高三数学 复数多选题专项训练练习题含答案

一、复数多选题

1．已知复数z满足z2724i，在复平面内，复数z对应的点可能在（ ） A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

答案：BD 【分析】

先设复数，根据题中条件，由复数的乘法运算，以及复数相等的充要条件求出，即可确定对应的点所在的象限. 【详解】 设复数， 则， 所以， 则，解得或，

因此或，所以对应的点为或， 因此复

解析：BD 【分析】

先设复数zabia,bR，根据题中条件，由复数的乘法运算，以及复数相等的充要条件求出z，即可确定对应的点所在的象限. 【详解】

设复数zabia,bR， 则z2a22abib2724i， 所以z2a22abib2724i，

a2b27a3a3则，解得或，

b4b42ab24因此z34i或z34i，所以对应的点为3,4或3,4， 因此复数z对应的点可能在第二或第四象限. 故选：BD. 【点睛】

本题主要考查判定复数对应的点所在的象限，熟记复数的运算法则，以及复数相等的条件即可，属于基础题型.

2．给出下列命题，其中是真命题的是（ ） A．纯虚数z的共轭复数是z

B．若z1z20，则z1z2

C．若z1z2R，则z1与z2互为共轭复数 D．若z1z20，则z1与z2互为共轭复数

答案：AD 【分析】

A．根据共轭复数的定义判断.B.若，则，与关系分实数和虚数判断.C.若，分可能均为实数和与的虚部互为相反数分析判断.D. 根据，得到，再用共轭复数的定义判断. 【详解】 A．根据共轭

解析：AD 【分析】

A．根据共轭复数的定义判断.B.若z1z20，则z1z2，z1与z2关系分实数和虚数判

断.C.若z1z2R，分z1,z2可能均为实数和z1与z2的虚部互为相反数分析判断.D. 根据

z1z20，得到z1z2，再用共轭复数的定义判断.

【详解】

A．根据共轭复数的定义，显然是真命题； B．若z1z20，则z1z2，当z1,z2均为实数时，则有z1z2，当z1，z2是虚数

时，z1z2，所以B是假命题；

C．若z1z2R，则z1,z2可能均为实数，但不一定相等，或z1与z2的虚部互为相反数，但实部不一定相等，所以C是假命题； D. 若z1z20，则z1故选：AD 【点睛】

本题主要考查了复数及共轭复数的概念，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 3．若复数zz2，所以z1与z2互为共轭复数，故D是真命题.

2，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是（ ） 1iB．|z|A．z的虚部为1 C．z2为纯虚数

2 D．z的共轭复数为1i

答案：ABC 【分析】

首先利用复数代数形式的乘除运算化简后得：，然后分别按照四个选项的要求逐一求解判断即可. 【详解】 因为，

对于A：的虚部为，正确； 对于B：模长，正确；

对于C：因为，故为纯虚数，

解析：ABC 【分析】

首先利用复数代数形式的乘除运算化简z后得：z1i，然后分别按照四个选项的要求逐一求解判断即可. 【详解】 因为z21i222i1i， 1i1i1i2对于A：z的虚部为1，正确； 对于B：模长

z2，正确；

22对于C：因为z(1i)2i，故z2为纯虚数，正确； 对于D：z的共轭复数为1i，错误. 故选：ABC. 【点睛】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的有关概念，考查逻辑思维能力和运算能力，侧重考查对基础知识的理解和掌握，属于常考题.

4．已知复数za3i在复平面内对应的点位于第二象限，且z2 则下列结论正确的是（ ）． A．z38

C．z的共轭复数为13i

B．z的虚部为3 D．z24

答案：AB 【分析】

利用复数的模长运算及在复平面内对应的点位于第二象限求出 ，再验算每个选项得解. 【详解】 解：，且，

复数在复平面内对应的点位于第二象限 选项A:

选项B: 的虚部是 选项C:

解析：AB 【分析】

利用复数z2的模长运算及za3i在复平面内对应的点位于第二象限求出a ，再验算每个选项得解. 【详解】

解：

za3i，且z2a2(3)24，a=1

复数za3i在复平面内对应的点位于第二象限a1 选项A: (13i)3(1)3+3(1)23i+3(1)(3i)2(3i)38 选项B: z13i的虚部是3

选项C: z13i的共轭复数为z13i

选项D: (13i)2(1)2+2(1)3i+(3i)2223i 故选：AB． 【点睛】

本题考查复数的四则运算及共轭复数，考查运算求解能力. 求解与复数概念相关问题的技巧:

复数的分类、复数的相等、复数的模及共轭复数的概念都与复数的实部、虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a+bi(a，bR)的形式，再根据题意求解．

5．已知复数z满足z(2i)i(i为虚数单位)，复数z的共轭复数为z，则（ ）

3 5C．复数z的实部为1

A．|z|B．z12i 5D．复数z对应复平面上的点在第二象限

答案：BD 【分析】

因为复数满足，利用复数的除法运算化简为，再逐项验证判断. 【详解】 因为复数满足， 所以

所以，故A错误； ，故B正确；

复数的实部为 ，故C错误； 复数对应复平面上的点在第二象限

解析：BD 【分析】

因为复数z满足z(2i)i，利用复数的除法运算化简为z【详解】

因为复数z满足z(2i)i， 所以z12i，再逐项验证判断. 55ii(2i)12i 2i2i(2i)55512所以z，故A错误； 5552212i，故B正确； 551复数z的实部为 ，故C错误；

5 z复数z对应复平面上的点,故选：BD 【点睛】

本题主要考查复数的概念，代数运算以及几何意义，还考查分析运算求解的能力，属于基础题.

136．已知复数zi（其中i为虚数单位），则以下结论正确的是（ ）

2212在第二象限，故D正确. 55A．z20

B．z2z C．z31

D．z1

答案：BCD 【分析】

利用复数的运算法则直接求解． 【详解】

解：复数（其中为虚数单位）， ，故错误； ，故正确； ，故正确； ．故正确． 故选：． 【点睛】

本题考查命题真假的判断，考查复数的运算法则

解析：BCD 【分析】

利用复数的运算法则直接求解． 【详解】 解：z213复数zi（其中i为虚数单位），

2213313ii，故A错误； 42422z2z，故B正确；

131313z3(i)(i)1，故C正确；

222244|z|131．故D正确． 44故选：BCD． 【点睛】

本题考查命题真假的判断，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．

7．任何一个复数zabi（其中a、bR，i为虚数单位）都可以表示成：

zrcosisin的形式，通常称之为复数z的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：

znrncosnisinnnN，我们称这个结论为棣莫弗定rcosisin理.根据以上信息，下列说法正确的是（ ） A．zz B．当r1，C．当r1，D．当r1，22n3时，z31 时，z313i 224时，若n为偶数，则复数zn为纯虚数

答案：AC 【分析】

利用复数的三角形式与模长公式可判断A选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可判断B选项的正误；计算出复数，可判断C选项的正误；计算出，可判断D选项的正误. 【详解】

对于A选项，，则，可得

解析：AC 【分析】

利用复数的三角形式与模长公式可判断A选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可判断B选项的正误；计算出复数z，可判断C选项的正误；计算出z4，可判断D选项的正误. 【详解】

对于A选项，zrcosisin，则zr22cos2isin2，可得

2z2r2cos2isin2r2，zrcosisinr2，A选项正确；

2对于B选项，当r1，3时，

z3cosisincos3isin3cosisin1，B选项错误；

对于C选项，当r1，项正确；

对于D选项，zcosisincosnisinncosnn33时，zcos3isin31313i，C选i，则z2222nnisin， 44取n4，则n为偶数，则z4cosisin1不是纯虚数，D选项错误. 故选：AC. 【点睛】

本题考查复数的乘方运算，考查了复数的模长、共轭复数的运算，考查计算能力，属于中等题.

8．已知z1，z2为复数，下列命题不正确的是（ ） A．若z1z2，则z1z2 B．若z1z2，则z1z2

C．若z1z2则z1z2 D．若z1z2，则z1z2

答案：BCD 【分析】

根据两个复数之间不能比较大小，得到C、D两项是错误的，根据复数的定义和复数模的概念，可以断定A项正确，B项错误，从而得到答案. 【详解】

因为两个复数之间只有等与不等，不能比较大小

解析：BCD 【分析】

根据两个复数之间不能比较大小，得到C、D两项是错误的，根据复数的定义和复数模的概念，可以断定A项正确，B项错误，从而得到答案. 【详解】

因为两个复数之间只有等与不等，不能比较大小，所以C、D两项都不正确； 当两个复数的模相等时，复数不一定相等，

比如1i1i，但是1i1i，所以B项是错误的； 因为当两个复数相等时，模一定相等，所以A项正确； 故选：BCD. 【点睛】

该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有两个复数之间的关系，复数模的概念，属于基础题目.

9．已知i为虚数单位，复数z32i，则以下真命题的是（ ） 2iA．z的共轭复数为C．z3

47i 55B．z的虚部为

7i 5D．z在复平面内对应的点在第一象限

答案：AD 【分析】

先利用复数的除法、乘法计算出，再逐项判断后可得正确的选项. 【详解】 ，故，故A正确.

的虚部为，故B错，，故C错， 在复平面内对应的点为，故D正确. 故选：AD. 【点睛】 本题考

解析：AD 【分析】

先利用复数的除法、乘法计算出z，再逐项判断后可得正确的选项. 【详解】

z47i32i32i2i47i47i，故z，故A正确.

552i55557z的虚部为，故B错，z1649653，故C错，

55547z在复平面内对应的点为,，故D正确.

55故选：AD. 【点睛】

本题考查复数的概念、复数的运算以及复数的几何意义，注意复数zabia,bR的虚部为b，不是bi，另外复数的除法运算是分子分母同乘以分母的共轭复数. 10．i是虚数单位，下列说法中正确的有（ ） A．若复数z满足zz0，则z0

B．若复数z1，z2满足z1z2z1z2，则z1z20 C．若复数zaai(aR)，则z可能是纯虚数

D．若复数z满足z234i，则z对应的点在第一象限或第三象限

答案：AD 【分析】

A选项，设出复数，根据共轭复数的相关计算，即可求出结果； B选项，举出反例，根据复数模的计算公式，即可判断出结果；

C选项，根据纯虚数的定义，可判断出结果； D选项，设出复数，根据题

解析：AD 【分析】

A选项，设出复数，根据共轭复数的相关计算，即可求出结果； B选项，举出反例，根据复数模的计算公式，即可判断出结果； C选项，根据纯虚数的定义，可判断出结果；

D选项，设出复数，根据题中条件，求出复数，由几何意义，即可判断出结果. 【详解】

A选项，设zabia,bR，则其共轭复数为zabia,bR， 则zza2b20，所以ab0，即z0；A正确；

B选项，若z11，z2i，满足z1z2z1z2，但z1z2i不为0；B错； C选项，若复数zaai(aR)表示纯虚数，需要实部为0，即a0，但此时复数

z0表示实数，故C错；

D选项，设zabia,bR，则z2abia22abib234i，

2a2b23a2a2所以，解得或，则z2i或z2i，

b1b12ab4所以其对应的点分别为2,1或2,1，所以对应点的在第一象限或第三象限；D正确. 故选：AD.

11．已知复数z满足z2z0，则z可能为（ ） A．0

B．2

C．2i

D．2i

2答案：ACD 【分析】

令代入已知等式，列方程组求解即可知的可能值. 【详解】 令代入，得：， ∴，解得或或 ∴或或． 故选：ACD 【点睛】

本题考查了已知等量关系求复数，属于简单题.

解析：ACD 【分析】

令zabi代入已知等式，列方程组求解即可知z的可能值. 【详解】

令zabi代入z22|z|0，得：a2b22a2b22abi0，

a0,a0,a0,a2b22a2b20∴，解得或或

b0b2b2,2ab0∴z0或z2i或z2i． 故选：ACD 【点睛】

本题考查了已知等量关系求复数，属于简单题. 12．已知复数z满足z2z0，则z可能为（ ）. A．0

B．2

C．2i

D．2i+1

2答案：AC 【分析】

令，代入原式，解出的值，结合选项得出答案． 【详解】 令，代入， 得，

解得，或，或， 所以，或，或. 故选：AC 【点睛】

本题考查复数的运算，考查学生计算能力，属于基础题．

解析：AC 【分析】

令zabia,bR，代入原式，解出a,b的值，结合选项得出答案． 【详解】

令zabia,bR，代入z2z0，

2得a2b22a2b22abi0， 解得a0a0a0，或，或， b0b2b2所以z0，或z2i，或z2i. 故选：AC 【点睛】

本题考查复数的运算，考查学生计算能力，属于基础题． 13．已知复数zcosisin（ ）

（其中i为虚数单位）下列说法正确的是

22A．复数z在复平面上对应的点可能落在第二象限 B．z可能为实数 C．z1 D．

1的虚部为sin z答案：BC 【分析】

分、、三种情况讨论，可判断AB选项的正误；利用复数的模长公式可判断C选项的正误；化简复数，利用复数的概念可判断D选项的正误. 【详解】

对于AB选项，当时，，，此时复数在复平面内的点

解析：BC 【分析】 分0、0、0三种情况讨论，可判断AB选项的正误；利用复数的模221，利用复数的概念可判断D选项的正误. z长公式可判断C选项的正误；化简复数【详解】 对于AB选项，当四象限；

当0时，z1R； 当00时，cos0，sin0，此时复数z在复平面内的点在第22时，cos0，sin0，此时复数z在复平面内的点在第一象限.

A选项错误，B选项正确；

对于C选项，zcos2sin21，C选项正确；

11cosisincosisin， 对于D选项，

zcosisincosisincosisin所以，复数故选：BC.

14．已知复数Z在复平面上对应的向量OZ(1,2),则（ ） A．z=-1+2i

B．|z|=5

C．z12i

D．zz5

1的虚部为sin，D选项错误. z答案：AD 【分析】

因为复数Z在复平面上对应的向量，得到复数，再逐项判断. 【详解】

因为复数Z在复平面上对应的向量， 所以，，|z|=，， 故选：AD

解析：AD 【分析】

因为复数Z在复平面上对应的向量OZ(1,2)，得到复数z12i，再逐项判断. 【详解】

因为复数Z在复平面上对应的向量OZ(1,2)， 所以z12i，z12i，|z|=5，zz5， 故选：AD

15．已知复数z13i(i为虚数单位)，z为z的共轭复数，若复数w论正确的有（ ）

A．w在复平面内对应的点位于第二象限 C．w的实部为B．w1 D．w的虚部为

z，则下列结z1 23i 2答案：ABC 【分析】

对选项求出，再判断得解；对选项，求出再判断得解；对选项复数的实部为，判断得解；对选项,的虚部为,判断得解. 【详解】 对选项由题得 .

所以复数对应的点为，在第二象限，所以选项正确

解析：ABC 【分析】

对选项A,求出w=13i，再判断得解；对选项B，求出w1再判断得解；对选项2213,判断得解. ，判断得解；对选项D,w的虚部为22C,复数w的实部为【详解】

对选项A,由题得z13i,

13i(13i)2223i13w=i.

42213i(13i)(13i)所以复数w对应的点为(对选项B，因为w13,)，在第二象限，所以选项A正确； 22131，所以选项B正确； 441，所以选项C正确； 2对选项C,复数w的实部为对选项D,w的虚部为故选：ABC 【点睛】

3,所以选项D错误. 2本题主要考查复数的运算和共轭复数，考查复数的模的计算，考查复数的几何意义，考查复数的实部和虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

1i2020(i为虚数单位)，则下列说法错误的是（ ） 16．已知复数z1iA．z的实部为2

B．z的虚部为1

C．z2i

D．|z|2 答案：AC 【分析】

根据复数的运算及复数的概念即可求解. 【详解】 因为复数， 所以z的虚部为1，， 故AC错误，BD正确. 故选：AC

解析：AC 【分析】

根据复数的运算及复数的概念即可求解. 【详解】

1i20201(i4)50522(1i)因为复数z1i，

1i1i1i2所以z的虚部为1，|z|12+12=2， 故AC错误，BD正确. 故选：AC 17．已知复数zA．zz1

13i，则下列结论正确的有（ ） 22B．z2z

C．z31

D．z202013i 22答案：ACD

【分析】

分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D选项的时候注意利用复数乘方的性质. 【详解】

因为，所以A正确； 因为，，所以，所以B错误； 因为，所以C正确； 因为，所以，所以D正确

解析：ACD 【分析】

分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D选项的时候注意利用复数乘方的性质. 【详解】

131313zzi因为2222i441，所以A正确；

1313132ii因为z，z，所以z2z，所以B错误； i222222因为zzz3221313ii1，所以C正确； 2222131320206336443zzzzz1ii，因为zzz1，所以2222633所以D正确， 故选：ACD. 【点睛】

本题考查复数乘法与乘方的计算，其中还涉及到了共轭复数的计算，难度较易.

18．（多选题）已知集合Mmmi,nN，其中i为虚数单位，则下列元素属于集合M的是（ ） A．1i1i

B．

n1i 1iC．

1i 1iD．1i

2答案：BC 【分析】

根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项. 【详解】 根据题意，中， 时，； 时，

；时，； 时，， .

选项A中，； 选项B中，； 选项C中，； 选项D中，.

解析：BC 【分析】

根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项. 【详解】

根据题意，Mmmi,nN中，

nn4kkN时，in1； n4k1kN时，

ini；n4k2kN时，in1；

n4k3kN时，ini， M1,1,i,i.

选项A中，1i1i2M；

1iiM；1i选项B中， 1i1i1i21iiM；1i选项C中，

1i1i1i选项D中，1i2iM. 故选：BC. 【点睛】

此题考查复数的基本运算，涉及复数的乘方和乘法除法运算，准确计算才能得解. 19．设复数z满足A．z为纯虚数

C．在复平面内，z对应的点位于第三象限

22z1i，则下列说法错误的是（ ） zB．z的虚部为i D．z122 2答案：AB 【分析】

先由复数除法运算可得，再逐一分析选项，即可得答案. 【详解】 由题意得：，即，

所以z不是纯虚数，故A错误； 复数z的虚部为，故B错误；

在复平面内，对应的点为，在第三象限，故C正确

解析：AB 【分析】

先由复数除法运算可得z【详解】

由题意得：z1zi，即z11i，再逐一分析选项，即可得答案. 22111i， 1i22所以z不是纯虚数，故A错误； 复数z的虚部为1，故B错误； 2在复平面内，z对应的点为(,)，在第三象限，故C正确；

1212112，故D正确. z()2()2222故选：AB 【点睛】

本题考查复数的除法运算，纯虚数、虚部的概念，复平面内点所在象限、复数求模的运算等知识，考查计算求值的能力，属基础题. 20．下面是关于复数zA．|z|2

2（i为虚数单位）的命题，其中真命题为（ ） 1iC．z的共轭复数为1i D．z的虚部为1

B．z22i

答案：BD 【分析】

把分子分母同时乘以，整理为复数的一般形式，由复数的基本知识进行判断即可. 【详解】 解：， ，A错误； ，B正确；

z的共轭复数为，C错误； z的虚部为，D正确.

故选：BD. 【点

解析：BD 【分析】

2分子分母同时乘以1i，整理为复数的一般形式，由复数的基本知识进行判1i断即可. 【详解】

把z解：

z22(1i)1i， 1i(1i)(1i)|z|2，A错误；

z22i，B正确；

z的共轭复数为1i，C错误； z的虚部为1，D正确. 故选：BD. 【点睛】

本题主要考查复数除法的基本运算、复数的基本概念，属于基础题.

21．若复数z满足(1i)z3i（其中i是虚数单位），复数z的共轭复数为z，则（ ） A．|z|5 C．z的虚部是1

B．z的实部是2

D．复数z在复平面内对应的点在第一象限

答案：ABD 【分析】

把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数，根据共轭复数概念得到，即可判断. 【详解】 ， ，

，故选项正确，

的实部是，故选项正确， 的虚部是，故选项错误， 复

解析：ABD 【分析】

把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数z，根据共轭复数概念得到z，即可判断.

【详解】

(1i)z3i，

z3i3i1i42i2i， 1i1i1i2z2215，故选项A正确，

z的实部是2，故选项B正确， z的虚部是1，故选项C错误，

复数z2i在复平面内对应的点为2,1，在第一象限，故选项D正确. 故选：ABD. 【点睛】

本题主要考查的是复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示及几何意义，是基础题.

22．设z2t5t3t2t2i，tR，i为虚数单位，则以下结论正确的是（ ）

A．z对应的点在第一象限 C．z一定不为实数

B．z一定不为纯虚数 D．z对应的点在实轴的下方

22答案：CD 【分析】

利用配方法得出复数的实部和虚部的取值范围，结合复数的概念和几何意义可判断出各选项的正误，由此可得出结论. 【详解】 ，，

所以，复数对应的点可能在第一象限，也可能在第二象限，故A错误

解析：CD 【分析】

利用配方法得出复数z的实部和虚部的取值范围，结合复数的概念和几何意义可判断出各选项的正误，由此可得出结论. 【详解】

2495492t25t32t，t22t2t110，

8842所以，复数z对应的点可能在第一象限，也可能在第二象限，故A错误；

2t25t301当2，即t3或t时，z为纯虚数，故B错误；

2t2t20因为t22t20恒成立，所以z一定不为实数，故C正确；

由选项A的分析知，z对应的点在实轴的上方，所以z对应的点在实轴的下方，故D正确.

故选：CD. 【点睛】

本题考查复数的几何意义与复数的概念相关命题真假的判断，解题的关键就是求出复数虚部和实部的取值范围，考查计算能力与推理能力，属于中等题.