全等三角形辅助线专题

创作编号：

GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王*

八年级数学上册辅助线专题

教学目标：掌握各种类型的全等三角形的证明方法 教学重点：构造全等三角形 教学难点： 如何巧妙作辅助线 知识点： （一）截长补短型

（二）中点线段倍长问题

（三）蝴蝶形图案解决定值问题 （四）角平分线与轴对称

（五）等腰直角三角形，等边三角形 （六）双重直图案与全等三角形

典型例题讲练 重点例题：

一、截长补短型

如图,RT△CDA ≌RT△CDB,

①、若∠ACD=30°，∠MDN=60°,当∠MDN绕点D旋转时，AM、MN、BN三条线段之间的关系式为＿＿＿＿＿＿

②、若∠ACD=45°，∠MDN=45°,AM、MN、BN三条线段之间的数量关系式为：＿＿＿＿＿＿

③、由①②猜想：在上述条件下，当∠ACD与∠MDN满足什么条件时，上述关系式成立，证明你的结论。 C C C

N N

M N M A B M A B A B D ③ ② D D ①

1

二、中点线段倍长问题

如图△ABC中，点D是BC边中点，过点D作直线交AB、CA延长线于点E、F。当AE=AF时，求证BE=CF。

F A E

C B D

三、蝴蝶形图案解决定值问题

1、如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°,CA=CB,D是斜边AB的中点，E是DA上一点，过点B作BH⊥CE于点H，交CD于点F。

（1） 求证：DE=DF.（2）若E是线段BA的延长线上一点，其它条件不

变，DE=DF成立吗？画图说明。 A

E

D H F

B C

2在△ABC中，AB=AC,AD和CE是高，它们所在的直线相交于H。 (1)如图1,若∠BAC=45°，求证：AH=2BD.

A

A

E H C B

C B D

(2)如图2，若∠BAC=135°，（1）中的结论是否依然成立？请你在图2中画出图形并加以证明。

3，如图，等腰直角三角形ABC中，AB=AC,∠BAC=90°,BE平分∠ABC交AC于E，过C作CD⊥BE于D.求证BE=2CD.

2

（2） 连接AD，求证：∠ADB=45°.

A D E B C B E C A D

四、角平分线与轴对称 1、（1）如图①，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°,CD平分∠ACB，点E为AB上一点，且CE=BE，PE⊥AB交CD的延长线于P，求∠PAC+∠PBC的度数。 （2）如图②，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC≠45°,CD平分∠ACB,点E为AB上一点，且CE=BE,PE⊥AB交CD的延长线于P。（1）中结论是否成立，说明理由。 P P

A

A

D D E E B C B C

五、等腰直角三角形，等边三角形

1、如图①OA=2，OB=4，以A点为顶点，AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC。(1)求C点的坐标。 y y y A O O H E A O x x x F D C B ① G 3

③ P ②

(2)如图②，P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，若以P点为顶点，PA为腰作等腰Rt△ APD，过D点作DE⊥x轴于E点，求OP-DE的值。

（3）如图③，已知点F坐标为(-4，-4)，当G在y轴的负半轴上沿负方向运动时，作Rt△FGH，始终保持∠GFH=90°，FG与y轴负半轴交于点G(o,m),FH与x轴正半轴交于点H(n,o)，当G点在y轴负半轴沿负方向运动时，求m+n的值。

七、双重直图案与全等三角形

1、Rt△ABC中，AB=AC,M为BC边上一点，连接AM，过B点作BN⊥AM交AC于E点，交AM于D点，在AC上截取CF=AE,连接MF并延长交BN于N点。

求证：∠AMB=∠CMF.

N

A

E

D F

B

4

M C

本次巩固题型

1、数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．且EF交正方形外角DCG的平分线CF于点F，求证：AE=EF． AEF90，经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME≌△ECF，所以AEEF．

在此基础上，同学们作了进一步的研究：

（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；

（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由． A

D

F

B E C 图1

G

B

2、已知Rt△ABC中，ACBC，∠C90，D为AB边的中点，EDF90° ， EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F．当EDF绕D点旋转到DEAC于E时（如图1），易证S△DEFS△CEFE C 图2 A

D

F G

B 图3

C E G

F A

D

1S△ABC． 2当EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，S△DEF、S△CEF、S△ABC又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明． A

A

A D E

D E

5 D

C

F

3．两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连结DC．

D A B 图1

（第22题）

C 图2

E

（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；

（2）证明：DCBE．

6

4、在等边ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为ABC外一点，且MDN60,BDC120,BD=DC. 探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及AMN的周长Q与等边ABC的周长L的关系．



图1 图2 图3

（I）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是 ； 此时

Q ； L（II）如图2，点M、N边AB、AC上，且当DMDN时，猜想（I）问的两个

结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；

（III） 如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时， 若AN=x，则Q= （用x、L表示）．

7

5、已知四边形ABCD中，ABAD，BCCD，ABBC，∠ABC120，

∠MBN60，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延

长线）于E，F．

当∠MBN绕B点旋转到AECF时（如图1），易证AECFEF．

当∠MBN绕B点旋转到AECF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．

A A A

E M E M B B B

C F D N

C F D N

F C N

（图3）

D

（图1） （图2）

E M

8

6、如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称

轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：

（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、

∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；

（2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请

问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说

B

明理由。

B M

E E D

F F D

P O

图①

N

A

图② (第23题图)

C

A 图③

C

9

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家长签字：

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