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《大学数学》教案

来源：尚车旅游网

《大学数学》教案

------教师课堂教学参考资料

（说明：本教学教案以高等教育出版社普通高等教育“十一五”国家级

规划教材第二版《大学文科数学》（张国楚等主编）教学内容为蓝本制作，按照教学顺序，展现教学中的难点、重点）

第一章微积分的基础和研究对象

内容：§1 微积分基础---集合、实数和极限

1.1从牛顿的流数法和第二次数学危机谈起 1.2极限、实数、集合在微积分中的作用 1.3实数系的建立及邻域概念

计划：2学时

主要讲述微积分发展演变的历史。

微积分的基础是---集合、实数和极限，微积分的发展历史可追溯到17世纪，在物理力学等实际问题中出现大量的（与面积、体积、极值有关的）问题，用微积分得到了很好的解决。到19世纪，经过无数数学家的努力，微积分的理论基础才得以奠定。可以说，经过300多年的发展，微积分课程的基本内容已经定型，并且已经有了为数众多的优秀教材。但是，人们仍然感到微积分的教与学都不是一件容易的事，这与微积分学科本身的历史进程有关。微积分这座大厦是从上往下施工建造起来的。微积分从诞生之初就显示了强大的威力，解决了许多过去认为高不可攀的困难问题，取得了辉煌的胜利，创始微积分数学的大师们着眼于发展强有力的方法，解决各式各样的问题，他们没来得及为这门学科建立起严格的理论基础。在以后的发展中，数学危机的出现，促使后继者才对逻辑细节作了逐一的修补。重建基础的细致工作当然是非常重要的，但也给后世的学习者带来了不利的影响，今日的初学者在很长一段时间内只见树木不见森林。

在这一节重点了解十九世纪建立分析学基础的历史；了解第二次数学危机的意义；了解实数理论、集合论诞生的背景与内容；了解十九世纪分析学的新进展。重点提出几位数学家：牛顿（创立了微积分学）；柯西、维尔斯特拉斯（为微积分学奠定了理论基础）；康托（建立集合论）。

内容：§2 微积分的研究对象---函数

2.1 变量相依关系的数学模型---函数 2.2 逆向思维一例---反函数 2.3 基本初等函数 2.4 复合函数

2.5 初等函数的含义 2.6 MM能力培养

计划：2学时

在自然科学，工程技术甚至社会科学中，函数是被广泛应用的数学概念之一，其意义远远超过了数学范围，在数学中函数处于基础核心地位。函数不仅是贯穿中学《代数》的一条主线，它也是《大学数学》这门课程的研究对象。

《大学数学》课程中，将在原有初等数学的基础上，对函数的概念、性质进行重点复习和深入的讨论，并采用极限为工具研究函数的各种分析性质，进而应用函数的性质去解决实际问题。

本节重点掌握以下内容：

函数的表示方法，函数的图形与特殊的几何性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；

函数的运算：和差积商四则运算、求逆运算（反函数）、求复合运算（复合函数）；

初等函数与非初等函数的概念。下面谈谈对初等函数的认识。

基本初等函数是在数学史的发展过程中，用到最多的6类函数，其性质在中学已经考察的比较清楚了，它们是：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。

基本初等函数以及对基本初等函数作有限次四则运算与有限次函数复合运算得到的由一个式子表示的函数成为初等函数。在本教材中，我们大多数情况下都考虑初等函数。

但也要清楚一些非初等函数的例子，如一些常见的分段函数：符号函数、取整函数、小数函数

第二章微积分的直接基础---极限

内容：§1 从阿基里斯追赶乌龟谈起---数列极限

1.1数列的概念

1.2数列极限的定性描述 1.3 数列极限的定量描述 1.4 数列极限中蕴含的辨证思想

计划：4学时

为了深入研究函数, 需要引进极限的概念. 极限是高等数学最基本的概念, 在微分学与积分学中, 极限的方法是解决问题的主要方法. 从方上来说, 这是高等数学区别于初等数学的显著标志.

极限的定性描述是用所谓的描述性语言，例如，“无限趋近”“越来越靠近”这些都只是一种模糊的描述，一种直观的想象，缺乏精确性；尽管直观在数学的发展和创造中扮演着充满活力的积极角色，但数学不能停留在直观的认识阶段。为避免直观想象可能带来的错误判断，作为微积分工具的极限概念，必须有定量描述的精确定义。

本节的重点是对数列极限的定量描述的理解。

数列极限的定量描述：

N，nN，xna. 定义：（N语言）limxna0，n注意：

1）关于 是衡量xn与a接近程度的，愈小，表示的接近愈好，它除受限于正数外，不受任何，正说明xn与a能够接近到任何程度. 有任意性，但一经给出，就应暂时看作是固定不变的，以便据此来求N. 也就是说，具有二重性，的绝对任意性是通过无限多个相对固定性的表现出来的.

2， 同再者，既然是任意给定的正数，那么c（c是正常数），，样都是任意给定的正数，因此定义中不等式右边的完全可以由c（c是正常

2，来代替，同样可知，不等式中的“<”可换为“”. 今后证数），， 4

明极限问题时经常要用到各种与“N”定义等价的形式. 在数列极限的定义中，正数是任意的，虽然也可以任意大，但此时不等式xna并不能说明xn无限趋近于a. 这里主要指可以任意小，此时不等式才表明xn无限趋近于a. 因此证明极限问题时，常常限定的变化范围，如，

01,01[]>1.

12，例如，为了使[]是自然数，限定01,从而有

12）关于N N随的变化而变化，是依赖于的，但不是由所惟一确定的. 因为对已经给定的，若N=100能满足要求，则N=101或1000或10000自然更能满足要求. 其实N等于多少关系不大，重要的是它的存在性，只要存在一个N，那么大于N的任何一个自然数都能满足要求. 因此，用“N”定义证明数列极限时，不用求最小的N，关键是它的存在性.

xna”是指：凡是下标大于N的所有xn，都满足不等3）定义中“nN，式xna. 从几何意义上讲，就是所有坐标大于N的xn都落在a的邻域内，而在这邻域之外，至多有N（有限）个项. 或说，收敛于a的数列{xn}在a的任何邻域内含有{xn}几乎全体的项，至多除有限个项不在这个邻域内. 实际在定义中,不等式xna, 就是axna, 它表示xn在开区间(a,a)内. 因此, {xn}以a为极限, 就是对任意给定的一个开区间

(a,a), 第

NxN2，全部落在这个区间内. 项以后的一切项xN1，

4）特别：当a=0时，即limxn0，则称数列{xn}为无穷小量. 无穷小量不是很

n小的量，而是以零为极限的变量. 由极限的定义可知

limxn00，N，nN，xn0xn.

n又知，若limxna，则lim（xna）0，即数列{xna}为无穷小量. 反之，

nn若{xna}为无穷小量，则limxna.

n 5

据此性质知，证明limxna与证明{xna}为无穷小量是一回事. n5）由数列极限的定义知数列是否有极限，只与它充分远以后的项有关，而与它前面的有限项无关。因此，讨论数列的极限时，可以添加、去掉有限个项或改变它的有限项的数值，而对数列的收敛性与极限都不会产生影响。

下面给出“数列{xn}的极限是a”的否定叙述，即“数列{xn}的极限不是a”（表为limxna）的叙述.

n将limxna与limxna的叙述对比如下:

nnlimxna0，N，nN，xna

nlimxna00，N，n0N，xn0a0n

内容：§2 函数极限

2.1自变量x无限趋近有限数x0时的情形 2.2左极限和右极限

2.3自变量x的绝对值无限增大时的情形 2.4 函数极限的性质 2.5 无穷大量与无穷小量 2.6 极限的四则运算 2.7 两个重要的极限公式

计划：6学时 I函数极限:

函数极限是数列极限的推广. 数列是特殊的函数, 即以自然数为定义域的函数, 从而数列极限是特殊的函数极限. 因此, 函数极限与数列极限有相同之处, 又有与之不同之点, 即函数极限比数列极限复杂得多.

总结: 函数极限按照自变量的变化趋势以及因变量的变化趋势可以分为24种. 下面将这24种定义以列表的形式叙述如下.

f(x)A xx0 f(x) f(x) f(x) 00,当0xx0时,有f(x)A. M00,当0xx0时,有f(x)M.M00, M00,当0xx0时,有f(x)M.M00,当0xx0时,有f(x)M.M0 M00,当0xx0时,有f(x)M.M00,当0xx0时,有f(x)M.M0 xx0 00,当0xx0时,有f(x)A.当0xx0时,有f(x)M.M00,xx0 00,当0x0x时,有f(x)A. 0,当0x0x时,有f(x)M.0,当0x0x时,有f(x)M.当0x0x时,有f(x)M. 7

x 0X0,当xX时,有f(x)A. M0X0,当xX时,有f(x)M.M0X0, M0X0,当xX时,有f(x)M.M0X0,当xX时,有f(x)M.M0X0, M0X0,当xX时,有f(x)M.M0X0,当xX时,有f(x)M.M0X0,当xX时,有f(x)M. x 0X0,当xX时,有f(x)A.当xX时,有f(x)M.M0X0,x 0X0,当xX时,有f(x)A. 当xX时,有f(x)M.当xX时,有f(x)M.注: 这里, 自变量的变化趋势有6种, 因变量的变化趋势有4种, 从而函数极限就有24种情形. 一般的, 我们将f(x)A(常数)的情形称为正常极限, 将

f(x), f(x), f(x)的情形称为非正常极限. 从而函数的正常

极限就有6种, 而非正常极限就有18种. 尽管极限有这么多种类, 但是定义极限的思想和方法是完全类似的, 将极限理解为“随自变量的变化, 因变量变化的一种趋势.”

下面仅以limf(x)A(常数) , limf(x)A (常数) 以及limf(x)这三

xx0xxx0种极限为例来说明极限的几何意义.

1) limf(x)A的理解: 函数值f(x)可以与常数A任意的靠近, 只要自变

xx0量x与定点x0充分接近即可.

2) limf(x)A的理解: 函数值f(x)可以与常数A任意的靠近, 只要自变量

xx的绝对值x无限增大即可.

3) limf(x)的理解: 函数值f(x)的绝对值f(x)可以无限增大, 只要自

xx0变量x与定点x0充分接近即可.

II 函数极限的性质

唯一性、局部有界性、局部保号性、局部保序性、不等式性质

III 无穷大量和无穷小量

定义以及阶的比较。强调：无穷大量和无穷小量都是变量，在某一极限

过程中极限为0或无穷大的变量。无穷大量和无穷小量一定与自变量的趋近方式有关。而阶的比较是表明，在同一极限过程中的两个无穷大量（或无穷小量）趋于无穷大（或0）的速度的快慢。

IV 两个重要的极限公式

limsinxxx01； lim(1x1x)xe。

内容：§3 极限应用的一个例子---连续函数

3.1连续函数的概念 3.2连续函数求极限的法则 3.3初等函数的连续性 3.4闭区间上连续函数的性质

计划：4学时（I）关于连续的概念：

自然界中连续变化的现象是很多的, 例如: 空气或水的流动, 植物生长, 这种现象反映到数学的函数关系上, 就是函数的连续性. 实际遇到的情景是: 当自变量的改变非常小时, 相应的函数值改变也非常小. 例如: 气温作为时间的函数, 就具有这种性质.

连续函数是高等数学中着重讨论的一类重要函数. “连续”从字面上不难理解, 比如从图形上看, 这个函数图形是连绵不断的曲线, 但单从图形上看是不行的, 因为可以举出在每点都连续却无法用图形表示的函数. 图形只能帮助我们更形象地理解这一概念, 为进一步的分析与研究, 必须给出它的具体的确切定义. 定义1: 设函数yf(x)在点x0的某一邻域内有定义, 如果

limf(x)f(x0), 那么就称函数f(x)在点x0连续.

xx0定义2: (增量形式的定义) 设函数yf(x)在点x0的某一邻域内有定义, 如果

x0limylim[f(x0x)f(x0)]0,

x0那么就称函数f(x)在点x0连续.

注: 上述两种定义是等价的.

定义3: 如果limf(x)f(x0)存在且等于f(x0), 即f(x0)f(x0),

xx0那么就称函数f(x)在点x0左连续.

定义4: 如果limf(x)f(x0)存在且等于f(x0), 即f(x0)f(x0),

xx0那么就称函数f(x)在点x0右连续.

定义5: 在区间上每一点都连续的函数, 叫做在该区间上的连续函数, 或者说函数在该区间上连续. 如果区间包括端点, 那么函数在右端点连续是指左连续, 在

左端点连续是指右连续.

定理: 一切初等函数在其定义区间内都是连续的.

(这里所谓的定义区间是指包含在定义域内的区间.)

（II）关于函数的间断点：

事物的发展有渐变与突变, 函数值也如此, 即除有连续变化外, 还有间断情形, 例如: 导线中的电流通常是连续变化的, 但当电流增加到一定程度会烧断保险丝, 电流突然变为0, 这时连续性被破坏, 而出现间断现象. 定义: 设函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义.

若函数f(x)在点x0不连续, 则称点x0是函数f(x)的间断点或不连续点. 由连续的定义可知, f(x)在点x0连续必须: 1) f(x)在点x0有定义; 2) f(x0), f(x0)都存在; 3) f(x0)=f(x0)=f(x0).

根据上述3个条件, 可以将函数的间断点分为以下几种情况: 1) f(x)在点x0没有定义;

2) f(x)在点x0有定义, 但limf(x)不存在；

xx03）f(x)在点x0有定义, limf(x)存在，但limf(x)f(x0).

xx0xx0通常将间断点(不连续点)分为以下两类:

1. 如果x0是f(x)的间断点, 但左极限f(x0)及右极限f(x0)都存在, 此时称x0是函数f(x)的第一类间断点; 第一类间断点中又包含这样几种情况：

 f(x0)=f(x0), 即limf(x)存在, 但limf(x)f(x0)或者f(x)在点x0没有定

xx0xx0义. 这类间断点又称可去间断点.

 f(x0)f(x0),这类间断点又称跳跃间断点.

2. f(x0), f(x0)中至少有一个不存在, 此时称x0是函数f(x)的第二类间断点;

例1: limtanx, 称点xx22是函数ytanx的无穷间断点. 例2: ysin1x在点x0没有定义; 当x0时, 函数值在1与1之间变动

1x无限多次, 所以点x0称为函数sin的振荡间断点. 注: 设x0是函数f(x)的可去间断点, 那么只要改变或重新定义f(x)在点x0所对应的函数值, 使它等于f(x)在这点的极限, 即用函数在这点的极限值代替这一点的函数值, 那么新的函数就在x0连续, 故称这类间断点为可去间断点.

例如: 函数

x,yf(x)1,2x1x1x1,x1.

12这里limf(x)limx1, 但f(1), 所以limf(x)f(1).

x1但是如果改变函数f(x)在点x1的定义: 令f(x)1, 则f(x)在x1成为连续. 因此, 点x1是函数f(x)的可去间断点.

又如: 函数yf(x)sinxx在点x0没有定义; 但这里limsinxxx01, 如果

补充定义: 令x0时, y1, 则所给函数在x0成为连续. 因此, 点x0是函数f(x)的可去间断点.

（III）闭区间上连续函数的性质:

若函数f(x)在闭区间[a,b]的每一点都连续, 则称函数f(x)在闭区间[a,b]上连续.我们知道, 函数在一点的连续性只是反映了函数的局部性质, 而函数在闭区间上的连续性反映了函数在整个区间上的整体性质.

从图形上（几何意义）看, 闭区间上连续函数的性质是十分明显的.

一. 有界性与最大值最小值定理

定理1: 在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和

最小值.

二. 零点定理与介值定理

定理2. (零点定理) 设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续, 且f(a)与f(b)异号(即f(a)f(b)0), 那么在开区间(a,b)内至少有一点, 使得f()0.

定理3. (介值定理) 设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续, 且在这区间的端点取不同的函数值 f(a)A及f(b)B,那么对于A与B之间的任意一个数C, 在开区间(a,b)内至少有一点, 使得 f()C（ab).

第三章变量变化速度与局部改变量估值问题---

导数与微分

内容：§1 函数的局部变化率—导数

1.1抽象导数的两个现实原型 1.2导数的概念

1.3求导过程的哲学分析 1.4左导数和右导数

1.5函数的连续性与可导性之间的关系 1.6高阶导数的概念

计划：4学时

微分学是微积分的核心内容之一, 微分学的基本概念是导数与微分.

1．关于导数:

在生产实践和科学实验中, 常常需要研究函数相对于自变量变化的快慢程度. 例如, 要预报人造地球卫星飞过各大城市的时间, 就需要知道卫星的飞行速度; 要研究轴或梁的弯曲变形问题, 就必须会求曲线的斜率, 等等.

求曲线的斜率, 求速度的问题, 叫做求变化率的问题, 数学上称为求导数.

（I）几何背景: 求曲线的切线问题.

在初等几何课程中, 我们已经知道如何作圆的切线，但是那种作法依赖于圆的特殊几何性质，并没有提示作一般曲线的切线的方法. 初等几何着眼于具体研究每一个特殊图形的性质, 高等数学却致力于寻求普遍地解决问题的方法. 为此,首先引进坐标把几何问题代数化.

考察: 求曲线yf（x）在一点M(x0,f(x0))的切线的问题.

考虑曲线上邻近于M的另一点N(x,f(x)), 过这两点可作一条直线---即曲线的割线MN, 其斜率为

f(x)f(x0)xx0. 若limf(x)f(x0)xx0xx0存在且为有限值, 则

以此极限值为斜率, 过点M的的直线就是曲线yf（x）在点M的切线.或说割

线MN的极限位置称为曲线yf（x）在点M的切线. 注: 相当普遍的曲线割线的极限位置存在.

（II）物理背景: 求变速直线运动的瞬时速度的问题.

考察: 设一质点作直线运动, 已知其运动方程为: sf(t), 若t0为某一个确定的时刻, t为邻近t0的时刻, 则vf(t)f(t0)tt0f(t)f(t0)tt0称为质点由t0到t一段时间内的平均速度; 若limtt0存在且为有限值, 则此极限值称为运动质点在时刻t0的

瞬时速度. 当量f(t)变化比较均匀时, 平均速度反映了它变化的快慢, 当量f(t)变化很不均匀时, 就需要用瞬时变化率来描述这个量在各个不同时刻的变化状况, 也就是要考察瞬时速度.

注: 曲线的切线斜率与运动的瞬时速度, 虽然来自各种不同的具体问题, 但它们在计算上都归结为形如: limf(x)f(x0)xx0的极限问题, 其中

f(x)f(x0)xx0xx0yx是函数的增量(改变量)与自变量的增量(改变量)之比, 它表示函数的平均变化率, 但若要求精确的变化率的话, 则要计算limyxx0, 而这类问题在生产过程和科学

实验中是经常出现的. 例如: 加速度、比热、线密度、电流强度等等, 正是由于这些问题求解的需要, 促使人们研究limyxx0=limf(x)f(x0)xx0型极限而导致微

xx0分学的诞生. 这种具有特定意义的极限称为函数的导数, 也叫做函数的变化率.

内容：§3局部改变量的估值问题—微分及其运算

3.1微分

3.2微分公式和法则

3.3微分在近似计算中的应用

计划：4学时关于微分:

函数yf（x）在一点x0相应于自变量x的微分:

1）从几何的角度来看, 微分dyf(x0)dx正好是切线函数的增量;

2）从代数的角度来看, 微分dyf(x0)dx是增量yf(x0x)f(x0)的线性主要部分, dy与y仅仅相差一个高阶无穷小量(x), 因此当x充分小时, 可以用dy作为y的近似值(ydy). 这一事实是微分许多实际应用的基础; 3）原来, 引进

dydx作为导数的记号, 有了微分的概念以后, 又可以把记号

dydxf(x0)dydx解

释为dy与dx之商:

.(所以导数又称微商)

注: 一元函数在一点连续、可导与可微的关系：可导和可微等价，可导一定连续，连续未必可导。

第四章导数的应用问题---

洛必达法则、函数的性质和图像

内容：§1 联结局部与整体的纽带—中值定理

1.1费马定理

1.2中值定理（拉格朗日）

计划：2学时微分中值定理

本节将建立微分学的基本定理-----中值定理, 这些定理是研究函数在区间上整体性质的有力工具.

（I）费马(Fermat)引理: 设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义, 并且在

x0处可导, 如果对任意的xU(x0),

有

f(x)f(x0) (或f(x)f(x0)), 那么f(x0)0.

（II）罗尔(Rolle)定理: 如果函数f(x)满足 (1) 在闭区间[a,b]上连续; (2) 在开区间(a,b)内可导;

(3) 在区间端点处的函数值相等, 即f(a)f(b), 那么在(a,b)内至少有一点

(ab), 使得f()0.

注: 1. 在坐标平面上, 一条连续的、处处有切线的曲线, 如果它的二端点的高度相同, 那么,从几何直观上容易看出, 曲线上至少有一点, 在这一点的切线是水平的. 把这个几何直观觉察到的结论抽象成为一般的数量关系, 便引出罗尔定理.

2. 定理中的三个条件缺少任何一条, 定理的结论将不一定成立; 但也不能认为定理条件不全具备, 就一定不存在属于(a,b)的, 使得f()0, 即定理的

条件仅是充分而非必要的.

例如: 缺少条件且不成立的例子. (I) f(x)(II)f(x)x,x,1,x0,x0.x[1,1];

x[1,1]; (III)f(x)x2x[0,1].

1,x0,缺少条件但成立的例子. (I) f(x)0,x0,1,x0.x[1,1];

(II) f(x)x2

x[1,2]

（III）拉格朗日(Lagrange)中值定理: 如果函数f(x)满足

(1) 在闭区间[a,b]上连续; (2) 在开区间(a,b)内可导;

那么在(a,b)内至少有一点(ab), 使得等式

f(b)f(a)f()(ba)

成立.

注:

1. 这里Rolle中值定理只是Lagrange中值定理的特例; 在Lagrange中值定理的证明过程中, 我们又看到数学证明的重要方法---化归法的应用;

2. 定理的条件仅是充分的, 但不是必要的(例子见Rolle中值定理的例子); 3. Lagrange中值定理的几何意义: 曲线yf(x)在(a,b)内存在切线, 则在曲线上至少存在一点C(,f()), 过C点的切线与弦AB(A(a,f(a)),B(b,f(b)))平行. 4. Lagrange中值定理在微分学中占有重要地位, 有时也称这定理为微分中值定理. 在某些问题中, 当自变量x取得有限增量x而需要函数增量的准确表达式时, Lagrange中值定理就显出了它的价值:

5. Lagrange中值定理是由函数的局部性质来研究函数的整体性质的桥梁, 其应用十分广泛, 将会在今后的学习中看到.

（IV）柯西(Cauahy)中值定理: 如果函数f(x)及F(x)满足

(1) 在闭区间[a,b]上连续; (2) 在开区间(a,b)内可导; (3) 对任一x(a,b), F(x)0,

那么在(a,b)内至少有一点(ab), 使等式成立. 注:

1. 这里Lagrange中值定理只是柯西(Cauahy)中值定理的特例; 2. 定理的条件仅是充分的, 但不是必要的;

3. Cauahy中值定理的几何意义与Lagrange中值定理的几何意义相同. 只不过曲线的方程由参数形式表达而已.

f(b)f(a)F(b)F(a)f()F()

第六章求总量的问题---定积分

内容：§1 特殊和式的极限—定积分的概念

1.1抽象定积分概念的两个现实原型 1.2定积分的概念

1.3求定积分过程中的辨证思想 1.4可积条件 1.5定积分的性质

计划：4学时前言:

从历史上讲, 定积分是为了计算平面上封闭曲线所围成的图形的面积而产生的. 为了计算这类图形的面积, 最后归结为计算具有特定结构的和式的极限. 人们在以后的实践中逐步认识到这种特定结构的和式的极限, 不仅是计算图形面积的数学形式, 而且也是计算许多实际问题(例如: 变力作功、立体体积等等)的数学形式. 因此, 无论在理论上或实践中, 特定结构的和式的极限-----定积分具有普遍的意义. 于是, 定积分就成为微积分学的重要的组成部分之一.

高等数学中有许多积分: 定积分、重积分、线积分、面积分等，虽然它们的形式各异, 但它们的思想方法及讨论的内容基本上是相同的. 因此, 学好定积分是学好其它各种积分的基础.

1．定积分的概念

定积分的几何背景:

在初等几何中, 我们只会计算由直线段与圆弧所围的特殊平面图形的面积（例如：三角形、矩形、梯形、菱形、圆、扇形等）, 那么如何计算由任意形状的封闭曲线所围成的一般平面图形的面积呢？则是高等数学致力解决的问题.

一条封闭曲线所围成的平面图形, 可由互相垂直的两组平行线分成若干部分: 矩形、曲边三角形、（两条互相垂直的直线与曲线围成）、曲边梯形（两条直线都垂直于第三条直线与曲线围成）. 而曲边三角形又是曲边梯形的特例，所以，计算由任意形状的封闭曲线所围成的平面图形的面积问题，最后可以完全归结为计算曲边梯形的面积问题了. 这也是数学上常用的化归的方法.

下面研究曲边梯形面积的定义以及数学表达. 其想法是: 由已知考虑、研究未知.

为便于研究, 不妨设曲边梯形是由非负连续曲线yf(x)(axb)、x轴以及直线xa与xb所围成.

具体求法：1）分割

2）近似替代（最关键的一步） 3）求和 4）取极限

2．定积分的应用

定积分理论可以用来分析和解决一些几何、物理中的问题。例如：平面图形的面积、一些特殊立体的体积、平面曲线的弧长、变力沿直线所作的功、水压力、引力等等。

在实际的工程技术中，应用定积分来分析和解决问题常采用元素分析法（简称元素法）。

第七章偶然中蕴含必然的问题--概率统计初步 §1 研究偶然现象的基本元素—随机事件

教学目标及基本要求

一、理解随机试验、随机事件、样本点、样本空间的概念; 二、掌握随机事件之间的关系与运算。

教学方式（手段）：课堂讲授

重点：随机事件、样本空间、事件之间的关系难点：事件的集合描述、事件之间的关系及其运算教学时数：２学时．教学过程：

引言

1. 概率论的发展史

（1）萌芽时期

概率论被称为“起家”的理论。

概率论产生于十七世纪中叶，是一门比较古老的数学学科，有趣的是：尽管任何一门的数学分支的产生与发展都不外乎是生产、科学或数学自身发展的推动，然而概率论的产生，却起始于对的研究。16世纪意大利数学家卡当曾多次参加，在中经常需要研究如何赢的方法，这实际上是概率论的萌芽。据说卡当曾参加过这样的一种赌法：把两颗骰子掷出去，以每个骰子朝上的点数之和作为赌的内容。已知骰子的六个面上分别为1～6点，那么，赌注下在多少点上最有利？

两个骰子朝上的面共有36种可能，点数之和分别可为2～12共11种。从图中可知，7是最容易出现的和数，它出现的概率是

16 。现在看来这个想法是很

简单的，可是在卡当的时代，应该说是很杰出的思想方法。在那个时代，虽然概率论的萌芽有些进展，但还没有出现真正的概率论。（2）古典概率时期

十七世纪中叶，法国贵族德·美黑在骰子中，由于有要急于处理的

事情必须中途停止，要靠对胜负的预测把赌资进行合理的分配，但不知用什么样的比例分配才算合理，于是就写信向当时法国的数学家帕斯卡请教。正是这封信使概率论向前迈出了第一步。帕斯卡和当时第一流的数学家费尔玛一起，研究了德·美黑提出的关于骰子的问题。他们共同建立了概率论的第一基本概念——数学期望。于是，一个新的数学分支--概率论登上了历史舞台。1657年惠更斯也给出了一个与他们类似的解法。他们三人提出的解法中，都首先涉及了数学期望［mathematical expectation］这一概念，并由此奠定了古典概率论的基础。

（3）分析概率时期

使概率论成为数学一个分支的另一奠基人是瑞士数学家雅各布-伯努利［16-1705］。他的主要贡献是建立了概率论中的第一个极限定理，我们称为“伯努利大数定理”，即“在多次重复试验中，频率有越趋稳定的趋势”。这一定理更在他死后，即1713年，发表在他的遗著《猜度术》中。

到了1730年，法国数学家棣莫弗出版其著作《分析杂论》，当中包含了著名的“棣莫弗—拉普拉斯定理”。这就是概率论中第二个基本极限定理的原始初形。而接着拉普拉斯在1812年出版的《概率的分析理论》中，首先明确地对概率作了古典的定义。另外，他又和数个数学家建立了关于“正态分布”及“最小二乘法”的理论。另一在概率论发展史上的代表人物是法国的泊松。他推广了伯努利形式下的大数定律，研究得出了一种新的分布，就是泊松分布。概率论继他们之后，其中心研究课题则集中在推广和改进伯努利大数定律及中心极限定理。

概率论发展到1901年，中心极限定理终于被严格的证明了，及后数学家正利用这一定理第一次科学地解释了为什么实际中遇到的许多随机变量近似服从以正态分布。到了20世纪的30年代，人们开始研究随机过程，而著名的马尔可夫过程的理论在1931年才被奠定其地位。而苏联数学家柯尔莫哥洛夫在概率论发展史上亦作出了重大贡献，到了近代，出现了理论概率及应用概率的分支，及将概率论应用到不同范畴，从而开展了不同学科。因此，现代概率论已经成为一个非常庞大的数学分支。（4）现代概率论

20世纪以来，由于物理学、生物学、工程技术、农业技术和军事技术发展

的推动，概率论飞速发展，理论课题不断扩大与深入，应用范围大大拓宽。在最近几十年中，概率论的方法被引入各个工程技术学科和社会学科。目前，概率论在近代物理、自动控制、地震预报和气象预报、工厂产品质量控制、农业试验和公用事业等方面都得到了重要应用。有越来越多的概率论方法被引入导经济、金融和管理科学，概率论成为它们的有力工具。 2. 所学的主要内容介绍

概率论初步知识，主要包括：（1）随机现象与随机事件；（2）随机事件的概率；（3）古典概型；

（4）条件概率与事件的性；（5）全概率公式和贝叶斯公式 3．学习概率论与数理统计的方法

概率论与数理统计是一门处理随机现象的学科，初学者对概率论与数理统计的基本概念感到很抽象，基本方法难以掌握，习题难做。但是只要讲究学习方法，勤奋努力，不利因素就会转化为有利因素，概率论与数理统计之难恰好能培养大家分析问题和解决问题的能力，总之：（1）深刻理解，牢固掌握基本概念。（2）多做练习，很抓解题基本功。本讲课的主要内容：一、必然现象与随机现象

在自然界和人的实践活动中经常遇到各种各样的现象，这些现象大体可分为

两类：一类是确定的，例如“在一个标准大气压下，纯水加热到100C时必然

沸腾。”“向上抛一块石头必然下落。”，“同性电荷相斥，异性电荷相吸。”等等，这种在一定条件下有确定结果的现象称为必然现象（确定性现象）；

另一类现象是随机的，例如：在相同的条件下，向上抛一枚质地均匀的硬币，其结果可能是正面朝上，也可能是反面朝上，不论如何控制抛掷条件，在每次抛掷之前无法肯定抛掷的结果是什么，这个试验多于一种可能结果，但是在试验之前不能肯定试验会出现哪一个结果。同样地同一门大炮对同一目标进行多次射击（同一型号的炮弹），各次弹着点可能不尽相同，并且每次射击之前无法肯定弹着点的确切位置，以上所举的现象都具有随机性，即在一定条件下进行试验或观察会出现不同的结果（也就是说，多于一种可能的试验结果），而且在每次试验

之前都无法预言会出现哪一个结果(不能肯定试验会出现哪一个结果），这种现象称为随机现象。再看两个试验：

试验Ⅰ：一盒中有十个完全相同的白球，搅匀后从中摸出一球；

试验Ⅱ：一盒中有十个相同的球，其中5个白球，5个黑球，搅匀后从中任意摸取一球。

对于试验Ⅰ 而言，在球没有取出之前，我们就能确定取出的球必是白球，也就是说在试验之前就能判定它只有一个确定的结果这种现象就是必然现象（必然现象）。

对于试验Ⅱ来说，在球没有取出之前，不能确定试验的结果（取出的球）是白球还是黑球，也就是说一次试验的结果（取出的球）出现白球还是黑球，在试验之前无法肯定。对于这一类试验而言，骤然一看，似乎没有什么规律而言，但是实践告诉我们，如果我们从盒子中反复多次取球（每次取一球，记录球的颜色后仍把球放回盒子中搅匀），那么总可以观察到这样的事实，当试验次数n相当

n白n黑大时，出现白球的次数n白和出现黑球的次数n黑是很接近的，比值n（或n）

1会逐渐稳定于2，出现这个事实是完全可以理解的，因为盒子中的黑球数与白球数相等，从中任意摸一球取得白球或黑球的“机会”相等。

试验Ⅱ所代表的类型，它有多于一种可能的结果，但在试验之前不能确定试验会出现哪一种结果，这类试验所代表的现象成为随机现象，对于试验而言，一次试验看不出什么规律，但是“大数次”地重复这个试验，试验的结果又遵循某些规律，这些规律称之为“统计规律性”。在客观世界中，随机现象是极为普遍的，例如“某地区的年降雨量”，“某电话交换台在单位时间内收到的用户的呼唤次数”，“一年全省的经济总量”等等。

概率论的主要研究对象就是随机现象及其统计规律性。二、随机试验

上面对随机试验做了描述性定义，下面进一步明确它的含义，一个试验如果满足下述条件：

（1）试验可以在相同的条件下重复进行；

（2）试验的所有可能结果是明确的，可知道的（在试验之前就可以知道的）

并且不止一个；

（3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前却

不能肯定这次试验出现哪一个结果。

称这样的试验是一个随机试验，为方便起见，也简称为试验，今后讨论的试验都是指随机试验。

例1：掷一枚硬币，观察落在桌面上究竟是正面朝上还是反面朝上？ 2：实弹射击，观察射击的弹着点；

3：统计某车站在上午8：00～9：00之间的顾客数； 4：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的使用寿命；

5：将10件相同型号产品标上号1，2，„，10，从中任取一件，观察取得几号产品。

以上例子全部是随机实验。三、样本空间与随机事件

随机事件与样本空间是概率论中的两个最基本的概念。 1.基本事件与样本空间

对于随机试验来说，我们感兴趣的往往是随机试验的所有可能结果。例如掷一枚硬币，我们关心的是出现正面还是出现反面这两个可能结果。若我们观察的是掷两枚硬币的试验，则可能出现的结果有（正、正）、（正、反）、（反、正）、（反、反）四种，如果掷三枚硬币，其结果还要复杂，但还是可以将它们描述出来的，总之为了研究随机试验，必须知道随机试验的所有可能结果。（1）基本事件

通常，据我们研究的目的，将随机试验的每一个可能的结果，称为基本事件。因为随机事件的所有可能结果是明确的，从而所有的基本事件也是明确的，例如：在抛掷硬币的试验中“出现反面”，“出现正面”是两个基本事件，又如在掷骰子试验中“出现一点”，“出现两点”，“出现三点”，„„，“出现六点”这些都是基本事件。（2）样本空间

基本事件的全体，称为样本空间。也就是试验所有可能结果的全体是样本空间，样本空间通常用大写的希腊字母表示，中的点即是基本事件，也称为样

本点，常用表示，有时也用A,B,C等表示。

在具体问题中，给定样本空间是研究随机现象的第一步。

例1、一盒中有十个完全相同的球，分别有号码1、2、3„„10，从中任取一球，

观察其标号，令i取得球的标号为i， i1,2,3„„10

则1,2,3,,10, i标号为i,i1,2,,10 1,2,,10为基本事件（样本点）

例2 在研究英文字母使用状况时，通常选用这样的样本空间：

空格，A,B,C,X,Y,Z

例 1 ，例 2讨论的样本空间只有有限个样本点，是比较简单的样本空间。例3讨论某寻呼台在单位时间内收到的呼叫次数，可能结果一定是非负整数而且很难制定一个数为它的上界，这样，可以把样本空间取为0,1,2, 这样的样本空间含有无穷个样本点，但这些样本点可以依照某种顺序排列起来，称它为可列样本空间。

例4讨论某地区的气温时，自然把样本空间取为 ,或a,b。

这样的样本空间含有无穷个样本点，它充满一个区间，称它为无穷样本空间。从这些例子可以看出，随着问题的不同，样本空间可以相当简单，也可以相当复杂，在今后的讨论中，都认为样本空间是预先给出定的，当然对于一个实际问题或一个随机现象，考虑问题的角度不同，样本空间也可能选择得不同。

4，5，6；例如：掷骰子这个随机试验，若考虑出现的点数，则样本空间1,2,3，若考虑的是出现奇数点还是出现偶数点，则样本空间奇数、偶数由此说明，同一个随机试验可以有不同的样本空间。

。

在实际问题中，选择恰当的样本空间来研究随机现象是概率中值得研究的问题。

（3）随机事件

,10下面研究这些问题。再看例1样本空间1,2,3， A球的标号为3 ， B球的标号为偶数 ， c球的标号不大于5

其中A为一个基本事件，而B与C则由基本事件所组成。

例如：B 发生（出现）必须而且只须下列样本点之一发生2、4、6、8、10，它由五个基本事件组成。

同样地，C发生必须而且只须下列样本点之一发生1、2、3、4、5。

无论基本事件还是复杂事件，它们在试验中发生与否，都带有随机性，所以叫做随机事件或简称为事件，习惯上用大写英文字母A,B,C 等表示，在试验中如果出现A中包含了某一个基本事件，则称作A发生，并记作A。

我们知道，样本空间包含了全体基本事件，而随机事件不过是由某些特征的基本事件组成的，从集合论的角度来看，一个随机事件不过是样本空间的一个子集而已。

,10。如例1中1,2,3，显然A,B,C都是的子集，它们可以简单的表示为

A3， B2,4,6,8,10 ， C1，3，5，7，9

因为是所有基本事件所组成，因而在一次试验中，必然要出现中的某一基本事件，也就是在试验中必然要发生，今后用表示一个必然事件，可以看成的子集。

相应地空集，在任意一次试验中不能有，也就是说永远不可能发生，所以是不可能事件，实质上必然事件就是在每次试验中都发生的事件，不可能事件就是在每次试验中都不发生的事件，必然事件与不可能事件的发生与否，已经失去了“不确定性”即随机性，因而本质上不是随机事件，但为了讨论问题的方便，还是将它看作随机事件。

例3一批产品共10件，其中2件次品，其余为正品，从中任取3件则

A恰有一件正品， B恰有两件正品 ， C至少有两件正品 为必然事件

D={ 三件中至少有一件次品}这些都是随机事件而三件中有正品3件都是正品为不可能事件，

C103对于这个随机试验来说，基本事件总数为

（4）随机事件之间的关系与运算

个。

对于随机试验而言，它的样本空间可以包含很多随机事件，概率论的任务之一就是研究随机事件的规律，通过对较简单事件规律的研究在掌握更复杂事件的规律，为此需要研究事件之间和事件之间的关系与运算。

若没有特殊说明，认为样本空间是给定的，且还定义了中的一些事件，A,B，Aii1,2等，由于随机事件是样本空间的子集，从而事件的关系与运算和集合的关系与运算完全相类似。

1O事件的包含关系

定义：若事件A发生必然导致事件B发生，则称事件B包含了A，或称A是B的特款，记作AB或BA。

6，这一事件就导致了事件比如前面提到过的A球的标号为B球的标号为偶数的发生，因为摸到标号为6的球意味着偶数的球出现了，

所以AB可以给上述含义一个几何解释，设样本空间是一个正方体， A,B是两个事件，也就是说，它们是的子集，“ A发生必然导致B发生”意味着属于A 的样本点在B中由此可见，事件AB的含义与集合论是一致的。

特别地，对任何事件A Ω A A

BA 例3 设某种动物从出生生活至20岁记为A，从出生到25记为B,则BA。 2O 事件的相等

设A,B,若AB，同时有BA，称A与B相等，记为A=B，易知相等的两个事件A,B总是同时发生或同时不发生，在同一样本空间中两个事件想等意味着它们含有相同的样本点。 3O 并(和)事件与积(交)事件

定义：设A,B,称事件“A与B中至少有一个发生”为A和B的和事件或并事件。记作AB

Ω A B 实质上 AB“A或B发生” AA,A,AAA AB 若AB，则ABB,AAB,BAB

例3、设某种圆柱形产品，若底面直径和高都合格，则该产品合格。

令A={直径不合格}，B={高度不合格}，则AB={产品不合格}。

推广：设n个事件A1,A2,,An，称“A1,A2,,Ann中至少有一个发生”这一事件为

A1,A2,,An的并，记作

A1A2An或

Ai1i

和事件的概念还可以推广到可列个事件的情形。

设A,B，称“A与B同时发生”这一事件为A和B的积事件或交事件。记作AB或AB

显然A,AA,AAA,ABA,ABB

Ω B Ω A

若AB，则ABA

如例7中，若C={直径合格}，D={高度合格}，则CD={产品合格}。

n推广: 设n个事件A1,A2,,An，称“A1,A2,,An同时发生”这一事件为

A1,A2,,An的积事件。记作

A1A2An或

A1A2An或i1Ai

同样积事件的概念也可以推广为可列个事件的情形。 4O 差事件

定义：设A,B，称“A发生B不发生”这一事件为A与B的差事件，记作AB 如例7中 AB={该产品的

ABAAB,AA

直

Ω A B }，明显地有

5 对立事件

定义：称“A”为A的对立事件或称为A的逆事件，记作A。

 AAA AA

Ω A 由此说明，在一次试验中A与A有且仅有一个发生。

 即不是A发生就是A发生。

 显然AA，由此说明A与A互为逆事件。

   ABAB

例8、设有100件产品，其中5件产品为次品，从中任取50件产品。记A={50件产品中至少有一件次品}



则A{50件产品中没有次品}={50件产品全是正品}

由此说明，若事件A比较复杂，往往它的对立事件比较简单，因此我们

在求复杂事件的概率时，往往可能转化为求它的对立事件的概率。 6O 互不相容事件（互斥事件）

定义：若两个事件A与B不能同时发生，即AB，称A与B为互不相容事件（或互斥事件）。

注意：任意两个基本事件都是互斥的。

推广：设n个事件A1,A2,,An两两互斥，称A1,A2,,An互斥（互不相容）若A，B为互斥事件，则A，B不一定为对立事件。但若A，B为对立事件，则 A，B互斥。 7O 事件的运算法则

1）交换律 ABBA,ABBA

2）结合律 ABCABC,ABCABC 3）分配律 ABCACBC

ABCACBC

nninini4）对偶原则

Ai1Ai1

Ai1Ai1i

例9: 设A,B,C为中的随机事件，试用A,B,C表示下列事件。 1） A 与B发生而C 不发生 ABC或ABC 2） A发生，B与C不发生 ABC或ABC 3）恰有一个事件发生 ABCABCABC 4) 恰有两个事件发生 ABCABCABC 5) 三个事件都发生 ABC

6) 至少有一个事件发生 ABC或 3）4）5）之并 7) A,B,C都不发生 ABC 8) A,B,C不都发生 ABC

9) A,B,C不多于一个发生 ABCABCABCABC或ABBCCA 10) A,B,C不多于两个发生 ABC

例10：试验Ｅ：袋中有三个球编号为１.２.３，从中任意摸出一球，观察其号码，记Ａ＝球的号码小于3 Ｂ＝球的号码为奇数

 Ｃ＝球的号码为3

试问：１）Ｅ的样本空间为什么？

２）Ａ与Ｂ，Ａ与Ｃ，Ｂ与Ｃ是否互不相容？３）Ａ，Ｂ，Ｃ对立事件是什么？

4 ）A与B的和事件，积事件，差事件各是什么？

解：设i摸到球的号码为i,i1,2,3

1）则Ｅ的样本空间为1,2,3； 2） A1,2，B1,3，C3

Ａ与Ｂ，Ｂ与Ｃ是相容的，Ａ与Ｃ互不相容；

3） A3，B2，C1,2； 4） AB，AB1，AB2。

四、小结

1.掌握随机试验、随机事件、样本点、样本空间的概念;

2.掌握随机事件之间的关系与运算，学会用概率论的语言解释事件之间的关系及运算，并会用事件的运算来表示随机事件。五、作业

教材第170页第1，2题。六、主要参考书目：

1、复旦大学编概率论第一分册概率论第二分册数理统计（两册） 2、中山大学梁之瞬邓集贤概率论与数理统计（上下册） 3、南开大学周概容概率论与数理统计 4、浙江大学概率论与数理统计

§2 偶然中的必然—概率

具体教学内容：随机事件的概率一、概率的3种定义 1.统计定义； 2.古典定义； 3.公理化定义

二、条件概率与事件的性三、全概率公式和贝叶斯公式教学目标及基本要求

一、掌握概率的3种定义，特别是古典定义和公理化定义，会用古典概型和概率的基本性质求随机事件的概率；

二、会求条件概率，会用事件的性求事件的概率；三、掌握用全概率公式和贝叶斯公式求事件的概率的方法。教学方式（手段）：课堂讲授重点：各种类型概率的计算难点：随机事件概率的计算教学时数：8个学时教学过程一、概率的定义 1.概率的统计定义（1）频率的定义

对于随机试验中的随机事件，在一次试验中是否发生，虽然不能预先知道，但是它们在一次试验中发生的可能性是有大小之分的。比如掷一枚均匀的硬币，那么随机事件A（正面朝上）和随机事件B（正面朝下）发生的可能性是一样的（都为1/2）。又如袋中有8个白球，2个黑球，从中任取一球。当然取到白球的可能性要大于取道黑球的可能性。一般地，对于任何一个随机事件都可以找到一个数值与之对应，该数值作为发生的可能性大小的度量。

定义1.1:随机事件A发生的可能性大小的度量（数值），称为A发生的概率，记为P（A）。

对于一个随机试验来说，它发生可能性大小的度量是自身决定的，并且是客观存在的。概率是随机事件发生可能性大小的度量是自身的属性。一个根本问题是，对于一个给定的随机事件发生可能性大小的度量——概率，究竟有多大呢？

再来看，掷硬币的试验，做一次试验，事件A（正面朝上）是否发生是不确定的，然而这是问题的一个方面，当试验大量重复做的时候，事件A发生的次数，也称为频数，体现出一定的规律性，约占总试验次数的一半，也可写成

fn(A)=A发生的频率=频数/试验总次数接近与1/2 一般的，设随机事件A在n次试验中出现nA次，比值 fn(A)= nA/n 称为事件A在这n次试验中出现的频率历史上有人做过掷硬币的试验

实验者蒲丰 n 4040 nA 2048 6019 12012 fn(A) 0.5070 0.5016 0.5005 K．皮尔逊 12000 K．皮尔逊 24000 从上表可以看，不管什么人去抛，当试验次数逐渐增多时，fn(A)总是在0.5附近摆动而逐渐稳定与0.5。从这个例子可以看出，一个随机试验的随机事件A，在n次试验中出现的频率fn(A)，当试验的次数n逐渐增多时，它在一个常数附近摆动，而逐渐稳定与这个常数。这个常数是客观存在的，“频率稳定性”的性质，不断地为人类的实践活动所证实，它揭示了隐藏在随机现象中的规律性。频率的稳定值就成为事件的概率。

(2）频率的性质

nA由频率的定义 fn(A)=n，0nAn,很快可以得到频率的性质， 1、非负性： fn(A)0；

2、规范性：若为必然事件，则fn()=1；

3、有限可加性：若A,B互不相容即AB=,则fnAB=fn(A)+fn(B)。

nnAnB

由这三条基本性质，还可以推出频率的其它性质： 4、不可能事件的频率为0， fn()=0；

5、若AB，则fn(A)fn(B)，由此还可以推得fn(A)1； 6、对有限个两两互不相容的事件的频率具有可加性，即若

mAiAj（1i,jm

nij）, 则

fn(Ai)i1=

i1fn(Ai)。

2.概率的古典定义（古典概型）

先讨论一类最简单的随机试验，它具有下述特征：

1）样本空间的元素（基本事件）只有有限个，不妨设为n个，记为1，2，„，

n；

P(1)P()22）每个基本事件出现的可能性是相等的，即有

称这种数学模型为古典概型。

„=P(n)。

它在概率论中具有非常重要的地位，一方面它比较简单，既直观，又容易理解，另一方面它概括了许多实际内容，有很广泛的应用。

对上述古典概型，它的样本空间1，2，„，n，事件域F为的所有子集的全体，这时连同，在内，F中含有2个事件，并且从概率论的

n有限可加性知1=

P()P(1)P()2„P(n)

P(1)P()2于是 AF，若

„=P(n)=

A是k个基本事件之和，即

„A=

i1i2ik

A包含的有利事件数基本事件总数则 P(A)knA包含的基本事件数基本事件总数

所以在古典概型中，事件A的概率是一个分数，其分母是样本点（基本事件）总数n，而分子是事件A包含的基本事件数k。

例如：将一枚硬币连续掷两次就是这样的试验，也是古典概型，它有四个基本事件，（正、正），（正、反），（反、正），（反、反），每个基本事件出现的

1可能结果都是4。

但将两枚硬币一起掷，这时试验的可能结果为（正、反），（反、反），（正、

2正）但它们出现的可能性却是不相同的，（正、反）出现的可能性为4，而其它

1的两个事件的可能性为4。

它不是古典概型，对此历史上曾经有过争论，达朗贝尔曾误为这三种结果的出现是等可能的。

判别一个概率模型是否为古典概型，关键是看“等可能性”条件满不满足。而对此又通常根椐实际问题的某种对称性进行理论分析，而不是通过实验来判断。

由古典概型的计算公式可知，在古典概型中，若p(A)=1,则A=。同样，若

PA0，则A。

不难验证，古典概型具有非负性、规范性和有限可加性。

利用古典概型的公式计算事件的概率关键是要求基本事件总数和A的有利事件数，则需要利用数列和组合的有关知识，且有一定的技巧性。在此可以复习一下加法原理、乘法原理及排列、组合的有关知识，便于后面古典概率的计算。（一）摸球问题

例1. 在盒子中有五个球（三个白球、二个黑球）从中任取两个。问取出的两个球都是白球的概率？一白、一黑的概率？

分析：说明它属于古典概型，从5个球中任取2个，共有C种不同取法，可以将每一种取法作为一个样点。则样本点总数C是有限的。由于摸球是随机的，因此样本点出现的可能性是相等的，因此这个问题是古典概型。解：设A=取到的两个球都是白球基本事件总数为C

23252525，B=取到的两个球一白一黑

PAC32C52 A的有利事件数为C,

PA

11C3C2B的有利事件数为

11C3C2，

C52。

由此例我们初步体会到解古典概型问题的两个要点：

1.首先要判断问题是属于古典概型，即要判断样本空间是否有限和等可能性；

2.计算古典概型的关键是“记数”，这主要利用排列与组合的知识。

在古典概型时常利用摸球模型，因为古典概型中的大部分问题都能形象化地用摸球模型来描述，若把黑球做为废品，白球看为正品，则这个模型就可以描述产品的抽样检查问题，假如产品分为更多等级，例如一等品，二等品，三等品，等外品等等，则可以用更多有多种颜色的摸球模型来描述。

例2：在盒子中有十个相同的球，分别标为号码1，2，3，„„，9，10，从中任摸一球，求此球的号码为偶数的概率。解一：令i所取的球的号码为i i1,2,,10

则 1,2.....10 故基本事件总数n=10 令 A=所取球的号码为偶数

P(A)51012, 因而A含有5个基本事件

解二：令 A=所取球的号码为偶数因而 A,A,

p(A)12，则A=所取球的号码为奇数



此例说明了在古典概型问题中，选取适当的样本空间，可使我们的解题变的简洁。

例3：一套五册的选集，随机地放到书架上，求各册书自左至右恰好成1，2，3，4，5的顺序的概率。

解：将五本书看成五各球，这就是一个摸球模型，基本事件总数5！令 A=各册自左向右或成自右向左恰好构成P(A)25!1601，2，3，4，5顺序

A包含的基本事件数为2，

例4：从52张扑克牌中取出13张牌来，问有5张黑桃、三张红心、3张方块、2张草花的概率是多少？解：基本事件数为：

C5213

令A表示13张牌中有5张黑桃、3张红心、3张方块、2张草花 A包含的基本事件数为：

C1352C13C13C13C135332

5332P(A)C13C13C13C130.01293。

（二）分房问题

例5：设有n个人，每个人都等可能地被分配到N个房间中的任意一间去住（n≤N），求下列事件的概率：

1）A=指定的n个房间各有一人住； 2）B=恰好有n个房间，其中各有一人住。

解：因为每一个人有N个房间可供选择（没有每间房住多少人），所以n个人住的方式共有N种，它们是等可能的。

1）n个人都分到指定的n间房中去住，保证每间房中个有一人住；

第一人有n 分法，第二人有n-1种分法，„„最后一人只能分到剩下的一间房中去住，共有 n(n-1)„„.21种分法，即A含有n！个基本事件：

n!n P(A)=Nn

2）n个人都分到的n间房中，保证每间只要一人，共有n!种分法，而n间房未指定，故可以从N间房中任意选取，共有

CNn!P(B)=NnnCNn 种取法，故B包含了

CNn种取法。

，又如在掷骰子试验中“出现一点”。

注意：分房问题中的人与房子一般都是有个性的，这类问题是将人一个个地往房间里分配，处理实际问题时要分清什么是“人”，什么是“房子”，一般不可颠倒，常遇到的分房问题有：

n个人相同生日问题，n封信装入n个信封的问题（配对问题），掷骰子问题等，分房问题也称为球在盒子中的分布问题。

从上述几个例子可以看出，求解古典概型问题的关键是在寻找基本事件总数和有利事件数，有时正面求较困难时，可以转化求它的对立方面，要讲究一些技巧。

例6：某班级有n个人（n<365）问至少有两个人的生日在同一天的概率是多大？解：假定一年按365天计算，将365天看成365个“房间”，那么问题就归结为摸球问题；

令 A=至少有两个人的生日在同一天 则A的情况比较复杂（两人、三人„„

在同一天），但A的对立事件 An个人的生日全不相同,这就相当于分房问

题中的2）“恰有n个房间，其中各住一人”；

CNn!P(A)nN!n=N(Nn)! (N=365)

Nn P(A)P(A)1

N!n ∴P(A)=1-N(Nn)!(N=365)

这个例子就是历史上有名的“生日问题”，对于不同的一些 n值，计算得相应的P(A) 如下表：

ｎ１０２０ 0.41 ２３ 0.51 ３０ 0.71 ４０ 0. ５０ 0.97 Ｐ（Ａ） 0.12 表所列出的答案足以引起大家的惊奇，因为“一个班级中至少有两个人生日相同”这个事件发生的概率并不如发多数人想象的那样小，而是足够大，从表中可以看出，当班级人数达到23时，就有半数以上的班级会发生这件事情，而当班级人数达到50人时，竟有97％的班级会发生上述事件，当然这里所讲的半数以上，有97％都是对概率而言的，只是在大数次的情况下（就要求班级数相当多），才可以理解为频率。从这个例子告诉我们“直觉”并不可靠，从而更有力的说明了研究随机现象统计规律的重要性。

例7：在电话号码簿中人取一个号码（电话号码由7个数字组成），求取到的号码是由完全不同的数字组成的概率？

解：此时将０－９这10个数子看成“房子”，电话号码看成“人”，这就可以归结为“分房问题（2）”。

令Ａ＝取到的号码有由完全不同的数字组成

P1077则P(A)＝10

当然这个问题也可以看成摸球问题，将这十个数字看成10个球，从中有放回的取7次，要求7次取得的号码都不相同。（三）随机取数问题

例8：从1，2，3，4，5这五个数中等可能地、有放回的连续抽取3个数字，试

求下列事件的概率：

A= 三个数字完全不相同； B= 三个数字中不含1和5； C= 三个数字中5恰好出现了两次； D= 三个数字中至少有一次出现5。

P53P53解：基本事件数为：53， A的有利事件数为

3，故P(A)＝5＝0.48

3333 B的有利事件数为3（三个数只能出现2，3，4），故P(B)＝5＝0.216 三个数字中5恰好出现两次，可以是三次中的任意两次，出现的方式为

1C32种，剩下的一个数只能从1，2，3，4中任意选一个数字，有P4种选法，故C的

3有利事件数为CP，故 P(C)=523C3P4142112=125

事件D 包含了5出现了一次，5出现两次，5出现三次三种情况 D 的有利事件数为：

112C31(P4)221112+

C31P433221+

C3133

C31(P4)C31P4C31 故P(D)=

530.488。

或可以转化为求D的对立事件D的概率

D=三个数字中5一次也不出现说明三次抽取得都是在1，2，3，4中

4334任取一个数字，故含有4个基本事件P(D)=1-P(D)=1-5=0.488。

例9：在0,1,2,,9这十个数字中无重复地任取4个数字，试求取得的4个数字能组成四位偶数的概率。

解：设 A=取得的4个数字能组成四位偶数 从10个数中任取4个数字进行排列，共有基本事件。

下面考虑A包含的基本事件数，分两种情况考虑一种是0排在个位上，有种选法，另一种是0

1P4不排在个位上，有P8P81244P10种排列方式，所以共有

P10个

3P9种，所以A包含的基本事件数为

P9P4P8P8P393112411+P4PP8，故P(A)=

182P104=900.4556

P51或先从0，2，4，6，8这5个偶数中任选一个排在个位上，有然后从剩下的9 个数字中任取3个排在剩下的3个位置上，有上是偶数的排法共有

P51P93种排法，

P93种排法,故个位

种，但在这种四个数字的排列中包含了“0”排在首

32位的情形，故应除去这种情况的排列数。

故A的有利场合数为：

P51P911P8PP41-

例10：任取一个正整数，求该数的平方数的末位数字是1的概率。

分析：不能将正整数的全体取为样本空间，这样的样本空间是无限的，谈上不等可能的。

解：因为一个正整数的平方的末位数只能取决于该正整数的末位数，它们可以是0，1，2„„，9这十个数字中的任一个，现任取一个正整数的含义，就是这十个数字等可能地出现的，换句话说，取样本空间0,1,2,,9。

记 A=该数的平方的末位数字是1 那么A包含的基本事件为2，A=1,9，

2故P(A)=1015；

该数的四次方的末位数字是1 , 则B=1,3,7,9，

4P(B)=1025；

C= 该数的立方后的最后两位数字都是1

一个正整数的立方的最后两位数字取决于该数的最后的两位数字，所以样本空间含有10个样本点。

则该数的最后一位数字必须是1，设最后的第二位数字是a,那么该数立方的最后两个数字为1和3a个个位数，要使3a的个位数为1，必须a=7，应而A包含

12的样本点只有71这一点，故P(C)=100。

3.概率的公理化定义

到二十世纪，概率论的各个领域已经得到了大量的成果，而人们对概率论在

其他基础学科和工程技术上的应用已出现了越来越大的兴趣，但是直到那时为止，关于概率论的一些基本概念如事件，概率却没有明确的定义，这是一个很大的矛盾，这个矛盾使人们对概率客观含义甚至相关的结论的可应用性都产生了怀疑，由此可以说明到那时为止，概率论作为一个数学分支来说，还缺乏严格的理论基础，这就大大妨碍了它的进一步发展。

十九世纪末以来，数学的各个分支广泛流传着一股公理化潮流，这个流派主长将假定公理化，其他结论则由它演绎导出，在这种背景下，1933年数学家柯尔莫哥洛夫在集合与测度论的基础上提出了概率的公理化定义这个结构综合了前人的结果，明确定义了基本概念，使概率论成为严谨的数学分支。对近几十年来概率论的迅速发展起了积极的作用，柯尔莫哥洛夫的公里已经广泛地被接受。

在公理化结构中，概率是针对事件定义，即对于事件域F中的每一个元素A有一个实数P（A）与之对应。一般的把这种从集合到实数的映射称为集合函数。因此，概率是定义在事件域F上的一个集合函数。此外在公理化结构中也规定概率应满足的性质，而不是具体给出它的计算公式或方法。

概率应具有什么样的性质呢？经过概率与频率之间的关系、古典概型，几何概型的分析可知，概率应具有非负性、规范性、可列可加性。

从而有如下定义：

定义：定义在事件域F上的一个集合函数P称为概率。如果它满足如下三个条件： 1．非负性：AF，P(A)0； 2．规范性：P()=1；

nn3．可列可加性：若概率的性质

AiF ，i1,2,且两两互不相容。有

P(Ai)i1=

P(A)ii1

由概率的非负性、规范性和可列可加性，可以得出概率的其他一些性质： 1）不可能事件的概率为0，即P（）=0； 2）概率具有有限可加性：即若AinnAj= （1ijn），

则

P(Ai)i1=

P(A)ii1；

3）对任一随机事件A，有 P（A）=1-P（A）； 4）若A B 则P(A-B)= P(A)-P(B)。证：

A B，则A=B+(A-B) 又BA(A-B)=

 P(A)=P(B)+P(A-B)

即 P(A-B)= P(A)-P(B) 推论1：若AB,则P(A)P(B)；推论2：对任一事件A,P(A)1；

推论3：对A，BF,则P(A-B)= P(A)-P(AB)。

5）对任意两个事件A、B，有P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB) 推论1：P(AB)P(A)+P(B)；

推论2：设A1，A2，An为n个随机事件，则有

nnnniP(Ai)i1=

i1AiP(A1ijnAj)P(A1ijkniAjAk)1n1nPAii1

此公式称为概率的一般加法公式。特别地：

P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)- P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)

n推论3：

P(Ai)i1P(A1)+P(A2)+P(A3)+„„ +P(An)。

从性质2可知，由可列可加性可以推出有限可加性，但是一般来说由有限可加性并不能推出可列可加性。

例1：设A，B互不相容，且P（A）=p，P（B）=q 试求P(AB),P(AB),P(AB),P(AB),P(AB) 解： P(AB)=P(A)+P(B)=p+q

P(AB)=P(A)=1-p P(AB)=0

P(AB)=P(B-A)= P(B)-P(AB)=q P(AB)=1- P(AB)=1-p-q

例2：设P（A）=p，P（B）=q，P(AB)=r，求P（AB）、P(AB)、P(AB) 。解： P（AB）=P（A）+P（B）-P（AB）=p+q-r

P(AB)=P(A)-P(AB)=p-(p+q-r)=r-q P(AB)=P(AB)=1-P(AB)=1-p-q+r

例3．设ABC为三个事件，且ABC。证明P（A）+P（B）-P（C）1 证： P（AB）=P（A）+P（B）-P（AB）

又ABC 所以P（AB）P（C）

所以P（A）+P（B）-P（C）P（AB）1

即P（A）+P（B）-P（C）1

11例4：设P（A）=P（B）=P（C）=8。P（AB）=4。P（BC）=P（AC）=0

求A，B，C至少有一个发生的概率。

解： P（ABC）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（BC）-P（AC）+P（ABC）

因为ABCBC 所以0P（ABC）P（BC）所以P（ABC）=0

从而P（ABC）=1/8+1/8+1/8-1/4=1/8

例5：设A，B，C为任意三个事件，证明P（AB）+P（AC）-P（BC）P（A）证： AA(BC)

所以P（A）P(A(BC))=P(ABAC) =P(AB)+P(AC)-P(ABC) 又P（ABC）P(BC)

所以P（AB）+P（AC）-P（BC）P（A）

二、条件概率 1.条件概率的概念

前面讨论了事件和概率这两个概念，对于给定的一个随机试验，要求出一个指定的随机事件AF 的概率P(A),需要花很大的力气，现在将讨论继续引入深入，设两个事件A，BF 则有加法公式 P（AB）=P（A）+P（B）-P（AB）。

特别地，当A，B为互不相容的两个事件时，有 P（AB）=P（A）+P（B）

此时有P（A）及P（B）即可求得 P（AB），但在一般情形下，为求得P（AB）还应该知道P（AB）。因而很自然要问，能不能通过P（A），P（B）求得P（AB），先看一个简单的例子。

例1．考虑有两个孩子的家庭，假定男女出生率一样，则两个孩子（依大小排列）的性别分别为（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）的可能性是一样的。

若记A=“随机抽取一个这样的家庭中有一男一女”，﹜

1则P（A）=2但如果我们事先知道这个家庭至少有一个女孩，则上述事件

2的概率为3。

这两种情况下算出的概率不同，这也很容易理解，因为在第二种情况下我们多知道了一个条件。记B=“这个家庭中至少有一个女孩”，因此我们算得的概率是“在已知事件B发生的条件下，事件A发生”的概率，这个概率称为条件概率，记为P（A|B）。

2243P(AB)P（A|B）=3=4=P(B)

这虽然是一个特殊的例子，但是容易验证对一般的古典概型，只要P（B）>0上述等式总是成立的，同样对几何概率上述关系式也成立。（1）条件概率的定义

定义1.若（,F,）是一个概率空间ＢF，且Ｐ（Ｂ）>0.

P(AB)对任意ＡF，称P（A|B）=P(B)为在已知事件Ｂ发生的条件下事件Ａ发生的条件概率。（２）性质

不难验证条件概率Ｐ(.|B)具有概率的三个基本性质１）２）３）

非负性：ＡF Ｐ（Ａ｜Ｂ）≥０规范性：Ｐ（｜Ｂ）＝１

可列可加性：AiF（i=1，2„„），且A1,A2„„互不相容，

PABi有i1i1PAiB

还可以验证下列等式成立： 4）P(

B)=0

(5)P(AB)=1- P(AB)

AB(6)P(A1A2B)=P(1)+P(A2B)-P(A1A2B)。

2.乘法公式

由条件概率的定义可知，当P(A)>0时 P(AB)= P(A)P(BA)

同理当P(B)>0时, P(AB)= P(B)P(AB) 这个公式称为乘法公式。

乘法公式可以推广到n个事件的情形，

P(A1A2An)=P(A1)P(A2A1)P(A3A1A2)P(AnA1A2...An1)

(

P(AnA1A2...An1)>0)

例2：甲、乙两市都位于长江下游，据一百多年来的气象记录，知道在一年中的雨天的比例甲市占20%，乙市占18%，两地同时下雨占12%。

记 A= 甲市出现雨天 B =乙市出现雨天

求：1）两市至少有一市是雨天的概率；

2）乙市出现雨天的条件下，甲市也出现雨天的概率； 3）甲市出现雨天的条件下，乙市也出现雨天的概率。解：1）P(AB)0.26

2）3）

P(AB)0.67P(BA)0.60

例3：（抽签问题）有一张电影票，7个人抓阄决定谁得到它，问第i个人抓到票的概率是多少？（i=1，2，„，7）解：设Ai=“第i个人抓到票”，（i=1，2，„，7）

PA117,PA67显然，

如果第二个人抓到票的话，必须第一个人没有抓到票。这就是说A2A1，所以A2A2A1

于是可以利用概率的乘法公式，因为在第一个人没有抓到票的情况下，第二个人有希望在剩下的6个阄中抓到电影票，

所以

PA2A116，

PA2PA2A1PA1PA2A1671617，

类似可得

PA3PA1A2A3PA1PA2A1PA3A1A267561517，

„

PA717。

3.性的概念（1）两个事件的性

例1、设袋中有五个球（三新两旧）每次从中取一个，有放回地取两次，记 A=｛第一次取得新球｝ B=｛第二次取得新球｝。求：P(A), P(B), P(B|A)。

333解：显然 P(A)=5 P(B)= 5 P(B|A)= 5

P(B|A)= P(B) 由此可得P(AB)= P(A) P(B)。

定义：设 A、B F,若P(AB)= P(A) P(B) 则称事件A、B是相互的，简称为的。

依这个定义，必然事件与不可能事件与任何事件都相互的，因为必然事件与不可能事件的发生与否，的确不受任何事件的影响，也不影响其它事件是否发生。

例2：分别掷两枚均匀的硬币，另A=｛硬币甲出现正面｝, B=｛硬币乙出现正面｝ ,验证事件A,B是相互的。

验证： Ω=｛（正、正）（正、反）（反、正）（反、反）｝

A=｛（正、正）（正、反）｝ B=｛（反、正）（正、正）｝

AB=｛（正、正）｝

11P(A)=P(B)=2 P(AB)= 4= P(A)P(B) 所以A、B是相互的。

实质上，在实际问题中，人们常用直觉来判断事件间的”相互”性，事实上，分别掷两枚硬币，硬币甲出现正面与否和硬币乙出现正面与否，相互之间没有影响，因而它们是相互的，当然有时直觉并不可靠。

例3：一个家庭中有男孩，又有女孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A=｛一个家庭中有男孩，又有女孩｝， B=｛一个家庭中最多有一个女孩｝对下述两种情形，讨论A和B的性。

1）家庭中有两个小孩； 2）家庭中有三个小孩。解：1）有两个小孩的家庭，这时样本空间为：

Ω=｛（男、男），（男、女），（女、男），（女、女）｝

A=｛（男、女），（女、男）｝

B=｛（男、男），（男、女），（女、男）｝ AB=｛（男、女），（女、男）｝

131于是P(A)=2, P(B)=4, P(AB)=2 由此可知P(AB)P(A) P(B) 所以 A与B 不。

2）有三个小孩的家庭，样本空间Ω=｛（男、男、男），（男、男、女），（男、女、男），（女、男、男）（男、女、女），（女、女、男），（女、男、女），（女、女、女）｝。

1由等可能性可知，这8个基本事件的概率都是8，这时A包含了6个基本事件，B包含了4个基本事件，AB包含了3个基本事件

36P(AB)=8 P(A)= 8344 P(B)=812

显然 P(AB)=P(A)P(B)，从而A与B相互。（2）多个事件的性；定义2、设三个事件A,B,C满足

P(AB)=P(A)P(B)

P(AC)=P(A)P(C) P(BC)=P(B)P(C)

P(ABC)=P(A)P(B) P(C) 称A,B,C相互。

由三个事件的性可知，若A、B、C两两相互，反之不一定成立。例4.一个均匀的正四面体，其第一面染成红色，第二面染成白色，第三面染成黑色第四面上同时染上红、黑、白三色，以A、B、C分别记投一次四面体，出现

2红、白、黑颜色的事件，则P(A)=P(B)=P(C)=41112,

P(AB)=P(BC)=P(AC)=4,P(ABC)=4,故A、B、C两两相互但不能推出P（ABC）=P（A）P（B）P（C）。

同样地，由P（ABC）=P（A）P（B）P（C）不能推出A、B、C两两相互。定义3.对n个事件A1,A2,，An若对于所有可能的组合1ijkn

有

P(AiAj)=

P(Ai)p(Aj)

P(AiAjAk)=

P(Ai)p(Aj)p(Ak) „„

P(A1A2An=P(A1)p(A2)p(An)

则称A1,A2An相互。

nn个事件相互，则必须满足2n1个等式。

显然n个事件相互，则它们中的任意m（2mn）个事件也相互。（3）性的性质

定理1四对事件{A、B}，{A,B}，{A，B}、{A、B}中有一对相互，则其它三对也相互。

定理2 设A1,A2,,An相互，则将其中任意m个（1mn）换成其对立事件，则所得n个事件也相互。特别地，若A1,A2An相互，则A1,A2,An也相互。（4）性的应用设A1,A2An相互，则

P(A1A2An)=

1-P(A1A2An)=1-P(A1A2An)=1-P(A1)P(A2)P(An)

这个公式比起的场合，要简便的多，它简便的多，它经常用的到。例6.假若每个人血清中含有肝炎病的概率为0.4%，混合100个人的血清，求此血清中含有肝炎病毒的概率？

解：设Ai={第I个人血清中含有肝炎病毒} i1,2,,100

可以认为A1,A2A100相互，所求的概率为

P(A1A2A100)=1-P(A1)P(A2)P(A100)=1-0.996100=0.33

虽然每个人有病毒的概率都是很小，但是混合后，则有很大的概率，在实际工作中，这类效应值得充分重视。

例7.张、王、赵三同学各自地去解一道数学题，他们的解出的概率为1/5，1/3，1/4，试求（1）恰有一人解出的概率；（2）难题被解出的概率。解：设Ai（i=1，2，3）分别表示张、王、赵三同学解出难题这三个事件，由题设知A1,A2,A3相互。

（1）令A={三人中恰有一人解出难题}

则A=A1A2A3A1A2A3A1A2A3

P(A)=

P(A1A2A3)=P(A1A2A3)=P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(A2)P(A3)+

1P(A1)P(A2)P(A3)=5(113)(114)(115)13(114)(115)(113)141330。

(2)令B={难题解出}

P(B)P(A1A2A3)=1-P(A1)P(A2)P(A3)=

1(115)(113)(114)35 。

三、全概率公式和贝叶斯公式 1.全概率公式

例4：有外形相同的球分别装两个袋子，设甲袋有6只白球，4只红球，乙袋中有3只白球6只红球，现在先从每袋中各任取一球再从取出的二球中任取一球，求此球是白球的概率。

解：令B= 最后取出的球是白球，

显然导致B发生的“原因”可能是取出的二球中有0只或1只或2只白球，

因此，如果令 Ai=先取出的二球有只白球  ，i=0，1，2

则B=BA0BA1BA2 由概率的有限可加性

P(B)=P (BA0)+ P(BA1)+ P(BA2) 在由乘法公式 P(B)= P (A0)P (

BA07)+ P(A1)P (

BAA2)P (BA2)=151)+ P(

上例中采用的方法是概率论中颇为有用的方法，为了求比较复杂事件的概率，往往可以先把它分解为两个（或若干个）互不相容的较简单的事件的并，求出这些较简单事件的概率，再利用加法公式，即的所要求的复杂事件的概率，将这中方法一般化便得到下述定理：

n定理1：设 B1,B2„„.是一列互不相容的事件，且有i1nBi=,对任何事件A，

有P(A)=

P(Bi1i)P(ABi)

证明：见书

例5：某工厂有四条生产线生产同一中产品，该四条流水线的产量分别占总产量的15%，20%，30%，35%，又这四条流水线的不合格品率为5%，4%，3%，及2%，现在从出厂的产品中任取一件，问恰好抽到不合格品的概率为多少？（0.0325）

一般地，能用全概率公式解决的问题都有以下特点：

１）该随机变量可以分为两步，第一步试验有若干个可能结果，在第一步试验结果的基础上，再进行第二次试验，又有若干个结果；

２）如果要求与第二步试验结果有关的概率，则用全概率公式。

例6：某保险公司认为，人可以分为两类，第一类是容易出事故的，另一类，则是比较谨慎，保险公司的统计数字表明，一个容易出事故的人在一年内出一次事故的概率为0.04，而对于比较谨慎的人这个概率为0.02，如果第一类人占总人数的30%，那么一客户在购买保险单后一年内出一次事故的概率为多少？（0.026）

已知一客户在购买保险单后一年内出一次事故，那么，他属于那一类型的人？

6P (

BA)= 13 ,P (

BA7)=13

A=客户购买保险单后一年内出一次事故 B= 他属于容易出事故的人 2.贝叶斯公式

在上面的计算中，事实上已经建立了一个极为有用的公式：定理2：若B1,B2„„.是一列互不相容的事件，且

n i1Bi=,P(Bi)>0, i1,2.......

P(Bi)P(ABi)则对任一事件A,P(A)>0有P (

BiA)=

P(Bj1j)P(ABj)

贝叶斯公式在概率论与数理统计中有着多方面的应用，假定B1,B2„„ 是导致试验结果的“原因”,P(Bi)称为先验概率，它反映了各种“原因”发生的可能性的大小，一般是以往经验的总结，在这次试验前已经知道，现在若试验产生了事件A，这个信息将有助与探讨事件发生的“原因”，条件概率

P(ABi)称为

后验概率，它反映了试验之后对各种“原因”发生的可能性大小的新知识，例如在医疗诊断中，有人为了诊断病人到底是患了B1,B2,中的那一种病，对病人进行观察与检查，确定了某个指标（譬如体温、脉搏、转氨酶含量等）他想用这类指标来帮助诊断，这时可以用贝叶斯公式来计算有关概率，首先必须确定先验概率P(Bi)这实际上是确定患各种疾病的大小，以往的资料可以给出一些初步数据（称为发病率），其次要确定验的医生

P(ABi)P(ABi)这当然要依靠医学知识，一般地，有经

BiA掌握得比较准，从概率论的角度P ()的概率较大，病人

患Bi种病的可能性较大，应多加考虑，在实际工作中检查指标A一般有多个，综合所有的后验概率，会对诊断有很大的帮助，在实现计算机自动诊断或辅助诊断中，这种方法是实用价值的。

例7：用甲胎蛋白法普查肝癌，令C=被检验者患肝癌

A=甲胎蛋白法检查结果为阳性

则 C= 被检验者未患肝癌

A甲胎蛋白法检查结果为阴性

C 由过去资料 P(A)=0.95, P(

AC)=0.90

又已知某地居民的肝癌发病率P(C)=0.0004，在普查中查出一批甲胎蛋白检查结果为阴性的人，求这批人中患有肝癌的概率P(CA)。解：由贝叶斯公式

P(C)P(AC)0.00040.95P (

CA)=

P(C)P(AC)P(C)P(AC)=0.00040.950.99960.10.0038

由此例可知道，经甲胎蛋白法检查结果为阳性的人群中，其实真正患肝癌的人还是很少的，（只占0.38%），把P(C|A)=0.0038和已知的P(A|C)=0.95及 P(=0.90对比一下是很有意思的。

因此，虽然检验法相当可靠，但是被诊断为肝癌的人确实患肝癌的可能性并不大。四、小结

掌握概率的3个定义，会用古典定义、概率的性质、条件概率、事件性以及全概率公式与贝叶斯公式求事件的概率。五、作业

教材第170页第3，4，5，6，7题

AC)

第九章含变化率的方程问题--微分方程浅说

§1 微分方程初识--一般概念

教学目的及要求：

使学生理解微分方程的有关概念即微分方程、微分方程的阶、微分方程的解（通解和特解）、初始条件、初值问题。重点：微分方程的解、通解和特解的概念难点：判断某函数是否是微分方程的解教学方法及手段：课堂讲授教学时数：2个学时教学过程：一、引例

函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映 利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究 因此如何寻找出所需要的函数关系 在实践中具有重要意义 在许多问题中 往往不能直接找出所需要的函数关系 但是根据问题所提供的情况 有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式 这样的关系就是所谓微分方程 微分方程建立以后 对它进行研究 找出未知函数来 这就是解微分方程本章主要介绍微分方程的一些基本概念和几种常用的微分方程的解法。

例1 一曲线通过点(1 2) 且在该曲线上任一点M(x y)处的切线的斜率为2x 求这曲线的方程

解设所求曲线的方程为yy(x) 根据导数的几何意义 可知未知函数

yy(x)应满足关系式(称为微分方程)

dydx2x (1)

此外 未知函数yy(x)还应满足下列条件

x1时 y2 简记为y|x12 (2) 把(1)式两端积分 得(称为微分方程的通解)

y2xdx 即yx2C (3) 其中C是任意常数

把条件“x1时 y2”代入(3)式 得 212C

由此定出C1 把C1代入(3)式 得所求曲线方程(称为微分方程满足条件

y|x12的解) yx21

例2 列车在平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶 当制动时列车获得加速度04m/s2 问开始制动后多少时间列车才能停住 以及列车在这段时间里行驶了多少路程?

解设列车在开始制动后t秒时行驶了s米 根据题意 反映制动阶段列车运动规律的函数ss(t)应满足关系式

d2sdt20.4 (4)

此外 未知函数ss(t)还应满足下列条件

t0时 s0 vdsdt20 简记为s|t0=0 s|t0=20 (5)

把(4)式两端积分一次 得

vdsdt0.4tC1 (6)

再积分一次 得

s02t2 C1t C2 (7) 这里C1 C2都是任意常数 把条件v|t020代入(6)得 20C1

把条件s|t00代入(7)得0C2 把C1 C2的值代入(6)及(7)式得

v04t 20 (8) s02t220t (9)

在(8)式中令v0 得到列车从开始制动到完全停住所需的时间 t200.450(s)

再把t50代入(9) 得到列车在制动阶段行驶的路程 s025022050500(m)

解设列车在开始制动后t秒时行驶了s米 s04 并且s|t0=0 s|t0=20 把等式s04两端积分一次 得

s04tC1 即v04tC1(C1是任意常数) 再积分一次 得

s02t2 C1t C2 (C1 C2都C1是任意常数)

由v|t020得20C1 于是v04t 20 由s|t00得0C2 于是s02t220t

令v0 得t50(s) 于是列车在制动阶段行驶的路程 s025022050500(m)

二、微分方程的基本概念

微分方程 表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程 叫微分方程

常微分方程 未知函数是一元函数的微分方程 叫常微分方程 偏微分方程 未知函数是多元函数的微分方程 叫偏微分方程

微分方程的阶 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数 叫微分方程的阶

x3 yx2 y4xy3x2 

y(4) 4y10y12y5ysin2x y(n) 10 一般n阶微分方程

F(x y y     y(n) )0 y(n)f(x y y     y(n1) ) 

微分方程的解 满足微分方程的函数(把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式)叫做该微分方程的解 确切地说 设函数y(x)在区间I上有n阶连续导数 如果在区间I上

F[x (x) (x)    (n)

(x)]0

那么函数y(x)就叫做微分方程F(x y y    y(n) )0在区间I上的解 通解 如果微分方程的解中含有任意常数 且任意常数的个数与微分方程的阶数相同 这样的解叫做微分方程的通解

初始条件 用于确定通解中任意常数的条件 称为初始条件 如 xx0 时 yy0  y y0  一般写成 yxx0y0  yxxy00 特解 确定了通解中的任意常数以后 就得到微分方程的特解 即不含任意常数的解

初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题 如求微分方程yf(x y)满足初始条件yxx0y0的解的问题 记为

yf(x,y)yxx0y0

积分曲线 微分方程的解的图形是一条曲线 叫做微分方程的积分曲线 例3 验证 函数

xC1cos ktC2 sin kt 是微分方程的解

解求所给函数的导数 dxkC1sinktkC2coskt

dtd2xk2x0 2dt

dtd2x222kCcosktkCsinktk(C1cosktC2sinkt) 12dt22x将d2及x的表达式代入所给方程 得

k2(C1cos ktC2sin kt) k2(C1cos ktC2sin kt)0 这表明函数xC1cosktC2sinkt 满足方程给方程的解

2x 例4 已知函数xC1cosktC2sinkt(k0)是微分方程d2k2x0的通解 求

d2xk2x0 因此所给函数是所2dtdt满足初始条件

x| t0 A x| t0 0 的特解

解由条件x| t0 A及xC1 cos ktC2 sin kt 得 C1A

再由条件x| t0 0 及x(t) kC1sin ktkC2cos kt 得 C20

把C1、C2的值代入xC1cos ktC2sin kt中 得 xAcos kt

三、小结

学习了关于微分方程的基本概念，深刻理解并掌握微分方程的解、通解和特解的概念。会判断某函数是否是某微分方程的解。

§2 特殊类型微分方程的解法—初等积分法

教学目的及要求：

1．理解变量可分离方程、齐次方程、一阶线性微分方程的概念； 2．掌握变量可分离方程的解法； 3. 掌握齐次方程的解法；

4．掌握一阶线性微分方程解法。重点：各种一阶微分方程的解法难点：一阶线性微分方程的解法教学方法及手段：课堂讲授教学时数：4个学时教学过程：

一、变量可分离方程 1.定义

称一阶微分方程

dydxf(x)g(y).

为可分离变量的微分方程，其中f(x),g(x)都是连续函数. 根据这种方程的特点，我们可通过积分来求解. 求解可分离变量的方程的方法称为分离变量法. 2.解法

第一步分离变量为

g(y)dyf(x)dx，

（即微分方程的一端只含y的函数和dy,另一端只含x的函数和dx）

第二步将上式两端积分，得 g(y)dyf(x)dx．

dyfxgy 设

G(y)、

F(x)分别为

g(y)、

f(x)的原函数，则得微分方程dx的通解为

G(y)F(x)C．

dyxy，分离变量，得

ydyxdx，

如求微分方程dx 两边积分 1yydyxdx12，

2 得 2 得到方程的通解二、齐次方程

1.定义

如果一阶微分方程

yf(x,y)()

xdydxf(x,y)2xC12，

xy2C （C2C1）。

中的函数f(x, y)可写成

yx的函数 即

则称这方程为齐次方程。

下列方程哪些是齐次方程？ (1)xyyydyyx0是齐次方程dx22y2x2xdyyy()21 dxxx (2)

dy1xy1y不是齐次方程dx221y21x2

dyx2y2dyxy (3)(xy)dxxydy0是齐次方程 dxxydxyx2

(4)(2xy4)dx(xy1)dy0不是齐次方程 (5)(2xshyx3ychyx)dx3xchyxdy2xy4dxxy1

dy0是齐次方程



dydx2xshyy3ychxxdy2thyy

ydx3xx3xchx 2.齐次方程的解法

在齐次方程

dxdyy()中 dxx令uyx 即yux 有

uxdu(u) 分离变量 得

dudx(u)ux

两端积分 得

dudx(u)ux

yx求出积分后 再用代替u 便得所给齐次方程的通解

dydxxydydx 例1 解方程y2x2 解原方程可写成



y2()dyy2x  dxxyx2y1x因此原方程是齐次方程 令u 则

xy yux 于是原方程变为

dydxuxdudx

2 uxduu

dxu1即 xduu

dxu1分离变量 得

(11)dudx

ux两边积分 得uln|u|Cln|x| 或写成ln|xu|uC 以

yx代上式中的u 便得所给方程的通解

yxC ln|y|

yxx2y2。 y 例2 解微分方程

解：整理得dxx(x)21 这是齐次方程 问题归结为解齐次方程

dyyy 60

dxxx()21dyyy

令xv 即xyv 得vydvvv21

ydy即 ydvv21

dy分离变量 得

dvv12dyy

yC两边积分 得 ln(vv21)lnylnC, vv21y2C2, (v)2v21,

Cy2yvC1

2以yvx代入上式 得y22C(xC) 

三、一阶线性微分方程 1.定义方程

dydxP(x)yQ(x)叫做一阶线性微分方程



如果Q(x)0  则方程称为齐次线性方程 否则方程称为非齐次线性方程 方程方程

下列方程各是什么类型方程？ (1)(x2)dydxydydxP(x)y0叫做对应于非齐次线性方程

dydxP(x)yQ(x)的齐次线性



dy1y0是齐次线性方程 dxx2 (2) 3x25x5y0y3x25x  是非齐次线性方程 (3) yy cos xesin x  是非齐次线性方程 (4)

dydx10xydy 不是线性方程

32dydx(y1)x3x0 (5)(y1) 不是线性方程 0或dydxx3dx(y1)22 2.齐次线性方程的解法齐次线性方程

dyydydxP(x)y0是变量可分离方程 分离变量后得

P(x)dx

两边积分 得

ln|y|P(x)dxC1 或 yCeP(x)dx (CeC)

1这就是齐次线性方程的通解（积分中不再加任意常数） 例1 求方程(x2)dydxy的通解

解这是齐次线性方程 分离变量得

dyydx x2两边积分得两边积分得

ln|y|ln|x2|lnC 方程的通解为 yC(x2) 3.非齐次线性方程的解法

将齐次线性方程通解中的常数换成x的未知函数u(x) 把 yu(x)eP(x)dx

设想成非齐次线性方程的通解 代入非齐次线性方程求得 u(x)eP(x)dxu(x)eP(x)dxP(x)P(x)u(x)eP(x)dxQ(x) 化简得 u(x)Q(x)eP(x)dx u(x)Q(x)eP(x)dxdxC

于是非齐次线性方程的通解为

P(x)dxP(x)dx[Q(x)edxC] yeP(x)dxP(x)dxP(x)dxdx eQ(x)e或 yCe非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程通解与非齐次线性方程的一个特解之和 例2 求方程

dydx2yx15(x1)2的通解

解这是一个非齐次线性方程 先求对应的齐次线性方程分离变量得

dydx2yx10的通解

dyy2dx x1两边积分得

ln y2ln (x1)ln C 齐次线性方程的通解为 yC(x1)2

用常数变易法 把C换成u 即令yu(x1)2 代入所给非齐次线性方程 得 u(x1)2u(x1)2u(x1)2(x1)2

x125

1u(x1)2

两边积分 得

u2(x1)2C

3再把上式代入yu(x1)2中 即得所求方程的通解为 y(x1)[2(x1)2C]

3233 解

这里P(x)2 Q(x)(x1)2x1x15

因为 P(x)dx(2)dx2ln(x1)  eP(x)dxe2lnx(1)(x1)2

P(x)dx2 Q(x)edx(x1)2(x1)2dx(x1)2dx(x1)2

3513所以通解为 yeP(x)dxP(x)dx2[Q(x)edxC](x1)2[(x1)2C]

33 四、小结

学习了各种一阶微分方程的定义及其解法，会判断微分方程的类型，并会用相应的解法求方程的通解。五、作业

教材第215页第1（1）（3）题；第2（2）题；第3（1），（2）题；第4（2）（3）题；第5，6题。

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