣2）+f（log210）=3+5=8．

，

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故选：B．

【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．

11．【答案】B 【解析】当x≥0时，

f（x）=，

由f（x）=x﹣3a2，x＞2a2，得f（x）＞﹣a2； 当a2＜x＜2a2时，f（x）=﹣a2；

由f（x）=﹣x，0≤x≤a2，得f（x）≥﹣a2。 ∴当x＞0时，

∵函数f（x）为奇函数， ∴当x＜0时，

。 。

∵对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x）， ∴2a2﹣（﹣4a2）≤1，解得：故实数a的取值范围是12．【答案】A

【解析】解：∵f（x）=lnx﹣∴f′（x）=﹣

=

，

+1，

。

。

∴f（x）在（0，4）上单调递增，在（4，+∞）上单调递减； 且f（4）=ln4﹣2+1=ln4﹣1＞0； 故选A．

【点评】本题考查了导数的综合应用及函数的图象的应用．

二、填空题

13．【答案】 0.3 ．

【解析】离散型随机变量的期望与方差． 【专题】计算题；概率与统计．

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【分析】确定正态分布曲线的对称轴为x=500，根据对称性，可得P（550＜ξ＜600）． ∴正态分布曲线的对称轴为x=500， ∵P（400＜ξ＜450）=0.3， 故答案为：0.3． 14．【答案】2

【解答】解：∵某校高三学生成绩（总分750分）ξ近似服从正态分布，平均成绩为500分，

∴根据对称性，可得P（550＜ξ＜600）=0.3．

【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，正确运用正态分布曲线的对称性是关键．

【解析】15．【答案】，

【解析】【知识点】函数图象分段函数，抽象函数与复合函数 【试题解析】

，因为

又若所以：

，结合图像知：。

，所以

故答案为：，16．【答案】(33 ,332【解析】fx3x10x3333,, ,所以增区间是 333317．【答案】 4+ ．

【解析】解：作出正四棱柱的对角面如图， ∵底面边长为6，∴BC=

，

球O的半径为3，球O1 的半径为1，

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则∴

，

，

=

．

．

，

在Rt△OMO1中，OO1=4，

∴正四棱柱容器的高的最小值为4+故答案为：4+

【点评】本题考查球的体积和表面积，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．

18．【答案】 （0，1] ．

【解析】解：不等式故答案为：（0，1]．

【点评】本题主要考查分式不等式、一元二次不等式的解法，属于基础题．

，即

，求得0＜x≤1，

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）∵对于任意的n∈N*，记集合En={1，2，3，…，n}，Pn=∴集合P3，P5中的元素个数分别为9，23，

∵集合A满足下列条件：①A⊆Pn；②∀x1，x2∈A，且x1≠x2，不存在k∈N*，使x1+x2=k2，则称A具有性质Ω，

∴P3不具有性质Ω．…..

证明：（Ⅱ）假设存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使E15=A∪B．其中E15={1，2，3，…，15}． 因为1∈E15，所以1∈A∪B，

不妨设1∈A．因为1+3=22，所以3∉A，3∈B．

同理6∈A，10∈B，15∈A．因为1+15=42，这与A具有性质Ω矛盾． 所以假设不成立，即不存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使E15=A∪B．…..

解：（Ⅲ）因为当n≥15时，E15⊆Pn，由（Ⅱ）知，不存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使Pn=A∪B． 若n=14，当b=1时，

，

．

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取A1={1，2，4，6，9，11，13}，B1={3，5，7，8，10，12，14}， 则A1，B1具有性质Ω，且A1∩B1=∅，使E14=A1∪B1． 当b=4时，集合

中除整数外，其余的数组成集合为，

令

，

，

．

则A2，B2具有性质Ω，且A2∩B2=∅，使当b=9时，集

中除整数外，其余的数组成集合

，

令

则A3，B3具有性质Ω，且A3∩B3=∅，使

．

集合

它与P14中的任何其他数之和都不是整数，

因此，令A=A1∪A2∪A3∪C，B=B1∪B2∪B3，则A∩B=∅，且P14=A∪B． 综上，所求n的最大值为14．…..

中的数均为无理数，

，

．

【点评】本题考查集合性质的应用，考查实数值最大值的求法，综合性强，难度大，对数学思维要求高，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．

20．【答案】

【解析】解：（方法一）设动圆圆心为M（x，y），半径为R，设已知圆的圆心分别为O1、O2，

2222

将圆的方程分别配方得：（x+3）+y=4，（x﹣3）+y=100， 当动圆与圆O1相外切时，有|O1M|=R+2…① 当动圆与圆O2相内切时，有|O2M|=10﹣R…② 将①②两式相加，得|O1M|+|O2M|=12＞|O1O2|，

∴动圆圆心M（x，y）到点O1（﹣3，0）和O2（3，0）的距离和是常数12， ∴2c=6，2a=12， ∴c=3，a=6

所以点M的轨迹是焦点为点O1（﹣3，0）、O2（3，0），长轴长等于12的椭圆．

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2

∴b=36﹣9=27

，轨迹为椭圆．

，移项再两边分别平方得：

∴圆心轨迹方程为

（方法二）：由方法一可得方程2

22

两边再平方得：3x+4y﹣108=0，整理得

所以圆心轨迹方程为，轨迹为椭圆．

【点评】本题以两圆的位置关系为载体，考查椭圆的定义，考查轨迹方程，确定轨迹是椭圆是关键．

21．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）由2bsinA=又∵B为锐角， ∴B=

，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

a，以及正弦定理

，得sinB=

，

222

（Ⅱ）由余弦定理b=a+c﹣2accosB， 22

∴a+c﹣ac=36，

∵a+c=8， ∴ac=∴S△ABC=

22．【答案】

【解析】解：（I）圆C的参数方程

22

（φ为参数）．消去参数可得：（x﹣1）+y=1．

，

=

．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入化简得：ρ=2cosθ，即为此圆的极坐标方程． （II）如图所示，由直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+可得普通方程：直线l联立

，解得

，射线OM，即Q

． ．

）=3

，射线OM：θ=

．

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联立，解得或．

∴P∴|PQ|=

．

=2．

23．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）∵双曲线的离心率为又∵直线x﹣y﹣2=0经过椭圆的右顶点， ∴右顶点为（2，0），即a=2，c=∴椭圆方程为：

．…

，b=1，…

，所以椭圆的离心率

，

（Ⅱ）由题意可设直线的方程为：y=kx+m•（k≠0，m≠0），M（x1，y1）、N（x2，y2） 联立

222

消去y并整理得：（1+4k）x+8kmx+4（m﹣1）=0…

则于是

，

…

又直线OM、MN、ON的斜率依次成等比数列． ∴

…

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由m≠0得：

2222222

又由△=km﹣16（1+4k）（m﹣1）=16（4k﹣m+1）＞0，得：0＜m＜2 2

显然m≠1（否则：x1x2=0，则x1，x2中至少有一个为0，

直线OM、ON中至少有一个斜率不存在，与已知矛盾） … 设原点O到直线的距离为d，则

∴故由m的取值范围可得△OMN面积的取值范围为（0，1）…

【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，弦长公式以及三角形的面积的表式，考查转化思想以及计算能力．

24．【答案】

【解析】（Ⅰ）解：在棱AD上找中点N，连接CN，则CN∥平面AMP； 证明：因为M为BC的中点，四边形ABCD是矩形， 所以CM平行且相等于DN， 所以四边形MCNA为矩形，

所以CN∥AM，又CN⊄平面AMP，AM⊂平面AMP， 所以CN∥平面AMP．

（Ⅱ）证明：过P作PE⊥CD，连接AE，ME，

因为边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC=2所以PE⊥平面ABCD，CM=所以PE⊥AM， 在△AME中，AE=

222

所以AE=AM+ME，

，M为BC的中点

， =3，ME=

=

，AM=

=

，

所以AM⊥ME， 所以AM⊥平面PME 所以AM⊥PM．

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【点评】本题考查了线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理的运用；正确利用已知条件得到线线关系是关键，体现了转化的思想．

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