高考三角函数 解答题及答案

解：(1) 由余弦定理：conB=

4

sin2

1AB

+cos2B= -

42

1415. ∵b=2， 4（2）由cosB,得sinB111582+=ac+4≥2ac,得ac≤,S=acsinB≤(a=c时取等号) △ABCac22332 故S△ABC的最大值为

15 32在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC3acosBccosB. （I）求cosB的值；

（II）若BABC2，且b22，求a和cb的值.

解：（I）由正弦定理得a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC，

因此cosB.

（II）解：由BABC2,可得acosB2，

所以a＝c＝6

3已知向量m =sinB,1cosB, 向量n = （2，0），且m与n所成角为

其中A、B、C是ABC的内角。 (1)求角B的大小;

(2)求 sinAsinC的取值范围。

π， 3

13

解：（1） m =sinB,1cosB，且与向量n = （2，0）所成角为，

3又0B （2）由（1）知，B2，A+C= 33sinAsinC=sinAsin(13cosA=sin(A) A)=sinA22330A3，

sin(33， ,1,1 sinAsinCA)3224已知向量m(1,2sinA)，n(sinA,1cosA),满足m//n,bc3a. （I）求A的大小；

（II）求sin(B6)的值.

解

m

：

2sin2A1cosA0（1

2cos2AcosA10）

cosA由

1或cosA12A是ABC的内角,cosA1sinBsin(23B)32A23bc3asinBsinC3sinABC323327cosC,cosBBABC24912727cosCcos2A2cos2A121BABC,accosB,ac2416822ac3,C2A,c2acosAab56已知A、B是△ABC的两个内角，sinAsinC2cosA6ABAB，若|a|. , sin）222向量a（2cos（Ⅰ）试问tanAtanB是否为定值若为定值，请求出；否则请说明理由； （Ⅱ）求tanC的最大值，并判断此时三角形的形状. 解：（Ⅰ）由条件(123262)|a|2 2∴cos(AB)cos(AB)

∴3sinAsinBcosAcosB ∴tanAtanB为定值.

13tanAtanB

1tanAtanB1 由（Ⅰ）知tanAtanB，∴tanA,tanB0

333从而tanC(tanAtanB)≤2tanAtanB3 22（Ⅱ）tanCtan(AB)∴取等号条件是tanAtanB3， 即AB 取得最大值， 367在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知a+b=5，c =7，且

4sin2AB7cos2C. 22(1) 求角C的大小； （2）求△ABC的面积. 解：(1) ∵A+B+C=180°

AB7C7cos2C得4cos2cos2C 2222 ∴41cosC(2cos2C1)7

22 由4sin2整理，得4cos2C4cosC10

解 得：cosC ……5分 ∵0C180 ∴C=60°

（2）解：由余弦定理得：c2=a2+b2－2abcosC，即7=a2+b2－ab

∴7(ab)23ab

由条件a+b=5得 7=25－3ab

ab=6……10分

12∴SABC1absinC16333

22228已知角A,B,C为ABC的三个内角，其对边分别为a,b,c，若

AAAA1m(cos,sin)，n(cos,sin)，a23，且mn．

22222 （1）若ABC的面积S3，求bc的值．

（2）求bc的取值范围．

AAAA122222AA112………..2分 cos2sin2，即cosA，又A(0,)，A322221又由SABCbcsinA3，bc4

22由余弦定理得：a2b2c22bccosb2c2bc

3解：（1）m(cos,sin)，n(cos,sin)，且mn.

16(bc)2，故bc4

（2）由正弦定理得：

bca234，又BCA，

2sinBsinCsinA3sin30B3，则

3B332sin(B)1，即bc的取值范围是.则233(23,4].…10分

9在锐角△ABC中，已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且

＝1＋tanA·tanB．

(1)若a2－ab＝c2－b2，求A、B、C的大小；

(tanA－tanB)

(2)已知向量m＝(sinA，cosA)，n＝(cosB，sinB)，求｜3m－2n｜的取值范围． 10在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，m(2bc,a)，n(cosA,cosC)，且mn。 ⑴求角A的大小；

⑵当y2sin2Bsin(2B)取最大值时，求角B的大小

6解：⑴由mn，得mn0，从而(2bc)cosAacosC0 由正弦定理得2sinBcosAsinCcosAsinAcosC0

A,B(0,)，sinB0,cosA1，（6A

32分）

⑵y2sin2Bsin(2B)(1cos2B)sin2Bcoscos2Bsin

666由(1)得，0B即B327,2B,时， 366662时，y取最大值2

cosBb. cosC2ac11在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且 （I）求角B的大小；

（II）若b13，ac4，求△ABC的面积. 解：（I）解法一：由正弦定理 将上式代入已知

abc2R得 sinAsinBsinCcosBbcosBsinB 得cosC2accosC2sinAsinC 即2sinAcosBsinCcosBcosCsinB0 即2sinAcosBsin(BC)0

∵ABC，∴sin(BC)sinA，∴2sinAcosBsinA0 ∵sinA≠0，∴cosB， ∵B为三角形的内角，∴B.

a2c2b2a2b2c2，cosC 解法二：由余弦定理得cosB

2ac2abcosBba2c2b22abb得×2 将上式代入 cosC2ac2ac2acab2c22312 整理得a2c2b2ac

a2c2b2ac1 ∴cosB2ac2ac2 ∵B为三角形内角，∴B

（II）将b13，ac4，B代入余弦定理b2a2c22accosB得 b2(ac)22ac2accosB， ∴13162ac(1)，∴ac3

122323∴S△ABCacsinB1233. 412ABC中，a、b、c是三个内角A、B、C的对边，关于x 的不等式

x2cosC4xsinC60的解集是空集． （1）求角C的最大值；

33，求当角C取最大值时ab的值． 2cosC0解析：（1）显然cosC0 不合题意， 则有，

0cosC0cosC0即， 即1， 2cosC2或cosC16sinC24cosC021 故，∴角的最大值CcosC260。 …………………6分

133ab3，∴ab6， （2）当C=60时，SABCabsinC242 由余弦定理得c2a2b22abcosC(ab)22ab2abcosC，

12111 ∴(ab)2c23ab，∴ab。

24 （2）若c，ABC的面积S72为

13在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足（2a－c）cosB=bcosC. （Ⅰ）求角B的大小；

（Ⅱ）设msinA,cos2A,n4k,1k1,且mn的最大值是5，求k的值. 解：（I）∵(2a－c)cosB=bcosC，

∴

（

2sinA

－

sinC

）

cosB=sinBcosC.……………………………………………2分

即2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB =sin(B+C)

∵A+B+C=π，∴2sinAcosB=sinA.…………………………………………4

分

∵0∴cosB=.…………………………………………………………………5

分

∵0分

（II）mn=4ksinA+cos2A.…………………………………………………………7分

=－2sinA+4ksinA+1，A∈（0，设sinA=t，则t∈(0,1].

则mn=－2t2+4kt+1=－2(t－k)2+1+2k2,t∈(0,1].…………………………12分

∵k>1，∴t=1时，mn取最大值. 依题意得，－2+4k+1=5，∴k=.

14已知锐角△ABC三个内角为A、B、C，向量pqsinAcosA,1sinA是共线向量.

2sin2BcosC3B的最大值. 2322

12.…………………………………………………………6322）……………………………………10分 322sinA,cosAsinA 与向量

（Ⅰ）求角A. （Ⅱ）求函数y解：（Ⅰ）

p,q共线

22sinA1sinAcosAsinAcosAsinA……2分

3 sin2A…………4分

43又A为锐角，所以sinAA………6分

23B3BC3B32sin2Bcos （Ⅱ）y2sin2Bcos

2231sin2Bcos2B1sin(2B)1……………9分 2265 B0,2B,…………10分

6662 2BB时，ymax2…………12分

62315在三角形ABC中，m=（cos

为

3CCCC,sin）, n=(cos,－sin)且m,n的夹角

2222 （1）求C；

（2）已知c=,三角形的面积S=对的边）

CCsin2cosC 221 cosC= C=

237222

（2） c=a+b－2abcosC c=

27233,求a+b（a、b、c分别∠A、∠B、∠C所2解：（1） m•ncos2

333492211=a+b－ab=(a+b)2－3ab. S=absinC=absin=ab=

242234 Ab=6 (a+b)2=

494912111+3ab=+18= a+b= 444216已知ABC中，角A，B，C，所对的边分别是a,b,c，且2a2b2c23ab； （1）求sin2AB

2 （2）若c2，求ABC面积的最大值。

3a2b2c232分 解：（Ⅰ）abcab,cosC22ab4222（Ⅱ）a2b2c2ab,且c2，a2b24ab， 又a2b22ab,ab2ab4,ab88分

当且仅当ab22时，△ABC面积取最大值，最大值为7.

17在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足csinA=acosC． （Ⅰ）求角C的大小；

（Ⅱ）求3sinA-cos（B+4）的最大值，并求取得最大值时角A、B的大小。

323232解析：（I）由正弦定理得sinCsinAsinAcosC. 因为0A,所以

（II）由（I）知

B3A.4于是

2sin(A)6取最大值2．

53sinAcos(B)A,B.4的最大值为2，此时312 综上所述，

18 △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．己知A—C=90°，a+c=2b，求

C．

解：由ac2b及正弦定理可得 sinAsinC2sinB.

…………3分

又由于AC90,B180(AC),故 2cos2C.

…………7分

因为0C90， 所以2C45C,

cosA-2cosC2c-a=cosBb． 19在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知sinC1 （I）求sinA的值；（II）若cosB=4，b=2，ABC的面积S。

abck,sinAsinBsinC解： （I）由正弦定理，设 2ca2ksinCksinA2sinCsinA,ksinBsinB则b cosA2cosC2sinCsinA.cosBsinB所以

即(cosA2cosC)sinB(2sinCsinA)cosB， 化简可得sin(AB)2sin(BC).

又ABC， 所以sinC2sinA

sinC2.sinA因此

sinC2 （II）由sinA得c2a.

由余弦定理 解得a=1。因此c=2

151sinB.cosB,且GB.44又因为所以

因此

20在ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，

且2asinA(2bc)sinB(2cb)sinC （Ⅰ）求A的大小；

（Ⅱ）若sinBsinC1，试判断ABC的形状.

解：（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得2a2(2bc)b(2cb)c

即a2b2c2bc

由余弦定理得a2b2c22bccosA 故cosA,A120

12 （Ⅱ）由（Ⅰ）得sin2Asin2Bsin2CsinBsinC.

又sinBsinC1，得sinBsinC 因为0B90,0C90， 故BC

所以ABC是等腰的钝角三角形。

1221在△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且 （Ⅰ）求A的大小；

（Ⅱ）求sinBsinC的最大值. 解：

（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得2a2(2bc)b(2cb)c 即 a2b2c2bc

由余弦定理得 a2b2c22bccosA

故 cosA，A=120° ……6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得：

故当B=30°时，sinB+sinC取得最大值1。 ……12分 22△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,设S为△ABC的面积，满足

S32(ab2c2)。 412（Ⅰ）求角C的大小； （Ⅱ）求sinAsinB的最大值。

23设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2bsinA． （Ⅰ）求B的大小；

（Ⅱ）求cosAsinC的取值范围．

解：（Ⅰ）由a2bsinA，根据正弦定理得sinA2sinBsinA，所以sinB， 由△ABC为锐角三角形得B． （Ⅱ）cosAsinCcosAsinA

3sinA．

312π6由△ABC为锐角三角形知，

AB，B． 2222632A， 336所以sin． A23213由此有

333sinA3， 23233． ，22所以，cosAsinC的取值范围为24在ABC中，角A,B,C所对应的边分别为a,b,c，a23，tan2sinBcosCsinA，求A,B及b,c

ABCCCtan4得cottan4 2222CCcossin1224 ∴∴4 CCCCsincossincos22221∴sinC，又C(0,)

25∴C，或C

66ABCtan4, 22解：由tan由2sinBcosCsinA得 2sinBcosBsin(BC) 即sin(BC)0 ∴BC 由正弦定理

abc得 sinAsinBsinC25在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且3a2csinA

(Ⅰ)确定角C的大小： （Ⅱ）若c＝7,且△ABC的面积为

332,求a＋b的值。

ac2sinAsinA 21世纪教育网 sinC3解（1）由3a2csinA及正弦定理得，ABC是锐角三角形，C3

（2）解法1：c7,C3.由面积公式得

由余弦定理得21世纪教育网

（a+b)225,故ab5 由②变形得

解法2：前同解法1，联立①、②得

消去b并整理得a413a2360解得a24或a29 所以a2a3故ab5 或b3b2