连续系统复频域分析

一、实验目的

1. 掌握连续时间信号拉普拉斯变换的MATLAB实现方法； 2. 掌握连续系统复频域分析的MATLAB实现方法。 二、实验原理

1. 连续时间信号的拉普拉斯变换

连续时间信号的拉普拉斯正变换和逆变换分别为：

F(s)f(t)estdt

1jf(t)F(s)estds 2jjMatlab的符号数学工具箱（Symbolic Math Toolbox）提供了能直接求解拉普拉斯

变换和逆变换的符号运算函数laplace()和ilaplace ()。

例5-2还可以利用MATKAB部分分式展开法求拉普拉斯逆变换 如果F(s)是s的实系数有理真分式，则可写为：

式中分母多项式A(s)称为系统的特征多项式，方程A(s)0称为特征方程，它的根称为特征根，也称为系统的固有频率（或自然频率）。为将F(s)展开为部分分式，要先求出特征方程的n个特征根，这些特征根称为F(s)极点。根据

F(s)的极点或特征根的分布情况，可以将F(s)展开成不同的部分分式。

利用Matlab中的residue( )函数可对复杂的域表示式F(s)进行部分分式展开，其调用形式为：

[r,p,k] = residue(num, den)

其中，num(numerator)、den(denominator)分别为F(s)分子多项式和分母多项式的系数向量，r为所得部分分式展开式的系数向量，p为极点，k为分式的直流分量。

如果F(s)不是多项式，我们可以利用conv（）函数先将其现有的因子相乘的形式转化为多项式的形式然后调用residue（）函数。 然后再由基本的laplace变换对得F(s)的反变换；

2. 连续系统的复频域分析

若描述系统的微分方程为

NMayii0(i)(t)bjf(j)(t)

j0则系统函数为

H(s)Y(s)F(s)bsjMjasii0j0NiB(s) A(s)其中，A(s)ais,B(s)bjsj。通过分析系统函数H(s)的零、极点分布，

ii0j0NM可以掌握系统的特性。若H(s)的所有极点都分布于左半开s平面，则该因果系统是稳定的；否则，该因果系统是不稳定的。在MATLAB中，可利用多项式求根函数root( )来确定系统函数H(s)的零、极点。

（1）系统稳定性分析

A( s)、B(s)是关于s的多项式，由其系数分别构成向量：

a[aN,aN1,...,a1,a0]，b[bM,bM1,...,b1,b0]

若执行如下命令，即可完成H(s)的零、极点的计算：

p=roots(a) %求A(s)的根（H(s)的极点），并将结果返回给向量p q=roots(b) %求B(s)的根（H(s)的零点），并将结果返回给向量q

注意：绘制系统的零极点分布图可以根据已求的零极点，利用plot语句画图，还可以由H(s)直接应用pzmap函数画图。pzmap函数的调用格式为： pzmap(sys) （2）系统频率特性分析

对于因果系统来说，若系统函数H(s)的收敛域包含s平面的虚轴（j轴），则其频率响应H(jw)存在，且H(j)H(s)sj。因此，分析系统频率特性之前，要先对系统的稳定性作分析。 三.实验内容

2t10πt)U(t)函数的拉普拉斯变换。 1. 用laplace( )求f(t)ecos(可以用simple函数对多项进行化简。

syms t

2

f1=sym('cos(10*pi*t)*exp(-2*t)*Heaviside(t)'); F1=laplace(f1) simple(F1) 结果ans =

(s+2)/(s^2+4*s+4+100*pi^2)：

2. 用ilaplace( )求F(s)s3的原函数f(t)。

s26s10H=sym('s+3/(s^2+6*s+10)'); h=ilaplace(H) 结果：h =

dirac(1,t)+3*exp(-3*t)*sin(t)

13. 已知系统函数为H(s)3，利用MATLAB画出该系统的零2s2s2s1极点分布图；求出该系统的单位冲击响应和幅频响应H(j)，并判断系统是否稳定。

a=[1 2 2 1]; b=[1]; t=0:0.001:5; sys=tf(b,a); subplot(221); pzmap(sys) subplot(222) impulse(sys,t); p=roots(a)

3

pxm=max(real(p)); 运行结果:

a=[1 2 2 1]; b=[1]; if pxm>=0 '系统不稳定' else

freqs(b,a) end

运行结果:

4

四. 实验报告要求

1、列出M文件和运行结果。

2、总结运用函数laplace、ilaplace、freqs分析连续信号、连续系统频率特性的方法。

答：laplace的使用如下所示

f1=sym('exp(-2*t)*Heaviside(t)'); F1=laplace(f1)

f2=sym('t*exp(-t)*Heaviside(t)'); F2=laplace(f2)

ilaplace的使用如下所示

H=sym('1/(s^2+3*s+2)'); h=ilaplace(H)

5