高中文科数学立体几何部分整理

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第一章 空间几何体

（一）空间几何体的三视图及直观图

1.投影：区分中心投影及平行投影。平行投影分为正投影和斜投影。 2.三视图——是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出

的图形；

正视图——光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图； 侧视图——光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图； 正视图——光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图； 注：（1）俯视图画在正视图的下方，“长度”及正视图相等；侧视图画

在正视图的右边，“高度”及正视图相等，“宽度”及俯视图。（简记为“正、侧一样高，正、俯一样长，俯、侧一样宽”. （2）正视图，侧视图，俯视图都是平面图形，而不是直观图。 3.直观图：

3.1直观图——是观察着站在某一点观察一个空间几何体而画出的图形。直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。 3.2斜二测法：

step1：在已知图形中取互相垂直的轴Ox、Oy，（即取xoy90 ）； step2：画直观图时，把它画成对应的轴o'x',o'y'，取x'o'y'45(or135)，它们确定的平面表示水平平面；

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step3：在坐标系x'o'y'中画直观图时，已知图形中平行于数轴的线段保持平行性不变，平行于x轴（或在x轴上）的线段保持长度不变，平行于y轴（或在y轴上）的线段长度减半。

结论：一般地，采用斜二测法作出的直观图面积是原平面图形面积的

2倍. 4解决两种常见的题型时应注意：（1）由几何体的三视图画直观图时，一般先考虑“俯视图”.

（2）由几何体的直观图画三视图时，能看见的轮廓线和棱画成实线，不能看见的轮廓线和棱画成虚线。

【例题点击】将正三棱柱截去三个角（如图1所示A，B，C分别是△GHI三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）

H B A I C G

侧视 B D

F

图1

E

F 图2 A C B

E

A．

B． B B B E D E

E C．

E D．

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解：在图2的右边放扇墙(心中有墙),可得答案A （二）立体几何 1.棱柱

1.1棱柱——有两个面互相平行，其余各面都

F'E'侧面A'B'lD'C'是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。

底面侧棱EFABDC

1.2相关棱柱几何体系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关系：

斜棱柱底面是正多形①棱柱棱垂直于底面正棱柱 直棱柱其他棱柱②四棱柱 底面为平行四边形 平行六面体 侧棱垂直于底面 直平行六面体 底面为矩形

长方体 底面为正方形 正四棱柱 侧棱及底面边长相等 正方体 1.3棱柱的性质：

①侧棱都相等，侧面是平行四边形；

②两个底面及平行于底面的截面是全等的多边形； ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形； ④直棱柱的侧棱长及高相等，侧面及对角面是矩形。 1.4面积、体积公式：S直棱柱侧ch（c是底周长，h是高）

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S直棱柱表面 = c·h+ 2S底 V棱柱 = S底 ·h 2.圆柱

2.1圆柱——以矩形的一边所在的直线

母线A'B'O'C'轴轴截面侧面底面为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱.

2.2圆柱的性质：上、下底及平行于底

面的截面都是等圆；过轴的截面（轴截面）是全等的矩形.

ABOC2.3侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形.

2.4面积、体积公式：

S圆柱侧=2rh；S圆柱全=2rh2r2，V圆柱=S底h=r2h（其中r为底面半径，h为圆柱高）

3.棱锥

3.1棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成

底面斜高DOABHC高侧棱S顶点侧面的几何体叫做棱锥。

正棱锥——如果有一个棱

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锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。 3.2棱锥的性质：

①平行于底面的截面是及底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离及顶点到底面的距离之比；

②正棱锥各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；

③正棱锥中六个元素，即侧棱、高、斜高、侧棱在底面内的射影、斜高在底面的射影、底面边长一半，构成四个直角三角形。）（如上图：为直角三角形） SOB,SOH,SBH,OBH

3.3侧面展开图：正n棱锥的侧面展开图是有n个全等的等腰三角形组成的。

3.4面积、体积公式：S正棱锥侧=ch，S正棱锥全=chS底，V棱锥=S底h.（其中c为底面周长，h侧面斜高，h棱锥的高）

121213正四面体：

对于棱长为a正四面体的问题可将它补成一个边长为题。

对棱间的距离为

2a（正方体的边长） 22a的正方体问226l正方体体对角线） 正四面体的高a（331 / 1

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正四面体的体积为

123a（V正方体4V小三棱锥V正方体） 123正四面体的中心到底面及顶点的距离之比为1:311（l正方体体对角线：l正方体体对角线）

62

4.棱台

4.1棱台——用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面及底面之间的部分称为棱台. 4.2正棱台的性质：

①各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形；

顶点上底面高A'下底面DSD'O'B'C'M侧棱侧面斜高CNOAB②正棱台的两个底面以及平行于底面的截面是正多边形； ③ 如右图：四边形O`MNO,O`B`BO都是直角梯形 ④棱台经常补成棱锥研究.如右图：意考虑相似比.

S全＝S上底＋S下底＋S侧，4.3棱台的表面积、体积公式：

SO`M与SON,S`O`B`与SOB相似，注

1（其中S,S`是上，下底面面V棱台＝（S＋SS`S`)h，

3S母线lh轴截面顶点轴侧面积，h为棱台的高）

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ArOB底面高中文科数学立体几何部分整理

5.圆锥

5.1圆锥——以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥。 5.2圆锥的性质：

①平行于底面的截面都是圆，截面直径及底面直径之比等于顶点到截面的距离及顶点到底面的距离之比； ②轴截面是等腰三角形；如右图：③如右图：l2h2r2.

5.3圆锥的侧面展开图：圆锥的侧面展开图是以顶点为圆心，以母线长为半径的扇形。 5.4面积、体积公式：

S圆锥侧=rl，S圆锥全=r(rl)，V圆锥=r2h（其中 r为底面半径，h为圆锥的高，l为母线长）

SAB

136.圆台

6.1圆台——用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面及截面之间的部分叫做圆台. 6.2圆台的性质：

①圆台的上下底面，及底面平行的截面都是圆；

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②圆台的轴截面是等腰梯形；

S③圆台经常补成圆锥来研究。如右图：

SO`A与SOB相似，注意相似比的应用.

ArO'轴母线lBRh轴截面OC下底面上底面D侧面6.3圆台的侧面展开图是一个扇环； 6.4圆台的表面积、体积公式： S

圆台侧

= π·(R + r)·l (r、R为上下

底面半径)

S圆台全 = π·r2 + π·R2 + π·(R + r)·l

V圆台 = 1/3 (π r2 + π R2 + π r R) h (h为圆台的高)

7.球

7.1球——以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球.

或空间中，及定点距离等于定长的点的集合叫做球面，球面所围成的几何体叫做球体，简称球； 7.2球的性质：

①球心及截面圆心的连线垂直于截面；

②rR2d2（其中，球心到截面的距离为d、球的半径为R、截面的半径

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球面球心轴半径ORArdO1B高中文科数学立体几何部分整理

为r）

7.3球及多面体的组合体：球及正四面体，球及长方体，球及正方体等的内接及外切.

注意圆及正方体的两个关系：球内接正方体，球直径等于正方体对角线；

球外切正方体，球直径等于正方体的边长。

DABD'A'OB'OC'A'C'CAc7.4球面积、体积公式：S球4R2,V球R3（其中R为球的半径）

43例：（福建卷）已知正方体的八个顶点都在球面上，且球的体积为32，

3则正方体的棱长为_________

例题讲练

1、右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ）

A．9π B．10π

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2 3 2 2 俯视图 正(主)视图 侧(左)视图

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C．11π D．12π

解：从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的简单几何体，其表面及为：

S41212221312.，故选D。

2、已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形． (1)求该几何体的体积V； (2)求该几何体的侧面积S 解:

由已知可得该几何体是底面为矩形，高为4，顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥V-ABCD。 (1) V864

(2) 该四棱锥有两个侧面VAD. VBC是全等的等腰三角形,且BC边上的高为

8 h14242, 另两个侧面VAB. VCD也是全等的等腰三角

2213形,

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6 AB边上的高为h2425

22 因此 S2(64285)40242

12123、用及球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为，则球的体积为（ ） A.

82328 B. C. 82 D.

333解：截面面积为截面圆半径为1，又及球心距离为1球的半径是2，

4R382所以根据球的体积公式知V球，故B为正确答案． 33第二章 点、直线、平面之间的位置关系

（一） 平面的基本性质

1.平面——无限延展，无边界 1.1三个定理及三个推论

公理1：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。(用于证明直线在平面内)

公理2：不共线的三点确定一个平面. (用于确定平面)

．．．推论1：直线及直线外的一点确定一个平面. 推论2：两条相交直线确定一个平面.

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推论3：两条平行直线确定一个平面.

公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线（两个平面的交线）. 用途：常用于证明线在面内，证明点在线上.

（二）空间图形的位置关系 1.空间直线的位置关系：共面:ab=A,a//b异面:a与b异面1 / 1

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1.1平行线的传递公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表述：a//b,b//ca//c

1.2等角定理：如果一个角的两边及另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。

1.3异面直线：（1）定义：不同在任何一个平面内的两条直线——异面直线；

（2）判定定理：连平面内的一点及平面外一点的直线及

这个平面内不过此点的直线是异面直线。

Pa 图形语言：

AP 符号语言：A

PA与a异面aAa1.4异面直线所成的角：（1）范围：0,90；（2）作异面直线所成的角：平移法.

如右图，在空间任取一点O，过O作

a'a'//a,b'//b，则a',b'所成的角为异面直线a,b所

abb'O成的角。特别地，找异面直线所成的角时，经常把一条异面直线平移到另一条异面直线的

特殊点（如线段中点，端点等）上，形成异面直线所成的角.

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l2.直线及平面的位置关系： lA ll//

平行：//3.平面及平面的位置关系：斜交：=a

相交垂直：（三）平行关系（包括线面平行，面面平行） 1.线面平行：

①定义：直线及平面无公共点.即ll//.

a//b②判定定理：aa//（线线平行线面平行）

ba//③ 性质定理：aa//b（线面平行线线平行） bba//b④ (面面平行线面平行)； ⑤a//a//（用于aa判断）；

2.线面斜交：lA

①直线及平面所成的角（简称线面角）：若直线及平面斜交，则平面的斜线及该斜线在平面影

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PAO高中文科数学立体几何部分整理

的夹角。【如图】 PO于O，则AO是PA在平面内的射影， 则PAO就是直线PA及平面所成的角。

范围：注：若l或l//，则直线l及平面所成的角为0；0,90，若l，则直线l及平面所成的角为90。

3.面面平行：

①定义：//；

②判定1：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行；

符号表述：a,b,abO,a//,b//// （如图一）

判定2：垂直于同一条直线的两个平面互相平行.符号表述：

a,a//.【如图二】

Oaba



图一 图二 ④面面平行的性质：（1）

//； a//（面面平行线面平行）

a// （2）aa//b；（面面平行线线平行）

b

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（四）垂直关系（包括线面垂直，面面垂直） 1.线面垂直

①定义：若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面。

符号表述：若任意a,都有la，且l，则l.

a,babO②判定定理：ll（线线垂直线面垂直）

lalb③证明或判定线面垂直的依据：（1）

//a aa//b；（2）b（较常用）

a④性质：（1）l,ala（线面垂直线线垂直）；（2）

a,ba//b

3.2面面斜交

①二面角：（1）定义：【如图】

OBl,OAlAOB是二面角－l的平面角

范围：AOB[0,180]

②作二面角的平面角的方法：（1）定义法；（2）

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三

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垂线法（常用）；（3）垂面法.

3.3面面垂直

（1）定义：若二面角l的平面角为90，则；

（2）判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.

aaAaB（线面垂直面面垂直）

（3）性质：①若，二面角的一个平面角为MON，则MON90；

aAB②a（面面垂直线面垂aaABAa直）；

a或a//a③

Aa. ④ Aaa

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（一）、立体几何网络图：

⑹ 公理4 ⑴ 线线平行 ⑵ ⑶ ⑾ 三垂线定理 ⑺ 线线垂直 三垂线逆定理 ⑻ ⑿ ⑼ ⑽ 线面垂直 线面平行 ⑷ ⑸ ⒀ ⒂ ⒃ 面面平行 ⒁ 面面垂直

1、线线平行的判断：

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（1）、平行于同一直线的两直线平行。

（3）、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平

面相交，那么这条直线和交线平行。

（6）、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

（12）、垂直于同一平面的两直线平行。 2、线线垂直的判断：

（7）、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，

那么它也和这条斜线垂直。

（8）、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么

它和这条斜线的射影垂直。

（10）、若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。 补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。

3、线面平行的判断：

（2）、如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直

线和这个平面平行。 （5）、两个平面内个平面。

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个平面平行，其中一的直线必平行于另一

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【实战真题】

1、如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点 求证：

（1）直线EF∥平面PCD；

（2）平面

BEF⊥平面PAD

2、四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB。

（I）求证：CE⊥平面PAD；

（11）若PA=AB=1，AD=3，CD=2，∠CDA=45°，求四棱锥P-ABCD的体积

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3．如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD．

（I）证明：PQ⊥平面DCQ；

（II）求棱锥Q—ABCD的的体积及棱锥P—DCQ的体积的比值．

124．如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，DAB60，AB2AD，PD底面ABCD．

（I）证明：PABD；

（II）设PD=AD=1，求棱锥D-PBC的高．

CC1上的5.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1ACE分别是棱BC，11，D，1 / 1

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点（点D 不同于点C），且ADDE，F为B1C1的中点． 求证：（1）平面ADE平面BCC1B1； （2）直线A1F//平面ADE．

答案1、

2．（I）证明：因为PA平面ABCD，CE平面ABCD，所以PACE.

因为ABAD,CE//AB,所以CEAD. 又PAADA,所以CE平面PAD。 （II）由（I）可知CEAD，

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在RtECD中，DE=CDcos451,CECDsin451, 又因为ABCE1,AB//CE，所以四边形ABCE为矩形，

所以S四边形ABCDS矩形ADCESECDABAECEDE1211. 又PA平面ABCD，PA=1，所以V四边形PABCD

12521155S四边形ABCDPA1. 3326123．解：（I）由条件知PDAQ为直角梯形

因为QA⊥平面ABCD，所以平面PDAQ⊥平面ABCD，交线为AD. 又四边形ABCD为正方形，DC⊥AD，所以DC⊥平面PDAQ，可得PQ⊥DC.

在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ=

2PD，则PQ⊥QD 2所以PQ⊥平面DCQ. ………………6分 （II）设AB=a.

由题设知AQ为棱锥Q—ABCD的高，所以棱锥Q—ABCD的体积V1a3. 由（I）知PQ为棱锥P—DCQ的高，而PQ=2a，△DCQ的面积为所以棱锥P—DCQ的体积为V2a3.

故棱锥Q—ABCD的体积及棱锥P—DCQ的体积的比值为1.…………12分

4.（Ⅰ）因为DAB60,AB2AD， 由余弦定理得BD3AD

从而BD2+AD2= AB2，故BDAD

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1322a， 213高中文科数学立体几何部分整理

又PD底面ABCD，可得BDPD 所以BD平面PAD. 故 PABD

（Ⅱ）如图，作DEPB，垂足为E。已知PD底面ABCD，则PDBC。由（Ⅰ）知BDAD，又BC//AD，所以BCBD。 故BC平面PBD，BCDE。 则DE平面PBC。

由题设知，PD=1，则BD=3，PB=2， 根据BE·PB=PD·BD，得DE=即棱锥D—PBC的高为

3. 23， 25证明：（1）∵ABCA1B1C1是直三棱柱，∴CC1平面ABC。 又∵AD平面ABC，∴CC1AD。 又∵ADDE，CC1，DE平面BCC1B1，CC1 ∴AD平面BCC1B1

又∵AD平面ADE，∴平面ADE平面BCC1B1。 （2）∵A1B1AC1FB1C1。 11，F为B1C1的中点，∴A 又∵∴CC1A1F。

B1C1平面BCC1B1，CC1 又∵CC1，B1C1C1，∴A1F平

CC1DEE，

平面

A1B1C1，且

A1F平面

A1B1C1，

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面A1B1C1。

由（1）知，AD平面BCC1B1，∴A1F∥AD。 又∵AD平面ADE, A1F平面ADE，∴直线A1F//平面ADE

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