考研数学试题(卷)

2001年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分) 1、limx13x1x=（ ）．

x2x22xy2、曲线e3、

cos(xy)e1在点（0，1）处 的切线方程为 ：（ ）．

22322． (xsinx)cosxdx=（ ）4、微分方程yarcsinxy1x21满足y(1（ ）． 2)=0的特解为：

a11x115、方程组1a1x21有无穷多解，则a=（ ）．

11ax23二、单项选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分．)

11、f(x)0x1x1则f{f[f(x)]}=

（ A ） 0；（B）1；（C）102x1x1； （D）01x1x1．

nn2、x0时，(1cosx)ln(1x)是比xsinx高阶的无穷小，而xsinx是比

ex1高阶的无穷小，则正整数n等于

（ A ）1；（B）2；（C）3；（D）4． 3、曲线y(x1)(x3)的拐点的个数为 （ A ）０；（B）１；（C）２；（D）３．

4、函数f(x)在区间（1-δ，1+δ）内二阶可导，f(x) 严格单调减小，且 f(1)=f(1)=1，则

（A）在（1-δ，1）和（1，1+δ）内均有f(x)x； （B）在（1-δ，1）和（1，1+δ）内均有f(x)x；

（C）在（1-δ，1）内有f(x)x，在（1，1+δ）内有f(x)x； （D）在（1-δ，1）内有f(x)x，在（1，1+δ）内有f(x)x．

222

5、（同数学一的二1） 三、（本题满分6分）求

(2xdx21)1x2．

xsintsint)sinx的表达式，并指出函数f(x)的间断点四、（本题满分7分）求函数f(x)=lim(txsinx及其类型．

五、（本题满分7分）设(x)是抛物线yx上任意一点M（x,y）（x1）处的曲

d2d2()率半径，ss(x)是该抛物线上介于点A（1，1）与M之间的弧长，计算32dsds的值（曲率K＝

y(1y)232）．

六、（本题满分7分）f(x)在[0，+）可导，f(0)=0，且其反函数为g(x)． 若

f(x)0g(t)dtx2ex，求f(x)．

x七、（本题满分7分）设函数f(x)，g(x)满足f(x)=g(x)， g(x)=2e－f(x) 且f(0)=0，g(0)=2，求

0[g(x)f(x)]dx 1x(1x)2八、（本题满分9分）设L为一平面曲线，其上任意点P（x,y）（x0）到原点的距离，恒等于该点处 的切线在y轴上的截距，且L过点（0.5，0）．

1、 求L的方程

2、 求L的位于第一象限部分的一条切线，使该切线与L以及两坐标轴所围成的图形的

面积最小．

九、（本题满分7分）一个半球型的雪堆，其体积的融化的速率与半球面积S成正比 比例系数K>0．假设在融化过程中雪堆始终保持半球形状，已知半径为 r0 的雪堆 在开始融化的3小时内，融化了其体积的7/8，问雪堆全部融化需要多少时间？ 十、（本题满分8分）f(x)在[-a，a]上具有二阶连续导数，且f(0)=0

1、 写出f(x)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式； 2、 证明在[-a，a]上至少存在一点，使af()33aaf(x)dx

100011十一、（本题满分6分）已知A110,B101且满足

111110

AXA+BXB=AXB+BXA+E，求X．

十二、（本题满分6分）设1,2,3,4为线性方程组AX=O的一个基础解系， 11t2,22t3,33t4,44t1，其中t为实常数 试问t满足什么条件时1,2,3,4也为AX=O的一个基础解系．

2002年全国硕士研究生入学统一考试

数学(二)试题

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分)

1earcsin2xf(x)2xaextanx1．设函数

x0在x0处连续，则a（ ）． x02．位于曲线yxe（0x）下方，x轴上方的无界图形的面积为（ ）． 3

．

yyy20满足初始条件

y(0)1,y(0)12的特解是

（ ）． 4

．

12lim[1cos1cosnnnn1cosn]n=

（ ）．

02222的非零特征值是（ ）5．矩阵2．

222二、单项选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分．)

１．函数f(u)可导，yf(x)当自变量x在x1处取得增量x0.1时，相应的函数增量y的线性主部为０．１，则f(1)＝ （Ａ）－１； （Ｂ）０．１；

（Ｃ）１； （Ｄ）０．５．

２．函数f(x)连续，则下列函数中，必为偶函数的是 (A)

2x0f(t2)dt； (B) f2(t)dt；

0x

(C)

x0t[f(t)f(t)]dt； (D)

t[f(t)f(t)]dt．

0x3x３．设yf(x)是二阶常系数微分方程ypyqye满足初始条件y(0)y(0)0的

ln(1x2) 特解，则极限lim

x0y(x) (A)不存在； （Ｂ）等于１； (C)等于２； (D) 等于３． ４．设函数f(x)在R上有界且可导，则

(A)当limf(x)0时，必有limf(x)0；

xx （Ｂ）当limf(x)存在时，必有limf(x)0；

xx (C) 当limf(x)0时，必有limf(x)0；

x0x0 (D) 当limf(x)存在时，必有limf(x)0．

x0x05．设向量组1,2,3线性无关，向量1可由1,2,3线性表示，而向量2不能由

1,2,3线性表示，则对于任意常数k必有

（Ａ）1,2,3,k12线性无关；(B) 1,2,3,k12线性相关； （Ｃ）1,2,3,1k2线性无关； (D) 1,2,3,1k2线性相关．

三、（本题满分6分）已知曲线的极坐标方程为r1cos，求该曲线对应于切线与法线的直角坐标方程．

322x2xxex四、（本题满分７分）设函数yf(x)(ex1)26处的

1x00x1，

求函数F(x)x1f(t)dt的表达式．

x五、（本题满分７分）已知函数f(x)在R上可导，f(x)0，limf(x)1，且满足

1f(xhx)1hlim()ex，求f(x)． h0f(x)六、（本题满分７分）求微分方程xdy(x2y)dx0的一个解yy(x)，使得由曲线

yy(x)与直线x1,x2以及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周的旋转体的体积最

小．

七、（本题满分7分）某闸门的形状与大小如图所示，其中直线l 为对称轴，闸门的上部为矩形ＡＢＣＤ，下部由二次曲线与线段 ＡＢ所围成．当水面与闸门的上断相平时，欲使闸门矩形部分与 承受的水压与闸门下部承受的水压之比为５：４，闸门矩形部分 的高h应为多少？ 八、（本题满分８分）

设0xn3，xn1． xn(3xn)（n＝１，２，３，…）

证明：数列｛xn｝的极限存在，并求此极限． 九、（本题满分８分）设ba0，证明不等式

2alnblna1． 22baabab十、（本题满分8分）设函数f(x)在x＝０的某邻域具有二阶连续导数，且

f(0)f(0)f(0)0．证明：存在惟一的一组实数a,b,c，使得当h0时， af(h)bf(2h)cf(3h)f(0)o(h2)．

十一、（本题满分６分）已知Ａ，Ｂ为三阶方阵，且满足2ABB4E．

⑴证明：矩阵A2E可逆；

112020，求矩阵Ａ． ⑵若B1002十二、（本题满分６分）已知四阶方阵A(1,2,3,4)， 1,2,3,4均为四维列向量，其中2,3,4线性无关，1223．若1234，求线性方程组

Ax的通解．

2003年考研数学（二）真题评注

一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）

（1） 若x0时，(1ax)1 与xsinx是等价无穷小，则a= -4 .

214(1ax2)1，反过来求a. 注【分析】 根据等价无穷小量的定义，相当于已知limx0xsinx意在计算过程中应尽可能地应用无穷小量的等价代换进行化简.

14

【详解】 当x0时，(1ax)1~1421412ax，xsinx~x2. 41ax2(1ax)1于是，根据题设有 limlim42a1，故a=-4.

x0x0xsinx4x2【评注】 本题属常规题型，完全类似例题见《数学复习指南》P.38 【例1.62】.

（2） 设函数y=f(x)由方程xy2lnxy所确定，则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是 x-y=0 .

【分析】 先求出在点(1,1)处的导数，然后利用点斜式写出切线方程即可.

【详解】 等式xy2lnxy两边直接对x求导，得 yxy4424y3y， x将x=1,y=1代入上式，有 y(1)1. 故过点(1,1)处的切线方程为 y11(x1)，即 xy0.

【评注】 本题属常规题型，综合考查了隐函数求导与求切线方程两个知识点，类似例题见《数学复习指南》P.55 【例2.13】和【例2.14】.

(ln2)n（3） y2的麦克劳林公式中x项的系数是 .

n!xn【分析】 本题相当于先求y=f(x)在点x=0处的n阶导数值fn(n)(0)，则麦克劳林公式

中x项的系数是

f(n)(0). n!x2(x)x【详解】 因为 y2ln2，y2(ln2)，,y2x(ln2)n，于是有

y(n)(0)(ln2)n. y(0)(ln2)，故麦克劳林公式中x项的系数是

n!n!(n)nn【评注】 本题属常规题型，在一般教材中都可找到答案. （4） 设曲线的极坐标方程为e一段弧与极轴所围成的图形的面积为

a(a0) ，则该曲线上相应于从0变到2的

14a(e1) . 4a【分析】 利用极坐标下的面积计算公式S12()d即可. 2

【详解】 所求面积为

122122a S()ded

202014a12a2 =(e1). e04a4a【评注】 本题考查极坐标下平面图形的面积计算，也可化为参数方程求面积，但计算

过程比较复杂. 完全类似例题见《数学复习指南》P.200 【例7.38】.

111TT（5） 设为3维列向量，是的转置. 若111，则

111T= 3 .

【分析】 本题的关键是矩阵的秩为1，必可分解为一列乘一行的形式，而行向量一般可选第一行（或任一非零行），列向量的元素则为各行与选定行的倍数构成.

T11111T【详解】 由111=1111，知1，于是

1111113.

T11111a1a2【评注】 一般地，若n阶矩阵A的秩为1，则必有Ab1b2bn.

an完全类似例题见《数学复习指南》P.389 【例2.11】和《考研数学大串讲》P.162 【例13】.

（6） 设三阶方阵A,B满足ABABE，其中E为三阶单位矩阵，若

2101，则B 1 .

A0202201【分析】 先化简分解出矩阵B，再取行列式即可. 【详解】 由ABABE知，

2(A2E)BAE，即 (AE)(AE)BAE，

易知矩阵A+E可逆，于是有 (AE)BE.

再两边取行列式，得 AEB1，

因为 AE01102, 所以 B .

2200001【评注】 本题属基本题型，综合考查了矩阵运算与方阵的行列式，此类问题一般都应先化简再计算. 完全类似例题见《考研数学大串讲》P.160 【例11】.

二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）

（1）设{an},{bn},{cn}均为非负数列，且liman0,limbn1,limcn,则必

nnn有

(A) anbn对任意n成立. (B) bncn对任意n成立.

(C) 极限limancn不存在. (D) 极限limbncn不存在.

nn[ D ]

【分析】 本题考查极限概念，极限值与数列前面有限项的大小无关，可立即排除(A),(B)； 而极限limancn是0型未定式，可能存在也可能不存在，举反例说明即可；

n极限limbncn属1型，必为无穷大量，即不存在.

n【详解】 用举反例法，取an21，bn1，cnn(n1,2,)，则可立即排除n2(A),(B),(C)，因此正确选项为(D).

【评注】 对于不便直接证明的问题，经常可考虑用反例，通过排除法找到正确选项. 完全类似方法见《数学最后冲刺》P.179.

3n11xndx, 则极限limnan等于 （2）设ann1xn20 (A) (1e)1. (B) (1e)1.

(C) (1e)1. (D) (1e)1. [ B ]

【分析】 先用换元法计算积分，再求极限. 【详解】 因为

3123232312n33ann1xn11xndx=n11xnd(1xn)

202n0nn1n =(1x)2n

3nn101nn2{[1()]1}， nn13

nn2)]1}(1e1)21. 可见 limnan=lim{[1(nnn1【评注】 本题属常规题型，综合考查了定积分计算与求数列的极限两个知识点，但定

积分和数列极限的计算均是最基础的问题，一般教材中均可找到其计算方法.

（3）已知y33yxxx是微分方程y()的解，则()的表达式为

xyylnxy2y2 （A） 2. (B) 2.

xxx2x2 (C) 2. (D) 2. [ A ]

yy【分析】 将y而可计算出().

x代入微分方程，再令的中间变量为u，求出(u)的表达式，进lnxxy【详解】将yyxx代入微分方程y()，得

xylnx

lnx111，即 . (lnx)(lnx)22lnxlnxlnxxy21令 lnx=u，有 (u)2，故 ()=2. 应选(A).

yxu 【评注】 本题巧妙地将微分方程的解与求函数关系结合起来，具有一定的综合性，但

问题本身并不复杂，只要仔细计算应该可以找到正确选项.

（4）设函数f(x)在(,)内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有

(A) 一个极小值点和两个极大值点. (B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点.

(D) 三个极小值点和一个极大值点.

[ C ]

y

O x

【分析】 答案与极值点个数有关，而可能的极值点应是导数为零或导数不存在的点，

共4个，是极大值点还是极小值可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定.

【详解】 根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有3个，而 x=0 则是导数不存在的点. 三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个极小值点，一个极大值点；在x=0左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见x=0为极大值点，故f(x)共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C).

【评注】 本题属新题型，类似考题2001年数学一、二中曾出现过，当时考查的是已知f(x)的图象去推导f(x)的图象，本题是其逆问题. 完全类似例题在文登学校经济类串讲班上介绍过.

（5）设I140tanxxdx,I24dx, 则

0tanxx (A) I1I21. (B) 1I1I2.

(C) I2I11. (D) 1I2I1. [ B ]

【分析】 直接计算I1,I2是困难的，可应用不等式tanx>x, x>0. 【详解】 因为当 x>0 时，有tanx>x，于是

tanxx1，1，从而有 xtanxI140tanxxdx， I24dx，

0tanxx44可见有 I1I2且I24，可排除(A),(C),(D)，故应选(B).

【评注】 本题没有必要去证明I11，因为用排除法，(A),(C),(D)均不正确，剩下的(B) 一定为正确选项.

（6）设向量组I：1,2,,r可由向量组II：1,2,,s线性表示，则 (A) 当rs时，向量组II必线性相关. (B) 当rs时，向量组II必线性相关.

(C) 当rs时，向量组I必线性相关. (D) 当rs时，向量组I必线性相关. [ D ]

【分析】 本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组I：

1,2,,r可由向量组II：1,2,,s线性表示，则当rs时，向量组I必线性相

关. 或其逆否命题：若向量组I：1,2,,r可由向量组II：1,2,,s线性表示，且向量组I线性无关，则必有rs. 可见正确选项为(D). 本题也可通过举反例用排除法找到答案.

【详解】 用排除法：如1则10102，但1,20,10,21，010

线性无关，排除(A)；10,20,10，则1,2可由1线性表示，但1线

性无关，排除(B)；10,10,21，1可由1,2线性表示，但1线性无关，排除(C). 故正确选项为(D).

【评注】 本题将一已知定理改造成选择题，如果考生熟知此定理应该可直接找到答案，若记不清楚，也可通过构造适当的反例找到正确选项。此定理见《数学复习指南》P.409 定理11.

三 、（本题满分10分）

011110ln(1ax3),x0,xarcsinx设函数 f(x)6,x0,

eaxx2ax1x0,,xxsin4问a为何值时，f(x)在x=0处连续；a为何值时，x=0是f(x)的可去间断点？

【分析】 分段函数在分段点x=0连续，要求既是左连续又是右连续，即

f(00)f(0)f(00).

ln(1ax3)ax3lim【详解】 f(00)limf(x)lim

x0x0xarcsinxx0xarcsinx =limx013ax211x2limx03ax21x12

3ax26a. =limx012x2eaxx2ax1f(00)limf(x)lim

x0x0xxsin4eaxx2ax1aeax2xa24lim2a4. =4lim2x0x02xx令f(00)f(00)，有 6a2a4，得a1或a2. 当a=-1时，limf(x)6f(0)，即f(x)在x=0处连续.

x02

当a=-2时，limf(x)12f(0)，因而x=0是f(x)的可去间断点.

x0【评注】 本题为基本题型，考查了极限、连续与间断等多个知识点，其中左右极限的计算有一定难度，在计算过程中应尽量利用无穷小量的等价代换进行简化.

完全类似例题见《数学题型集粹与练习题集》P.22 【例1.38-39】, 《考研数学大串讲》P.15 【例23】，《文登数学全真模拟试卷》数学二P.3第四题.

四 、（本题满分9分）

x12t2,d2yu12lnte(t1)所确定，求2 设函数y=y(x)由参数方程ydudx1ux9.

【分析】 本题为参数方程求二阶导数，按参数方程求导的公式进行计算即可. 注意当

x=9 时，可相应地确定参数t的取值.

dye12lnt22etdx【详解】由，4t， dt12lntt12lntdtdy2etdydt12lnte, 得

dxdx4t2(12lnt)dtd2yddy1e121 ()所以 =

dx2dtdxdx2(12lnt)2t4tdt =e. 224t(12lnt)2当x=9时，由x12t及t>1得t=2, 故

d2y

dx2x9e4t2(12lnt)2t2e. 216(12ln2)【评注】完全类似例题见《数学复习指南》P.53 【例2.9】, 《考研数学大串讲》P.15 【例23】.

五 、（本题满分9分） 计算不定积分

xearctanx(1x)232dx.

【分析】 被积函数含有根号1x2，典型地应作代换：x=tant, 或被积函数含有反三角函数arctanx，同样可考虑作变换：arctanx=t，即 x=tant. 【详解】 设xtant，则

xearctanx(1x2)32dx=ettant(1tan2t)32sec2tdt=etsintdt.

又etsintdtetdcost

 =(etcostetcostdt)

 =etcostetsintetsintdt，

故 esintdt因此

t1te(sintcost)C. 21arctanxx1e()C dx=322221x1x(1x)2xearctanx =

(x1)earctanx21xx1x22C.

【评注】本题也可用分布积分法：

xearctanx(1x2)32dx=dearctanx

=

xearctanx1x2earctanx(1x)232dx

=

xearctanx1x2xearctanx1x211x2dearctanx

xearctanx(1x)232 =移项整理得

earctanx1x2dx，

xearctanx(1x)232dx=

(x1)earctanx21x2C.

本题的关键是含有反三角函数，作代换arctanxt或tant=x, 完全类似例题见《数学

复习指南》P.86【例3.23】以及P.90习题12.

六 、（本题满分12分）

设函数y=y(x)在(,)内具有二阶导数，且y0,xx(y)是y=y(x)的反函数.

d2xdx3(1) 试将x=x(y)所满足的微分方程(ysinx)()0变换为y=y(x)满足的2dydy微分方程；

(2) 求变换后的微分方程满足初始条件y(0)0,y(0)3的解. 2【分析】 将

1dxdx1dy，关键是应注意： 转化为比较简单，=

dydydyydxdxd2xddxd1dx()=() 2dydydxydydy =

y1y. y2y(y)3然后再代入原方程化简即可.

【详解】 (1) 由反函数的求导公式知

dx1，于是有 dyyyd2xddxd1dxy1()==. ()232ydxydyy(y)dydydy代入原微分方程得

yysinx. ( * )

(2) 方程( * )所对应的齐次方程yy0的通解为 YC1eC2e. 设方程( * )的特解为

yAcosxBsinx，

*xx11*，故ysinx，从而yysinx的通解是 221*xx yYyC1eC2esinx.

23由y(0)0,y(0)，得C11,C21. 故所求初值问题的解为

21xx yeesinx.

2代入方程( * )，求得A0,B【评注】 本题的核心是第一步方程变换，完全类似例题见《数学复习指南》P.53的【例2.8】和P.59的【例2.22】.

七 、（本题满分12分）

讨论曲线y4lnxk与y4xlnx的交点个数.

【分析】 问题等价于讨论方程lnx4lnx4xk0有几个不同的实根. 本题相

44

当于一函数作图题，通过单调性、极值的讨论即可确定实根的个数（与x轴交点的个数）.

【详解】 设(x)lnx4lnx4xk， y 44(ln3x1x). 4-k 则有 (x)x不难看出，x=1是(x)的驻点. O 1 x 当0x1时，(x)0，即(x)单调减少；当x>1时，(x)0，即(x)单调增加，故(1)4k为函数(x)的最小值.

当k<4，即4-k>0时，(x)0无实根，即两条曲线无交点；

当 k=4，即4-k=0时，(x)0有唯一实根，即两条曲线只有一个交点； 当 k>4，即4-k<0时，由于

x0lim(x)lim[lnx(ln3x4)4xk]；

x0xlim(x)lim[lnx(ln3x4)4xk]，

x故(x)0有两个实根，分别位于(0,1)与(1,)内，即两条曲线有两个交点.

【评注】 讨论曲线与坐标轴的交点，在构造辅助函数时，应尽量将待分析的参数分离开来，使得求导后不含参数，便于求驻点坐标.

完全类似例题见《数学复习指南》P.192的【例7.24】和《数学题型集粹与练习题集》P.89的【例6.18-19】以及《文登数学全真模拟试卷》数学二P.1第二大题第（2）小题.

八 、（本题满分12分）

设位于第一象限的曲线y=f(x)过点(的交点为Q，且线段PQ被x轴平分. (1) 求曲线 y=f(x)的方程；

(2) 已知曲线y=sinx在[0,]上的弧长为l，试用l表示曲线y=f(x)的弧长s. 【分析】 (1) 先求出法线方程与交点坐标Q，再由题设线段PQ被x轴平分，可转化为微分方程，求解此微分方程即可得曲线y=f(x)的方程. (2) 将曲线 y=f(x) 化为参数方程，再利用弧长公式s21,)，其上任一点P(x,y)处的法线与y轴22bax2y2dt进行计算即可.

【详解】 (1) 曲线y=f(x)在点P(x,y)处的法线方程为 Yy1(Xx)， y

其中(X,Y)为法线上任意一点的坐标. 令X=0，则

Yyx， yx). 由题设知 y故Q点的坐标为(0,y1x(yy)0，即 2ydyxdx0. 2y积分得 x2yC (C为任意常数).

由y222x221知C=1，故曲线y=f(x)的方程为 22 x2y1.

(2) 曲线y=sinx在[0，]上的弧长为 l01cosxdx221cos2xdx.

02曲线y=f(x)的参数方程为

xcost,  0t. 2ysint,22故 s令t201122sintcos2tdt1sintdt， 02222u，则

s12021cosu(du)212201cos2udu

=

l222l. 4【评注】 注意只在第一象限考虑曲线y=f(x)的弧长，所以积分限应从0到

，而不是2从0到2.

完全类似例题见《数学复习指南》P.176的【例6.22】和《数学题型集粹与练习题集》P.174的【例12.18】以及P.172的【解题提示】，另外还有《文登数学全真模拟试卷》数学二-P.74的第七题.

九 、（本题满分10分）

有一平底容器，其内侧壁是由曲线x(y)(y0)绕y

轴旋转而成的旋转曲面（如图），容器的底面圆的半径为2 m. 根据设计要求，当以3m/min的速率向容器内注入液体时，

液面的面积将以m/min的速率均匀扩大（假设注入液体前， 容器内无液体）.

(1) 根据t时刻液面的面积，写出t与(y)之间的关系式； (2) 求曲线x(y)的方程.

(注：m表示长度单位米，min表示时间单位分.)

【分析】 液面的面积将以m/min的速率均匀扩大，因此t时刻液面面积应为：

22322t，而液面为圆，其面积可直接计算出来，由此可导出t与(y)之间的关系式；又

液体的体积可根据旋转体的体积公式用定积分计算，已知t时刻的液体体积为3t，它们之间也可建立积分关系式，求导后转化为微分方程求解即可.

【详解】 (1) 设在t时刻，液面的高度为y，则由题设知此时液面的面积为

2(y)4t, 从而 t2(y)4.

(2) 液面的高度为y时，液体的体积为上式两边对y求导，得

(y)6(y)(y)，即 (y)6(y). 解此微分方程，得

20y2(u)du3t32(y)12.

(y)Ce由(0)2知C=2, 故所求曲线方程为

6y，其中C为任意常数，

x2e6.

【评注】 作为应用题，本题比较好地综合考查了定积分在几何上的应用与微分方程的求解。

完全类似例题见《文登数学全真模拟冲刺试卷》数学一P.78的第四题(实际考题相当于本题的特殊情形)和《数学最后冲刺》P.94的【例2】.

十 、（本题满分10分）

设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且f(x)0. 若极限

yxalimf(2xa)存在，证明：

xa(1) 在(a,b)内f(x)>0;

(2) 在(a,b)内存在点，使

b2a2baf(x)dx2； f()(3) 在(a,b) 内存在与(2)中相异的点，使 f()(ba)222bf(x)dx. aa【分析】 (1) 由limxaf(2xa)存在知，f(a)=0, 利用单调性即可证明f(x)>0. (2) 要

xa证的结论显含f(a),f(b)，应将要证的结论写为拉格朗日中值定理或柯西中值定理的形式进行证明. (3) 注意利用(2)的结论证明即可.

【详解】 (1) 因为limxaf(2xa)存在，故limf(2xa)f(a)0. 又f(x)0，

xaxa于是f(x)在(a,b)内单调增加，故

f(x)f(a)0,x(a,b). (2) 设F(x)=x,g(x)2xaf(t)dt(axb), 则g(x)f(x)0，故F(x),g(x)满足柯西中值定理的条件，于是在(a,b)内存在点，使

F(b)F(a) g(b)g(a)即

b2a2baf(t)dtf(t)dtaa(x2)(f(t)dt)axx，

b2a2baf(x)dx2. f()(3) 因f()f()f(0)f()f(a)，在[a,]上应用拉格朗日中值定理，知在(a,)内存在一点，使f()f()(a)，从而由(2) 的结论得

b2a2baf(x)dx222，

f()(a)2bf(x)dx. 即有 f()(ba)aa【评注】 证明(3)，关键是用（2）的结论：

2bb2a22f(x)dx f()(ba) baaf(x)dxf()(a)22a f()f()(a) （ 根据(2) 结论 ）

f()f(a)f()(a)，

可见对f(x)在区间[a,]上应用拉格朗日中值定理即可.

完全类似的例题见《数学复习指南》P.120【例4.41】 和《考研数学大串讲》P.54【例18-19】.

十 一、（本题满分10分）

220若矩阵A82a相似于对角阵，试确定常数a的值；并求可逆矩阵P使006P1AP.

【分析】 已知A相似于对角矩阵，应先求出A的特征值，再根据特征值的重数与线性

无关特征向量的个数相同，转化为特征矩阵的秩，进而确定参数a. 至于求P，则是常识问题.

【详解】 矩阵A的特征多项式为

2 EA820a(6)[(2)216]

20206 =(6)(2)， 故A的特征值为126,32.

由于A相似于对角矩阵，故对应126应有两个线性无关的特征向量，即

3r(6EA)2，于是有 r(6EA)1.

420210由 6EA84a00a， 000000知a=0.

于是对应于126的两个线性无关的特征向量可取为

01 10， 22. 10当32时，

420210 2EA840001， 08000012xx0,12解方程组得对应于32的特征向量32.

x30,00111 令P022，则P可逆，并有PAP.

100【评注】 完全类似的例题见《考研数学大串讲》P.222【例18-19】和《文登数学全真

模拟试卷》数学二P.36第十二题（几乎完全一致）.

十二 、（本题满分8分）

已知平面上三条不同直线的方程分别为

l1: ax2by3c0， l2: bx2cy3a0， l3: cx2ay3b0.

试证这三条直线交于一点的充分必要条件为abc0.

【分析】 三条直线相交于一点，相当于对应线性方程组有唯一解，进而转化为系数矩阵与增广矩阵的秩均为2.

【详解】 方法一：必要性

设三条直线l1,l2,l3交于一点，则线性方程组

ax2by3c,bx2cy3a, (*) cx2ay3b,a2ba2b3c有唯一解，故系数矩阵Ab2c与增广矩阵Ab2c3a的秩均为2，于是c2ac2a3bA0.

a2b由于 Ab3c3a6(abc)[a2b2c2abacbc]

2cc2a3b222 =3(abc)[(ab)(bc)(ca)],

但根据题设 (ab)(bc)(ca)0，故 abc0.

充分性：由abc0，则从必要性的证明可知，A0，故秩(A)3. 由于

222a2bb2c2(acb2)2[a(ab)b2]

1232b)b]0， 24 =2[(a故秩(A)=2. 于是，

秩(A)=秩(A)=2.

因此方程组(*)有唯一解，即三直线l1,l2,l3交于一点.

方法二：必要性

x0设三直线交于一点(x0,y0)，则y0为Ax=0的非零解，其中 1a2b3c Ab2c3a. c2a3b于是 A0.

a2b3c 而 Ab2c3a6(abc)[a2b2c2abacbc] 2a3b222c =3(abc)[(ab)(bc)(ca)], 但根据题设 (ab)(bc)(ca)0，故 abc0.

充分性：考虑线性方程组

222ax2by3c, bx2cy3a, (*)

cx2ay3b,将方程组(*)的三个方程相加，并由a+b+c=0可知，方程组(*)等价于方程组 

ax2by3c, (* *)

bx2cy3a.

因为

a2bb2c2(acb2)2[a(ab)b2]

222 =-[ab(ab)]0,

故方程组(* *)有唯一解，所以方程组(*)有唯一解，即三直线l1,l2,l3交于一点.

【评注】本题将三条直线的位置关系转化为方程组的解的判定，而解的判定问题又可转化为矩阵的秩计算，进而转化为行列式的计算，综合考查了多个知识点.

完全类似例题见《数学最后冲刺》P.196【例5】.

2004年考硕数学（二）真题

一. 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上. ）

（1）设f(x)lim(n1)x, 则f(x)的间断点为x .

nnx213xt3t1（2）设函数y(x)由参数方程  确定, 则曲线yy(x)向上凸的x取值

3yt3t1范围为____..

（3）

1dxxx12_____..

（4）设函数zz(x,y)由方程ze2x3z2y确定, 则3zz______. xy3（5）微分方程(yx)dx2xdy0满足yx16的特解为_______. 5210

（6）设矩阵A120, 矩阵B满足ABA2BAE, 其中A为A的伴随矩

001阵, E是单位矩阵, 则B______-.

二. 选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内. ） （7）把x0时的无穷小量0xcostdt, tantdt, 02x2x0sint3dt排

列起来, 使排在后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列次序是

（A）,,. （B）,,.

（C）,,. （D）,,. （8）设f(x)x(1x), 则

（A）x0是f(x)的极值点, 但(0,0)不是曲线yf(x)的拐点. （B）x0不是f(x)的极值点, 但(0,0)是曲线yf(x)的拐点. （C）x0是f(x)的极值点, 且(0,0)是曲线yf(x)的拐点. （D）x0不是f(x)的极值点, (0,0)也不是曲线yf(x)的拐点. （9）limlnn(1)(1)n



1n22n2n(1)2等于

n21（A）

12ln2xdx. （B）2lnxdx.

ln(1x)dx. （D）ln2(1x)dx 12（C）212

（10）设函数f(x)连续, 且f(0)0, 则存在0, 使得

（A）f(x)在(0,)内单调增加. （B）f(x)在(,0)内单调减小. （C）对任意的x(0,)有f(x)f(0).

（D）对任意的x(,0)有f(x)f(0). 2（11）微分方程yyx1sinx的特解形式可设为

2（A）yaxbxcx(AsinxBcosx). 2（B）yx(axbxcAsinxBcosx). 2（C）yaxbxcAsinx.

2（D）yaxbxcAcosx 



（12）设函数f(u)连续, 区域D(x,y)xy2y, 则

11x222f(xy)dxdy等于

D（A）

1dx1x2f(xy)dy.

（B）2（C）（D）

0dy022yy2f(xy)dx.

0dd2sin02sin0f(r2sincos)dr.

f(r2sincos)rdr 0

（13）设A是3阶方阵, 将A的第1列与第2列交换得B, 再把B的第2列加到第3列得C, 则满足AQC的可逆矩阵Q为

010010（A）100. （B）101.

101001010011（C）100. （D）100. 011001（14）设A,B为满足AB0的任意两个非零矩阵, 则必有

（A）A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关. （B）A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关. （C）A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关.

（D）A的行向量组线性相关,B的列向量组线性相关. 



三. 解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）

（15）（本题满分10分）

1求极限lim3x0x2cosxx1.

3（16）（本题满分10分）

2设函数f(x)在（,）上有定义, 在区间[0,2]上, f(x)x(x4), 若对任

意的x都满足f(x)kf(x2), 其中k为常数.

(Ⅰ)写出f(x)在[2,0]上的表达式; (Ⅱ)问k为何值时, f(x)在x0处可导. （17）（本题满分11分）

设f(x)域.

xx2sintdt,(Ⅰ)证明f(x)是以为周期的周期函数;(Ⅱ)求f(x)的值

（18）（本题满分12分）

exex曲线y与直线x0,xt(t0)及y0围成一曲边梯形. 该曲边梯形绕

2x轴旋转一周得一旋转体, 其体积为V(t), 侧面积为S(t), 在xt处的底面积为F(t).

(Ⅰ)求

S(t)的值; V(t)S(t).

tF(t)(Ⅱ)计算极限lim（19）（本题满分12分）

设eabe, 证明lnblna（20）（本题满分11分）

某种飞机在机场降落时,为了减小滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下来.现有一质量为9000kg的飞机,着陆时的水平速度为

2224(ba). e2700km/h.经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为k6.0106).问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?

注 kg表示千克,km/h表示千米/小时. （21）（本题满分10分）

zz2z,,设zf(xy,e),其中f具有连续二阶偏导数,求. xyxy22xy（22）（本题满分9分） 设有齐次线性方程组

(1a)x1x2x3x40,2x(2a)x2x2x0,1234 3x13x2(3a)x33x40,4x14x24x3(4a)x40,

试问a取何值时, 该方程组有非零解, 并求出其通解.

（23）（本题满分9分）

123设矩阵143的特征方程有一个二重根, 求a的值, 并讨论A是否可相似对

1a5角化.

2005年数学二试题分析、详解和评注

二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）

（1）设y(1sinx)，则dyxx = .

（2） 曲线y(1x)x232的斜渐近线方程为.

（3）

(2x01xdx2)1x

19（4） 微分方程xy2yxlnx满足y(1)的解为

2（5）当x0时，(x)kx与(x)1xarcsinxcosx是等价无穷小，则

k= .

（6）设1,2,3均为3维列向量，记矩阵

A(1,2,3)，B(123,12243,13293)， 如果A1，那么B .

二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）

（7）设函数f(x)limn1xn3n，则f(x)在(,)内

(A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点.

(C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. [ ]

（8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，“M的充分必要条件是N”，\"MN\"表示则必有

(A) F(x)是偶函数f(x)是奇函数. （B） F(x)是奇函数f(x)是偶函数.

(C) F(x)是周期函数f(x)是周期函数.

(D) F(x)是单调函数f(x)是单调函数. [ ]

xt22t,（9）设函数y=y(x)由参数方程确定，则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x

yln(1t)轴交点的横坐标是

11ln23.

88(C) 8ln23. (D) 8ln23. [ ]

(A) ln23. (B) 

（10）设区域D{(x,y)x2y24,x0,y0}，f(x)为D上的正值连续函数，a,b

为常数，则

Daf(x)bf(y)f(x)f(y)d

(A) ab. (B) [ ]

abab. (C) (ab). (D)  . 22（11）设函数u(x,y)(xy)(xy)xyxy(t)dt, 其中函数具有二阶导数，

 具有一阶导数，则必有

2u2u2u2u (A) 22. （B） 2.

xy2xy2u2u2u2u2. [ ] (C) 2. (D)

xyxxyy

（12）设函数f(x)1exx1,则 1(A) x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点.

(C) x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. [ ]

（13）设1,2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为1,2，则1，

A(12)线性无关的充分必要条件是

(A) 10. (B) 20. (C) 10. (D) 20. [ ]

（14）设A为n（n2）阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B, A,B分别为A,B的伴随矩阵，则

(A) 交换A的第1列与第2列得B. (B) 交换A的第1行与第2行得B.

******

(C) 交换A*的第1列与第2列得B*. (D) 交换A*的第1行与第2行得B*. [ ] 三 、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

（15）（本题满分11分）

设函数f(x)连续，且f(0)0，求极限limx0x0(xt)f(t)dtx0xf(xt)dt.

（16）（本题满分11分） 如图，C1和C2分别是y1(1ex)和yex的图象，过点(0,1)的曲线C3是一单调2增函数的图象. 过C2上任一点M(x,y)分别作垂直于x轴和y轴的直线lx和ly. 记C1,C2与

lx所围图形的面积为S1(x)；C2,C3与ly所围图形的面积为S2(y).如果总有

S1(x)S2(y)，求曲线C3的方程x(y).

（17）（本题满分11分）

如图，曲线C的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线l1与l2分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4). 设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分

30(x2x)f(x)dx.

（18）（本题满分12分）

用变量代换xcost(0t)化简微分方程(1x)yxyy0，并求其满足

2yx01,yx02的特解.

（19）（本题满分12分）

已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1. 证明： （I）存在(0,1), 使得f()1；

（II）存在两个不同的点,(0,1)，使得f()f()1. （20）（本题满分10分）

已知函数z=f(x,y) 的全微分dz2xdx2ydy，并且f(1,1,)=2. 求f(x,y)在椭圆域

y2D{(x,y)x1}上的最大值和最小值.

42

（21）（本题满分9分） 计算二重积分

Dx2y21d，其中D{(x,y)0x1,0y1}.

（22）（本题满分9分）

TTT确定常数a,使向量组1(1,1,a),2(1,a,1),3(a,1,1)可由向量组

1(1,1,a)T,2(2,a,4)T,3(2,a,a)T线性表示，但向量组1,2,3不能由向量

组1,2,3线性表示.

（23）（本题满分9分）

已知3阶矩阵A的第一行是(a,b,c),a,b,c不全为零，矩阵B123且AB=O, 求线性方程组Ax=0的通解.

2346（6kk为常数），

以下题型均在05年考研文登数学辅导班中讲过

1..【分析】 本题属基本题型，幂指函数的求导（或微分）问题可化为指数函数求导或取对数后转化为隐函数求导.

xln(1sinx)【详解】 方法一： y(1sinx)=e，于是

x ye从而 dyxln(1sinx)[ln(1sinx)xcosx]，

1sinxx=y()dxdx.

方法二： 两边取对数，lnyxln(1sinx)，对x求导，得

1xcosxyln(1sinx)， y1sinxx于是 y(1sinx)[ln(1sinx)x dy=y()dxdx.

cosx]，故

1sinxx【评注】 幂指函数的求导问题，既不能单纯作为指数函数对待，也不能单纯作为幂函数，而直接运用相应的求导公式.

完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.55【例2.15】

2..【分析】 本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可.

【详解】 因为a=limxf(x)(1x)lim1, xxxx(1x)xx323232 blimf(x)axlimxx3， 2于是所求斜渐近线方程为yx3. 2【评注】 如何求垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线，是基本要求，应熟练掌握。这

里应注意两点：1）当存在水平渐近线时，不需要再求斜渐近线；2）若当x时，极限

f(x)不存在，则应进一步讨论x或x的情形，即在右或左侧是否存

xx在斜渐近线，本题定义域为x>0，所以只考虑x的情形. alim完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.192【例7.32】 3..【分析】 作三角代换求积分即可. 【详解】 令xsint，则

(2x01xdx2)1x220sintcostdt 2(2sint)cost20dcost =2arctan(cost)01cos2t4.

【评注】 本题为广义积分，但仍可以与普通积分一样对待作变量代换等. 完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.130【例4.54】 4...

【分析】直接套用一阶线性微分方程yP(x)yQ(x)的通解公式：

P(x)dxP(x)dx[Q(x)edxC]， ye再由初始条件确定任意常数即可.

【详解】 原方程等价为

y于是通解为 ye2ylnx， xxdx2xdx2[lnxedxC]12[xlnxdxC] 2x111xlnxxC2， 39x111由y(1)得C=0，故所求解为yxlnxx.

939=

【评注】 本题虽属基本题型，但在用相关公式时应注意先化为标准型. 另外，本题也

可如下求解：原方程可化为

xy2xyxlnx，即 [xy]xlnx，两边积分得

222213132xlnxdxxlnxxC， 3911再代入初始条件即可得所求解为yxlnxx.

39 xy2完全类似公式见《数学复习指南》（理工类）P.154

5…【分析】 题设相当于已知lim(x)1，由此确定k即可.

x0(x)

【详解】 由题设，lim(x)1xarcsinxcosx lim2x0(x)x0kxxarcsinx1cosxkx(1xarcsinxcosx)2 =limx0

=

1xarcsinx1cosx33，得lim1k.

2kx04k4x2【评注】 无穷小量比较问题是历年考查较多的部分，本质上，这类问题均转化为极限

的计算.

完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.38【例1.62~63】

6…【分析】 将B写成用A右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.

【详解】 由题设，有

B(123,12243,13293)

111 =(1,2,3)123， 149111于是有 BA123122.

149【评注】 本题相当于矩阵B的列向量组可由矩阵A的列向量组线性表示，关键是将其

转化为用矩阵乘积形式表示。一般地，若

1a111a122a1nn，

2a211a222a2nn，



mam11am22amnn，

a11am1,2,,n12a1na21am1a22am2. a2namn则有 12完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.356【例1.5】

7….【分析】 先求出f(x)的表达式，再讨论其可导情形.

【详解】 当x1时，f(x)limn1xn3n1；

当x1时，f(x)limn111；

n当x1时，f(x)limx(n31x3n1)x.

1n3x3,x1,即f(x)1,1x1, 可见f(x)仅在x=1时不可导，故应选(C).

x3,x1.【评注】 本题综合考查了数列极限和导数概念两个知识点.

完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.56【例2.20】

8….

【分析】 本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案. 【详解】 方法一：任一原函数可表示为F(x)x0f(t)dtC，且F(x)f(x).

当F(x)为偶函数时，有F(x)F(x)，于是F(x)(1)F(x)，即 f(x)f(x)，也即f(x)f(x)，可见f(x)为奇函数；反过来，若f(x)为奇函数，则函数，从而F(x)f(t)dtC为偶函数，可见(A)为正确选项.

0xx0f(t)dt为偶

方法二：令f(x)=1, 则取F(x)=x+1, 排除(B)、(C); 令f(x)=x, 则取F(x)=

12x, 排2除(D); 故应选(A).

【评注】 函数f(x)与其原函数F(x)的奇偶性、周期性和单调性已多次考查过. 请读者思考f(x)与其原函数F(x)的有界性之间有何关系？

完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.10【例1.5~1.7】

9..【分析】 先由x=3确定t的取值，进而求出在此点的导数及相应的法线方程，从而可得所需的横坐标.

【详解】 当x=3时，有t2t3，得t1,t3（舍去，此时y无意义），于是

2dy

dx11tt12t2t11，可见过点x=3(此时y=ln2)的法线方程为： 8 yln28(x3)，

令y=0, 得其与x轴交点的横坐标为：ln23, 故应(A).

【评注】注意本题法线的斜率应为-8. 此类问题没有本质困难，但在计算过程中应特别小心，稍不注意答案就可能出错.

完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.53【例2.9】

18

10…【分析】 由于未知f(x)的具体形式，直接化为用极坐标计算显然是困难的. 本题可考虑用轮换对称性.

【详解】 由轮换对称性，有

Daf(x)bf(y)f(x)f(y)dDaf(y)bf(x)f(y)f(x)d

=

af(x)bf(y)af(y)bf(x)1[]d 2Df(x)f(y)f(y)f(x)abab1ab2d2. 应选(D). 2D242 =

【评注】 被积函数含有抽象函数时，一般考虑用对称性分析. 特别，当具有轮换对

称性（x,y互换，D保持不变）时，往往用如下方法：

Df(x,y)dxdyf(y,x)dxdyD1[f(x,y)f(y,x)]dxdy. 2D公式见P.285, 完全类似方法见《数学复习指南》（理工类）P.300【例11.26】

2u2u2u11…【分析】 先分别求出2、2、，再比较答案即可.

xyxy【详解】 因为

u(xy)(xy)(xy)(xy)， xu(xy)(xy)(xy)(xy)， y

2u于是 2(xy)(xy)(xy)(xy)，

x2u(xy)(xy)(xy)(xy)，

xy2u 2(xy)(xy)(xy)(xy)，

y2u2u可见有2，应选(B). 2xy【评注】 本题综合考查了复合函数求偏导和隐函数求偏导以及高阶偏导的计算。作为做题技巧，也可取(t)t,(t)1，则u(x,y)2x2y2y，容易验算只有

222

2u2u2成立，同样可找到正确选项(B). 2xy完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.267【例10.16】及习题十（第11题）

12….

【分析】 显然x=0,x=1为间断点，其分类主要考虑左右极限. 【详解】 由于函数f(x)在x=0,x=1点处无定义，因此是间断点. 且 limf(x)，所以x=0为第二类间断点；

x0 limf(x)0，limf(x)1，所以x=1为第一类间断点，故应选(D). x1x1xx【评注】 应特别注意：lim，lim. 从而limex1，

x1x1x1x1x1limexx1xx10.

完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.41【例1.68】

13….【分析】 讨论一组抽象向量的线性无关性，可用定义或转化为求其秩即可. 【详解】 方法一：令 k11k2A(12)0，则

k11k211k2220， (k1k21)1k2220. 由于1,2线性无关，于是有

k1k210, 

k0.22 当20时，显然有k10,k20，此时1，A(12)线性无关；反过来，

1与A(12)=11线性相关)，若1，A(12)线性无关，则必然有20(,否则，

故应选(B).

方法二： 由于 [1,A(12)][1,1122][1,2]11， 02可见1，A(12)线性无关的充要条件是

110220.故应选(B).

【评注】 本题综合考查了特征值、特征向量和线性相关与线性无关的概念. 完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.407【例3.17】

14…【分析】 本题考查初等变换的概念与初等矩阵的性质，只需利用初等变换与初等

矩阵的关系以及伴随矩阵的性质进行分析即可.

【详解】 由题设，存在初等矩阵E12（交换n阶单位矩阵的第1行与第2行所得），使得 E12AB，于是 B*(E12A)*A*E*12A*E12E12 AE12B,可见应选(C).

【评注】 注意伴随矩阵的运算性质：

**1A*E12，即

AA*A*AAE，当A可逆时，A*AA1,

(AB)*B*A*.

完全类似例题及性质见《数学复习指南》（理工类）P.381【例2.14，例2.29】

15… 【分析】 此类未定式极限，典型方法是用洛必塔法则，但分子分母求导前应先变形.

【详解】 由于

0x0f(xt)dtxtu0xf(u)(du)f(u)du,于是

0x limx(xt)f(t)dtx0x0xf(xt)dtxlimxf(t)dttf(t)dt00xxx0xf(u)du0x

 =limx00f(t)dtxf(x)xf(x)x=limx0x0f(t)dt0f(u)duxf(x)x0

f(u)duxf(x) =limx0x0f(t)dtxxf(x)=

x0f(u)duf(0)1.

f(0)f(0)2【评注】 本题容易出现的错误是：在利用一次洛必塔法则后，继续用洛必塔法则

limx0x0f(t)dtx0=limf(u)duxf(x)x0f(x)1.

f(x)f(x)xf(x)2错误的原因：f(x)未必可导.

完全类似处理方法见《数学复习指南》（理工类）P.5【例10】

16…. 【分析】 利用定积分的几何意义可确定面积S1(x),S2(y)，再根据S1(x)S2(y)建立积分等式，然后求导引出微分方程，最终可得所需函数关系.

【详解】 如图，有

S1(x)11xtt[e(1e)]dt(ex1)， 022xy1 S2(y)(lnt(t))dt，

y1x(ex1)(lnt(t))dt，

12y1x而ye，于是(ylny1)(lnt(t))dt

12由题设，得

两边对y求导得

11(1)lny(y)， 2yy1. 2yx故所求的函数关系为：x(y)lny 【评注】 本题应注意点M(x,y)在曲线C2上，因此满足ye.

17……【分析】 题设图形相当于已知f(x)在x=0的函数值与导数值，在x=3处的函数值及一阶、二阶导数值.

【详解】 由题设图形知，f(0)=0, f(0)2; f(3)=2, f(3)2,f(3)0. 由分部积分，知



30(x2x)f(x)dx(x2x)df(x)(x2x)f(x)0330f(x)(2x1)dx

03 =30(2x1)df(x)(2x1)f(x)302f(x)dx

03 =162[f(3)f(0)]20.

【评注】 本题f(x) 在两个端点的函数值及导数值通过几何图形给出，题型比较新颖，综合考查了导数的几何意义和定积分的计算. 另外，值得注意的是，当被积函数含有抽象函数的导数时，一般优先考虑用分部积分.

完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.118【例4.36,4.30】

dyd2y,18…….【分析】 先将y,y转化为，再用二阶常系数线性微分方程的方法dtdt2求解即可.

【详解】 ydydt1dy， dtdxsintdtdydtcostdy1d2y1[2]()， y2dtdxsintdtsintdtsintd2y代入原方程，得 2y0.

dt

解此微分方程，得 yC1costC2sintC1xC21x2， 将初始条件yx01,yx02代入，有C12,C21. 故满足条件的特解为

y2x1x2.

dyd2y,2，而这主要是考查复合函数求一、二【评注】 本题的关键是将y,y转化为

dtdt阶导数.

完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.52【例2.8】

19….【分析】 第一部分显然用闭区间上连续函数的介值定理；第二部分为双介值问题，可考虑用拉格朗日中值定理，但应注意利用第一部分已得结论.

【详解】 （I） 令F(x)f(x)1x，则F(x)在[0，1]上连续，且F(0)=-1<0, F(1)=1>0,于是由介值定理知，存在存在(0,1), 使得F()0，即f()1.

（II） 在[0,]和[,1]上对f(x)分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点

(0,),(,1)，使得f()f()f(0)f(1)f()，f()

01于是 f()f()f()1f()11. 11【评注】 中值定理的证明问题是历年出题频率最高的部分，而将中值定理与介值定理

或积分中值定理结合起来命题又是最常见的命题形式.

完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.128【例5.4】,P.151【例5.25】

20……【分析】 根据全微分和初始条件可先确定f(x,y)的表达式. 而f(x,y)在椭圆域上的最大值和最小值, 可能在区域的内部达到，也可能在区域的边界上达到，且在边界上的最值又转化为求条件极值.

.【详解】 由题设，知

ff2y， 2x，yx2于是 f(x,y)xC(y)，且 C(y)2y，从而 C(y)yC， 再由f(1,1)=2，得 C=2, 故 f(x,y)xy2.

2222fff0,0得可能极值点为x=0,y=0. 且 A2令xyx(0,0)2，

2fBxy2f0，C2(0,0)y(0,0)2，

B2AC40，所以点(0,0) 不是极值点，从而也非最值点. y21上的情形：令拉格朗日函数为 再考虑其在边界曲线x42y21)， F(x,y,)f(x,y)(x42fF2x2(1)x0,xxfy12yy0, 解 Fyy22y22Fx10,4 得可能极值点x0,y2,4；x0,y2,4；x1,y0,1；

x1,y0,1. 代入f(x,y)得f(0,2)2, f(1,0)3，可见z=f(x,y)在区域

y2D{(x,y)x1}内的最大值为3，最小值为-2.

42 【评注】 本题综合考查了多元函数微分学的知识，涉及到多个重要基础概念，特别是通过偏导数反求函数关系，要求考生真正理解并掌握了相关知识.

完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.279【例10.33】

21…..【分析】 被积函数含有绝对值，应当作分区域函数看待，利用积分的可加性分区域积分即可.

【详解】 记D1{(x,y)xy1,(x,y)D}，

22D2{(x,y)x2y21,(x,y)D}，

于是

xD2y21d=(x2y21)dxdy(x2y21)dxdy

D1D2=20d(r21)rdr(x2y21)dxdy(x2y21)dxdy

0D1D11111222=+dx(xy1)dy2d(r1)rdr=.

0043800

【评注】 形如积分

Df(x,y)d、

max{f(x,y),g(x,y)}dD、

min{f(x,y),g(x,y)}d、[f(x,y)]d、sgn{f(x,y)g(x,y)}d等的被积函

DDD数均应当作分区域函数看待，利用积分的可加性分区域积分.

完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.295【例11.16】

22……【分析】向量组1,2,3可由向量组1,2,3线性表示，相当与方程组：

ix11x22x33,i1,2,3.

均有解，问题转化为r(1,2,3)=r(1,2,3i),i1,2,3是否均成立？这通过初等变换化解体形讨论即可. 而向量组1,2,3不能由向量组1,2,3线性表示，相当于至少有一个向量j(j1,2,3)不能由1,2,3表示，即至少有一方程组

jx11x22x33,j1,2,3，无解.

【详解】 对矩阵A(1,2,31,2,3)作初等行变换，有

12211a

aa1a1 A(1,2,31,2,3)=1aa11a42211a1

0  0a2a20a1042a3a01a1a211a12，

0a2a20a100a403(1a)1a0122112, 显然不能由,,线性表

0030当a=-2时，A001232300603示，因此a2；当a=4时，

412211，然,均不能由,,线性表示，因

6030 A0612323009300此a4.

而当a2且a4时，秩r(1,2,3)3，此时向量组1,2,3可由向量组

1,2,3线性表示.

11a122

aa又B(1,2,31,2,3)1a11aa11a41a1221 0a11a0a2a2 201a1a042a3a1a1221，

0a11a0a2a2202aa063a4a20由题设向量组1,2,3不能由向量组1,2,3线性表示，必有a10或

2aa20，即a=1或a2.

综上所述，满足题设条件的a只能是：a=1.

【评注】 1)向量组1,2,3不能由向量组1,2,3线性表示，必有行列式：

[1,2,3]0，由此也可确定a .

2) 向量组能否线性表示的问题完全转化为线性方程组是否有解的问题.

完全类似处理思路见《数学复习指南》（理工类）P.442【例4.13】

23…….【分析】 AB=O, 相当于告之B的每一列均为Ax=0的解，关键问题是Ax=0的基础解系所含解向量的个数为多少，而这又转化为确定系数矩阵A的秩.

【详解】 由AB=O知，B的每一列均为Ax=0的解，且r(A)r(B)3.

（1）若k9, 则r(B)=2, 于是r(A)1, 显然r(A)1, 故r(A)=1. 可见此时Ax=0的基础解系所含解向量的个数为3-r(A)=2, 矩阵B的第一、第三列线性无关，可作为其基

13xk2k础解系，故Ax=0 的通解为：126,k1,k2为任意常数.

3k(2) 若k=9，则r(B)=1, 从而1r(A)2.

11） 若r(A)=2, 则Ax=0的通解为：xk12,k1为任意常数.

32） 若r(A)=1,则Ax=0 的同解方程组为：ax1bx2cx30,不妨设a0,则其通解

bcaa为 xk11k20,k1,k2为任意常数.

01【评注】 AB=O这类已知条件是反复出现的，应该明确其引申含义：1）B 的每一列均为Ax=0的解；2）r(A)r(B)n.

本题涉及到对参数k及矩阵A的秩的讨论，这是考查综合思维能力的一种重要表现形

式，今后类似问题将会越来越多.

完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.438【例4.21】, P.389【例2.36】