§1 矩阵及其运算之阿布丰王创作
时间：二O二一年七月二十九日 教学要求：理解矩阵的界说、掌握矩阵的基本律、掌握几类特殊矩阵（比如零矩阵,单元矩阵,对称矩阵和反对称矩阵 ) 的界说与性质、注意矩阵运算与通常数的运算异同.能熟练正确地进行矩阵的计算. 知识要点：
一、矩阵的基本概念 矩阵,是由夜写字母
个数组成的一个行列的矩形表格,通经常使用年暗示,组成矩阵的每一个数,均称为矩阵的元素,
暗示,其中下标
都
通经常使用小写字母其元素
是正整数,他们暗示该元素在矩阵中的位置.比
如,或暗示一个矩阵,下标暗示
元素位于该矩阵的第行、第列.元素全为零的矩阵称为零矩阵.
时间：二O二一年七月二十九日
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特别地,一个矩阵
矩阵,也称为一个维列向量；而一个,也称为一个维行向量.
当一个矩阵的行数与烈数相等时,该矩阵称为一个阶方阵.对方阵,从左上角到右下角的连线,称为主对角线；而从左下角到右上角的连线称为付对角线.若一个阶方阵的主对角线上的元素都是,而其余元素都是零,则称为单元矩阵,记为
,即：
.如一个阶方阵的主对角线上（下）方的元
素都是零,则称为下（上）三角矩阵,例如,是
一个阶下三角矩阵,而阵.今后我们用
或者
二、矩阵的运算
暗示数域上的
则是一个阶上三角矩矩阵构成的集合,而用
暗示数域上的阶方阵构成的集合.
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1、矩阵的加法：如果相同的行数和列数,比如说为与它们同型的矩阵（即应元素的和,即：给定矩阵以界说同型矩阵
.
是两个同型矩阵（即它们具有）,则界说它们的和）,
仍
的元素为和对
,我们界说其负矩阵
的减法为：
为：.这样我们可
.由于矩阵的加法运
算归结为其元素的加法运算,容易验证,矩阵的加法满足下列运算律：
（ 1）交换律： （ 2）结合律： （ 3）存在零元： （ 4）存在负元： 2 、数与矩阵的乘法： 设
为一个数,中的一个矩阵,
品德,即
,则界说与的乘积
仍为
；
.
；
；
中的元素就是用数乘中对应的元素的
.容易验证数与矩阵的乘
.由界说可知：
法满足下列运算律： （1 ）
；
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（2 ）（3 ）（4 ）
3 、矩阵的乘法： 设
为
距阵,
； ；
.
为距阵,则矩阵可以左乘矩阵
（注意：距阵德列数等与矩阵的行数）,所得的积为一个距阵,即
,其中
,而且
.
据真的乘法满足下列运算律（假定下面的运算均有意义）： （ 1）结合律： （ 2）左分配律： （ 3）右分配律：
（ 4）数与矩阵乘法的结合律： （ 5）单元元的存在性：
.
；
； ；
；
若为阶方阵,则对任意正整数,我们界说：定：
由于矩阵乘法满足结合律,我们有：
,并规,
.
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注意：矩阵的乘法与通常数的乘法有很年夜区别,特别应该注意的是：
（1 ）矩阵乘法不满足交换律：一般来讲即便必有意义；倘使
有意义,
也未
都有意义,二者也未必相等（请读者自己举
反例）.正是由于这个原因,一般来讲,
,
.
未必能推出
（2 ）两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵,即
或者
（请读者自己举反例）.
而且
（3 ）消去律部成立：如果4 、矩阵的转置：
,未必有.
界说：设为矩阵,我们界说的转置为一
个矩阵,并用暗示的转置,即：.矩阵
的转置运算满足下列运算律： （1 ）（2 ）
；
；
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（3 ）（4 ）5、对称矩阵：
； .
界说1.11 阶方阵若满足条件：满足条件：矩阵,当且仅当当且仅当
,则称为对称矩阵；若
,则为对称
,则称为反对称矩阵.若设对任意的对任意的
成立；为反对称矩阵,成立.从而反对称局针对角线
上的元素必为零.对称矩阵具有如下性质： （1 ）对任意矩阵；
（2 ）两个同阶（反）对称矩阵的和,仍为（反）对称矩阵； （3 ）如果两个同阶（反）对称矩阵们的乘积思考题：
必为对称矩阵,即
可交换,即.
,则它
矩阵,
为阶对称矩阵；而
为阶对称
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1、设为第个分量为,而其余分量全为零的维列向
量,量,
为
为第个分量为,而其余分量全为零的维列向
矩阵,试计算
；
有
,你能得出什么
2 、设为阶方阵,而且对任意结论？
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