江西省吉安一中、九江一中等八所重点中学2017届高三4月联考(文数)

吉安一中、九江一中等八所重点中学2017届高三4月联考

数学（文科）

考试用时：120分 全卷满分：150分

一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分，共60分;在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知i是虚数单位，若复数z13i，则z2z1的值为（ ） 22A． -1 B．1 C. 0 D．i 2.集合Mxxn11,nZ,Nyym,mZ,则两集合M,N的关系为( ) 22A. MN B.MN C. MN D.NM

3.下列说法正确的是（ ）

A. 命题 “x0R,x0x00”的否定是“xR,x2x0”B. 命题“若 ab,则a2b2”的否命题是“若ab,则a2b2”C. x11且x21的充要条件是x1x22.

D.p,q为两个命题，若pq为真且pq为假，则p,q两个命题中必有一个为真，一个为假.

24.已知向量a，b的夹角为，且a2，b1，则向量a与向量a2b3的夹角为（ ） A.

 B. C. D. 63425.已知集合A3,2,1,2,mA,nA方程mx2ny21 表示的图形记为“W”,则W表示双曲线的概率为（ ）

11 B． 2413C． D．

88A．

6.右边程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序 (第6题图) 框图（图中“m MOD n”表示m除以n的余数）， 若输入的m，n分别为72，15，则输出的m=（ ） A．12 B．3 C．15 D．45

7.如图是一个空间几何体的三视图，其中主视图上半部分是一个底面边长

为4、高为1的等腰三角形，主视图下半部分是一个边长为2的正方形，则该空间几何体的体积是（ ）

1

10 38C．(1025) D．

3A．(825) B．8.已知定义在R上的函数f(x)ex，记af(log0.53)，

bf(log25)，cf(0)，则a,b,c的大小关系为（ ）A．

bac B．cab C．acb D．cba

9.如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是上底面A1B1C1D1内一动点，PM垂直AD于

M,PM=PB， 则点P的轨迹为（ ）

A.线段 B.椭圆一部分 C.抛物线一部分 D.双曲线一部分

10.偶函数f(x)是定义域为R上的可导函数，当x0时，都有

f(x)2x成立，则不等式f(x1)2xf(x)1的解集是（ ）

A. xx1 B. 2xx1 2C. xx1 D.实数集R 211.今有苹果m个（mN），分给10个同学，每个同学都分到苹果，恰好全部分完.第一个人分得全部苹果的一半还多一个，第二个人分得第一个人余下苹果的一半还多一个，以此类推，后一个人分得前一个人余下的苹果的一半还多一个，则苹果个数m为（ ） A.2046 B.1024 C.2017 D.2018

12.当m变化时，不在直线（1m2）x2my23m20上的点构成区域G,P(x,y)是

33xy22区域G内的任意一点，则 的取值范围是（ ）

223xyA.(1，2) B.[， 1] C .(， 1) D.(2，3) 二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.

1212)＞0）13.函数f(x)sin(x（与g(x)sin(2x）对称轴完全相同，将f(x)图象向

6右平移

个单位得到h(x)，则h(x)的解析式是 。 3o14.点P是椭圆上任意一点，F1,F2分别是椭圆的左右焦点,F1PF2的最大值是60，则椭

2

圆的离心率的值是 . 15.观察以下三个不等式：

①(122232)(324252)(132435)2； ②(7292102)(6282112)(76981011)2；

2 ③(2023022017)(99290220162)(2099309020172016)2

若2xyz7,x,y,zR时，则(x1)2(y2)2(z1)2的最小值为 。 16.已知f(x)是R上可导的增函数，g(x)是R上可导的奇函数，对x1,x2R都有

g(x1)g(x2)f(x1)f(x2)成立，等差数列an的前n项和为Sn，f(x)同时满足下

列两件条件：f(a21)1，f(a91)1，则S10的值为 。 三、解答题:本大题共小6题，共70分.写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）

已知向量m=(cosx-1，3sinx)，n=(cosx+1,cosx)，xR． (1)求fx的单调递增区间;

(2)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若ccosB+bcosC=1且fA=0，求

fx=mn ABC面积最大值.

18.（本小题满分12分）上世纪八十年代初， 同志曾指出“在人才的问题上，要特别强调一下，必须打破常规去发现、选拔和培养杰出的人才”. 据此，经省教育厅批准，某中学领导审时度势，果断作出于1985年开始施行超常实验班教学试验的决定.一时间，学生兴奋，教师欣喜，家长欢呼，社会热议.该中学实验班一路走来，可谓风光无限，硕果累累，尤其值得一提的是，1990年，全国共招收150名少年大学生，该中学就有19名实验班学生被录取，占全国的十分之一，轰动海内外.设该中学超常实验班学生第x年被录取少年大学生的人数为y.

（1）左下表为该中学连续5年实验班学生被录取少年大学生人数，求y关于x的线性回归方程，并估计第6年该中学超常实验班学生被录取少年大学生人数; 年份序号x 录取人数y 1 10 2 11 3 14 4 16 5 19 ˆ= 附1：bˆxˆ=y﹣b ，a

3

（2）下表是从该校已经毕业的100名高中生录取少年大学生人数与是否接受超常实验班教育得到 2×2列联表，完成上表，并回答：是否有95%以上的把握认为“录取少年大学生人数与是否接受超常实验班教育有关系”． 附2：

录取少年大学生 未录取少年大学生 合计

接受超常实验班教育 60 未接受超常实验班教育 10 30 合计 80 100 P(k2k0)k0 0.50 0.455 0.40 0.708 0.10 2.706 0.05 3.841

19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA面ABCD，PA=AD=4，AB=2，以AC中点O为球心，AC为直径的球面交线段PD（不含端点）于M.

（1）求证：面ABM面PCD; （2）求三棱锥P-AMC的体积. 20.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xoy中，点T(-8,0),点R,Q分别在x和y轴上，QTQR0,点P是线段RQ的中点，点P的轨迹为曲线E.

（1）求曲线E的方程;

（2）直线L与圆(x1)y1相切，直线L与曲线E交于M,N,线段MN中点为A,曲线E上存在点C满足OC2OA（>0），求的取值范围.

4

22

21.（本小题满分12分）已知函数fx2e22axx(x0),

x2(1)当a1时,求fx的单调区间,并证明此时fx0成立;(2)若fx0在x[0,)上恒成立,求a的取值范围.

请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22. （本小题满分10分）选修4－4：极坐标与参数方程

在平面直角坐标系中，过点（0,1）倾斜角为450的直线为L,以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线E的极坐标方程为cos2=4sin （1）将曲线E化为直角坐标方程，并写出直线L的一个参数方程;

（2）直线L与圆x(y1)1从左到右交于C,D,直线L与E从左到右交于A,B,求

22ACBD的值.

23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数f(x)2x1， g(x)x1a. （1）当a0时，解不等式f(x)g(x)；

（2）若任意xR，使得f(x)g(x)成立，求实数a的取值范围．

5

数学(文科)参

一、选择题： 1 C 2 D 3 D 4 A 5 A 6 B 7 B 8 A 9 C 10 B 11 A 12 C 12 15. 16.10 231111.设第n个人分得苹果an个，依题意an=(m-sn-1)+1,s1=a1=m+1,s10=m消an找sn的递推

22二、填空题： 13.h(x)cos2x 14. 关系，求出sn的通项，令s10=m解得m=2046

12.原方程化为关于m的方程-xm2+(2y-23)m+x-2=0,x0时<0 得（x-1）2+(y-3)2<1,OM=(，323

),ON=(x,y), OM,ON夹角记作 2

33xy12直线OM与圆切与M,xOM=300, （0o, 60o）,2=cos(,1) 23x2y2

16.令x2x1，得f(x)为奇函数 三、解答题

17．（1）由题意知fxcos2x13sinxcosxsin2x1． 62令2k22x62k2，得fx的单调递增区间k3,k6kZ

6（分）

（2）fAsin2A10，又0A，则A．又ccosB+bcosC=1得a=1，62322由余弦定理得1bc2bccos32bcbc．得bc1.ABC面积

s=

133bcsin当且仅当b=c即ABC为等边三角形时面积最大为 122344（分）

18. （1）由已知中数据可得：x3,y14,xyii15i233,xi255

i15 6

bxyii155

i5xy5x22.3,aybx146.97.1xi12iy2.3x7.1当x6时y20.9

即第6年该校实验班学生录取少年大学生人数约为21人；（6分）

2（2）该校已经毕业的100名高中生录取少年大学生人数与是否接受超常实验班教育得到2×

列联表：

接受超常实验未接受超常实合计 班教育 验班教育 60 20 80 录取少年大学生 10 10 20 未录取少年大学生 70 30 100 合计 根据列联表中的数据，得到k2的观测值为

100(60101020)2k4.7623.841703020802 故我们有95%的把握认为“录取少年大学生人数与是否接受超常实验班教育有关系”．

（12分）

19．(1)证明

AMCDABCD是矩形CDADCD面PADPD于MAMMC AC为直径的球面交PA面ABCDCDPAAM面PADCD与MC是面PCD内两条相交直线AM面PCD面ABM面PCD6（分）

AM面ABM

(2)解：PA=AD=4，等腰直角三角形PAD面积为S=8，CD=2 三棱锥P-AMC的体积 VP-AMC=VC-PAM=

8111VC-PAD=SCD=12（分）

3223220.解：（1）设P（x,y）则R（2x,0），Q（0，2y）,由QTQR0得曲线E的方程为y4x4（分）

（2）设直线L的方程为x=my+b,由L与圆相切得m2bb，（I） 由22xmyb22得，y4my4b0(4m)16b>0(II) 2y4x7

由（I）(II)得b(,3)(0,)，8（分）

设M（x1,y1）,N（x2,y2）,C（x,y）则y1y24m,x1x24m22b，又OC2OA，（>0）,则x=(x1x2),y(y1y2)代入

y24x1中得

2(y1y2)24(x1x2),即

1142b,则

(,1)(1,)12（分）

2421.（1）解：当a=1时，设g(x)=f/(x)=2(ex-x-1),g/(x)=2(ex-1)0,(x0)f/(x)在[0,+ )上递增，即x0时f/(x)f/(0)=0, f(x)的增区间为[0,+)，无减区间，且x0时，f(x)=2ex-2-2x-x2f(0)=04（分）

（2）解法一：<1>当a1时f/(x)=2(ex-x-a)2(x+1-x-a)=2(1-a)0x0时f(x)f(0)=0 即当a1时，f(x)0恒成立，x[0,+ )6（分）

又f/(0)=2（1-a）<0,f/(a)=2（ea-2a）由（1）已证2ex-2-2x-x20知ex1+x+

5<2>当a>1时,设h(x)=f/(x)=2(ex-a-x)，h/(x)=2(ex-1)0, （x0） f/(x)在[0,+ )上递增

12 x21 f/(a)2(1+a+a2-2a)=(a-1)2+1>0  f/(x)在(0,a)上存在唯一零点xo,即exo-a-x0=0,

2  f(x)在（0，xo）上递减，在（xo,+）上递增8（分）

1xxx又f(xo)= 2eo-2-2axo-xo2=2(eo-1-x0eo+xo2),令

21g(x)=ex-1-xex+x2,x(0,a),g/(x)=x(1-ex)<0,

2由<1><2>可知a的取值范围为(-,1]. 当x>0时g(x)解法二：分离变量

ex1x=0时f(0)=0，x>0时f(x)0a令h(x)=xex-ex+1-递增， 由洛比达法则

112xexex1x2x22=g(x),g/(x)=, 2xx12/

x,h(x)=x(ex-1)>0x>0时h(x)>h(0)=0g/(x)>0,即g(x)在（0，+）上2limx0g(x)=

limx0(ex-x)=1(适用于参加自主招生学生)

a的取值范围为(-,1].

2xt2222．（1）E:x=4y,l: （t为参数） 5（分） y12t2

8

(2)将L的参数方程代入x2=4y中得t2-42t-8=0t1t242t1t28,直线L过圆心，

2故ACBD=AB-2=t1t22=（t1t2）4t1t2-2=6 10（分）

23.解析：（1）当a0时，由f(x)g(x)得2x1x1， 两边平方整理得x2x0，解得x0或x-2

∴原不等式的解集为-，-20， （5分） （2）由f(x)g(x) 得a2x1x1，

21x2,x21令h(x)2x1x1 ，即h(x)3x,x1 （7分）

2x2,x1故h(x)minh()

1233 ，故可得到所求实数a的范围为, （10分) 22 9