带电粒子在匀强磁场中的运动专题

一、带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的程序解题法——三步法 1．画轨迹：即画出轨迹，确定圆心，用几何方法求半径。

2．找联系：轨道半径与磁感应强度、运动速度相联系，偏转角度与圆心角、运动时间相联系，在磁场中运动的时间与周期相联系。

3．用规律：即用牛顿第二定律和圆周运动的规律，特别是周期公式、半径公式。

例题1、如图所示，圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带电粒子以速度v从A点沿直径AOB方向射入磁场，经过Δt时间从C点射出磁场，OC与OB成60°角。现将带电粒子的速度变为v/3，仍从A点沿原方向射入磁场，不计重力，则粒子在磁场中的运动时间变为( )

11

A.Δt B．2Δt C.Δt D．3Δt 23

例题2、如图，虚线OL与y轴的夹角θ＝60°，在此角范围内有垂直于xOy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子从左侧平行于x轴射入磁场，入射点为M。粒子在磁场中运动的轨道半径为R，粒子离开磁场后的运动轨迹与x轴交于P点(图中未画出)，且OP＝R。不计重力。求M点到O点的距离和粒子在磁场中运动的时间。

二、带电粒子在磁场中运动的多解问题 1．带电粒子电性不确定形成多解

受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电，在相同的初速度的条件下，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解。如图甲所示，带电粒子以速率v垂直进入匀强磁场，如带正电，其轨迹为a，如带负电，其轨迹为b。 2．磁场方向不确定形成多解

有些题目只告诉了磁感应强度的大小，而未具体指出磁感应强度的方向，此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成的多解。如图乙所示，带正电粒子以速率v垂直进入匀强磁

场，如B垂直纸面向里，其轨迹为a，如B垂直纸面向外，其轨迹为b。 3．临界状态不唯一形成多解

带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过去了，也可能转过180°从入射界面这边反向飞出，如图甲所示，于是形成了多解。 4．运动的周期性形成多解

带电粒子在部分是电场，部分是磁场的空间运动时，运动往往具有往复性，从而形成多解，如图乙所示。

例题3、如图所示，垂直于纸面向里的匀强磁场分布在正方形abcd区域内，O点是cd边的中点。一个带正电的粒子仅在洛伦兹力的作用下，从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0刚好从c点射出磁场。现设法使该带电粒子从O点沿纸面以与Od成30°的方向，以大小不同的速率射入正方形内，粒子重力不计。那么下列说法中正确的是( ) A．若该带电粒子从ab边射出，它经历的时间可能为t0 B．若该带电粒子从bc边射出，它经历的时间可能为5t0

C．若该带电粒子从cd边射出，它经历的时间为

3D．若该带电粒子从ad边射出，它经历的时间可能为

2t0

35t0

3

例题4、如图甲所示，M、N为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板各有一个小孔O、O′正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示，设垂直纸面向里的磁场方向为正方向。有一群正离子在t＝0时垂直于M板从小孔O射入磁场。已知正离子质量为m、带电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响。求： (1)磁感应强度B0的大小；

(2)要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场，正离子射入磁场时的速度v0的可能值。

练习：

1、如图所示，半径为R的圆是一圆柱形匀强磁场区域的横截面(纸面)，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外。一电荷量为q(q>0)、质量为m的粒子沿平行于直径ab的方向射入磁场区域，射入点与ab的距离为。已知粒子射出磁场与射入

2磁场时运动方向间的夹角为60°，则粒子的速率为(不计重力)( ) A.

RqBRqBR3qBR2qBR B. C. D. 2mm2mm

2、两个质量相同、所带电荷量相等的带电粒子a、b，以不同的速率对准圆心O沿着AO方向射入圆形匀强磁场区域，其运动轨迹如图所示。若不计粒子的重力，则下列说法正确的是( )

A．a粒子带正电，b粒子带负电 B．a粒子在磁场中所受洛伦兹力较大 C．b粒子动能较大 D．b粒子在磁场中运动时间较长

3、如图所示，边界OA与OC之间分布有垂直纸面向里的匀强磁场，边界OA上有一粒子源S。某一时刻，从S平行于纸面向各个方向发射出大量带正电的同种粒子(不计粒子的重力及粒子间的相互作用)，所有粒子的初速度大小相同，经过一段时间有大量粒子从边界OC射出磁场。已知∠AOC＝60°，从边界OC射出的粒子在磁场中运动的最短时间等于(T为粒子在磁场中运动

6的周期)，则从边界OC射出的粒子在磁场中运动的最长时间为( )

TTT2T5TA. B. C. D. 3236

4、如图所示，在第二象限和第四象限的正方形区域内分别存在着两匀强磁场，

磁感应强度均为B，方向相反，且都垂直于xOy平面。一电子由P(－d，d)点，沿x轴正方向射入磁场区域Ⅰ(电子质量为m，电量为e，sin 53°＝0.8)。 (1)求电子能从第三象限射出的入射速度v的范围；

(2)若电子从0，位置射出，求电子在磁场Ⅰ中运动的时间t；

2

(3)求第(2)问中电子离开磁场Ⅱ时的位置坐标。

三、带电粒子在复合场中的运动 1．复合场与组合场

(1)复合场：电场、磁场、重力场共存，或其中某两场共存。

(2)组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或在同一区域，电场、磁场分时间段或分区域交替出现。

2．带电粒子在复合场、组合场中的常见运动

静止或匀速 直线运动 匀速圆 周运动 较复杂的 曲线运动 分阶段运动 当带电粒子在复合场中所受合力为零时，将处于静止状态或匀速直线运动状态 当带电粒子所受的重力与电场力大小相等，方向相反时，带电粒子在洛伦兹力的作用下，在垂直于匀强磁场的平面内做匀速圆周运动 当带电粒子所受合力的大小和方向均变化，且与初速度方向不在同一条直线上，粒子做非匀变速曲线运动，这时粒子运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线 带电粒子可能依次通过几个情况不同的组合场区域，其运动情况随区域发生变化，其运动过程由几种不同的运动阶段组成 

d

3、带电粒子在复合场中运动的应用实例 装置 原理图 规律 12粒子由静止被加速电场加速mv＝qU，粒子2质 谱 仪 mv2在磁场中做匀速圆周运动qvB＝，则比r 荷＝q2U mB2r2交流电的周期和粒子做圆周运动的周期相等，粒子在圆周运动过程中每次经过D形回旋加 速器 mv2盒缝隙都会被加速。由qvB＝得Ekm＝r q2B2r2 2m若qv0B＝Eq，即v0＝，粒子做匀速直线运速度选 择器 EB 磁流体 发电机 动 等离子体射入，受洛伦兹力偏转，使两极板带正、负电，两极电压为U时稳定，q＝ Udqv0B，U＝Bdv0 UUUDq＝qvB，所以v＝，所以Q＝vS＝πDDBDB2电磁流 量计 霍尔 效应 2 当磁场方向与电流方向垂直时，导体在与磁场、电流方向都垂直的方向上出现电势差

4、带电粒子在组合场中的运动：“电偏转”和“磁偏转”的比较

内容 项目 垂直进入磁场(磁偏转) 垂直进入电场(电偏转) 情景图 FB＝qv0B大小不变，方向总指向圆心，方向变化，FB为变力 匀速圆周运动 运动规律 受力 FE＝qE，FE大小、方向不变，为恒力 类平抛运动vx＝v0， mv02πmr＝，T＝ BqBqEqvy＝t，x＝v0t， mEqy＝t2 2m运动时间 动能 t＝θ2πT＝θm BqLt＝ v0变化 不变 例题1、如图所示，在坐标系xOy的第一、第三象限内存在相同的匀强磁场，磁场方向垂直于xOy平面向里；第四象限内有沿y轴正方向的匀强电场，电场强度大小为E。一带电荷量为＋q、质量为m的粒子，自y轴的P点沿x轴正方向射入第四象限，经x轴上的Q点进入第一象限，随即撤去电场。以后仅保留磁场。已知OP＝d，OQ＝2d，不计粒子重力。 (1)求粒子过Q点时速度的大小和方向。

(2)若磁感应强度的大小为一确定值B0，粒子将以垂直y轴的方向进入第二象限，求B0；

(3)若磁感应强度的大小为另一确定值，经过一段时间后粒子将再次经过Q点，且速度与第一次过Q点时相同，求该粒子相邻两次经过Q点所用的时间。

例题2、如图所示，一个质量为m、电荷量为q的正离子，在D处沿图示方向以一定的速度射入磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直纸面向里。结果离子正好从距A点为d的小孔C沿垂直于电场方向进入匀强电场，此电场方向与AC平行且向上，最后离子打在G处，而G处距A点2d(AG⊥AC)。不计离子重力，离子运动轨迹在纸面内。求： (1)此离子在磁场中做圆周运动的半径r； (2)离子从D处运动到G处所需时间； (3)离子到达G处时的动能。

5、带电粒子在复合场中的运动 （1）是否考虑粒子重力

①对于微观粒子，如电子、质子、离子等，因为其重力一般情况下与静电力或磁场力相比太小，可以忽略；而对于一些实际物体，如带电小球、液滴、尘埃等一般应当考虑其重力。 ②在题目中有明确说明是否要考虑重力的，按题目要求处理。

③不能直接判断是否要考虑重力的，在进行受力分析与运动分析时，要结合运动状态确定是否要考虑重力。

（2）带电粒子在复合场中运动的三种情况

①当带电粒子在复合场中做匀速直线运动时，根据受力平衡列方程求解。

②当带电粒子在复合场中做匀速圆周运动时，应用牛顿定律结合圆周运动规律求解。 ③当带电粒子做复杂曲线运动时，一般用动能定理或能量守恒定律求解。

例题3、如图所示，两块水平放置、相距为d的长金属板接在电压可调的电源上。两板之间的右侧区域存在方向垂直纸面向里的匀强磁场。将喷墨打印机的喷口靠近上板下表面，从喷口连续不断喷出质量均为m、水平速度均为v0、带相等电荷量的墨滴。调节电源电压至U，墨滴在电场区域恰能沿水平向右做匀速直线运动；进入电场、磁场共存区域后，最终垂直打在下板的M点。 (1)判断墨滴所带电荷的种类，并求其电荷量； (2)求磁感应强度B的值；

(3)现保持喷口方向不变，使其竖直下移到两板中间的位置。为了使墨滴仍能到达下板M点，应将磁感应强度调至B′，则B′的大小为多少？

例题4、如图所示，与水平面成37°的倾斜轨道AC，其延长线在D点与半圆轨道DF相切，全部轨道为绝缘材料制成且位于竖直面内，整个空间存在水平向左的匀强电场，MN的右侧存在垂直纸面向里的匀强磁场(C点处于MN边界上)。一质量为0.4 kg的带电小球沿轨道AC下滑，至C点时速度为vC100

＝ m/s，接着沿直线CD运动到D处进入半圆轨道，进入时无动能损失，且恰好能通过F点，在7

F点速度为vF＝4 m/s(不计空气阻力，g＝10 m/s2，cos 37°＝0.8)。求：

(1)小球带何种电荷？

(2)小球在半圆轨道部分克服摩擦力所做的功；

(3)小球从F点飞出时磁场同时消失，小球离开F点后的运动轨迹与直线AC(或延长线)的交点为G点(未标出)，求G点到D点的距离。

四、带电粒子在交变电磁场中的运动：解答本类问题的三个关键点 (1)熟悉带电粒子在电场和磁场中运动的特征。

(2)抓住电场和磁场交换时粒子受力情况的变化以及速度的关联。

(3)粒子在电场中都是做匀加速直线运动，在磁场中都是做匀速圆周运动时，需注意的是电场和磁场交换时间的以及两板间距离的。

例题1、两块足够大的平行金属极板水平放置，极板间加有空间分布均匀、大小随时间周期性变化的电场和磁场①，变化规律分别如图甲、乙所示(规定垂直纸面向里为磁感应强度的正方向)。在t＝0时由负极板释放一个初速度为零②的带负电的粒子(不计重力)。若电场强度E0、磁感应强度B0、粒

2

q2πm10πmE0

子的比荷均已知，且t0＝③ 两板间距h＝。

mqB0qB20

(1)求粒子在0～t0时间内的位移大小与极板间距h的比值；

(2)求粒子在极板间做圆周运动的最大半径(用h表示)④；

(3)若板间电场强度E随时间的变化仍如图甲所示，磁场的变化改为如图丙所示⑤，试画出粒子在板间运动的轨迹图(不必写计算过程)。

审破题 题 ① 方波变化，有电无磁，有磁无电，粒子在电场中做匀加速直线运动，在磁场中做匀速圆周运动 电磁场交替出现的时间恰为粒子做一次完整圆周运动的时间 粒子在各阶段沿垂直极板方向的位移之和小于h

练习：

1、如图所示的平面直角坐标系xOy，在第Ⅰ象限内有平行于y轴的匀强电场，方向沿y轴正方向；在第Ⅳ象限的正三角形abc区域内有匀强磁场，方向垂直于xOy平面向里，正三角形边长为L，且ab边与y轴平行。一质量为m、电荷量为q的粒子，从y轴上的P(0，h)点，以大小为v0的速度沿x轴正方向射入电场，通过电场后从x轴上的a(2h,0)点进入第Ⅳ象限，又经过磁场从y轴上的某点进入第Ⅲ象限，且速度与y轴负方向成45°角，不计粒子所受的重力。求： (1)电场强度E的大小；

(2)粒子到达a点时速度的大小和方向；

(3)abc区域内磁场的磁感应强度B的最小值。

② 粒子由静止开始先在电场中匀加速运动 ③ ④ ⑤ 粒子运动半周即改变绕向 2、一圆筒的横截面如图所示，其圆心为O。筒内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。圆筒下面有相距为d的平行金属板M、N，其中M板带正电荷，N板带等量负电荷。质量为m、电荷量为q的带正电粒子自M板边缘的P处由静止释放，经N板的小孔S以速度v沿半径SO方向射入磁场中。粒子与圆筒发生两次碰撞后仍从S孔射出，设粒子与圆筒碰撞过程中没有动能损失，且电荷量保持不变，在不计重力的情况下，求：

(1)M、N间电场强度E的大小； (2)圆筒的半径R；

2

(3)保持M、N间电场强度E不变，仅将M板向上平移d，粒子仍从M板边缘P处由静止释放，粒子

3自进入圆筒至从S孔射出期间，与圆筒的碰撞次数n。 3、在科学研究中，可以通过施加适当的电场和磁场来实现对带电粒子运动的控制，如图甲所示的xOy平面处于匀强电场和匀强磁场中，电场强度E和磁感应强度B随时间t作周期性变化的图象如图3乙、丙所示。x轴正方向为E的正方向，垂直纸面向里为B的正方向，在坐标原点O有一粒子P，其质量和电荷量分别为m和＋q。不计重力，在t＝时刻释放P，它恰能沿一定轨道做往复运动。

2(1)求P在磁场中运动时速度的大小v0； (2)求B0应满足的关系；

(3)在t002

τ

τ

4、如图甲，空间存在一范围足够大的垂直于xOy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。让质量为m，电荷量为q(q>0)的粒子从坐标原点O沿xOy平面以不同的初速度大小和方向入射到该磁场中。不计重力和粒子间的影响。

(1)若粒子以初速度v1沿y轴正向入射，恰好能经过x轴上的A(a,0)点，求v1的大小；

(2)已知一粒子的初速度大小为v(v>v1)，为使该粒子能经过A(a,0)点，其入射角θ(粒子初速度与x轴正向的夹角)有几个？并求出对应的sin θ的值；

(3)如图5乙所示，若在此空间再加入沿y轴正向、大小为E的匀强电场，一粒子从O点以初速度v0沿y轴正向发射。研究表明：粒子在xOy平面内做周期性运动，且在任一时刻，粒子速度的x分量vx与其所在位置的y坐标成正比，比例系数与场强大小E无关。求该粒子运动过程中的最大速度值vm。

5、如图所示，与水平面成45°角的平面MN将空间分成 Ⅰ 和 Ⅱ 两个区域。一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子以速度v0从平面MN上的P0点水平向右射入 Ⅰ 区。粒子在 Ⅰ 区运动时，只受到大小不变、方向竖直向下的电场作用，电场强度大小为E；在 Ⅱ 区运动时，只受到匀强磁场的作用，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里。求粒子首次从 Ⅱ 区离开时到出发点P0的距离。粒子的重力可以忽略。

五、有界磁场中临界问题的处理方法 1、伸缩圆法 (1)适用条件：

①速度方向一定，大小不同。粒子源发射速度方向一定，大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化。

②轨迹圆圆心共线。如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v0越大，运动半径也越大。可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直速度方向的直线PP′上。 （2）方法界定：

以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩法”。

例题1、如图所示，宽度为d的匀强有界磁场，磁感应强度为B，MM′和NN′是磁场左右的两条边界线。现有一质量为m，电荷量为q的带正电粒子沿图示方向垂直射入磁场中，θ＝45°。要使粒子不能从右边界NN′射出，求粒子入射速率的最大值为多少？

2、旋转圆法 （1）适用条件：

①速度大小一定，方向不同。粒子源发射速度大小一定、方向不定的带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若射入初速度为v0，则圆周运动半径为R＝

mv0

。如图所示。 qBmv0

的圆(这个圆在下面的叙述中称为“轨迹圆心圆”)上。 qB②轨迹圆圆心，共圆。带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半径R＝

（2）方法界定： 将一半径为R＝

mv0

的圆沿着“轨迹圆心圆”平移，从而探索出临界条件，这种方法称为“平移法”。 qB

例题2、如图所示，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小B＝0.60 T，磁场内有一块平面感光板ab，板面与磁场方向平行，在距ab玻璃l＝16 cm处，有一个点状的

6

α放射源S，它向各个方向发射α粒子，α粒子的速度都是v＝3.0×10 m/s，已知α粒子的比荷＝5.0×10 C/kg，现只考虑在图纸平面中运动的α粒子，求ab上被α粒子打中的区域的长度。

3、汇聚圆法：大量带电粒子以相同的速度平行入射一圆形有界磁场，若粒子做匀速圆周运动的半径等于圆形磁场半径，则所有粒子在离开磁场时交于圆上同一点。

qm7

练习

1、如图所示，在0≤x≤a、0≤y≤范围内有垂直于xOy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为

2

aB，坐标原点O处有一个粒子源。在某时刻发射大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xOy平面内，与y轴正方向的夹角分布在0～90°范围内。已知粒子在

a磁场中做圆周运动的半径介于到a之间，从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在

2

磁场中做圆周运动周期的四分之一。求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的 (1)速度的大小；

(2)速度方向与y轴正方向夹角的正弦值。

2、如图所示，在空间中存在垂直纸面向里的磁感应强度为B的匀强磁场，其边界AB、CD相距为d，在左边界的Q点处有一质量为m、带电量为q的负粒子沿与左边界成30°的方向射入磁场，粒子重力不计。求：

(1)带电粒子能从AB边界飞出的最大速度；

(2)若带电粒子能垂直CD边界飞出磁场，穿过小孔进入如图所示的匀强电场中减速至零且不碰到负极板，则极板间电压U应满足什么条件？整个过程粒子在磁场中运动的时间是多少？

(3)若带电粒子的速度是(2)中的3倍，并可以从Q点沿纸面各个方向射入磁场，则粒子能打到CD边界的距离大小？