浙江省新昌县实验中学2021-2021学年八年级数学竞赛试卷(PDF版,含解析)

共 26 题

一、单选题

1、已知下列命题：①若a﹥b则a＋b﹥0；②若a≠b则a2≠b2；③角的平分线上的点到角两边的距离相等；④平行四边形的对

角线互相平分。其中原命题和逆命题都正确的个数是（ ）

A. 1个

C. 3个

2、下列计算正确的是（ ）

A. C.

3、为使

A. x＞ C. x≠

有意义，x的取值范围是（ ）

B. x≥ D. x≥

且x≠

B. 2个 D. 4个

B. D.

4、某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为288万元，如果每月比上月增长的百分数相同，则平均每月的

增长（ ）

A. 10%

B. 15%

D. 25%C. 20%

5、等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、正五边形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有（ ）

A. 1个

B. 2个

D. 4个C. 3个

6、如图，△ABC中，AB＝AC＝2，BC边上有10个不同的点 ， ，……

……，10），那么 的值为（ ）

, 记 （i ＝ 1，2，

A. 4 B. 14

D. 不能确定C. 40

7、如图．已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A、B两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点C

也在小方格的顶点上，且以A、B、C为顶点的三角形面积为1，则点C的个数为（ ）

A. 3个C. 5个

B. 4个 D. 6个

8、如果关于 的方程

A. -3

没有实数根，那么 的最大整数值是（ ）

B. -2 D. 0

的结果是（ ）

B. 1 D. 19-4k

C. -1

9、如果一个三角形的三边长分别为1，k，3，则化简

A. -5C. 13 10、如图，在

ABCD中，BC=7厘米，CD=5厘米，∠D=50°，BE平分∠ABC，下列结论中错误的是（ ）

A. ∠C=130°C. AE=5厘米

B. ∠BED=130° D. ED=2厘米

二、填空题

11、已知 ，那么代数式 的值为________.

12、已知 ，则 ________.

13、已知 ，则一元二次方程 的根的情况是________.

14、如图，菱形 的边长为1， ；作 于点 ，以 为一边，做第二个菱形 ，

使 ；作 于点 ，以 为一边做第三个菱形 ，使 ；……依此类推，这样做的第n个菱形 的边

的长是________.

15、如图，矩形OABC中，O是原点，OA＝8，AB＝6，则对角线AC和BO的交点H的坐标为________.

16、一元二次方程 可以配方成

17、 ________.

18、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，

如果CD恰好与AB垂直，那么∠A=________.

________.

，CM是斜边AB的中线，将△ACM沿直线CM折叠，点A落在点D处，

19、如图，矩形ABCD两邻边分别为3、4，点P是矩形一边上任意一点，则点P到两条对角线AC、BD的距离之和PE+PF

为________.

20、如图，在△ABC 中，∠1=∠2= ∠B=20°，则∠ADE=________.

三、解答题

21、解方程

22、如图，已知四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，CE∥DB，交AB的延长线于E.求证：AC=CE.

23、如图（1），在ΔABC中，AB=BC=5，AC=6，ΔABC沿BC方向平移得到△ECD，连接AE、AC和BE相交于点O。

（1）判断四边形ABCE是怎样的四边形，说明理由；

（2）如图（2）,P是线段BC上一动点，（不与点B、C重合），连接PO并延长交线段AB于点Q，QR⊥BD，垂足为点R.四边形PQED的面积是否随点P的运动而发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出四边形PQED的面积.

24、解方程

25、如图，四边形A1OC1B1、A2C1C2B2、A3C2C3B3均为正方形，点A1、A2、A3和点C1、C2、C3分别在直线y= x+1

和x轴上，求点C1和点B3的坐标.

26、某单位通过旅行社组织职工去上海世博会.下面是领队与旅行社导游收费标准的一段话：

领队：每人的收费标准是多少？

导游：如果人数不超过30人，人均旅游费用为120元.领队：超过30人怎样优惠呢？

导游：如果超过30人，每增加1人，人均旅游费用就降低2元，但人均旅游费用不得低于90元.

该单位按旅行社的收费标准组团参观世博会后，共支付给旅行社4000元.请你根据上述信息，求该单位这次参观世博会的共有几人？

参

一、单选题

1、【答案】

B

【解析】

【解答】解 ：A、如 ：-1大于-2，但二者之和-3小于0，∴A不符合题意；B、如 ：两个互为相反数的数的平方相等，故B不符合题意；C 、既是角平分线的性质，也可作为其判定，故C符合题意；D 、原命题是平行四边形的性质，逆命题是平行四边形的判定，皆正确，故D符合题意；故答案为 ：B。

【分析】A,B两个答案可以用举例子的方法排除，C,D两个答案，原命题是性质定理，逆命题是判定定理，故都正确。从而得出答案。

2、【答案】

C

【解析】

【解答】A、∵（-2）0=1，∴A不符合题意；B、3-2= ， ∴B不符合题意；C、D、

=3，∴C符合题意；

， 是二次根式的加法，应该是合并同类二次根式，而它们不是同类二次根式，故不能合并，∴D你符合题

意。

故答案为：C

【分析】根据零指数的意义，任何一个不为零的数的零次幂等于1；根据负指数的意义，3的-2次幂应该等于3的2次幂的倒数；算数根的意义，9的算数根等于3；二次根式的加法运算的方法，就可以一一判断。

3、【答案】

D

【解析】

【解答】解： 3x-2≠0且2x+3≥0解得：x≠ ，x≥

∴取值范围是x≥

【分析】根据代数式有意义的条件，分母不能为零，二次根式的被开方数必须要为非负数，从而得出不等式组 3x-2≠0且2x+3≥0，求解取出公共解集部分即可。

4、【答案】

C

【解析】

【解答】解：设这两个月的营业额增长的百分率是x． 则200×（1+x）2=288.（1+x）2=1.44 ∵1+x＞0， ∴1+x=1.2，∴x=0.2=20%．

5、【答案】

C

【解析】

【解答】解 ：既是轴对称图形又是中心对称图形的有：矩形，正方形和菱形。∴有三个。故答案为 ：C。

【分析】把一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的图形就是轴对称图形。把一个图形绕着某一点旋转180 后能与自身重合的图形就是中心对称图形。根据轴对称图形及中心对称图形的定义一一判断即可。

6、【答案】

C

【解析】

【解答】解 ： 过点A作AD⊥BC与D,

在Rt△ABD和Rt△APiD中,

∵AB2=AD2+BD2,APi2=AD2+PiD2 ，

∴AB2−APi2=AD2+BD2−(AD2+PiD2)=BD2−PiD2=(BD+PiD)(BD−PiD)=PiC⋅PiB，∴APi2+PiC⋅PiB=AB2=4,∴Mi=4.

∴M1+M2+…+M10=4×10=40.

故答案为 ：40.

【分析】 过点A作AD⊥BC与D, 根据勾股定理得出AB2=AD2+BD2,APi2=AD2+PiD2 ， 根据等式的性质得出

AB2−APi2=AD2+BD2−(AD2+PiD2)=BD2−PiD2=(BD+PiD)(BD−PiD)=PiC⋅PiB，等量代换得出APi2+PiC⋅PiB=AB2=4,即Mi=4.从而得出M1+M2+…+M10=4×10=40.

7、【答案】

D

【解析】

【解答】如图所示：

红色的点即为C可能的点，所以为6个。故答案为 ：D.

【分析】利用方格纸的特点及三角形的面积计算公式，A、B两点在小方格的顶点上，点C也在小方格的顶点上，且以A、B、C为顶点的三角形面积为1，故只需满足，三角形的底为2，高为1，即可，从而得出所有满足条件的点C的位置.

8、【答案】

B

【解析】

【解答】由题可得：

＜0，

解得k＜-1，

∴k的最大整数是-2。

【分析】根据根与系数的关系，首先算出根的判别式的值，然后由此方程没有实数根知Δ＜0，从而得出关于k的不等式，求解得出k的取值范围，再在取值范围内找出最大整数即可。

9、【答案】

B

【解析】

【解答】由三角形三边关系得：2＜k＜4， ∴ ，

，

∴原式＝ ，故应选 ;B。

【分析】首先根据三角形三边的关系，得出k的取值范围，然后根据二次根式的性质，一个数的平方的算数根等于它的绝对值，再根据绝对值的意义去掉绝对值符号，最后按整式的加减计算出结果即可。

10、【答案】

B

【解析】

【解答】解 :∵四边形ABCD是平行四边形

∴∠ C ＋ ∠ A B C =180° ，∠D=∠ABC=50°, AD∥BC,∠A=∠C;∴ ∠C =∠A=130°，∵BE平分 ∠ABC ，∴ ∠CBE =25°，∵ AD∥BC

∴ ∠CBE ＋ ∠DBE =180°， ∠AEB =25°；∴ ∠DEB =155°，∴AB=AE=5厘米，∴ED=2厘米。故答案为 ：B。

【分析】根据平行四边形对角相等，邻角互补，对边平行得出∠ C ＋ ∠ A B C =180° ，∠D=∠ABC=50°,

AD∥BC,∠A=∠C;根据角平分线的性质得出∠CBE =25°，根据二直线平行，同旁内角互补，内错角相等得出∠CBE＋ ∠DBE =180°， ∠AEB =25°，从而得出 ∠DEB =155°，AB=AE=5厘米，ED=2厘米。二、填空题

11、【答案】

【第1空】-6

【解析】

【解答】解 ：∵x2＋x－1=0 ,

∴x2＋x=1 ;

∴x 3 + 2 x 2 − 7=x3＋x2＋x2-7=x(x2-x)＋x2－7=x＋x2-7=1-7=-6.

【分析】根据等式的性质首先将x2＋x－1=0 ,变形为x2＋x=1，然后利用拆项的方法将x 3 + 2 x 2 − 7拆成x3＋x2＋x2-7，根据加法的结合律及乘法分配律的逆用继续变形为x(x2-x)＋x2－7，然后连续两次整体代入即可。 12、【答案】

【第1空】

【解析】

【解答】因为要使式子有意义需

，即

此时

，所以

【分析】根据二次根式有意义的条件是被开方数要为非负数得出关于X的不等式组，求解得出x的值，进一步求出y的值，再代入代数式计算出结果即可。 13、【答案】

【第1空】没有实数根

【解析】

【解答】解：∵（a-1）2+∴（a-1）2=0,

=0,

∴a-1=0,2b-4=0,5c-15=0∴a=1,b=2,c=3

∴一元二次方程ax2+bx+c=0可化为x2+2x+3=0∴Δ=b2-4ac=22-4×1×3=4-12=-8<0∴一元二次方程没有实数根.

【分析】本题考查非负性和一元二次方程的根的判别式,根据偶次方，算术平方根，绝对值的非负性知几个非负数的和等于0，则这几个数都等于零，从而得出关于a,b,c的一元一次方程组，求解得出a,b,c的值，从而将含有参数的一元二次方程转化为标准形式，再计算出根的判别式的值，与零比较大小，即可得出答案。

+=0,

=0

14、【答案】

【第1空】

()2

√3

n−1

【解析】

【解答】第一个菱形边长为1，∵A D 2 ⊥ B 1 C 1 ，∴∠A D 2B1=90° ;又∵∠ B 1 = 60 ∘∴sin60°=∴AD2=AB1·sin60°即第二个菱形的边长为 同理第三个菱形的边长为 以此类推，第n个菱形的边长为

，

，

。

【分析】此题是一道探寻规律的题，根据直角三角形的正弦函数的定义，及特殊锐角的三角函数值，求出 a 2 ， 再同理求出a3 ， 依次类推就可以得出答案。 15、【答案】

【第1空】(4,3)

【解析】

【解答】解 ：过点H 作HE⊥OA与E，HF⊥OC于点F,

∵ 四边形OABC为矩形

∴ OH=HB AH=HC AB=OC OA=BC∵ HE⊥OA BA⊥OA∴ HE∥BA

∴ OH∶HB=OE∶EA∵ OH=HB∴ OE=EA∵ OA=8

∴ OE=×OA=4

同理可得到OF=×OC=3,

故点H的坐标为(4,3)故答案为 ：（4,3）

【分析】根据矩形的对边相等，对角线互相平分得出 OH=HB AH=HC AB=OC OA=BC，根据同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得出 HE∥BA，根据平行线分线段成比例定理得出 OH∶HB=OE∶EA，根据OH=HB，从而得到OE=EA，根据OA的长度，进而求出OE的长，同理得出OF的长，进而得出H点的坐标。 16、【答案】

【第1空】5

【解析】

【解答】解 ：∵ ∴ ，即 ，∴

【分析】根据配方法解一元二次方程的方法，方程的两边都加上一次项系数一半的平方，然后左边利用完全平方公式分解因式，右边合并成一个非负常数即可。

17、【答案】

【第1空】√3+2

【解析】

【解答】解：原式=（

-2）2006×（变形成

+2）2006×（

+2）=[（

改写成

-2）（

+2）]2006×（

+2）=1×（

+2）

+2.

【分析】根据同底数幂的乘法法则的逆用，将 18、【答案】

【第1空】30°

， 然后逆用积的乘方法则

， 再按照乘方的意义即可得出答案。

【解析】

【解答】在Rt△ABC中，∠A＜

∠B

∵CM是斜边AB上的中线，∴CM=AM，∴∠A=∠ACM，

将△ACM沿直线CM折叠，点A落在点D处设∠A=∠ACM=∠MCD=x度，∴∠A+∠ACM=∠CMB，∴∠CMB=2x，

如果CD恰好与AB垂直，垂足为G，在Rt△CMG中，

∠MCG+∠CMB=90°即3x=90°x=30°

得到∠A=30°

故答案为 ：30°．

【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出CM=AM，根据等边对等角得出∠A=∠ACM，根据折叠的性质得出∠A=∠ACM=∠MCD=x度，根据三角形的外角定理得出∠A+∠ACM=∠CMB，即∠CMB=2x，根据直角三角形两锐角互余得出∠MCG+∠CMB=90°，从而列出关于x的方程，求解得出x的值，从而得出答案。 19、【答案】

【第1空】12/5

【解析】

【解答】解 ：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°,又∵AB=3,AD=4，

∴根据勾股定理BD=5；∵PF⊥BD,∴∠PFB=90°

设PE=x，PF=a，PB=y．

∵∠PBF=∠ABD，∠PFB=∠DAB=90°∴△ABD∽△FBP，∴PF∶AD=PB∶BD即a∶4=y∶5,∴5a=4y

同理可证x∶4=(3-y)∶5,∴5x=12-4y故a+x=故答案为 ：

【分析】根据矩形的性质得出∠BAD=90°,然后根据勾股定理得出BD的长度，根据垂直的定义得出∠PFB=90°，然后判断出△ABD∽△FBP，根据相似三角形对应边成比例得出PF∶AD=PB∶BD，从而得出a∶4=y∶5,5a=4y同理得出5x=12-4y，整体代入即可得出答案。

20、【答案】

【第1空】40∘

【解析】【解答】

【分析】根据内错角相等，二直线平行得出E∥BC，根据二直线平行，同位角相等得出ADE=∠B，进而由∠B的度数得出答案。三、解答题

21、【答案】

解：化简得：x2+11x-12=0因式分解得：(x+12)(x-1)=0∴x+12=0或x-1=0∴x1=-12;x2=1.

【解析】

【分析】首先将方程整理成一般形式，然后将方程的左边用十字相乘法分解因式，根据两个因式的积等于0，则这两个因式中至少有一个为零，从而将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程，得出原方程的解。 22、【答案】

解 :∵四边形ABCD是矩形,∴AC=BD,AB∥CD,

又∵A,B,E三点在同一条直线上，∴BE∥CD ,∵CE∥DB,

∴四边形BECD是平行四边形，∴BD=CE,∴AC=CE .

【解析】

【分析】根据矩形的对边平行，对角线相等得出AC=BD,AB∥CD,进而根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得出四边形BECD是平行四边形，根据平行四边形对边相等得出BD=CE,从而根据等量代换得出答案。

23、【答案】

解 ：（1）四边形ABCE是菱形，理由如下 ：∵ΔABC沿BC方向平移得到△ECD；∴AB∥CE ;AB=CE;

∴ 四边形ABCE是平行四边形；又∵AB=BC,

∴平行四边形ABCE是菱形；

（2）不变.∵平行四边形ABCE是菱形；

12

∴AC⊥BE,OC＝{#mathml#}{#/mathml#}AC=3,BE=2OB;∴BE=2OB={#mathml#}52-32=4{#/mathml#}×2=8;

由菱形的对称性可知,△PBO≌△QEO,∴S△PBO=S△QEO.

∵△ECD是由△ABC平移得到的,∴ED∥AC,ED=AC=6.又∵BE⊥AC,∴BE⊥ED,

√

∴S四边形PQED=S△QEO+S四边形POED=S△PBO+S四边形POED=S△BED={#mathml#}{#/mathml#}×BE×ED={#mathml#}{#/mathml#}×8×6=24.

1212

【解析】

【分析】（1）根据平移的性质得出AB∥CE ;AB=CE;根据一组对边平行且相等的的四边形是平行四边形得出四边形ABCE是平行四边形；又AB=BC,根据一组邻边相等的平行四边形是菱形得出平行四边形ABCE是菱形；

（2）根据菱形的对角线互相平分且垂直得出AC⊥BE,OC＝AC=3,BE=2OB;然后利用勾股定理得出OB的长，进而得出BE的长，由菱形的对称性可知,△PBO≌△QEO,根据全等三角形的面积相等得出S△PBO=S△QEO.根据平移的性质得出ED∥AC,ED=AC=6.又BE⊥AC,故BE⊥ED,根据S四边形PQED=S△QEO+S四边形POED=S△PBO+S四边形POED=S△BED得出 24、【答案】

解：

(x+2)2−9=0

答案。

移项得，(x+2)2=9所以，x+2=±3所以，x=5或x=1

【解析】

【分析】首先观察方程的左边是一个完全平方式减去一个常数，所以可以采用直接开平方法求解，于是将常数项移到方程的左边，根据平方根的意义，直接开方降次为两个一元一次方程，解两方程得出原方程的解。

25、【答案】

解：把x=0代入y= x+1得，y=1;

∴A1（0，1）;∴OA1=1

∵四边形A1OC1B1是正方形，∴OA1=OC1=1,

（1，0）,

∵四边形A2C1C2B2为正方形,∴A2C1∥OA1,A2C1=C1C2;∴A2点的横坐标为1，把x=1代入y= x+1得y= ∴C1C2 = C1A2= ∴O C2= ，∴C2（,0）

∵四边形A1OC1B1、A2C1C2B2、A3C2C3B3均为正方形，∴A3C2∥OA1,A3B3∥C2C3,A3C2=C2C3=B3C3∴A3点的横坐标为；把x= 代入y= x+1得y= ∴C2A3=C2C3 = C3B3= ∴OC3= ∴B3（

， ）

【解析】

【分析】根据函数图像与x轴交点的坐标特点，得出A1点的坐标，从而得出OA1=1，进而根据正方形的性质得出OA1=OC1=1,从而得出C1的坐标，又四边形A2C1C2B2为正方形,从而得出A2C1∥OA1,A2C1=C1C2;进而根据平行于y轴的直线上的点的横坐标相同得出A2点的横坐标为1，把x=1代入y= x+1得y= ， 根据正方形的性质，及点到x轴的距离得出C1C2 = C1A2= ；根据线段的和差得出O C2的长度，得出C2点坐标，仿照上面的做法就可以求出B3点的坐标了。 26、【答案】

解：设共有x人，则人均旅游费为[120-2（x-30）]元由题意得：x【120-2（x-30）】=4000整理得：x1＝40,x2＝50

当x=40时，120—2（40-30）=100大于90

当x=50时，120—2（50.30）=80.小于 90（不合，舍去）答：该单位这次参观世博会共又40人

【解析】

【分析】设共有x人，则人均旅游费为[120-2（x-30）]元,根据人均旅游费用×旅游人数=支付给旅行社的费用，列出方程，解方程，求出x的值，然后根据人均旅游费用不得低于90元.对方程的解进行取舍，从而得出答案。