2021-2022学年浙江省绍兴市新昌县八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是( )
A.
B.
C.
D.
2. 已知三角形的两边长分别为2和7，则该三角形的第三边长可以为( )
A. 3 B. 5 C. 7 D. 9
3. 如图，△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝐷是𝐵𝐶的中点，∠𝐵𝐴𝐶=50°，则∠𝐵𝐴𝐷的度数为( )
A. 25° B. 50° C. 65° D. 100°
4. 下列命题中，正确的是( )
A. 三条边对应相等的两个三角形全等 C. 三个角对应相等的两个三角形全等
B. 周长相等的两个三角形全等 D. 面积相等的两个三角形全等
5. 如果𝑎>𝑏，那么下列结论一定正确的是( )
A. 𝑎+3<𝑏+3
B. 2<2
𝑎𝑏
C. 𝑎+3>𝑏+4 D. 𝑎−3>𝑏−3
6. 下列选项中，可以用来说明命题“两个锐角的和是锐角”是假命题的反例是( )
A. 两个角分别为13°，45° C. 两个角分别为45°，45°
B. 两个角分别为40°，45° D. 两个角分别为105°，45°
7. 在平面直角坐标系中，点𝐴的坐标为(−1,3)，点𝐵的坐标为(4,3)，则线段𝐴𝐵上任意一点的坐标可表示为( )
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A. (𝑥,3)(−1≤𝑥≤4) C. (𝑥,3)(𝑥≥−1)
B. (𝑥,3)(𝑥≤4) D. (𝑥,3)
𝐴𝐵//𝐶𝐷，𝐵𝑃和𝐶𝑃分别平分∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐵𝐶𝐷，𝐴𝐷过点𝑃8. 如图，
且与𝐴𝐵垂直．若𝐴𝐷=8，𝐵𝐶=10，则△𝐵𝐶𝑃的面积为( )
A. 16 B. 20 C. 40 D. 80
9. 已知一次函数𝑦=𝑘𝑥+𝑏，函数值𝑦随自变量𝑥的增大而减小，且𝑘+𝑏>0，则函数𝑦=𝑘𝑥+𝑏的大致图象是( )
A.
B.
C.
D.
10. 如图，𝑀，𝐴，𝑁是直线𝑙上的三点，𝐴𝑀=3，𝐴𝑁=5，𝑃是直线𝑙外一点，且∠𝑃𝐴𝑁=60°，𝐴𝑃=1，若动点𝑄从点𝑀出发，向点𝑁移动，移动到点𝑁停止，在△𝐴𝑃𝑄形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是( )
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A. 直角三角形一等边三角形一直角三角形一等腰三角形 B. 直角三角形一等腰三角形一直角三角形一等边三角形 C. 等腰三角形一直角三角形一等腰三角形一直角三角形 D. 等腰三角形一直角三角形一等边三角形一直角三角形
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 用不等式表示“𝑥的4倍小于3”为______．
12. 若点𝑀(𝑎−2,2𝑎+3)是𝑦轴上的点，则𝑎的值为______ ． 13. 命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题是：______． △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵=90°，𝐶𝐷是𝐴𝐵边上的中线，14. 如图，且𝐶𝐷+𝐴𝐵=12，则𝐴𝐵的长为______．
15. 某种家用电器的进价为每件800元，以每件1200元的标价出售，由于电器积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则最低可按标价的______折出售． 16. 如图，一块木板把△𝐴𝐵𝐶遮去了一部分，过点𝐴的木板边沿恰好把△𝐴𝐵𝐶分成两个等腰三角形，已知∠𝐵=10°，且∠𝐵是其中一个等腰三角形的底角，则△𝐴𝐵𝐶中最大内角的度数为______．
三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分) 以下是圆圆解不等式组{
2(𝑥−1)>3①
的解答过程．
−(1+𝑥)>−5②
解：由①，得2𝑥−1>3， 所以，𝑥>2． 由②，得1+𝑥>5， 所以，𝑥>4．
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所以原不等式组的解为𝑥>4．
圆圆的解答过程是否正确？若不正确，写出正确的解答过程． 18. (本小题8.0分) 如图，已知△𝐴𝐵𝐶．
(1)请用直尺和圆规作∠𝐴𝐵𝐶的角平分线𝐵𝐷，交𝐴𝐶于点𝐷.(保留作图痕迹，不写作法) (2)在(1)的条件下，若∠𝐴=100°，∠𝐶=28°，求∠𝐵𝐷𝐴的度数．
19. (本小题8.0分)
已知：如图，点𝐴，𝐹，𝐸，𝐵在同一直线上，∠𝐴𝐶𝐸=∠𝐵𝐷𝐹=90°，𝐴𝐶=𝐷𝐹，𝐴𝐹=𝐵𝐸． 求证：∠𝐴=∠𝐵𝐹𝐷．
20. (本小题8.0分)
如图，在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，△𝐴′𝐵′𝐶′是由△𝐴𝐵𝐶平移得到，已知𝐴′，𝐵′，𝐶′三点的坐标分别为(−1,1)，(1,−3)，(4,−1)，点𝐴的坐标为(−1,4)． (1)画出△𝐴𝐵𝐶．
(2)描述△𝐴𝐵𝐶到△𝐴′𝐵′𝐶′的平移过程．
(3)已知点𝑃(0,𝑏)为△𝐴𝐵𝐶内的一点，求点𝑃在△𝐴′𝐵′𝐶′内的对应点𝑃′的坐标．
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21. (本小题8.0分)
如图，已知一次函数𝑦=𝑘𝑥+𝑏的图象经过𝐴(−2,−2)，𝐵(1,4)两点． (1)求一次函数的解析式，并在直角坐标系中画出其图象． (2)当𝑦≤0时，求𝑥的取值范围．
22. (本小题8.0分)
如图，在三角形纸片𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶=6𝑐𝑚，𝐵𝐶=8𝑐𝑚，𝐴𝐵=10𝑐𝑚，折叠纸片使点𝐵与点𝐴重合，𝐷𝐸为折痕，将纸片展开铺平，连结𝐴𝐸．
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(1)判断△𝐴𝐵𝐶的形状，并说明理由． (2)求𝐴𝐸的长．
23. (本小题8.0分)
某通讯公司就手机流量套餐推出两种方案，如下表：
每月基本费用(元) 𝐴方案 20 1024 0.3 𝐵方案 50 𝑚 0.3 每月免费使用流量(兆) 超出后每兆收费(元) 已知𝐴，𝐵两种方案每月所需的费用𝑦(元)与每月使用的流量𝑥(兆)之间的函数关系如图所示． (1)请直接写出𝑚的值．
(2)在𝐴方案中，当每月使用流量不少于1024兆时，求每月所需的费用𝑦(元)与每月使用的流量𝑥(兆)之间的函数关系式．
(3)小明的爸爸平均每月使用流量约2024兆，你认为他选择哪种方案较划算？说明理由．
24. (本小题8.0分)
如图，∠𝐴𝐵𝐶=90°，△𝐴𝐵𝐸是等边三角形，点𝐷是射线𝐵𝐶上的任意一点(不与点𝐵重合)，连结𝐴𝐷，以𝐷𝐴为边在𝐷𝐴边的右侧作等边三角形𝐴𝐷𝐹，连结𝐹𝐸并延长交𝐵𝐶于点𝐺． 探究下列问题： (1)∠𝐸𝐵𝐶=______°.
(2)当𝐴，𝐸，𝐷三点在同一直线上时，求∠𝐸𝐺𝐷的度数．
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(3)当𝐴，𝐸，𝐷三点不在同一直线上且点𝐷，𝐺不重合时，求∠𝐸𝐺𝐷的度数．
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答案和解析
1.【答案】𝐷
【解析】 【分析】
本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解． 【解答】
解：𝐴、不是轴对称图形，故本选项错误； B、不是轴对称图形，故本选项错误； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、是轴对称图形，故本选项正确． 故选：𝐷．
2.【答案】𝐶
【解析】解：设第三边为𝑐，
根据三角形的三边关系可得7−2<𝑐<7+2， 解得5<𝑐<9， 所以可能是7， 故选：𝐶．
根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出第三边𝑐的取值范围． 本题考查了三角形的三边关系，熟记性质是解题的关键．
3.【答案】𝐴
【解析】解：∵𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝐷是𝐵𝐶的中点，∠𝐵𝐴𝐶=50°， ∴𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，
∴∠𝐵𝐴𝐷=2∠𝐵𝐴𝐶=2×50°=25°． 故选：𝐴．
根据已知的𝐴𝐵=𝐴𝐶得到三角形𝐴𝐵𝐶为等腰三角形，再根据𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的中线，利用等腰三角形“三线合一”的性质得到𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，进而根据已知的∠𝐵𝐴𝐶=50°，利用角平分线的定义即可
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求出∠𝐵𝐴𝐷的度数．
此题考查了等腰三角形的性质，以及角平分线的定义，根据已知的𝐴𝐷为等腰三角形底边上的高，利用等腰三角形“三线合一”的性质得到𝐴𝐷也为顶角的角平分线是解本题的关键．
4.【答案】𝐴
【解析】解：𝐴、根据全等三角形的判定定理𝑆𝑆𝑆知，三条边对应相等的两个三角形全等．故本选项正确；
B、全等三角形的周长相等，但周长的两个三角形不一定能重合，不一定是全等三角形．故本选项错误；
C、𝐴𝐴𝐴不能判定这两个三角形全等；故本选项错误；
D、全等三角形面积相等，但面积相等的两个三角形不一定是全等三角形．故本选项错误； 故选：𝐴．
依据全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形．即可求解．
𝑆𝑆𝑆、𝑆𝐴𝑆、𝐴𝑆𝐴、𝐴𝐴𝑆、𝐻𝐿． 本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：注意：𝐴𝐴𝐴、𝑆𝑆𝐴不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
5.【答案】𝐷
【解析】解：𝐴.∵𝑎>𝑏，
∴𝑎+3>𝑏+3，故本选项不符合题意； B.∵𝑎>𝑏，
∴2>2，故本选项不符合题意；
C.不妨设𝑎=3，𝑏=2，则𝑎+3=𝑏+2， 故本选项不符合题意； D.∵𝑎>𝑏，
∴𝑎−3>𝑏−3，但是𝑎2<𝑏2，故本选项符合题意； 故选：𝐷．
根据不等式的性质逐个判断即可．
本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键，①不等式的性质1：不等式的
𝑎
𝑏
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两边都加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式的两边都乘(或②不等式的性质2：除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的性质3：不等式的两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
6.【答案】𝐶
【解析】解：当两个角分别为45°，45°时，这两个角都是锐角，和为90°，90°是直角， 则命题“两个锐角的和是锐角”是假命题， 故选：𝐶．
根据锐角的概念判断即可．
本题考查的是命题的知识，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
7.【答案】𝐴
【解析】解：∵点𝐴的坐标为(−1,3)，点𝐵的坐标为(4,3)，𝐴、𝐵两点纵坐标都为3， ∴𝐴𝐵//𝑥轴，
∴线段𝐴𝐵上任意一点的坐标可表示为(𝑥,3)(−1≤𝑥≤4)， 故选：𝐴．
A、𝐵两点纵坐标相等，即可确定𝐴𝐵与𝑥轴平行．
本题考查了坐标与图形的性质，平行于𝑥轴的直线上的点纵坐标相等．
8.【答案】𝐵
【解析】解：过𝑃作𝑃𝐸⊥𝐵𝐶于𝐸，
∵𝐴𝐵//𝐶𝐷，
∴∠𝐵𝐴𝑃+∠𝐶𝐷𝑃=180°， ∵𝐴𝐷⊥𝐴𝐵， ∴∠𝐵𝐴𝑃=90°，
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∴∠𝐶𝐷𝑃=90°， 即𝐴𝐷⊥𝐶𝐷，
∵𝑃𝐸⊥𝐵𝐶，𝐵𝑃和𝐶𝑃分别平分∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐵𝐶𝐷， ∴𝑃𝐴=𝑃𝐸，𝑃𝐸=𝑃𝐷， ∴𝑃𝐴=𝑃𝐷， ∵𝐴𝐷=8，
∴𝑃𝐸=𝑃𝐷=𝐴𝑃=4， ∵𝐵𝐶=10，
∴△𝐵𝐶𝑃的面积为×𝐵𝐶×𝑃𝐸=×10×4=20， 故选：𝐵．
过𝑃作𝑃𝐸⊥𝐵𝐶于𝐸，根据角平分线的性质得出𝑃𝐸=𝑃𝐴=𝑃𝐷，求出𝑃𝐸=𝑃𝐴=𝑃𝐷=𝐴𝐷=4，再根据三角形的面积公式求出答案即可．
本题考查了平行线的性质和角平分线的性质，能熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解此题的关键．
1212129.【答案】𝐴
【解析】解：∵一次函数𝑦=𝑘𝑥+𝑏，𝑦随着𝑥的增大而减小， ∴𝑘<0，
∴一次函数𝑦=𝑘𝑥+𝑏的图象经过第二、四象限； ∵𝑘+𝑏>0， ∴𝑏>−𝑘>0，
∴图象与𝑦轴的交点在𝑥轴上方，
∴一次函数𝑦=𝑘𝑥+𝑏的图象经过第一、二、四象限． 故选：𝐴．
根据一次函数的性质得到𝑘<0，而𝑘+𝑏>0，则𝑏>−𝑘>0，所以一次函数𝑦=𝑘𝑥+𝑏的图象经过第二、四象限，与𝑦轴的交点在𝑥轴上方．
本题考查了一次函数的图象：一次函数𝑦=𝑘𝑥+𝑏(𝑘、𝑏为常数，𝑘≠0)是一条直线，当𝑘>0，图象经过第一、三象限，𝑦随𝑥的增大而增大；当𝑘<0，图象经过第二、四象限，𝑦随𝑥的增大而减
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小；图象与𝑦轴的交点坐标为(0,𝑏)．
10.【答案】𝐷
【解析】 【分析】
本题考查了等边三角形的性质与判定，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形和等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
把点𝑄从点𝑀出发，沿直线𝑙向点𝑁移动，移动到点𝑁停止的整个过程，逐次考虑确定三角形的形状即可判断． 【解答】
解：当点𝑄移动到𝑀𝑄=2，此时𝑄在𝐴的左侧，且𝐴𝑄=𝐴𝑃=1，△𝐴𝑃𝑄是等腰三角形， 当点𝑄移动到点𝐴的右侧，且𝐴𝑄=𝐴𝑃=时，△𝐴𝑃𝑄是直角三角形， 当点𝑄移动到点𝐴的右侧，且𝐴𝑄=𝐴𝑃=1时，△𝐴𝑃𝑄是等边三角形， 当点𝑄移动到点𝐴的右侧，且𝐴𝑄=2𝐴𝑃=2时，△𝐴𝑃𝑄是直角三角形，
∴在△𝐴𝑃𝑄形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是：等腰三角形一直角三角形一等边三角形一直角三角形， 故选：𝐷．
121211.【答案】4𝑥<3
【解析】解：由题意可得：4𝑥<3． 故答案为：4𝑥<3．
直接利用𝑥的4倍即为4𝑥，进而小于3得出不等式．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，正确理解题意是解题关键．
12.【答案】2
【解析】解：∵点𝑀(𝑎−2,2𝑎+3)是𝑦轴上的点， ∴𝑎−2=0， 解得𝑎=2． 故答案为：2．
根据𝑦轴上点的横坐标为0列方程求解即可．
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本题考查了点的坐标，熟记𝑦轴上点的横坐标为0是解题的关键．
13.【答案】如果三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形
【解析】 【分析】
本题考查了原命题的逆命题，属于基础题． 根据题意，即可得解． 【解答】
解：因为“直角三角形两锐角互余”的题设是“三角形是直角三角形”，结论是“两个锐角互余”， 所以逆命题是：“如果三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形”． 故答案为：如果三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形．
14.【答案】8
【解析】解：在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵=90°，𝐶𝐷是𝐴𝐵边上的中线， 则𝐶𝐷=𝐴𝐵，
2∵𝐶𝐷+𝐴𝐵=12， ∴2𝐴𝐵+𝐴𝐵=12， 解得：𝐴𝐵=8， 故答案为：8．
根据直角三角形的性质得到𝐶𝐷=𝐴𝐵，根据题意计算，得到答案．
2本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
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15.【答案】七
【解析】解：设按标价的𝑥折出售， 依题意得：1200×10−800≥800×5%， 解得：𝑥≥7，
∴最低可按标价的七折出售．
𝑥
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故答案为：七．
设按标价的𝑥折出售，利用利润=售价−进价，结合利润率不低于5%，即可得出关于𝑥的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
16.【答案】90°或140°或150°
【解析】解：如图，
∵∠𝐵=10°，△𝐴𝐷𝐵是等腰三角形， ∴∠𝐷𝐴𝐵=10°，
∴∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐵+∠𝐷𝐴𝐵=20°， ①∠𝐴𝐷𝐶是等腰△𝐴𝐷𝐶的顶角，
则∠𝐷𝐴𝐶=∠𝐶=(180°−20°)÷2=80°，
则△𝐴𝐵𝐶中最大内角的度数为∠𝐵𝐴𝐶=80°+10°=90°； ②∠𝐴𝐷𝐶是等腰△𝐴𝐷𝐶的底角， 则∠𝐷𝐴𝐶=∠𝐴𝐷𝐶=20°， 则∠𝐶=180°−20°×2=140°， 或∠𝐶=∠𝐴𝐷𝐶=20°，
则∠𝐷𝐴𝐶=180°−20°×2=140°， 则∠𝐵𝐴𝐶=140°+10°=150°．
综上所述，△𝐴𝐵𝐶中最大内角的度数为90°或140°或150°． 故答案为：90°或140°或150°．
先根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质求出∠𝐴𝐷𝐶，再分∠𝐴𝐷𝐶是等腰△𝐴𝐷𝐶的顶角和底角两种情况进行讨论即可求解．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形外角的性质，关键是求出∠𝐴𝐷𝐶，注意分类思想的应用．
17.【答案】解：圆圆的解答过程不正确，
解不等式①，得：𝑥>2.5， 解不等式②，得：𝑥<4， 则不等式组的解集为2.5<𝑥<4．
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【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18.【答案】解：(1)如图所示，𝐵𝐷即为所求．
(2)∵∠𝐴=100°，∠𝐶=28°， ∴∠𝐴𝐵𝐶=180°−∠𝐴−∠𝐶=52°， ∵𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶， ∴∠𝐷𝐵𝐶=26°，
∴∠𝐵𝐷𝐴=∠𝐷𝐵𝐶+∠𝐶=54°．
【解析】(1)根据角平分线的尺规作图求解即可；
(2)先根据三角形内角和定理求出∠𝐴𝐵𝐶度数，再由角平分线的性质得出∠𝐷𝐵𝐶，最后由三角形外角的性质可得答案．
本题主要考查作图—基本作图，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图、三角形内角和定理、三角形外角的性质．
19.【答案】证明：∵𝐴𝐹=𝐵𝐸，
∴𝐴𝐹+𝐸𝐹=𝐵𝐸+𝐸𝐹， ∴𝐴𝐸=𝐵𝐹，
在𝑅𝑡△𝐴𝐶𝐸和𝑅𝑡△𝐹𝐷𝐵中， 𝐴𝐸=𝐵𝐹{， 𝐴𝐶=𝐷𝐹
∴𝑅𝑡△𝐴𝐶𝐸≌𝑅𝑡△𝐹𝐷𝐵(𝐻𝐿)， ∴∠𝐴=∠𝐵𝐹𝐷．
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【解析】由“𝐻𝐿”可证𝑅𝑡△𝐴𝐶𝐸≌𝑅𝑡△𝐹𝐷𝐵，可得∠𝐴=∠𝐵𝐹𝐷． 本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
20.【答案】解：(1)如图，△𝐴𝐵𝐶即为所求；
(2)△𝐴𝐵𝐶向下平移3个单位长度得△𝐴′𝐵′𝐶′；
(3)∵△𝐴𝐵𝐶向下平移3个单位长度得△𝐴′𝐵′𝐶′，𝑃(0,𝑏)， ∴对应点𝑃′的坐标为(0,𝑏−3)．
【解析】(1)根据𝐴′，𝐵′，𝐶′三点的坐标分别为(−1,1)，(1,−3)，(4,−1)，点𝐴的坐标为(−1,4).即可画出△𝐴𝐵𝐶；
(2)根据平移的性质即可描述△𝐴𝐵𝐶到△𝐴′𝐵′𝐶′的平移过程； (3)结合(2)即可得点𝑃在△𝐴′𝐵′𝐶′内的对应点𝑃′的坐标．
本题考查了作图−平移变换，解决本题的关键是掌握平移的性质．
21.【答案】解：(1)把𝐴(−2,−2)，𝐵(1,4)分别代入𝑦=𝑘𝑥+𝑏得{−2𝑘+𝑏=−2，
𝑘+𝑏=4
𝑘=2解得{，
𝑏=2
∴一次函数解析式为𝑦=2𝑥+2； 一次函数𝑦=2𝑥+2的图象为：
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(2)∵𝑦≤0， ∴2𝑥+2≤0， 解得𝑥≤−1，
∴当𝑦≤0时，𝑥的取值范围为𝑥≤−1．
【解析】(1)先利用待定系数法求一次函数解析式，然后两点确定一条直线画出一次函数图象； (2)通过解不等式2𝑥+2≤0得到𝑥的范围．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数𝑦=𝑘𝑥+𝑏，则需要两组𝑥，𝑦的值．也考查了一次函数的性质．
22.【答案】解：(1)△𝐴𝐵𝐶是直角三角形，理由如下：
∵𝐴𝐶=6𝑐𝑚，𝐵𝐶=8𝑐𝑚，𝐴𝐵=10𝑐𝑚， ∴𝐴𝐶2+𝐵𝐶2=62+82=102=𝐴𝐵2， ∴△𝐴𝐵𝐶是直角三角形； (2)根据折叠可知：𝐴𝐸=𝐵𝐸， 设𝐴𝐸=𝐵𝐸=𝑥 𝑐𝑚， 则𝐶𝐸=(8−𝑥)𝑐𝑚，
在𝑅𝑡△𝐴𝐶𝐸中，根据勾股定理，得 62+(8−𝑥)2=𝑥2， 解得𝑥=，
4∴𝐴𝐸=4𝑐𝑚．
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【解析】(1)根据勾股定理的逆定理即可解决问题；
(2)根据折叠可得𝐴𝐸=𝐵𝐸，设𝐴𝐸=𝐵𝐸=𝑥，则𝐶𝐸=8−𝑥，然后根据勾股定理即可解决问题． 本题考查了翻折变换，勾股定理的逆定理，解决本题的关键是掌握翻折的性质．
23.【答案】解：(1)根据题意，𝑚=3072；
(2)设在𝐴方案中，当每月使用的流量不少于1024兆时，每月所需的费用𝑦(元)与每月使用的流量𝑥(兆)之间的函数关系式为𝑦=𝑘𝑥+𝑏(𝑘≠0)， 把(1024,20)，(1124,50)代入，得： 20=1024𝑘+𝑏{， 50=1124𝑘+𝑏𝑘=0.3 解得{，
𝑏=−287.2
∴𝑦关于𝑥的函数关系式为𝑦=0.3𝑥−287.2(𝑥≥1024)； (3)他选择𝐵方案较划算．理由如下：
选择𝐴方案每月所需的费用：20+0.3×(2024−1024)=320(元)， 选择𝐵方案每月所需的费用：50(元)， 320>50，
∴他选择𝐵方案较划算．
【解析】(1)根据题意，结合图象可得𝑚=3072； (2)利用待定系数法解答即可；
(3)根据题意，求出每月使用流量约2024兆，选择𝐴，𝐵两种方案每月所需的费用即可． 本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
24.【答案】30
【解析】解：(1)∵△𝐴𝐵𝐸是等边三角形， ∴∠𝐴𝐵𝐸=60°， ∵∠𝐴𝐵𝐶=90°， ∴∠𝐸𝐵𝐶=30° 故答案为：30；
(2)当𝐴，𝐸，𝐷三点在同一直线上时，如图1，
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∵△𝐴𝐵𝐸是等边三角形，
∴𝐴𝐵=𝐴𝐸=𝐵𝐸，∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐴𝐵𝐸=60°， ∴∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐸𝐵𝐷=30°， ∴𝐵𝐸=𝐷𝐸=𝐴𝐸， 又∵△𝐴𝐷𝐹是等边三角形， ∴𝐹𝐺⊥𝐴𝐷， ∴∠𝐹𝐺𝐷=60°；
(3)当𝐵𝐷>√3𝐴𝐵时，如图2或3，
3
如图2，∵△𝐴𝐷𝐹为等边三角形， ∴𝐴𝐷=𝐴𝐹，∠𝐷𝐴𝐹=60°， ∵△𝐸𝐵𝐴是等边三角形，
∴𝐸𝐴=𝐴𝐵，∠𝐸𝐴𝐵=60°=∠𝐹𝐴𝐷， ∴∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐸𝐴𝐹， 在△𝐴𝐵𝐷和△𝐴𝐸𝐹中， 𝐴𝐵=𝐴𝐸
{∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐸𝐴𝐹， 𝐴𝐷=𝐴𝐹
∴△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐸𝐹(𝑆𝐴𝑆)，
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∴∠𝐴𝐸𝐹=∠𝐴𝐵𝐷=90°，
∴∠𝐵𝐺𝐸=360°−∠𝐴𝐵𝐷−∠𝐴𝐸𝐺−∠𝐵𝐴𝐸=360°−90°−90°−60°=120°， ∴∠𝐸𝐺𝐷=60°，
如图3，∵∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐷𝐴𝐹=60°， ∴∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐸𝐴𝐹． 在△𝐴𝐵𝐷和△𝐴𝐸𝐹中， 𝐴𝐵=𝐴𝐸
{∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐸𝐴𝐹， 𝐴𝐷=𝐴𝐹
∴△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐸𝐹(𝑆𝐴𝑆)， ∴∠𝐴𝐸𝐹=∠𝐴𝐵𝐷=90°，
∴∠𝐵𝐺𝐸=360°−∠𝐴𝐵𝐷−∠𝐴𝐸𝐺−∠𝐵𝐴𝐸=360°−90°−90°−60°=120°， ∴∠𝐸𝐺𝐷=60°， 当𝐵𝐷<
√3
3
𝐴𝐵时，
如图4，∵∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐷𝐴𝐹=60°， ∴∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐸𝐴𝐹． 在△𝐴𝐵𝐷和△𝐴𝐸𝐹中， 𝐴𝐵=𝐴𝐸
{∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐸𝐴𝐹， 𝐴𝐷=𝐴𝐹
∴△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐸𝐹(𝑆𝐴𝑆)， ∴∠𝐴𝐸𝐹=∠𝐴𝐵𝐷=90°，
∴∠𝐵𝐺𝐸=360°−∠𝐴𝐵𝐷−∠𝐴𝐸𝐺−∠𝐵𝐴𝐸=360°−90°−90°−60°=120°， ∴∠𝐸𝐺𝐷=120°，
综上所述：∠𝐸𝐺𝐷=60°或120°．
(1)由等边三角形的性质和直角三角形的性质可求解；
(2)由等边三角形的性质和直角三角形的性质可求𝐴𝐵=𝐴𝐸=𝐷𝐸=𝐵𝐸，即可求解；
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(3)分两种情况讨论，由全等三角形的性质和等边三角形的性质可求解．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
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