高考数学复数多选题专项训练复习题含答案

一、复数多选题

1．已知z1，z2为复数，下列命题不正确的是（ ）

A．若z1z2，则z1z2 B．若z1z2，则z1z2

C．若z1z2则z1z2 D．若z1z2，则z1z2

答案：BCD 【分析】

根据两个复数之间不能比较大小，得到C、D两项是错误的，根据复数的定义和复数模的概念，可以断定A项正确，B项错误，从而得到答案. 【详解】

因为两个复数之间只有等与不等，不能比较大小

解析：BCD 【分析】

根据两个复数之间不能比较大小，得到C、D两项是错误的，根据复数的定义和复数模的概念，可以断定A项正确，B项错误，从而得到答案. 【详解】

因为两个复数之间只有等与不等，不能比较大小，所以C、D两项都不正确； 当两个复数的模相等时，复数不一定相等，

比如1i1i，但是1i1i，所以B项是错误的； 因为当两个复数相等时，模一定相等，所以A项正确； 故选：BCD. 【点睛】

该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有两个复数之间的关系，复数模的概念，属于基础题目. 2．复数z2i，i是虚数单位，则下列结论正确的是（ ） 1iB．z的共轭复数为

A．|z|5 C．z的实部与虚部之和为2

31i 22D．z在复平面内的对应点位于第一象限

答案：CD 【分析】

根据复数的四则运算，整理复数，再逐一分析选项，即得. 【详解】

由题得，复数，可得，则A不正确；的共轭复数为，则B不正确；的实部与虚部之和为，则C正确；在复平面内的对应点为，位于第一

解析：CD

【分析】

根据复数的四则运算，整理复数z，再逐一分析选项，即得. 【详解】 由题得，复数z2i(2i)(1i)13i13i，可得1i(1i)(1i)1i22213123210zAi，则B不正确；z的实，则不正确；的共轭复数为|z|()()222221313部与虚部之和为2，则C正确；z在复平面内的对应点为(,)，位于第一象限，

2222则D正确.综上，正确结论是CD. 故选：CD 【点睛】

本题考查复数的定义，共轭复数以及复数的模，考查知识点全面. 3．以下命题正确的是（ ）

A．a0是zabi为纯虚数的必要不充分条件 B．满足x210的x有且仅有i

C．“在区间a,b内fx0”是“fx在区间a,b内单调递增”的充分不必要条件

71D．已知fxxxx，则fxx8

8答案：AC 【分析】

利用纯虚数的概念以及必要不充分条件的定义可判断A选项的正误；解方程可判断B选项的正误；利用导数与函数单调性的关系结合充分不必要条件的定义可判断C选项的正误；利用基本初等函数的导数公式

解析：AC 【分析】

利用纯虚数的概念以及必要不充分条件的定义可判断A选项的正误；解方程x210可判断B选项的正误；利用导数与函数单调性的关系结合充分不必要条件的定义可判断C选项的正误；利用基本初等函数的导数公式可判断D选项的正误.综合可得出结论. 【详解】

对于A选项，若复数zabi为纯虚数，则a0且b≠0， 所以，a0是zabi为纯虚数的必要不充分条件，A选项正确； 对于B选项，解方程x210得xi，B选项错误；

对于C选项，当xa,b时，若fx0，则函数fx在区间a,b内单调递增， 即“在区间a,b内fx0”“fx在区间a,b内单调递增”.

32反之，取fxx，fx3x，当x1,1时，fx0，

此时，函数yfx在区间1,1上单调递增，

即“在区间a,b内fx0”“fx在区间a,b内单调递增”.

所以，“在区间a,b内fx0”是“fx在区间a,b内单调递增”的充分不必要条件. C选项正确； 对于D选项，fx故选：AC. 【点睛】

本题考查命题真假的判断，涉及充分条件与必要条件的判断、实系数方程的根以及导数的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 4．若复数zxxxx111248718x，fx8x，D选项错误.

782，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是（ ） 1iB．|z|A．z的虚部为1 C．z2为纯虚数

2 D．z的共轭复数为1i

答案：ABC 【分析】

首先利用复数代数形式的乘除运算化简后得：，然后分别按照四个选项的要求逐一求解判断即可. 【详解】 因为，

对于A：的虚部为，正确； 对于B：模长，正确； 对于C：因为，故为纯虚数，

解析：ABC 【分析】

首先利用复数代数形式的乘除运算化简z后得：z1i，然后分别按照四个选项的要求逐一求解判断即可. 【详解】 因为z21i222i1i， 1i1i1i2对于A：z的虚部为1，正确； 对于B：模长

z2，正确；

22对于C：因为z(1i)2i，故z2为纯虚数，正确； 对于D：z的共轭复数为1i，错误.

故选：ABC. 【点睛】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的有关概念，考查逻辑思维能力和运算能力，侧重考查对基础知识的理解和掌握，属于常考题. 5．以下为真命题的是（ ） A．纯虚数z的共轭复数等于z

B．若z1z20，则z1z2

C．若z1z2R，则z1与z2互为共轭复数 D．若z1z20，则z1与z2互为共轭复数

答案：AD 【分析】

根据纯虚数的概念即可判断A选项；根据实数、复数的运算、以及共轭复数的定义即可判断BCD选项. 【详解】

解：对于A，若为纯虚数，可设，则， 即纯虚数的共轭复数等于，故A正确； 对于B

解析：AD 【分析】

根据纯虚数的概念即可判断A选项；根据实数、复数的运算、以及共轭复数的定义即可判断BCD选项. 【详解】

解：对于A，若z为纯虚数，可设zbib0，则zbiz， 即纯虚数z的共轭复数等于z，故A正确；

对于B，由z1z20，得出z1z2，可设z11i，则z21i， 则z21i，此时z1z2，故B错误；

对于C，设z1abi,z2cdi，则z1z2acbdiR，则bd0， 但a,c不一定相等，所以z1与z2不一定互为共轭复数，故C错误； 对于D，z1z20，则z1故选：AD. 【点睛】

本题考查与复数有关的命题的真假性，考查复数的基本概念和运算，涉及实数、纯虚数和共轭复数的定义，属于基础题.

6．已知复数z满足z(2i)i(i为虚数单位)，复数z的共轭复数为z，则（ ）

z2，则z1与z2互为共轭复数，故D正确.

3 5C．复数z的实部为1

A．|z|B．z12i 5D．复数z对应复平面上的点在第二象限

答案：BD 【分析】

因为复数满足，利用复数的除法运算化简为，再逐项验证判断. 【详解】 因为复数满足， 所以

所以，故A错误； ，故B正确；

复数的实部为 ，故C错误； 复数对应复平面上的点在第二象限

解析：BD 【分析】

因为复数z满足z(2i)i，利用复数的除法运算化简为z【详解】

因为复数z满足z(2i)i， 所以z12i，再逐项验证判断. 55ii(2i)12i 2i2i(2i)5522512所以z，故A错误；

55512i，故B正确； 551复数z的实部为 ，故C错误；

5 z复数z对应复平面上的点,故选：BD 【点睛】

本题主要考查复数的概念，代数运算以及几何意义，还考查分析运算求解的能力，属于基础题.

7．设i为虚数单位，复数z(ai)(12i)，则下列命题正确的是（ ） A．若z为纯虚数，则实数a的值为2

B．若z在复平面内对应的点在第三象限，则实数a的取值范围是(C．实数a12在第二象限，故D正确. 551,2) 21是zz（z为z的共轭复数）的充要条件 2D．若z|z|x5i(xR)，则实数a的值为2

答案：ACD 【分析】

首先应用复数的乘法得，再根据纯虚数概念、复数所在象限，以及与共轭复数或另一个复数相等，求参数的值或范围，进而可确定选项的正误 【详解】

∴选项A：为纯虚数，有可得，故正确 选项B

解析：ACD 【分析】

首先应用复数的乘法得za2(12a)i，再根据纯虚数概念、复数所在象限，以及与共轭复数或另一个复数相等，求参数的值或范围，进而可确定选项的正误 【详解】

z(ai)(12i)a2(12a)i

∴选项A：z为纯虚数，有a20可得a2，故正确

12a0a201解得a，故错误

212a0选项B：z在复平面内对应的点在第三象限，有选项C：a件，故正确

151时，zz；zz时，12a0即a，它们互为充要条222选项D：z|z|x5i(xR)时，有12a5，即a2，故正确 故选：ACD 【点睛】

本题考查了复数的运算及分类和概念，应用复数乘法运算求得复数，再根据复数的概念及性质、相等关系等确定参数的值或范围

8．已知复数zabi(a,bR,i为虚数单位),且ab1,下列命题正确的是( ) A．z不可能为纯虚数 数

C．若z|z|,则z是实数

D．|z|可以等于

B．若z的共轭复数为z,且zz,则z是实

1 2答案：BC 【分析】

根据纯虚数、共轭复数、复数的模、复数为实数等知识，选出正确选项. 【详解】

当时,,此时为纯虚数,A错误;若z的共轭复数为,且,则,因此,B正确;由是实数,

且知,z是实数,C正确;由

解析：BC 【分析】

根据纯虚数、共轭复数、复数的模、复数为实数等知识，选出正确选项. 【详解】

当a0时,b1,此时zi为纯虚数,A错误;若z的共轭复数为z,且zz,则

12abiabi,因此b0,B正确;由|z|是实数,且z|z|知,z是实数,C正确;由|z|得ab221,又ab1,因此8a28a30,483320,无解,即41,D错误. 2|z|不可以等于

故选：BC 【点睛】

本小题主要考查复数的有关知识，属于基础题.

9．已知i为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ）． A．ii2i3i40 B．3i1i

C．若z=12i，则复平面内z对应的点位于第四象限

D．已知复数z满足z1z1，则z在复平面内对应的点的轨迹为直线

2答案：AD 【分析】

根据复数的运算判断A；由虚数不能比较大小判断B；由复数的运算以及共轭复数的定义判断C；由模长公式化简，得出，从而判断D. 【详解】 ，则A正确；

虚数不能比较大小，则B错误； ，则，

解析：AD 【分析】

根据复数的运算判断A；由虚数不能比较大小判断B；由复数的运算以及共轭复数的定义判断C；由模长公式化简z1z1，得出x0，从而判断D. 【详解】

ii2i3i4i1i10，则A正确； 虚数不能比较大小，则B错误；

z12i14i4i234i，则z34i，

2其对应复平面的点的坐标为(3,4)，位于第三象限，则C错误；

1， 令zxyi,x,yR，|z1||z∣(x1)2y2(x1)2y2，解得x0

则z在复平面内对应的点的轨迹为直线，D正确； 故选：AD 【点睛】

本题主要考查了判断复数对应的点所在的象限，与复数模相关的轨迹（图形）问题，属于中档题.

10．i是虚数单位，下列说法中正确的有（ ） A．若复数z满足zz0，则z0

B．若复数z1，z2满足z1z2z1z2，则z1z20 C．若复数zaai(aR)，则z可能是纯虚数

D．若复数z满足z234i，则z对应的点在第一象限或第三象限

答案：AD 【分析】

A选项，设出复数，根据共轭复数的相关计算，即可求出结果； B选项，举出反例，根据复数模的计算公式，即可判断出结果； C选项，根据纯虚数的定义，可判断出结果； D选项，设出复数，根据题

解析：AD 【分析】

A选项，设出复数，根据共轭复数的相关计算，即可求出结果； B选项，举出反例，根据复数模的计算公式，即可判断出结果； C选项，根据纯虚数的定义，可判断出结果；

D选项，设出复数，根据题中条件，求出复数，由几何意义，即可判断出结果. 【详解】

A选项，设zabia,bR，则其共轭复数为zabia,bR， 则zza2b20，所以ab0，即z0；A正确；

B选项，若z11，z2i，满足z1z2z1z2，但z1z2i不为0；B错； C选项，若复数zaai(aR)表示纯虚数，需要实部为0，即a0，但此时复数

z0表示实数，故C错；

D选项，设zabia,bR，则z2abia22abib234i，

2a2b23a2a2所以，解得或，则z2i或z2i，

b1b12ab4所以其对应的点分别为2,1或2,1，所以对应点的在第一象限或第三象限；D正确. 故选：AD.

11．若复数z满足z1iA．z1i C．z1i

3i，则（ ）

B．z的实部为1 D．z22i

答案：BC 【分析】

先利用复数的运算求出复数z，然后逐个分析判断即可 【详解】 解：由，得，

所以z的实部为1，，， 故选：BC 【点睛】

此题考查复数的运算，考查复数的模，考查复数的有关概念，考查共轭

解析：BC 【分析】

先利用复数的运算求出复数z，然后逐个分析判断即可 【详解】 解：由z1i3i，得z312(1i)2(1i)1i， 1i(1i)(1i)2所以z的实部为1，z1i，z22i， 故选：BC 【点睛】

此题考查复数的运算，考查复数的模，考查复数的有关概念，考查共轭复数，属于基础题 12．下列说法正确的是（ ） A．若z2，则zz4

B．若复数z1，z2满足z1z2z1z2，则z1z20 C．若复数z的平方是纯虚数，则复数z的实部和虛部相等

D．“a1”是“复数za1a1iaR是虚数”的必要不充分条件

2答案：AD 【分析】

由求得判断A；设出，，证明在满足时，不一定有判断B；举例说明C错误；由充分必要条件的判定说明D正确. 【详解】

若，则，故A正确； 设， 由，可得

则，而不一定为0，故B错误； 当时

解析：AD 【分析】

由z求得zz判断A；设出z1，z2，证明在满足z1z2z1z2时，不一定有z1z20判断B；举例说明C错误；由充分必要条件的判定说明D正确. 【详解】

若z2，则zzz4，故A正确；

设z1a1bi1a1,b1R，z2a2b2ia2,b2R 由z1z2z1z2，可得

2z1z2a1a2b1b2z1z2a1a2b1b2

则a1a2b1b20，而

222222z1z2a1bi1a2b2ia1a2bb12a1b2ib1a2i2a1a2a1b2ib1a2i不一定为0，故

B错误；

当z1i时z22i为纯虚数，其实部和虚部不相等，故C错误； 若复数za1a1iaR是虚数，则a210，即a1

2所以“a1”是“复数za1a1iaR是虚数”的必要不充分条件，故D正确；

2故选：AD 【点睛】

本题考查的是复数的相关知识，考查了学生对基础知识的掌握情况，属于中档题.

z1cos2isin213．已知复数（其中i为虚数单位），则（ ）

22A．复数z在复平面上对应的点可能落在第二象限 C．z2cos

D．

B．z可能为实数

11的实部为 z2答案：BC 【分析】

由可得，得，可判断A选项，当虚部，时，可判断B选项，由复数的模计算和余弦的二倍角公式可判断C选项，由复数的运算得，的实部是，可判断D选项. 【详解】

因为，所以，所以，所以，所以A选

解析：BC 【分析】 由22可得2，得01cos22，可判断A选项，当虚部

sin20，,时，可判断B选项，由复数的模计算和余弦的二倍角公式可判22断C选项，由复数的运算得判断D选项. 【详解】 因为11cos2isin211cos21，可，的实部是

zz12cos222cos2222，所以2，所以1cos21，所以01cos22，

所以A选项错误； 当sin20，,时，复数z是实数，故B选项正确； 222z1cos2sin2222cos22cos，故C选项正确：

111cos2isin21cos2isin2z1cos2isin21cos2isin21cos2isin212cos2，

1cos211，故D不正确. 的实部是

z22cos22故选：BC 【点睛】

本题主要考查复数的概念，复数模的计算，复数的运算，以及三角恒等变换的应用，属于中档题.

14．下面是关于复数zA．|z|2的四个命题，其中真命题是（ ） 1iC．z的共轭复数为1i D．z的虚部为1

2 B．z22i

答案：ABCD 【分析】

先根据复数的除法运算计算出，再依次判断各选项. 【详解】 ，

，故A正确；，故B正确；的共轭复数为，故C正确；的虚部为，故D正确； 故选：ABCD. 【点睛】

本题考查复数的除法

解析：ABCD

【分析】

先根据复数的除法运算计算出z，再依次判断各选项. 【详解】

zz21i21i， 1i1i1i12212，故A正确；z1i2i，故B正确；z的共轭复数

22为1i，故C正确；z的虚部为1，故D正确； 故选：ABCD. 【点睛】

本题考查复数的除法运算，以及对复数概念的理解，属于基础题. 15．已知复数z满足z2z0，则z可能为（ ） A．0

B．2

C．2i

D．2i

2答案：ACD 【分析】

令代入已知等式，列方程组求解即可知的可能值. 【详解】 令代入，得：， ∴，解得或或 ∴或或． 故选：ACD 【点睛】

本题考查了已知等量关系求复数，属于简单题.

解析：ACD 【分析】

令zabi代入已知等式，列方程组求解即可知z的可能值. 【详解】

令zabi代入z2|z|0，得：a2b22a2b22abi0，

2a0,a0,a0,a2b22a2b20∴，解得或或

b0b2b2,2ab0∴z0或z2i或z2i． 故选：ACD 【点睛】

本题考查了已知等量关系求复数，属于简单题.

16．已知复数Z在复平面上对应的向量OZ(1,2),则（ ） A．z=-1+2i

B．|z|=5

C．z12i

D．zz5

答案：AD 【分析】

因为复数Z在复平面上对应的向量，得到复数，再逐项判断. 【详解】

因为复数Z在复平面上对应的向量， 所以，，|z|=，， 故选：AD

解析：AD 【分析】

因为复数Z在复平面上对应的向量OZ(1,2)，得到复数z12i，再逐项判断. 【详解】

因为复数Z在复平面上对应的向量OZ(1,2)， 所以z12i，z12i，|z|=5，zz5， 故选：AD

1i2020(i为虚数单位)，则下列说法错误的是（ ） 17．已知复数z1iA．z的实部为2

B．z的虚部为1

C．z2i

D．|z|2 答案：AC 【分析】

根据复数的运算及复数的概念即可求解. 【详解】 因为复数， 所以z的虚部为1，， 故AC错误，BD正确. 故选：AC

解析：AC 【分析】

根据复数的运算及复数的概念即可求解. 【详解】

1i20201(i4)50522(1i)因为复数z1i，

1i1i1i2所以z的虚部为1，|z|12+12=2， 故AC错误，BD正确. 故选：AC 18．已知复数z13i，则下列结论正确的有（ ） 22A．zz1 B．z2z C．z31 D．z202013i 22答案：ACD 【分析】

分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D选项的时候注意利用复数乘方的性质. 【详解】

因为，所以A正确； 因为，，所以，所以B错误； 因为，所以C正确； 因为，所以，所以D正确

解析：ACD 【分析】

分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D选项的时候注意利用复数乘方的性质. 【详解】

131313zzi因为2222i441，所以A正确；

1313132ii因为z，z，所以z2z，所以B错误； i222222因为zzz3221313ii1，所以C正确； 22222020因为zzz1，所以z633z633641313zzz1ii，222243所以D正确， 故选：ACD. 【点睛】

本题考查复数乘法与乘方的计算，其中还涉及到了共轭复数的计算，难度较易. 19．若复数z满足(1i)z3i（其中i是虚数单位），复数z的共轭复数为z，则（ ） A．|z|5 C．z的虚部是1

B．z的实部是2

D．复数z在复平面内对应的点在第一象限

答案：ABD 【分析】

把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数，根据共轭复数概念得到，即可判断.

【详解】 ， ，

，故选项正确，

的实部是，故选项正确， 的虚部是，故选项错误， 复

解析：ABD 【分析】

把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数z，根据共轭复数概念得到z，即可判断. 【详解】

(1i)z3i，

z3i3i1i42i2i， 1i1i1i2z2215，故选项A正确，

z的实部是2，故选项B正确，

z的虚部是1，故选项C错误，

复数z2i在复平面内对应的点为2,1，在第一象限，故选项D正确. 故选：ABD. 【点睛】

本题主要考查的是复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示及几何意义，是基础题.

20．已知i为虚数单位，则下列选项中正确的是（ ） A．复数z34i的模z5

B．若复数z34i，则z（即复数z的共轭复数）在复平面内对应的点在第四象限 C．若复数m3m4m2m24i是纯虚数，则m1或m4 D．对任意的复数z，都有z2220

答案：AB 【分析】

求解复数的模判断；由共轭复数的概念判断；由实部为0且虚部不为0求得值判断；举例说明错误． 【详解】

解：对于，复数的模，故正确；

对于，若复数，则，在复平面内对应的点的坐标为，在第四

解析：AB 【分析】

求解复数的模判断A；由共轭复数的概念判断B；由实部为0且虚部不为0求得m值判断

C；举例说明D错误． 【详解】

解：对于A，复数z34i的模|z|32425，故A正确；

对于B，若复数z34i，则z34i，在复平面内对应的点的坐标为(3,4)，在第四象限，故B正确；

对于C，若复数(m23m4)(m22m24)i是纯虚数，

m23m40则2，解得m1，故C错误； m2m240对于D，当z故选：AB． 【点睛】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，属于基础题．

21．下列命题中，正确的是（ ） A．复数的模总是非负数

B．复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对应

C．如果复数z对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点也一定在第一象限 D．相等的向量对应着相等的复数

i时，z210，故D错误．

答案：ABD 【分析】

根据复数的几何意义逐项判断后可得正确的选项． 【详解】 设复数，

对于A，，故A正确． 对于B，复数对应的向量为，

且对于平面内以原点为起点的任一向量，其对应的复数为， 故复数集与

解析：ABD 【分析】

根据复数的几何意义逐项判断后可得正确的选项． 【详解】

设复数zabia,bR， 对于A，za2b20，故A正确．

对于B，复数z对应的向量为OZa,b，

且对于平面内以原点为起点的任一向量m,n，其对应的复数为mni， 故复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对应，故B正确． 对于B，复数z对应的向量为OZa,b，

且对于平面内的任一向量m,n，其对应的复数为mni，

故复数集中的元素与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合中的元素是一一对应，故B正确．

对于C，如果复数z对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点不一定在第一象限， 故C错．

对于D，相等的向量的坐标一定是相同的，故它们对应的复数也相等，故D正确． 故选：ABD． 【点睛】

本题考查复数的几何意义，注意复数zabia,bR对应的向量的坐标为a,b，它与终点与起点的坐标的差有关，本题属于基础题． 22．已知i为虚数单位，下列说法正确的是( ) A．若x,yR，且xyi1i，则xy1 B．任意两个虚数都不能比较大小

20，则z1z20 C．若复数z1，z2满足z12z2D．i的平方等于1

答案：AB 【分析】

利用复数相等可选A，利用虚数不能比较大小可选B，利用特值法可判断C错误，利用复数的运算性质可判断D错误． 【详解】

对于选项A，∵，且，根据复数相等的性质，则，故正确； 对于选项B，

解析：AB 【分析】

利用复数相等可选A，利用虚数不能比较大小可选B，利用特值法可判断C错误，利用复数的运算性质可判断D错误． 【详解】

对于选项A，∵x,yR，且xyi1i，根据复数相等的性质，则xy1，故正确；

对于选项B，∵虚数不能比较大小，故正确；

20，则z1z20，故不正确； 对于选项C，∵若复数z1=i，z2=1满足z12z2对于选项D，∵复数i=1，故不正确； 故选：AB． 【点睛】

本题考查复数的相关概念，涉及复数的概念、复数相等、复数计算等知识，属于基础题.

2