高考——数学复数多选题专项训练专项练习含答案

一、复数多选题

1．下列说法正确的是（ ） A．若z2，则zz4

B．若复数z1，z2满足z1z2z1z2，则z1z20 C．若复数z的平方是纯虚数，则复数z的实部和虛部相等

2D．“a1”是“复数za1a1iaR是虚数”的必要不充分条件

答案：AD 【分析】

由求得判断A；设出，，证明在满足时，不一定有判断B；举例说明C错误；由充分必要条件的判定说明D正确. 【详解】

若，则，故A正确； 设， 由，可得

则，而不一定为0，故B错误； 当时

解析：AD 【分析】

由z求得zz判断A；设出z1，z2，证明在满足z1z2z1z2时，不一定有z1z20判断B；举例说明C错误；由充分必要条件的判定说明D正确. 【详解】

若z2，则zzz4，故A正确；

设z1a1bi1a1,b1R，z2a2b2ia2,b2R 由z1z2z1z2，可得

2z1z2a1a2b1b2z1z2a1a2b1b2

则a1a2b1b20，而

222222z1z2a1bi1a2b2ia1a2bb12a1b2ib1a2i2a1a2a1b2ib1a2i不一定为0，故

B错误；

当z1i时z22i为纯虚数，其实部和虚部不相等，故C错误；

2若复数za1a1iaR是虚数，则a210，即a1

2所以“a1”是“复数za1a1iaR是虚数”的必要不充分条件，故D正确；

故选：AD 【点睛】

本题考查的是复数的相关知识，考查了学生对基础知识的掌握情况，属于中档题. 2．以下命题正确的是（ ）

A．a0是zabi为纯虚数的必要不充分条件 B．满足x210的x有且仅有i

C．“在区间a,b内fx0”是“fx在区间a,b内单调递增”的充分不必要条件

71D．已知fxxxx，则fxx8

8答案：AC 【分析】

利用纯虚数的概念以及必要不充分条件的定义可判断A选项的正误；解方程可判断B选项的正误；利用导数与函数单调性的关系结合充分不必要条件的定义可判断C选项的正误；利用基本初等函数的导数公式

解析：AC 【分析】

利用纯虚数的概念以及必要不充分条件的定义可判断A选项的正误；解方程x210可判断B选项的正误；利用导数与函数单调性的关系结合充分不必要条件的定义可判断C选项的正误；利用基本初等函数的导数公式可判断D选项的正误.综合可得出结论. 【详解】

对于A选项，若复数zabi为纯虚数，则a0且b≠0， 所以，a0是zabi为纯虚数的必要不充分条件，A选项正确； 对于B选项，解方程x210得xi，B选项错误；

对于C选项，当xa,b时，若fx0，则函数fx在区间a,b内单调递增， 即“在区间a,b内fx0”“fx在区间a,b内单调递增”. 反之，取fxx，fx3x，当x1,1时，fx0，

32此时，函数yfx在区间1,1上单调递增，

“fx在区间a,b内单调递增”. 即“在区间a,b内fx0”所以，“在区间a,b内fx0”是“fx在区间a,b内单调递增”的充分不必要条件. C选项正确； 对于D选项，fx故选：AC. 【点睛】

xxxx111248718x，fxx，D选项错误.

878本题考查命题真假的判断，涉及充分条件与必要条件的判断、实系数方程的根以及导数的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 3．对任意z1，z2，zC，下列结论成立的是（ ） A．当m，nN*时，有zmznzmn

20，则z10且z20 B．当z1，z2C时，若z12z2C．互为共轭复数的两个复数的模相等，且|z|2|z|2zz D．z1z2的充要条件是z1z2

答案：AC 【分析】

根据复数乘法的运算律和复数的模及共轭复数的概念可判断出答案A和C正确；C中可取，进行判断；D中的必要不充分条件是. 【详解】

解：由复数乘法的运算律知，A正确； 取，；，满足，但且不

解析：AC 【分析】

根据复数乘法的运算律和复数的模及共轭复数的概念可判断出答案A和C正确；C中可取

z11，z2i进行判断；D中z1z2的必要不充分条件是z1z2.

【详解】

解：由复数乘法的运算律知，A正确；

20，但z10且z20不成立，B错误； 取z11，；z2i，满足z12z2由复数的模及共轭复数的概念知结论成立，C正确； 由z1z2能推出z1z2，但|z1||z2|推不出z1，D错误.

z2，

因此z1故选：AC 【点睛】

z2的必要不充分条件是z1z2本题主要考查复数乘法的运算律和复数的基本知识以及共轭复数的概念，属于基础题. 4．对于复数zabi(a,bR)，下列结论错误的是（ ）. ．．A．若a0，则abi为纯虚数 C．若b0，则abi为实数

B．若abi32i，则a3,b2 D．纯虚数z的共轭复数是z

答案：AB 【分析】

由复数的代数形式的运算，逐个选项验证可得． 【详解】 解：因为

当且时复数为纯虚数，此时，故A错误，D正确； 当时，复数为实数，故C正确； 对于B：，则即，故B错误； 故错误的有AB

解析：AB 【分析】

由复数的代数形式的运算，逐个选项验证可得． 【详解】

解：因为zabi(a,bR)

当a0且b≠0时复数为纯虚数，此时zbiz，故A错误，D正确； 当b0时，复数为实数，故C正确；

a3a3对于B：abi32i，则即，故B错误；

b2b2故错误的有AB； 故选：AB 【点睛】

本题考查复数的代数形式及几何意义，属于基础题．

5．设复数z满足z12i,i为虚数单位,则下列命题正确的是( )

A．|z|5 C．z的共轭复数为12i

B．复数z在复平面内对应的点在第四象限 D．复数z在复平面内对应的点在直线

y2x上 答案：AC 【分析】

根据复数的模、复数对应点的坐标、共轭复数等知识，选出正确选项. 【详解】

,A正确;复数z在复平面内对应的点的坐标为,在第三象限,B不正确;z的共轭复数为,C正确;复数z在复平面内对

解析：AC 【分析】

根据复数的模、复数对应点的坐标、共轭复数等知识，选出正确选项. 【详解】

|z|(1)2(2)25,A正确;复数z在复平面内对应的点的坐标为(1,2),在第三象

限,B不正确;z的共轭复数为12i,C正确;复数z在复平面内对应的点(1,2)不在直线

y2x上,D不正确.

故选:AC 【点睛】

本小题主要考查复数的有关知识，属于基础题. 6．已知复数z，下列结论正确的是（ ） A．“zz0”是“z为纯虚数”的充分不必要条件 B．“zz0”是“z为纯虚数”的必要不充分条件 C．“zz”是“z为实数”的充要条件 D．“zzR”是“z为实数”的充分不必要条件

答案：BC 【分析】

设，可得出，利用复数的运算、复数的概念结合充分条件、必要条件的定义进行判断，从而可得出结论. 【详解】 设，则，

则，若，则，，若，则不为纯虚数， 所以，“”是“为纯虚数”必要不充分

解析：BC 【分析】

设zabia,bR，可得出zabi，利用复数的运算、复数的概念结合充分条件、必要条件的定义进行判断，从而可得出结论. 【详解】

设zabia,bR，则zabi，

则zz2a，若zz0，则a0，bR，若b0，则z不为纯虚数， 所以，“zz0”是“z为纯虚数”必要不充分条件；

若zz，即abiabi，可得b0，则z为实数，“zz”是“z为实数”的充要条件；

zza2b2R，z为虚数或实数，“zzR”是“z为实数”的必要不充分条件.

故选：BC. 【点睛】

本题考查充分条件、必要条件的判断，同时也考查了共轭复数、复数的基本概念的应用，考查推理能力，属于基础题.

7．已知复数Z在复平面上对应的向量OZ(1,2),则（ ） A．z=-1+2i

B．|z|=5

C．z12i

D．zz5

答案：AD 【分析】

因为复数Z在复平面上对应的向量，得到复数，再逐项判断.

【详解】

因为复数Z在复平面上对应的向量， 所以，，|z|=，， 故选：AD

解析：AD 【分析】

因为复数Z在复平面上对应的向量OZ(1,2)，得到复数z12i，再逐项判断. 【详解】

因为复数Z在复平面上对应的向量OZ(1,2)， 所以z12i，z12i，|z|=5，zz5， 故选：AD

8．给出下列命题，其中是真命题的是（ ） A．纯虚数z的共轭复数是z

B．若z1z20，则z1z2

C．若z1z2R，则z1与z2互为共轭复数 D．若z1z20，则z1与z2互为共轭复数

答案：AD 【分析】

A．根据共轭复数的定义判断.B.若，则，与关系分实数和虚数判断.C.若，分可能均为实数和与的虚部互为相反数分析判断.D. 根据，得到，再用共轭复数的定义判断. 【详解】 A．根据共轭

解析：AD 【分析】

A．根据共轭复数的定义判断.B.若z1z20，则z1z2，z1与z2关系分实数和虚数判

断.C.若z1z2R，分z1,z2可能均为实数和z1与z2的虚部互为相反数分析判断.D. 根据

z1z20，得到z1z2，再用共轭复数的定义判断.

【详解】

A．根据共轭复数的定义，显然是真命题； B．若z1z20，则z1z2，当z1,z2均为实数时，则有z1z2，当z1，z2是虚数

时，z1z2，所以B是假命题；

C．若z1z2R，则z1,z2可能均为实数，但不一定相等，或z1与z2的虚部互为相反数，但实部不一定相等，所以C是假命题； D. 若z1z20，则z1故选：AD

z2，所以z1与z2互为共轭复数，故D是真命题.

【点睛】

本题主要考查了复数及共轭复数的概念，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 9．下列结论正确的是（ ）

ˆ9.4x9.1，则该方程相应于点（2，29）的残差A．已知相关变量x,y满足回归方程y为1.1

B．在两个变量y与x的回归模型中，用相关指数R2刻画回归的效果，R2的值越大，模型的拟合效果越好

C．若复数z1i，则z2

2D．若命题p：x0R，x0x010，则p：xR，x2x10

答案：ABD 【分析】

根据残差的计算方法判断A，根据相关指数的性质判断B，根据复数的模长公式判断C，根据否定的定义判断D. 【详解】

当时，，则该方程相应于点（2，29）的残差为，则A正确； 在两个变量

解析：ABD 【分析】

根据残差的计算方法判断A，根据相关指数的性质判断B，根据复数的模长公式判断C，根据否定的定义判断D. 【详解】

ˆ9.429.127.9，则该方程相应于点（2，29）的残差为当x2时，y2927.91.1，则A正确；

在两个变量y与x的回归模型中，R2的值越大，模型的拟合效果越好，则B正确；

z1i，z1212，则C错误；

由否定的定义可知，D正确； 故选：ABD 【点睛】

本题主要考查了残差的计算，求复数的模，特称命题的否定，属于中档题. 10．以下为真命题的是（ ） A．纯虚数z的共轭复数等于z

B．若z1z20，则z1z2

2C．若z1z2R，则z1与z2互为共轭复数 D．若z1z20，则z1与z2互为共轭复数

答案：AD 【分析】

根据纯虚数的概念即可判断A选项；根据实数、复数的运算、以及共轭复数的

定义即可判断BCD选项. 【详解】

解：对于A，若为纯虚数，可设，则， 即纯虚数的共轭复数等于，故A正确； 对于B

解析：AD 【分析】

根据纯虚数的概念即可判断A选项；根据实数、复数的运算、以及共轭复数的定义即可判断BCD选项. 【详解】

解：对于A，若z为纯虚数，可设zbib0，则zbiz， 即纯虚数z的共轭复数等于z，故A正确；

对于B，由z1z20，得出z1z2，可设z11i，则z21i， 则z21i，此时z1z2，故B错误；

对于C，设z1abi,z2cdi，则z1z2acbdiR，则bd0， 但a,c不一定相等，所以z1与z2不一定互为共轭复数，故C错误； 对于D，z1z20，则z1故选：AD. 【点睛】

本题考查与复数有关的命题的真假性，考查复数的基本概念和运算，涉及实数、纯虚数和共轭复数的定义，属于基础题.

11．已知复数z满足z2724i，在复平面内，复数z对应的点可能在（ ） A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

z2，则z1与z2互为共轭复数，故D正确.

答案：BD 【分析】

先设复数，根据题中条件，由复数的乘法运算，以及复数相等的充要条件求出，即可确定对应的点所在的象限. 【详解】 设复数， 则， 所以， 则，解得或，

因此或，所以对应的点为或， 因此复

解析：BD

【分析】

先设复数zabia,bR，根据题中条件，由复数的乘法运算，以及复数相等的充要条件求出z，即可确定对应的点所在的象限. 【详解】

设复数zabia,bR， 则z2a22abib2724i， 所以z2a22abib2724i，

a2b27a3a3则，解得或，

b4b42ab24因此z34i或z34i，所以对应的点为3,4或3,4， 因此复数z对应的点可能在第二或第四象限. 故选：BD. 【点睛】

本题主要考查判定复数对应的点所在的象限，熟记复数的运算法则，以及复数相等的条件即可，属于基础题型.

12．若复数z满足z2i34i（i为虚数单位），则下列结论正确的有（ ） A．z的虚部为3 C．z的共轭复数为23i

B．z13 D．z是第三象限的点

答案：BC 【分析】

利用复数的除法求出复数，利用复数的概念与几何意义可判断各选项的正误. 【详解】

，，所以，复数的虚部为，，共轭复数为，复数在复平面对应的点在第四象限. 故选：BD. 【点睛】 本题考

解析：BC 【分析】

利用复数的除法求出复数z，利用复数的概念与几何意义可判断各选项的正误. 【详解】

34i23i2，所以，复数z的虚部为3，z13，i共轭复数为23i，复数z在复平面对应的点在第四象限. 故选：BD. 【点睛】

z2i34i，z本题考查复数的四则运算、虚部、模、共轭复数以及几何意义，考查计算能力，属于基础题.

13．已知复数zA．z213i（其中i为虚数单位，，则以下结论正确的是（ ）． 22B．z2z

C．z31

D．z1

0

答案：BCD 【分析】

计算出，即可进行判断. 【详解】 ，

，故B正确，由于复数不能比较大小，故A错误； ，故C正确； ，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】

本题考查复数的相关计算，属于基础题.

解析：BCD 【分析】

计算出z,z,z,z，即可进行判断. 【详解】

2313zi，

22z212123i23i22121223i=z，故B正确，由于复数不能比较大小，故A错误； 23i2123i21，故C正确；

3z3z故选：BCD. 【点睛】

122321，故D正确.

本题考查复数的相关计算，属于基础题.

14．下面关于复数的四个命题中，结论正确的是（ ） A．若复数zR，则zR

B．若复数z满足z2R，则zR

C．若复数z满足R，则zR

1zD．若复数z1，z2满足z1z2R，则z1z2

答案：AC 【分析】

根据复数的运算法则，以及复数的类型，逐项判断，即可得出结果. 【详解】

A选项，设复数，则，因为，所以，因此，即A正确； B选项，设复数，则， 因为，所，若，则；故B错； C选项，设

解析：AC 【分析】

根据复数的运算法则，以及复数的类型，逐项判断，即可得出结果. 【详解】

A选项，设复数zabi(a,bR)，则zabi(a,bR)，因为zR，所以b0，因此zaR，即A正确；

B选项，设复数zabi(a,bR)，则z2abia2b22abi， 因为z2R，所ab0，若a0,b0，则zR；故B错； C选项，设复数zabi(a,bR)，则因为R，所以

211abiab2i， zabiab2a2b2a2b21zb0，即b0，所以zaR；故C正确； 22abD选项，设复数z1abi(a,bR)，z2cdi(c,dR)， 则z1z2abicdiacbdadbci，

a1c2因为z1z2R，所以adbc0，若，能满足adbc0，但z1z2，

b1d2故D错误. 故选：AC. 【点睛】

本题主要考查复数相关命题的判断，熟记复数的运算法则即可，属于常考题型.

1i2020(i为虚数单位)，则下列说法错误的是（ ） 15．已知复数z1iA．z的实部为2

B．z的虚部为1

C．z2i D．|z|2 答案：AC 【分析】

根据复数的运算及复数的概念即可求解.

【详解】 因为复数， 所以z的虚部为1，， 故AC错误，BD正确. 故选：AC

解析：AC 【分析】

根据复数的运算及复数的概念即可求解. 【详解】

1i20201(i4)50522(1i)因为复数z1i，

1i1i1i2所以z的虚部为1，|z|12+12=2， 故AC错误，BD正确. 故选：AC

n16．（多选题）已知集合Mmmi,nN，其中i为虚数单位，则下列元素属于集

合M的是（ ） A．1i1i

B．

1i 1iC．

1i 1iD．1i

2答案：BC 【分析】

根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项. 【详解】 根据题意，中， 时，； 时， ；时，； 时，， .

选项A中，； 选项B中，； 选项C中，； 选项D中，.

解析：BC 【分析】

根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项. 【详解】

根据题意，Mmmi,nN中，

nn4kkN时，in1； n4k1kN时，

ini；n4k2kN时，in1；

n4k3kN时，ini，

M1,1,i,i.

选项A中，1i1i2M；

1i1iiM； 选项B中，

1i1i1i21iiM；1i选项C中，

1i1i1i选项D中，1i2iM. 故选：BC. 【点睛】

此题考查复数的基本运算，涉及复数的乘方和乘法除法运算，准确计算才能得解. 17．若复数z满足(1i)z3i（其中i是虚数单位），复数z的共轭复数为z，则（ ） A．|z|5 C．z的虚部是1

B．z的实部是2

D．复数z在复平面内对应的点在第一象限

22答案：ABD 【分析】

把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数，根据共轭复数概念得到，即可判断. 【详解】 ， ，

，故选项正确，

的实部是，故选项正确， 的虚部是，故选项错误， 复

解析：ABD 【分析】

把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数z，根据共轭复数概

念得到z，即可判断. 【详解】

(1i)z3i，

z3i3i1i42i2i， 1i1i1i2z2215，故选项A正确， z的实部是2，故选项B正确， z的虚部是1，故选项C错误，

复数z2i在复平面内对应的点为2,1，在第一象限，故选项D正确. 故选：ABD. 【点睛】

本题主要考查的是复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示及几何意义，是基础题.

13i（i是虚数单位），是的共轭复数，则下列的结论正确的18．已知复数22是（ ） A．2

B．31

C．210

D．

答案：AC 【分析】

根据复数的运算进行化简判断即可. 【详解】 解：∵所以， ∴，故A正确， ，故B错误， ，故C正确，

虚数不能比较大小，故D错误， 故选：AC. 【点睛】

本题主要考查复数的有关概念

解析：AC 【分析】

根据复数的运算进行化简判断即可. 【详解】

1313i所以解：∵i， 2222∴2313313ii，故A正确， 424222131313ii1，故B错误，

222244313ii10，故C正确， 222虚数不能比较大小，故D错误， 故选：AC. 【点睛】

2112本题主要考查复数的有关概念和运算，结合复数的运算法则进行判断是解决本题的关键．属于中档题．

19．已知i为虚数单位，则下列选项中正确的是（ ） A．复数z34i的模z5

B．若复数z34i，则z（即复数z的共轭复数）在复平面内对应的点在第四象限

22C．若复数m3m4m2m24i是纯虚数，则m1或m4

D．对任意的复数z，都有z20

答案：AB 【分析】

求解复数的模判断；由共轭复数的概念判断；由实部为0且虚部不为0求得值判断；举例说明错误． 【详解】

解：对于，复数的模，故正确；

对于，若复数，则，在复平面内对应的点的坐标为，在第四

解析：AB 【分析】

求解复数的模判断A；由共轭复数的概念判断B；由实部为0且虚部不为0求得m值判断

C；举例说明D错误．

【详解】

解：对于A，复数z34i的模|z|32425，故A正确；

对于B，若复数z34i，则z34i，在复平面内对应的点的坐标为(3,4)，在第四象限，故B正确；

对于C，若复数(m23m4)(m22m24)i是纯虚数，

m23m40则2，解得m1，故C错误； m2m240对于D，当zi时，z210，故D错误．

故选：AB． 【点睛】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，属于基础题．

20．已知i为虚数单位，下列说法正确的是( ) A．若x,yR，且xyi1i，则xy1 B．任意两个虚数都不能比较大小

2C．若复数z1，z2满足z12z20，则z1z20

D．i的平方等于1

答案：AB 【分析】

利用复数相等可选A，利用虚数不能比较大小可选B，利用特值法可判断C错误，利用复数的运算性质可判断D错误． 【详解】

对于选项A，∵，且，根据复数相等的性质，则，故正确； 对于选项B，

解析：AB 【分析】

利用复数相等可选A，利用虚数不能比较大小可选B，利用特值法可判断C错误，利用复数的运算性质可判断D错误． 【详解】

对于选项A，∵x,yR，且xyi1i，根据复数相等的性质，则xy1，故正确；

对于选项B，∵虚数不能比较大小，故正确；

20，则z1z20，故不正确； 对于选项C，∵若复数z1=i，z2=1满足z12z2对于选项D，∵复数i=1，故不正确； 故选：AB． 【点睛】

本题考查复数的相关概念，涉及复数的概念、复数相等、复数计算等知识，属于基础题. 21．已知复数z满足zz2iz3ai，aR，则实数a的值可能是（ ） A．1

B．4

C．0

D．5

2答案：ABC 【分析】

设，从而有，利用消元法得到关于的一元二次方程，利用判别式大于等于0，从而求得a的范围，即可得答案. 【详解】 设，∴，

∴，

∴，解得：， ∴实数的值可能是. 故选：ABC. 【点

解析：ABC 【分析】

设zxyi，从而有x2y22i(xyi)3ai，利用消元法得到关于y的一元二次方程，利用判别式大于等于0，从而求得a的范围，即可得答案. 【详解】

22设zxyi，∴xy2i(xyi)3ai，

x2y22y3,a22y2y30， ∴42xa,a2∴44(3)0，解得：4a4，

4∴实数a的值可能是1,4,0. 故选：ABC. 【点睛】

本题考查复数的四则运算、模的运算，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.

2222．设z2t5t3t2t2i，tR，i为虚数单位，则以下结论正确的是

（ ）

A．z对应的点在第一象限 C．z一定不为实数

B．z一定不为纯虚数 D．z对应的点在实轴的下方

答案：CD 【分析】

利用配方法得出复数的实部和虚部的取值范围，结合复数的概念和几何意义可判断出各选项的正误，由此可得出结论. 【详解】 ，，

所以，复数对应的点可能在第一象限，也可能在第二象限，故A错误

解析：CD 【分析】

利用配方法得出复数z的实部和虚部的取值范围，结合复数的概念和几何意义可判断出各选项的正误，由此可得出结论. 【详解】

24954922t5t32t，t2t2t110，

88422所以，复数z对应的点可能在第一象限，也可能在第二象限，故A错误；

2t25t301当2，即t3或t时，z为纯虚数，故B错误；

2t2t20因为t22t20恒成立，所以z一定不为实数，故C正确；

由选项A的分析知，z对应的点在实轴的上方，所以z对应的点在实轴的下方，故D正确. 故选：CD. 【点睛】

本题考查复数的几何意义与复数的概念相关命题真假的判断，解题的关键就是求出复数虚部和实部的取值范围，考查计算能力与推理能力，属于中等题.