2019山东省日照市中考数学真题及答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，满分36分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．2的倒数是（ ） A．﹣2
B．
C．﹣
D．2
2．近几年我国国产汽车行业蓬勃发展，下列汽车标识中，是中心对称图形的是（A． B．
C． D．
3．在实数，
，
，中有理数有（ ） A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
4．下列事件中，是必然事件的是（ ） A．掷一次骰子，向上一面的点数是6
B．13个同学参加一个聚会，他们中至少有两个同学的生日在同一个月
C．射击运动员射击一次，命中靶心 D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
5．如图，该几何体是由4个大小相同的正方体组成，它的俯视图是（ ）
A． B．
）
C． D．
6．如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当∠1＝35°时，∠2的度数为（ ）
A．35° 7．把不等式组
B．45°
C．55°
D．65°
的解集在数轴上表示出来，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼顶A 处看乙楼楼顶B处仰角为30°，则甲楼高度为（ ）
A．11米
B．（36﹣15
）米
C．15
米
D．（36﹣10
）米
9．在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx+1（k≠0）和y＝（k≠0）的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
10．某省加快新旧动能转换，促进企业创新发展．某企业一月份的营业额是1000万元，月平均增长率相同，第一季度的总营业额是3990万元．若设月平均增长率是x，那么可列出的方程是（ ） A．1000（1+x）＝3990
B．1000+1000（1+x）+1000（1+x）＝3990 C．1000（1+2x）＝3990
D．1000+1000（1+x）+1000（1+2x）＝3990
11．如图，是二次函数y＝ax+bx+c图象的一部分，下列结论中：
①abc＞0；②a﹣b+c＜0；③ax+bx+c+1＝0有两个相等的实数根；④﹣4a＜b＜﹣2a．其中正确结论的序号为（ ）
2
2
2
2
A．①②
B．①③
C．②③ D．①④
12．如图，在单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…，都是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等直角三角形，若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1（2，0），A2（1，1），A3（0，0），则依图中所示规律，A2019的坐标为（ ）
A．（﹣1008，0）
B．（﹣1006，0）
C．（2，﹣504）
D．（1，505）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分，不需写出解答过程请将答案直接写在答题卡相应位置上
13．（4分）已知一组数据8，3，m，2的众数为3，则这组数据的平均数是 ． 14．（4分）如图，已知AB＝8cm，BD＝3cm，C为AB的中点，则线段CD的长为 cm．
15．（4分）规定：在平面直角坐标系xOy中，如果点P的坐标为（a，b），那么向量表示为：
＝（a，b），如果
与
与
互相垂直，
＝（x1，y1），
可以
＝（x2，y2），那么
），则锐角∠α
x1x2+y1y2＝0．若
＝ ．
互相垂直，＝（sinα，1），＝（2，﹣
16．（4分）如图，已知动点A在函数的图象上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于
点C，延长CA交以A为圆心AB长为半径的圆弧于点E，延长BA交以A为圆心AC长为半径的圆弧于点F，直线EF分别交x轴、y轴于点M、N，当NF＝4EM时，图中阴影部分的面积等于 ．
三、解答题：本大题共6小题，满分68分。请在答题卡指定区域内作16题图答解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 17．（12分）（1）计算：|
﹣2|+π+（﹣1）
÷
0
2019
﹣（）；
﹣1
（2）先化简，再求值：1﹣，其中a＝2；
（3）解方程组：
18．（10分）2019年4月23日是第二十四个“世界读书日“．某校组织读书征文比赛活动，评选出一、二、三等奖若干名，并绘成如图所示的条形统计图和扇形统计图（不完整），请你根据图中信息解答下列问题：
（1）求本次比赛获奖的总人数，并补全条形统计图； （2）求扇形统计图中“二等奖”所对应扇形的圆心角度数；
（3）学校从甲、乙、丙、丁4位一等奖获得者中随机抽取2人参加“世界读书日”宣传活动，请用列表法或画树状图的方法，求出恰好抽到甲和乙的概率．
19．（8分）“一带一路”战略给沿线国家和地区带来很大的经济效益，某企业的产品对沿线
地区实行优惠，决定在原定价基础上每件降价40元，这样按原定价需花费5000元购买的产品，现在只花费了4000元，求每件产品的实际定价是多少元？
20．（12分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC的中点为O，点G，H在对角线AC上，AG＝
CH，直线GH绕点O逆时针旋转α角，与边AB、CD分别相交于点E、F（点E不与点A、B重合）．
（1）求证：四边形EHFG是平行四边形； （2）若∠α＝90°，AB＝9，AD＝3，求AE的长．
21．（12分）探究活动一：
如图1，某数学兴趣小组在研究直线上点的坐标规律时，在直线AB上的三点A（1，3）、
B（2，5）、C（4，9），有kAB＝＝2，kAC＝＝2，发现kAB＝kAC，兴趣小组提出猜想：
若直线y＝kx+b（k≠0）上任意两点坐 标P（x1，y1），Q（x2，y2）（x1≠x2），则kPQ＝
是定值．通过多次验证和查阅资料
得知，猜想成立，kPQ是定值，并且是直线y＝kx+b（k≠0）中的k，叫做这条直线的斜率． 请你应用以上规律直接写出过S（﹣2，﹣2）、T（4，2）两点的直线ST的斜率kST＝ ． 探究活动二
数学兴趣小组继续深入研究直线的“斜率”问题，得到正确结论：任意两条不和坐标轴平行的直线互相要直时，这两条直线的斜率之积是定值．
如图2，直线DE与直线DF垂直于点D，D（2，2），E（1，4），F（4，3）．请求出直线DE与直线DF的斜率之积． 综合应用
如图3，⊙M为以点M为圆心，MN的长为半径的圆，M（1，2），N（4，5），请结合探究活动二的结论，求出过点N的⊙M的切线的解析式．
22．（14分）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴，y轴分别交于A，C两点，抛物线y＝x+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B． （1）求抛物线解析式及B点坐标；
（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC，当点M运动到某一位置时，四边形AMBC面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；
（3）如图2，若P点是半径为2的⊙B上一动点，连接PC、PA，当点P运动到某一位置时，PC+PA的值最小，请求出这个最小值，并说明理由．
2
2019年日照市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，满分36分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．2的倒数是（ ） A．﹣2
B．
C．﹣
D．2
【解答】解：2的倒数为． 故选：B．
2．近几年我国国产汽车行业蓬勃发展，下列汽车标识中，是中心对称图形的是（ A． B．
C． D．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：D． 3．在实数，
，
，中有理数有（ ） A．1个
B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：在实数，
，
，中
＝2，有理数有
，共2个．故选：B．
4．下列事件中，是必然事件的是（ ） A．掷一次骰子，向上一面的点数是6
B．13个同学参加一个聚会，他们中至少有两个同学的生日在同一个月
C．射击运动员射击一次，命中靶心 D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
）
【解答】解：A．掷一次骰子，向上一面的点数是6，属于随机事件；
B.13个同学参加一个聚会，他们中至少有两个同学的生日在同一个月，属于必然事件； C．射击运动员射击一次，命中靶心，属于随机事件； D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，属于随机事件；
故选：B．
5．如图，该几何体是由4个大小相同的正方体组成，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：从上面可看到从上往下2行小正方形的个数为：2，1，并且下面一行的正方形靠左， 故选：B．
6．如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当∠1＝35°时，∠2的度数为（ ）
A．35°
B．45°
C．55°
D．65°
【解答】解：∵直尺的两边互相平行，∠1＝35°， ∴∠3＝35°． ∵∠2+∠3＝90°， ∴∠2＝55°．
故选：C．
7．把不等式组
的解集在数轴上表示出来，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：
解不等式①得：x≥﹣3， 解不等式②得：x＜1，
故不等式组的解集为：﹣3≤x＜1， 在数轴上表示为：
故选：C．
8．如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼顶A 处看乙楼楼顶B处仰角为30°，则甲楼高度为（ ）
A．11米
B．（36﹣15
）米
C．15
米
D．（36﹣10
）米
【解答】解：过点A作AE⊥BD，交BD于点E， 在Rt△ABE中，AE＝30米，∠BAE＝30°， ∴BE＝30×tan30°＝10
（米），
∴AC＝ED＝BD﹣BE＝（36﹣10∴甲楼高为（36﹣10故选：D．
）米．
）（米）．
9．在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx+1（k≠0）和y＝（k≠0）的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：①当k＞0时，y＝kx+1过一、二、三象限；y＝过一、三象限； ②当k＜0时，y＝kx+1过一、二、四象象限；y＝过二、四象限． 观察图形可知，只有C选项符合题意． 故选：C．
10．某省加快新旧动能转换，促进企业创新发展．某企业一月份的营业额是1000万元，月平均增长率相同，第一季度的总营业额是3990万元．若设月平均增长率是x，那么可列出的方程是（ ） A．1000（1+x）＝3990
B．1000+1000（1+x）+1000（1+x）＝3990 C．1000（1+2x）＝3990
2
2
D．1000+1000（1+x）+1000（1+2x）＝3990
【解答】解：设月平均增长的百分率是x，则该超市二月份的营业额为100（1+x）万元，三月份的营业额为100（1+x）万元，
依题意，得1000+1000（1+x）+1000（1+x）＝3990． 故选：B．
11．如图，是二次函数y＝ax+bx+c图象的一部分，下列结论中：
①abc＞0；②a﹣b+c＜0；③ax+bx+c+1＝0有两个相等的实数根；④﹣4a＜b＜﹣2a．其中正确结论的序号为（ ）
2
2
2
2
A．①②
B．①③
C．②③ D．①④
【解答】解：由抛物线的开口方向向上可推出a＞0， 与y轴的交点为在y轴的负半轴上可推出c＝﹣1＜0， 对称轴为x＝﹣
＞1＞0，a＞0，得b＜0，
故abc＞0，故①正确； 由对称轴为直线x＝﹣
＞1，抛物线与x轴的一个交点交于（2，0），（3，0）之间，
则另一个交点在（0，0），（﹣1，0）之间， 所以当x＝﹣1时，y＞0， 所以a﹣b+c＞0，故②错误；
抛物线与y轴的交点为（0，﹣1），由图象知二次函数y＝ax+bx+c图象与直线y＝﹣1有两个交点，
故ax+bx+c+1＝0有两个不相等的实数根，故③错误； 由对称轴为直线x＝﹣
，由图象可知1＜﹣
＜2，
2
2
所以﹣4a＜b＜﹣2a，故④正确． 故选：D．
12．如图，在单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…，都是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等直角三角形，若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1（2，0），A2（1，1），A3（0，0），则依图中所示规律，A2019的坐标为（ ）
A．（﹣1008，0）
B．（﹣1006，0）
C．（2，﹣504）
D．（1，505）
【解答】解：观察图形可以看出A1﹣﹣A4；A5﹣﹣﹣A8；…每4个为一组， ∵2019÷4＝504…3
∴A2019在x轴负半轴上，纵坐标为0， ∵A3、A7、A11的横坐标分别为0，﹣2，﹣4， ∴A2019的横坐标为﹣（2019﹣3）×＝﹣1008． ∴A2019的坐标为（﹣1008，0）． 故选：A．
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分，不需写出解答过程请将答案直接写在答题卡相应位置上
13．（4分）已知一组数据8，3，m，2的众数为3，则这组数据的平均数是 4 ． 【解答】解：∵一组数据8，3，m，2的众数为3， ∴m＝3，
∴这组数据的平均数：故答案为：4．
14．（4分）如图，已知AB＝8cm，BD＝3cm，C为AB的中点，则线段CD的长为 1 cm．
【解答】解：∵C为AB的中点，AB＝8cm，
＝4，
∴BC＝AB＝×8＝4（cm）， ∵BD＝3cm，
∴CD＝BC﹣BD＝4﹣3＝1（cm）， 则CD的长为1cm； 故答案为：1．
15．（4分）规定：在平面直角坐标系xOy中，如果点P的坐标为（a，b），那么向量表示为：
＝（a，b），如果
与
与
互相垂直，
＝（x1，y1），
可以
＝（x2，y2），那么
），则锐角∠α
x1x2+y1y2＝0．若
＝ 60° ．
互相垂直，＝（sinα，1），＝（2，﹣
【解答】解：依题意，得2sinα+1×（﹣解得sinα＝∵α是锐角， ∴α＝60°． 故答案是：60°．
16．（4分）如图，已知动点A在函数
．
）＝0，
的图象上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于
点C，延长CA交以A为圆心AB长为半径的圆弧于点E，延长BA交以A为圆心AC长为半径的圆弧于点F，直线EF分别交x轴、y轴于点M、N，当NF＝4EM时，图中阴影部分的面积等于 2.5π ．
【解答】解：作DF⊥y轴于点D，EG⊥x轴于G， ∴△GEM∽△DNF， ∵NF＝4EM，
∴＝＝4，
设GM＝t，则DF＝4t， ∴A（4t，）， 由AC＝AF，AE＝AB， ∴AF＝4t，AE＝，EG＝， ∵△AEF∽△GME， ∴AF：EG＝AE：GM， 即4t：＝：t，即4t＝∴t＝，
2
2
，
图中阴影部分的面积＝故答案为：2.5π．
+＝2π+π＝2.5π，
三、解答题：本大题共6小题，满分68分。请在答题卡指定区域内作16题图答解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 17．（12分）（1）计算：|
﹣2|+π+（﹣1）
÷
0
2019
﹣（）；
﹣1
（2）先化简，再求值：1﹣，其中a＝2；
（3）解方程组：
【解答】解：（1）|＝2﹣
﹣2|+π+（﹣1）
02019
﹣（）
﹣1
+1+（﹣1）﹣2
＝﹣；
÷
；
，
（2）1﹣＝1﹣＝1﹣＝＝
当a＝2时，原式＝（3）①×4+②，得 11x＝22， 解得，x＝2， 将x＝2代入①中，得
y＝﹣1，
故原方程组的解是
．
18．（10分）2019年4月23日是第二十四个“世界读书日“．某校组织读书征文比赛活动，评选出一、二、三等奖若干名，并绘成如图所示的条形统计图和扇形统计图（不完整），请你根据图中信息解答下列问题：
（1）求本次比赛获奖的总人数，并补全条形统计图； （2）求扇形统计图中“二等奖”所对应扇形的圆心角度数；
（3）学校从甲、乙、丙、丁4位一等奖获得者中随机抽取2人参加“世界读书日”宣传活动，请用列表法或画树状图的方法，求出恰好抽到甲和乙的概率．
【解答】解：（1）本次比赛获奖的总人数为4÷10%＝40（人）， 二等奖人数为40﹣（4+24）＝12（人）， 补全条形图如下：
（2）扇形统计图中“二等奖”所对应扇形的圆心角度数为360°×（3）树状图如图所示，
＝108°；
∵从四人中随机抽取两人有12种可能，恰好是甲和乙的有2种可能， ∴抽取两人恰好是甲和乙的概率是
＝．
19．（8分）“一带一路”战略给沿线国家和地区带来很大的经济效益，某企业的产品对沿线地区实行优惠，决定在原定价基础上每件降价40元，这样按原定价需花费5000元购买
的产品，现在只花费了4000元，求每件产品的实际定价是多少元？ 【解答】解：设每件产品的实际定价是x元，则原定价为（x+40）元， 由题意，得
＝
．
解得x＝160．
经检验x＝160是原方程的解，且符合题意． 答：每件产品的实际定价是160元．
20．（12分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC的中点为O，点G，H在对角线AC上，AG＝
CH，直线GH绕点O逆时针旋转α角，与边AB、CD分别相交于点E、F（点E不与点A、B重合）．
（1）求证：四边形EHFG是平行四边形； （2）若∠α＝90°，AB＝9，AD＝3，求AE的长．
【解答】证明：（1）∵对角线AC的中点为O ∴AO＝CO，且AG＝CH ∴GO＝HO
∵四边形ABCD是矩形 ∴AD＝BC，CD＝AB，CD∥AB
∴∠DCA＝∠CAB，且CO＝AO，∠FOC＝∠EOA ∴△COF≌△AOE（ASA） ∴FO＝EO，且GO＝HO
∴四边形EHFG是平行四边形； （2）如图，连接CE
∵∠α＝90°， ∴EF⊥AC，且AO＝CO ∴EF是AC的垂直平分线， ∴AE＝CE，
在Rt△BCE中，CE＝BC+BE， ∴AE＝（9﹣AE）+9， ∴AE＝5
21．（12分）探究活动一：
如图1，某数学兴趣小组在研究直线上点的坐标规律时，在直线AB上的三点A（1，3）、
2
22
2
2
B（2，5）、C（4，9），有kAB＝＝2，kAC＝＝2，发现kAB＝kAC，兴趣小组提出猜想：
若直线y＝kx+b（k≠0）上任意两点坐 标P（x1，y1），Q（x2，y2）（x1≠x2），则kPQ＝
是定值．通过多次验证和查阅资料
得知，猜想成立，kPQ是定值，并且是直线y＝kx+b（k≠0）中的k，叫做这条直线的斜率． 请你应用以上规律直接写出过S（﹣2，﹣2）、T（4，2）两点的直线ST的斜率kST＝ 探究活动二
数学兴趣小组继续深入研究直线的“斜率”问题，得到正确结论：任意两条不和坐标轴平行的直线互相要直时，这两条直线的斜率之积是定值．
如图2，直线DE与直线DF垂直于点D，D（2，2），E（1，4），F（4，3）．请求出直线DE与直线DF的斜率之积． 综合应用
如图3，⊙M为以点M为圆心，MN的长为半径的圆，M（1，2），N（4，5），请结合探究活动二的结论，求出过点N的⊙M的切线的解析式．
．
【解答】解：（1）∵S（﹣2，﹣2）、T（4，2） ∴kST＝故答案为：
（2）∵D（2，2），E（1，4），F（4，3）． ∴kDE＝
＝﹣2，kDF＝
＝，
＝
∴kDE×kDF＝﹣2×＝﹣1，
∴任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时，这两条直线的斜率之积等于﹣1． （3）设经过点N与⊙M的直线为PQ，解析式为y＝kPQx+b ∵M（1，2），N（4，5）， ∴kMN＝
＝1，
∵PQ为⊙M的切线 ∴PQ⊥MN ∴kPQ×kMN＝﹣1， ∴kPQ＝﹣1，
∵直线PQ经过点N（4，5）， ∴5＝﹣1×4+b，解得 b＝9 ∴直线PQ的解析式为y＝﹣x+9．
22．（14分）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴，y轴分别交于A，C两点，抛物线y＝x+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B． （1）求抛物线解析式及B点坐标；
（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC，当点M运动到某一位置时，
2
四边形AMBC面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；
（3）如图2，若P点是半径为2的⊙B上一动点，连接PC、PA，当点P运动到某一位置时，PC+PA的值最小，请求出这个最小值，并说明理由．
【解答】解：（1）直线y＝﹣5x+5，x＝0时，y＝5 ∴C（0，5）
y＝﹣5x+5＝0时，解得：x＝1
∴A（1，0）
∵抛物线y＝x+bx+c经过A，C两点 ∴
解得：
2
2
∴抛物线解析式为y＝x﹣6x+5
当y＝x﹣6x+5＝0时，解得：x1＝1，x2＝5 ∴B（5，0）
（2）如图1，过点M作MH⊥x轴于点H ∵A（1，0），B（5，0），C（0，5） ∴AB＝5﹣1＝4，OC＝5
∴S△ABC＝AB•OC＝×4×5＝10 ∵点M为x轴下方抛物线上的点 ∴设M（m，m﹣6m+5）（1＜m＜5） ∴MH＝|m﹣6m+5|＝﹣m+6m﹣5
∴S△ABM＝AB•MH＝×4（﹣m+6m﹣5）＝﹣2m+12m﹣10＝﹣2（m﹣3）+8 ∴S四边形AMBC＝S△ABC+S△ABM＝10+[﹣2（m﹣3）+8]＝﹣2（m﹣3）+18
2
2
2
2
2
2
2
2
2
∴当m＝3，即M（3，﹣4）时，四边形AMBC面积最大，最大面积等于18
（3）如图2，在x轴上取点D（4，0），连接PD、CD ∴BD＝5﹣4＝1 ∵AB＝4，BP＝2 ∴
∵∠PBD＝∠ABP ∴△PBD∽△ABP ∴
∴PD＝AP ∴PC+PA＝PC+PD
∴当点C、P、D在同一直线上时，PC+PA＝PC+PD＝CD最小 ∵CD＝
∴PC+PA的最小值为
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