2013中考数学复习专题-后三题提升策略2(师)

一、

考点评述

几何综合题主要考察利用图形变换（平移、旋转、轴对称）证明线段、角的数量关系及动态几何问题。 核心知识：

1、 几个数学模型(一线三等角、四点共圆、四线模型、将军饮马) 2、 两点之间线段最短、三角形三边关系 核心方法：

1、 由于旋转导致的线段长度范围问题构造三角形，转为三边关系的讨论 2、 旋转和平移将条件做到集中或转移

3、 在有直角背景中通过作横平竖直辅助线构造相似。 数学思想： 转化归结、分类整合 二、典型例题

例1、在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1． （1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数； （2）如图2，连接AA1，CC1．若△ABA1的面积为4，求△CBC1的面积；

（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值．

考点： 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质。 专题： 几何综合题。 分析： （1）由由旋转的性质可得：∠A1C1B=∠ACB=45°，BC=BC1，又由等腰三角形的性质，即可求得∠CC1A1

的度数；

（2）由△ABC≌△A1BC1，易证得△ABA1∽△CBC1，然后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△CBC1的面积；

（3）由①当P在AC上运动至垂足点D，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小，②当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大，即可求得线段EP1长度的最大值与最小值． 解答： 解：（1）由旋转的性质可得：∠A1C1B=∠ACB=45°，BC=BC1，

∴∠CC1B=∠C1CB=45°，..…（2分）

∴∠CC1A1=∠CC1B+∠A1C1B=45°+45°=90°．…（3分）

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（2）∵△ABC≌△A1BC1，

∴BA=BA1，BC=BC1，∠ABC=∠A1BC1， ∴

，∠ABC+∠ABC1=∠A1BC1+∠ABC1，

∴∠ABA1=∠CBC1，

∴△ABA1∽△CBC1．…（5分） ∴

∵S△ABA1=4， ∴S△CBC1=

；…（7分）

，

（3）过点B作BD⊥AC，D为垂足， ∵△ABC为锐角三角形， ∴点D在线段AC上，

在Rt△BCD中，BD=BC×sin45°=

，…（8分）

①如图1，当P在AC上运动至垂足点D，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小，最小值为：EP1=BP1﹣BE=BD﹣BE=

﹣2；…（9分）

②当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大，最大值为：EP1=BC+AE=2+5=7．…（10分）

现在

点评： 此题考查了旋转的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及三角函数的应

用．此题难度较大，注意数形结合思想的应用，注意旋转前后的对应关系．

例2、已知：如图，正方形ABCD中，AC，BD为对角线，将BAC绕顶点A逆时针旋转° （045），旋转后角的两边分别交BD于点P、点Q，交BC，CD于点E、点F，联结 EF，EO．

（1）在BAC的旋转过程中，AEQ的大小是否改变， 若不变写出它的度数，若改变，写出它的变化范围 （2）探究△APQ与△AEF的面积的数量关系， 写出结论并加以证明．

练习:1、已知：△AOB中，AB=OB=2，△COD中，CD=OC=3，∠ABO=∠DCO．连接AD、BC，点M、N、P分别为OA、OD、BC的中点．

BPECQFAD第 2 页 共 5 页

（1）如图1，若A、O、C三点在同一直线上，且∠ABO=d0°，则△PMN的形状是 ，此时 .

（2）如图2，若A、O、C三点在同一直线上，且∠ABO=2α，证明△PMN∽△BAO，并计算的值（用含α的式子表示）；

（3）在图2中，固定△AOB，将△COD绕点1旋转，直接写出PM的最大值．

AD= BCAD BC

练习2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AC的中点，M为BD的中点，将线段AD绕A点任意旋转

（旋转过程中始终保持点M为BD的中点），若AC=4，BC=3，那么在旋转过程中，线段CM长度的取值范围 所有的D点构成一个以A为圆心，以2为半径的圆，M点始终为BD的中点，那么要使CM为一个三角形的中位线，那么要先找到B的对称点E,C为BE的中点，现在只要ED的最值即可，ED的最大值为7，最小值为3，所以CM的最大值为3.5，最小值 为1.5

练习3、在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC=

1. 点D在边AC上（不2与A，C重合），连结BD，F为BD中点. （1）若过点D作DE⊥AB于E，连结CF、EF、CE，如图1． 设CFkEF，则k = ；

（2）若将图1中的△ADE绕点A旋转，使得D、E、B三点共线，点F仍为BD中点，如图2所示．

求证：BE-DE=2CF；

（3）若BC=6，点D在边AC的三等分点处，将线段AD绕点A旋转，点F始终为BD中点，求线段CF长

度的最大值．

AAA

D

E E D

F

F

BBBCCC

备图图1图2

解：（1）k=1；

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（2）如图2，过点C作CE的垂线交BD于点G，设BD与AC的交点为Q.

由题意，tan∠BAC=∴

1， 2ABCDE1. ACAE2DEQ∵ D、E、B三点共线， ∴ AE⊥DB.

∵ ∠BQC=∠AQD，∠ACB=90°, ∴ ∠QBC=∠EAQ.

∵ ∠ECA+∠ACG=90°，∠BCG+∠ACG=90°， ∴ ∠ECA=∠BCG. ∴ △BCG∽△ACE. ∴

FGC图2BBCGB1. ACAE2∴ GB=DE. ∵ F是BD中点， ∴ F是EG中点.

在Rt△ECG中，CFEG, ∴ BEDEEG2CF.

12（3）情况1：如图，当AD=AC时，取AB的中点M，连结MF和CM，

∵∠ACB=90°， tan∠BAC=∴AC=12，AB=65. ∵M为AB中点，∴CM=35, 131，且BC= 6, 2ADMF1∵AD=AC，

3∴AD=4.

∵M为AB中点，F为BD中点，

1∴FM=AD= 2.

2

CB∴当且仅当M、F、C三点共线且M在线段CF上时CF最大，此时CF=CM+FM=235.

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情况2：如图，当AD=

2AC时，取AB的中点M， 3A连结MF和CM，

DMF类似于情况1，可知CF的最大值为435. 综合情况1与情况2，可知当点D在靠近点C的 三等分点时，线段CF的长度取得最大值为435.

CB4、已知：在Rt△ABC中，∠ACB=30°，∠B=30,AC=6.点D、E分别是AB、BC边上的动点，且在△CDE中，∠CDE=∠DCE。探究DE的长度的最值。23DE63

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