2020届云南省昆明市高三下学期1月月考数学(理)试题

数学（理）

一、单选题

1．已知集合AxN|x1，集合BxZ|1x3，则图中阴影部分表示的

2集合为（ ）

A．1,3 B．1,3 C．1,2,3 D．1,0,2,3

2．在复平面内，复数z1i的共轭复数对应的向量为OZ'为（ ）

uuuurA． B．

C． D．

3．已知A．

3,，sin，则cos（ ）

52B．

4 53 5C．4 5D．-3 ．根据中国生态环境部公布的2017年、2018年长江流域水质情况监测数据，得到如下饼图：

1

则下列说法错误的是（ ）

A．2018年的水质情况好于2017年的水质情况

B．2018年与2017年相比较，Ⅰ、Ⅱ类水质的占比明显增加 C．2018年与2017年相比较，占比减小幅度最大的是Ⅳ类水质 D．2018年Ⅰ、Ⅱ类水质的占比超过60%

1x2y25．以双曲线C：221a0,b0的右焦点F为圆心，OF为半径的圆（O为

2ab坐标原点）与C的渐近线相切，则C的渐近线方程为（ ） A．3xy0 C．5xy0

B．x3y0 D．x5y0

6．如图所示，九连环是中国的一种古老的智力游戏，它环环相扣，趣味无穷．它主要由九个圆环及框架组成，每个圆环都连有一个直杆，各直杆在后一个圆环内穿过，九个直杆的另一端用平板或者圆环相对固定，圆环在框架上可以解下或者套上．九连环游戏按某种规则将九个环全部从框架上解下或者全部套上．将第n个圆环解下最少需要移动的次数记为fn（n9且nN*），已知f11，f21，且通过该规则可得

fnfn12fn21，则解下第5个圆环最少需要移动的次数为（ ）

A．7 B．16 C．19 D．21

7．设f'x是函数fx的导函数，yf'x的图象如图所示，则yfx的图象可能是（ ）

2

A． B．

C． D．

8．ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B120，sinC21，7c2，则ABC的面积等于（ ）

A．

3 2B．23 xxC．

3 4D．3 9．已知函数fxee，则（ ）

5 C．f5fef2

A．f2fef5

D．f2f5fe

B．fef2f10．某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为43的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为4，则该球的半径是（ ）

A．2 B．4 C．26 D．46 2fxsinx0x0,，的值域是,1，则的取值11．已知函数422范围是（ ）

3

A．0,

23B．,3

232C．3,

27D．,

22572212．已知P是函数fxx图象上的一点，过点P作圆xy4y30的两条切线，

切点分别为A，B，则PAPB的最小值为（ ） A．uuuruuur3 28B．223

C．0 D．

3 2

二、填空题

13．已知点A(1,0)，B2,3，则与向量AB垂直的一个非零向量的坐标是____．（只要填写一个满足条件的向量即可） 14．1x6uuur2y15的展开式中xy的系数是____.

42x2y215．已知椭圆M：221ab0的左顶点为A，O为坐标原点，B、C两点在Mab上，若四边形OABC为平行四边形，且OAB45，则椭圆M的离心率为____. 16．依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）．2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为： 个税税额＝应纳税所得额×税率－速算扣除数． 应纳税所得额的计算公式为：

应纳税所得额＝综合所得收入额－免征额－专项扣除－专项附加扣除－依法确定的其他扣除．

其中免征额为每年60000元，税率与速算扣除数见下表： 级数 全年应纳税所得额所在区间 1 税率（%） 3 速算扣除数 0 0,36000 36000,144000 144000,300000 2 10 2520 3 20 16920 4

4 300000,420000 420000,660000 25 31920 5 30 52920 6 660000,960000 960000, 35 85920 7

45 181920 备注：

“专项扣除”包括基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金。 “专项附加扣除”包括子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等支出。

“其他扣除”是指除上述免征额、专项扣除、专项附加扣除之外，由决定以扣除方式减少纳税的优惠规定的费用。

某人全年综合所得收入额为160000元，假定缴纳的基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是8%，2%，1%，9%，专项附加扣除是24000元，依法确定其他扣除是0元，那么他全年应缴纳综合所得个税____元． 三、解答题

17．在长方体ABCDA1B1C1D1中，ADAA1.

（1）证明：平面A1BD面BC1D1；

（2）若AB2AD，求二面角A1BDD1的余弦值.

5

18．设等差数列an公差为d，等比数列bn公比为q，已知a1b1，a3b1b25，

q2d.

（1）求数列an，bn的通项公式； （2）记cnanbn，求数列cn的前n项和Sn.

19．已知抛物线C：y4x的焦点为F，准线为l，P是C上的动点. （1）当PF4时，求直线PF的方程；

（2）过点P作l的垂线，垂足为M，O为坐标原点，直线OM与C的另一个交点为Q，证明：直线PQ经过定点，并求出该定点的坐标．

2 6

20．近年来，昆明加大了特色农业建设，其中花卉产业是重要组成部分．昆明斗南毗邻滇池东岸，是著名的花都，有“全国10支鲜花7支产自斗南”之说，享有“金斗南”的美誉。对斗南花卉交易市场某个品种的玫瑰花日销售情况进行调研，得到这种玫瑰花的定价x（单位：元/扎，20支/扎）和销售率y（销售率是销售量与供应量的比值）的统计数据如下：

x 10 20 30 40 50 60 0.175 y

0.9 0.65 0.45 0.3 0.2 $a$哪个更合适，（1）设zlnx，根据所给参考数据判断，回归模型$y$bx$a与$ybz$、b$的结果保留一位小数）并根据你的判断结果求回归方程（a；

（2）某家花卉公司每天向斗南花卉交易市场提供该品种玫瑰花1200扎，根据（1）中的回归方程，估计定价x（单位：元/扎）为多少时，这家公司该品种玫瑰花的日销售额W（单位：元）最大，并求W的最大值。

参考数据：y与x的相关系数r10.96，y与z的相关系数r20.99，x35，y0.45，

xi162i9100，z3.40，6z69.32，yizi8.16，zi271.52，e320.1，

266i1i1e3.430.0，e3.533.1，e4.6.

$参考公式：bxi1nixyiyixi1nx2，$ay$bx，rxxyyiii1nxxyyiii1i1n2n. 2

7

21．已知函数fxeax2axaR.

x2（1）讨论fx的导数f'x的单调性；

（2）若fx有两个极值点x1，x2，求实数a的取值范围，并证明x11x211.

22．已知极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点，极轴与x轴的非负半轴重合．曲线C的

2极坐标方程是12sin62，直线l的极坐标方程是cos20． 4（1）求曲线C和直线l的直角坐标方程；

11（2）设点P2,0，直线l与曲线C相交于点M、N，求的值． PMPN

23．已知函数fxx2x2. （1）求不等式fx3的解集； （2）若aR，且a0，证明：4a1114fx. a

8

2020届云南省昆明市高三下学期1月月考试题

数学（理）答案

一、单选题

1．已知集合AxN|x1，集合BxZ|1x3，则图中阴影部分表示的

2集合为（ ）

A．1,3 【答案】C

B．1,3 C．1,2,3 D．1,0,2,3

【解析】求出集合的等价条件，结合Venn图转化为定义的集合关系进行求解即可． 【详解】

1，B{1,0,1,2,3} 解：AxN|x1=0，2阴影部分对应的集合为CBA， 则CBA{1,2,3}， 故选：C． 【点睛】

本题主要考查集合的基本运算，利用Venn图表示集合关系是解决本题的关键． 2．在复平面内，复数z1i的共轭复数对应的向量为OZ'为（ ）

uuuur 9

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】先求出共轭复数，然后写出其对应的点，从而可得答案． 【详解】

解：复数z1i的共轭复数为z1i， 对应的点为(1,1)，

复数z1i的共轭复数对应的向量为OZ'为图C， 故选：C． 【点睛】

本题考查复数的代数表示法及其几何意义，属基础题． 3．已知A．

uuuur3,，sin，则cos（ ）

52B．

4 53 5C．4 5D．-3 5【答案】A

【解析】由条件利用同角三角函数的基本关系和诱导公式，求得cos的值． 【详解】 解：因为3,，sin，

52243所以cos1， 55coscos故选：A．

10

4， 5【点睛】

本题主要考查同角三角函数的基本关系及诱导公式，属于基础题．

4．根据中国生态环境部公布的2017年、2018年长江流域水质情况监测数据，得到如下饼图：

则下列说法错误的是（ ）

A．2018年的水质情况好于2017年的水质情况

B．2018年与2017年相比较，Ⅰ、Ⅱ类水质的占比明显增加 C．2018年与2017年相比较，占比减小幅度最大的是Ⅳ类水质 D．2018年Ⅰ、Ⅱ类水质的占比超过60% 【答案】C

【解析】根据饼图逐一判断． 【详解】

A．2018年Ⅰ、Ⅱ类水质的占比明显超过2017年Ⅰ、Ⅱ类水质的占比，故正确； B．2018年Ⅰ、Ⅱ类水质的占比达到60.4%，而2017年Ⅰ、Ⅱ类水质的占比为46.4%，故正确；

C. 2018年与2017年相比较，占比减小幅度最大的是III类水质，故错误； D. 2018年Ⅰ、Ⅱ类水质的占比达到60.4%，超过60%，故正确. 故选：C． 【点睛】

本题考查饼图的识别及认识，是基础题．

1x2y25．以双曲线C：221a0,b0的右焦点F为圆心，OF为半径的圆（O为

2ab坐标原点）与C的渐近线相切，则C的渐近线方程为（ ） A．3xy0

B．x3y0

11

C．5xy0 【答案】B

D．x5y0

【解析】写出双曲线的渐近线方程以及圆的圆心坐标和半径，利用直线和圆相切列方程求出

b即可． a【详解】

bx，选取其中一条研究即可，即为bxay0， a11另外以双曲线C的右焦点F为圆心，OF为半径的圆圆心为(c,0)，半径为c，

22由已知双曲型的渐近线为y由题可知bca2b21b1c，即2ba2b2，解得， 2a3则C的渐近线方程为y故选：B． 【点睛】

1x，即x3y0， 3本题考查双曲线的简单几何性质，以及直线和圆的位置关系，重点在建立a,b,c的等量关系，是基础题．

6．如图所示，九连环是中国的一种古老的智力游戏，它环环相扣，趣味无穷．它主要由九个圆环及框架组成，每个圆环都连有一个直杆，各直杆在后一个圆环内穿过，九个直杆的另一端用平板或者圆环相对固定，圆环在框架上可以解下或者套上．九连环游戏按某种规则将九个环全部从框架上解下或者全部套上．将第n个圆环解下最少需要移动的次数记为fn（n9且nN*），已知f11，f21，且通过该规则可得

fnfn12fn21，则解下第5个圆环最少需要移动的次数为（ ）

A．7 【答案】B

B．16 C．19 D．21

【解析】根据递推关系计算即可．

12

【详解】

解：由已知f3f22f111214，

f4f32f214217， f5f42f3178116，

故选：B． 【点睛】

本题考查递推关系的应用，是基础题．

7．设f'x是函数fx的导函数，yf'x的图象如图所示，则yfx的图象可能是（ ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】根据导函数图像得到原函数单调性，再逐一对照选项即可． 【详解】

解：根据导函数图像，yfx的增区间为(3,1),(0,1)，减区间为(1,0),(1,3)， 观察选项可得D符合， 故选：D． 【点睛】

本题考查原函数和导函数图像之间的关系，注意导函数图像重点关注函数值的正负，原函数图像重点关注函数的单调性，是基础题．

13

8．ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B120，sinC21，7c2，则ABC的面积等于（ ）

A．

3 2B．23 C．

3 4D．3 【答案】A

【解析】先通过已知求出sinB,cosB,cosC，进而根据sinAsin(BC)求出sinA，再利用正弦定理求出b，则利用面积公式可求出ABC的面积． 【详解】

解：QB120，

sinB31,cosB， 2221，C为锐角， 7又sinCcosC27， 7sinAsin(BC)sinBcosCcosBsinC由正弦定理得

32712121， 271427bc， sinBsinCbc23sinB7， sinC212711213， bcsinA7222142SVABC故选：A． 【点睛】

本题考查正弦定理解三角形，以及求三角形的面积，关键是对公式的灵活应用，缺什么，求什么即可，是基础题．

9．已知函数fxee，则（ ）

xx 14

5 C．f5fef2

A．f2fef【答案】D

5

D．f2f5fe

B．fef2f【解析】先判断函数的奇偶性，再利用复合函数单调性的规律确定原函数的单调性，利用单调性即可比较函数值的大小． 【详解】

解：由已知fxexexfx，故f(x)为偶函数，

1t另外令tex，则fxt，tex，

又yt，在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增，而tex在R上单调递增，且

1t1e0，

根据复合函数单调性的判断规则，

fxexex在(,0)上单调递减，在(0,)上单调递增，

因为e5故选：D． 【点睛】

本题考查复合函数的单调性，根据内层外层函数同增异减可得原函数单调性，本题难点在于外层函数非单调函数，是中档题

10．某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为43的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为4，则该球的半径是（ ）

20，所以f2f5fe，即f2f5fe，

A．2 【答案】B

B．4 C．26 D．46 15

【解析】先求出截面圆的半径，然后根据球的半径，小圆半径，球心距三者之间的关系列方程求解即可． 【详解】

解：设截面圆半径为r，球的半径为R，则球心到某一截面的距离为正方体棱长的一半即

23，

根据截面圆的周长可得42r，得r=2， 故由题意知R2r223故选：B． 【点睛】

本题考查球被面所截的问题，考查学生计算能力以及空间想象能力，是基础题． 11．已知函数fxsinx范围是（ ）

2，即R22223216，所以R4，

40x，0,2,1，则的取值的值域是223A．0,

2【答案】B

3B．,3

27C．3,

257D．,

22【解析】先通过x的范围，求出x进而可求的取值范围． 【详解】

解：因为0，所以当x0,4的范围，再利用值域，可得

225，44x[,] 时，244242fxsinx0x0,，的值域是,1 因为函数422所以

223解得3，

2故选：B． 【点睛】

5， 44 16

本题考查三角函数的性质，关键是要求出整体分析，是中档题．

24的范围，再根据单调性和最值的关系

2212．已知P是函数fxx图象上的一点，过点P作圆xy4y30的两条切线，

2切点分别为A，B，则PAPB的最小值为（ ） A．uuuruuur3 28B．223

C．0 D．

3 2【答案】A

22uuuruuur|PM|3，求出|PM|2的范围，利用函【解析】先利用条件将PAPB表示为2PM数yt23的单调性求出最小值． t【详解】 解：如图

2)，圆的半径为1， 设点M为圆xy4y30的圆心，坐标为(0，22sinAPMAMPM1， PM2PM2cosAPB12sin2APM1，

uuuruuuruuuruuurPAPBPAPBcosAPB(|PM|21)(1uuuruuur2设|PM|t，则yPAPBt3，

t22PM)|PM|222PM23，

设P(x,x)，

2 17

则|PM|x(x2)x3x4(x)2222422322777，故t， 44427yt3在[,)上单调递增，

t4783ymin3，

4728故选：A． 【点睛】

本题考查圆锥曲线的最值问题，关键是要将目标式用一个变量表示，构造函数求最值，是中档题．

二、填空题

uuurB2,3A1,013．已知点()，（只要填，则与向量AB垂直的一个非零向量的坐标是____．

写一个满足条件的向量即可） 【答案】

3,1.

【解析】求出向量AB，写出一个与其垂直的向量，与其平行即可． 【详解】

uuuruuuruuur解：由已知AB(1,3)，则(3,1)与AB垂直，只要填写形如

量都正确. 故答案为：【点睛】

本题考查向量垂直的坐标表示，是基础题． 14．1x63,0的向

3,1．

2y15的展开式中xy的系数是____.

42【答案】600.

【解析】分别对1x和2y1找到x4与y的系数，相乘即可．

265【详解】

1x2y1【点睛】

63242443的展开式中含xy的项为C6xC52y，其系数为C6C52600，

2故答案为：600．

18

本题考查二项式定理，求指定项的系数，是基础题．

x2y215．已知椭圆M：221ab0的左顶点为A，O为坐标原点，B、C两点在Mab上，若四边形OABC为平行四边形，且OAB45，则椭圆M的离心率为____. 【答案】

6. 3【解析】四边形OABC为平行四边形，OAB45，直线OC的方程为：yx，联立

yxyxa222x，解得：．同理联立，解得xB．根据|OA||CB|a，即xxCyy2221221bbaaxCxBa化简即可得出．

【详解】 解：如图所示，

四边形OABC为平行四边形，OAB45， ∴直线OC的方程为：yx，

yxab联立x2y2，解得：xC． 22ab221bayxa2223422同理联立x2y2，化为：abx2axaab0．

221ba2a3ab2a3解得xBa2． 222abab∵|OA||CB|a，

ab2a322a． ∴22ababab 19

化为：3b2a2．

cb2b26∴椭圆的离心率e1． 122aa3b3故答案为：【点睛】

本题考查了椭圆的标准方程及其性质、平行四边形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

16．依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）．2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为： 个税税额＝应纳税所得额×税率－速算扣除数． 应纳税所得额的计算公式为：

应纳税所得额＝综合所得收入额－免征额－专项扣除－专项附加扣除－依法确定的其他扣除．

其中免征额为每年60000元，税率与速算扣除数见下表： 级数 全年应纳税所得额所在区间 1 税率（%） 3 速算扣除数 0 6． 30,36000 36000,144000 144000,300000 2 10 2520 3 20 16920 4 300000,420000 25 31920 5 420000,660000 660000,960000 960000, 30 52920 6 35 85920 7 45 181920 20

备注：

“专项扣除”包括基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金。 “专项附加扣除”包括子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等支出。

“其他扣除”是指除上述免征额、专项扣除、专项附加扣除之外，由决定以扣除方式减少纳税的优惠规定的费用。

某人全年综合所得收入额为160000元，假定缴纳的基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是8%，2%，1%，9%，专项附加扣除是24000元，依法确定其他扣除是0元，那么他全年应缴纳综合所得个税____元．

【答案】1880.

【解析】根据题意求出应纳税所得额，再根据公式求出个税税额即可． 【详解】

解：由已知应纳税所得额1600006000016000020%2400044000， 则个税税额4400010%25201880． 故答案为：1880． 【点睛】

本题考查实际问题的解答，考查理解能力和计算能力，是基础题．

三、解答题

17．在长方体ABCDA1B1C1D1中，ADAA1.

（1）证明：平面A1BD面BC1D1；

（2）若AB2AD，求二面角A1BDD1的余弦值.

21

【答案】（1）见解析；（2）5. 3【解析】（1）通过证明A1DBC1，A1DC1D1来证明A1D平面BC1D1，进而证明平面A1BD面BC1D1；

（2）建立空间直角坐标系，求出面BDD1和面A1BD的法向量，通过求法向量的夹角来得到二面角A1BDD1的余弦值． 【详解】

（1）证明：因为ADAA1，所以四边形AA1D1D是正方形，所以A1DAD1， 又四边形ABC1D1是平行四边形，所以AD1//BC1，所以A1DBC1， 因为长方体ABCDA1B1C1D1中，C1D1平面AA1D1D，所以A1DC1D1， 又BC1IC1D1C1，BC1、C1D1平面BC1D1，所以A1D平面BC1D1， 而A1D平面A1BD，所以平面A1BD平面BC1D1. （2）建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，

,0,1，B1,2,0，D0,0,0，D10,0,1， 设ADAA11，则AB2，A11urBDD设平面1的一个法向量为n1x1,y1,z1， uuuuruuurDD10,0,1，DB1,2,0，

uvuuuuvurn1DD10z10vuuuv则u，取y11，所以n12,1,0，

x2y011n1DB0uuruuuuruuurABD,0,1，DB1,2,0， 设平面1的一个法向量为n2x2,y2,z2，DA11uuvuuuuvuurn2DA10x2z20vuuuv，取y21，所以n22,1,2， uux2y022n2DB0uruururuurn1n25cosn,nuruur故，又二面角A1BDD1是锐角， 123n1n2所以，二面角A1BDD1的余弦值为5. 322

【点睛】

本题考查面面垂直的证明，以及利用空间向量求面面角，考查计算能力与空间想象能力，是中档题．

18．设等差数列an公差为d，等比数列bn公比为q，已知a1b1，a3b1b25，

q2d.

（1）求数列an，bn的通项公式； （2）记cnanbn，求数列cn的前n项和Sn.

n1【答案】（1）an2n1，bn4；（2）Sn6n5n54. 99【解析】（1）将条件均用基本量表示，列方程求解即可； （2）写出Sn和4Sn，作差，利用等比数列的求和公式整理即可． 【详解】

（1）∵b1b25，∴b11q5， 又∵q2d，a1b1，∴a112d5， ∴a3a12d5，∴a152d， ∴52d12d5， 解得：d10，d22， 若d0，q2d0（舍去）， 若d2，q2d4， ∴b1a1a32d1，

23

∴ana1n1d2n1，

bnb1qn14n1.

（2）cnanbn2n142n1，

n1∴Sn13454L2n1423，

n∴4Sn43454L2n14，

3Sn124242243L24n12n14n 1244n11412n14n

6n5n54. 336n5n5Sn4.

99【点睛】

本题考查等差，等比数列通项公式的求解以及错位相减法求和，考查学生的计算能力，是基础题．

19．已知抛物线C：y4x的焦点为F，准线为l，P是C上的动点. （1）当PF4时，求直线PF的方程；

（2）过点P作l的垂线，垂足为M，O为坐标原点，直线OM与C的另一个交点为Q，证明：直线PQ经过定点，并求出该定点的坐标． 【答案】（1）y（2）直线PQ恒过点1,0，理由见解析. 3x3或y3x3；2【解析】（1）设Px0,y0，利用PF1x0求出x0，进而可求出y0，利用点P的坐标求出kPF，用斜截式可写出直线方程；

2y0,y0y00，则M1,y0，联立直线OM与抛物线C，求出点Q坐标，（2）设P4进而写出直线PQ的方程，可得其所过的定点． 【详解】

24

（1）设Px0,y0，由PF4得1x04，解得：x03， 所以y023. 所以kPF2303，

313x3或y3x3. 所以直线PF的方程为：y2y0,y0y00，则M1,y0， （2）设P4直线OM的方程为：yy0x.

4yy0x422Q,yx4x0联立2得：0，解得2.

y4xyy00①当y02时，直线PQ的方程为x1，

24y0y0②当y02时，直线PQ方程为：yy02x，

y044化简得：y4y0x1， 2y04综上①②，可知直线PQ恒过点1,0. 【点睛】

本题考查直线与抛物线的位置关系，考查直线过定点问题，锻炼了学生计算能力，是基础题． 20．近年来，昆明加大了特色农业建设，其中花卉产业是重要组成部分．昆明斗南毗邻滇池东岸，是著名的花都，有“全国10支鲜花7支产自斗南”之说，享有“金斗南”的美誉。对斗南花卉交易市场某个品种的玫瑰花日销售情况进行调研，得到这种玫瑰花的定价x（单位：元/扎，20支/扎）和销售率y（销售率是销售量与供应量的比值）的统计数据如下：

x 10 20 30 40 50 60 0.175 y

0.9 0.65 0.45 0.3 0.2 25

$a$哪个更合适，（1）设zlnx，根据所给参考数据判断，回归模型$y$bx$a与$ybz$、b$的结果保留一位小数）并根据你的判断结果求回归方程（a；

（2）某家花卉公司每天向斗南花卉交易市场提供该品种玫瑰花1200扎，根据（1）中的回归方程，估计定价x（单位：元/扎）为多少时，这家公司该品种玫瑰花的日销售额W（单位：元）最大，并求W的最大值。

参考数据：y与x的相关系数r10.96，y与z的相关系数r20.99，x35，y0.45，

xi162i9100，z3.40，6z69.32，yizi8.16，zi271.52，e320.1，

266i1i1e3.430.0，e3.533.1，e4.6.

$参考公式：bxi1nixyiyixi1nx2，$ay$bx，rxxyyiii1nxxyyiii1i1n2n. 2$a$更合适，$【答案】（1）$（2）最大日销售额为12060元. ybzy0.5lnx2.0；$a$更合适，再根据回归直线方程的系【解析】（1）先由线性相关系数的意义可知，$ybz数公式，代入数据计算即可；

（2）先得到W12000.5lnx2.0x，再利用导数求其最值即可． 【详解】

（1）因为r10.96，r20.99，0.960.991，

$a$更合适， 由线性相关系数的意义可知，$ybzˆbzi16izyiyizy6zyiii16zi16z2zi162i6z28.1663.400.450.460.5，

71.5269.32$ybz$0.450.463.402.0， a所以回归直线方程为：$y0.5lnx2.0. （2）由题意有：W12000.5lnx2.0x，

26

W'12001.50.5lnx，令W'0，得lnx3 ，xe320.1，

当0xe3时，W'0，W递增；当xe3时，W'0，W递减； 所以当售价约为20.1元/扎时，日销售额W最大.

Wmax12000.5lne32.0e312000.532.020.112060（元），

所以，最大日销售额为12060元. 【点睛】

本题考查回归方程的求法以及利用导数求最值，考查学生的理解能力以及建模的能力，是一道中档题．

21．已知函数fxeax2axaR.

x2（1）讨论fx的导数f'x的单调性；

（2）若fx有两个极值点x1，x2，求实数a的取值范围，并证明x11x211. 【答案】（1）f'x在,ln2a上单调递减，f'x在ln2a,上单调递增； （2）见解析.

【解析】（1）求出f'x，令gxf'x，对a0，a0讨论来求f'x的单调性；

ex（2）将fx有两个极值点x1，x2转化为e2ax10有两解，继续转化为2ax1xex有两解，构造函数hx，求导h01为其极小值，可得2a1，即可求得实数ax1的取值范围；另外要证明x11x211，不妨设x1x2，则1x10x2，由（1）根据f'x的单调性得x10ln2ax2，通过变形，转化为证明

lnx11lnx210，进一步变形证明f'x2f'2ln2ax20，构造函数Hxf'xf'2ln2ax，利用导数研究其最小值即可证明．

【详解】

（1）由题意，得f'xe2ax2ae2ax1xR.

xx设gxf'xxR，则g'xe2a.

x 27

①当a0时，g'xe2a0，所以f'x在R上单调递增.

x②当a0时，由g'xe2a0，得xln2a.

x当xln2a时，g'x0，f'x在,ln2a上单调递减； 当xln2a时，g'x0，f'x在ln2a,上单调递增.

（2）由于fx有两个极值点x1，x2，即f'x0在xR上有两解x1，x2，

exf'x0即e2ax10，显然x1，故等价于2a有两解x1，x2，

x1xxexex设hx，则h'x2，

x1x1当x1时，h'x0，所以hx在,1单调递减， 且hx0，x时，hx→0，x1时，hx；

当1x0时，h'x0，所以hx在1,0单调递减，且x1时，hx； 当x0时，h'x0，所以hx在0,单调递增，且x时，hx，

1ex所以h01是hx的极小值，2a有两解x1，x2等价于2a1，得a.

2x1不妨设x1x2，则1x10x2.

据（1）f'x在,ln2a上单调递减，在ln2a,上单调递增， 故x10ln2ax2， 由于e12ax11，exx22ax21，且1x10ln2ax2，则

0x11x21，

所以x1ln2alnx11，x2ln2alnx21， 即lnx11x1ln2a，lnx21x2ln2a，

欲证明：x11x211，等价于证明：lnx11lnx210， 即证明：x1x22ln2a0，只要证明：x12ln2ax2，

28

因为f'x在,ln2a上单调递减，x1,2ln2ax2,ln2a， 所以只要证明：f'x1f'2ln2ax2，

由于f'x1f'x2，所以只要证明：f'x2f'2ln2ax2， 即证明：f'x2f'2ln2ax20，

设Hxf'xf'2ln2ax，据（1）Hxgxg2ln2ax，

H'xg'xg'2ln2axex2ae2ln2ax2a

24a2x4aex4a2ex4a20， eex所以Hx在,上单调递增，

所以Hx2Hln2af'ln2af'2ln2aln2a0， 即f'x2f'2ln2ax20， 故x11x211. 【点睛】

本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，最值，综合性强，对学生计算能力以及转化问题的能力要求高，是一道难题．

22．已知极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点，极轴与x轴的非负半轴重合．曲线C的极坐标方程是12sin262，直线l的极坐标方程是cos20． 4（1）求曲线C和直线l的直角坐标方程；

11（2）设点P2,0，直线l与曲线C相交于点M、N，求的值． PMPNx2y2【答案】（1）（2）6. 1，xy20；

62ysin【解析】（1）利用222，将极坐标方程化为直角坐标方程；

xy（2）写出直线l过点P2,0的参数方程，代入曲线C，利用参数的几何意义以及韦达定理，

29

可求出结果． 【详解】

（1）曲线C化为：2sin6，

222ysin22将222代入上式，即x3y6， xyx2y2整理，得曲线C的直角坐标方程1.

62由cos22cossin20， 20，得

422xcos将代入上式，化简得xy20， ysin所以直线l的直角坐标方程xy20.

3x2tcos4t（2）由（1）知，点P2,0在直线l上，可设直线的参数方程为（为参

3ytsin4数），

2x2t2即（t为参数）， y2t2代入曲线C的直角坐标方程，得整理，得t22t10， 所以121t22t43t26， 22224160，t1t210，

由题意知，【点睛】

tt611116. 1211PMPNt1t2t1t2本题考查极坐标方程和直角坐标方程的互化以及直线参数方程的应用，关键是要写出直线的标准参数方程，才能利用参数的几何意义来解题，是基础题．

30

23．已知函数fxx2x2. （1）求不等式fx3的解集； （2）若aR，且a0，证明：4a1114fx. a【答案】（1）x|1x5；（2）见解析.

【解析】（1）分类讨论去绝对值，作出函数的图像，根据图像得到函数的单调性，利用单调性结合图像可得不等式的解集；

（2）利用绝对值的三角不等式以及基本不等式可证明结果． 【详解】 （1）法一：

x2,x0fxx2x23x2,0x1，

x2,x1作出fx的图象，如图所示：

结合图象，

函数fx在,1上单调递增， 在1,上单调递减， 又f13，f53，

所以不等式fx3的解集是x|1x5. 法二：fxx2x23，

31

x00x1x1等价于：或或，

x2x23x2x23x2x23解得：1x0或0x1或1≤x≤5， 所以不等式fx3的解集是x|1x5.

（2）由（1）知函数fx的最大值是f11，所以fx≤1恒成立. 因为4a1111114a114a4a4，

aaaa1时，等号成立. 2当且仅当a所以4a1【点睛】

114fx. a本题考查绝对值不等式的解法以及绝对值的三角不等式的应用，是中档题．

32