1. 每幅图的圆点总数都可以看作是两个相同的数相乘的积，这些算式还可以用平方数的形式来表示。
1＋3=2，1＋3＋5=3，1＋3＋5＋7=4
得出：从1起连续奇数的和等于奇数个数的平方。
【例1】（2022秋•汝州市校级期中）找规律，再接着画5个图形。
【分析】观察可得排列规律是，从左往右1三角形1长方形1圆；2三角形1长方形1圆，3三角形1长方形1圆，……每一组的三角形依次增加1个，长方形和圆的个数是1个不变。 【解答】解：
【点评】仔细观察，比较总结出规律是解决本题的关键。 【例2】．（2022秋•汉川市期中）
2
2
2
（1）用同样大小的黑色棋子按如图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子 枚。（用含n的代数式表示） （2）用第（1）题中的式子计算第22个图形中有多少枚黑色棋子。
【分析】解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论。 【解答】解：（1）第一个图需棋子4枚
第二个图需棋子4+3＝7（枚） 第三个图需棋子4+3+3＝10（枚）
第n个图需棋子4+3（n﹣1）＝（3n+1）（枚）。 （2）3×22+1 ＝66+1 ＝67（枚）
答：第22个图形中有67枚黑色棋子。
【点评】以题考查了常量与变量，主要培养学生的观察能力和空间想象能力。 【例3】（2021秋•沧州期末）某体育馆用大小相同的正方形木块铺地面，第一次铺2块（如图①）；以后每次都把前面一次铺的完全围起来（如图②、图③），以此类推。
（1）铺了五次后一共用了多少块木块？ （2）铺了10次后一共用了多少块木块？
【分析】首先结合题意，对于每一次拼出的图中长方形个数以列式的形式统计：①1×2；②③⑤（1+2）×（2+2）；（1+2×2）×（2+2×2）；……，（1+2×4）×（2+2×4）；……；⑩（1+2×9）×（2+2×9），据此答题即可。 【解答】解：（1）2×5×（2×5﹣1） ＝10×9 ＝90（块）
答：铺了五次后一共用了90块木块。 （2）2×10×（2×10﹣1） ＝2×10×19 ＝380（块）
铺了10次后一共用了380块木块。
【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。
2. 从2起连续偶数的和等于偶数个数的平方加偶数个数，即（n＋n），或等于偶个数乘比偶数个数大1的数，即n×（n＋1）。
【例4】（2020秋•马山县期中）请把你猜想的结果填在横线上． 9×6＝54； 99×96＝9504； 999×996＝995004； 9999×9996＝ ； 99999×99996＝ ．
【分析】首先计算出99乘96得到9504，999乘996得到995004，则发现规律：两个因数每增加一个9，则结果相应的前面增加一个9，中间增加一个0；照此规律，依次写出，即可得解．
【解答】解：9×6＝54， 99×96＝9504， 999×996＝995004， 9999×9996＝99950004， 99999×99996＝9999500004， 故答案为：99950004，9999500004．
【点评】认真观察，找出规律是解决此题的关键． 【例5】（2022•杭州模拟）按规律填。
2
【分析】上面一行图形每3个一循环，按正方形、圆、星星的顺序排列； 下面一组数左下的数加上面的数等于右下的数。 【解答】解：如图：
【点评】通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力。
【例6】（2022•杭州模拟）选取5个不相同的数字，先组成最大的五位数和最小的五位数，再计算出它们的差。如： 54321﹣12345＝
98765﹣56789＝
65432﹣23456＝
75432﹣23457＝
照样子再写三组，算一算，你能发现什么规律？
我的发现 。 【分析】任意选择5个不同的数字，先按照从大到小的顺序放在高位，组成一个最大的五位数。再按照从小到大的顺序放在低位，组成一个最小的五位数。再用最大的五位数减去最小的五位数求出差，观察所得的差，找出规律即可。 【解答】解：54321﹣12345＝41976 98765﹣56789＝41976 65432﹣23456＝41976 75432﹣23457＝51975 87654﹣45678＝41976 75321﹣12357＝62964 64321﹣12346＝51975
我发现，差的万位和个位上的数字和都是10，千位和十位上的数字都是8，百位上的数字都是9。（答案不唯一）
故答案为：差的万位和个位上的数字和都是10，千位和十位上的数字都是8，百位上的数字都是9。
【点评】本题关键是写出最大和最小的数以及找出规律。在数的组成上，要使数最大，大数字要放到高位上，反之，大数字要放到低位上。找规律时，可以尝试找差中各个数字之间的关系，也可以找出差与被减数、减数之间的关系。
一．选择题（共8小题）
1．（2018•长沙）将化成小数后，小数点后第2013位上的数字是（ ） A．2
B．4
C．3
D．8
2．（2015秋•昆明期中）循环小数5.6767…的小数部分第五十位上的数字是（ ） A．6
B．7
C．5
3．（2016•广州）一列数1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…中的第34个数为（ ） A．6
B．7
C．8
D．9
4．（2021春•宁化县期末）找规律7、13、19、25、（ ） A．13
B．31
C．29
5．（2021秋•秦淮区期末）四个杯子叠起来高20cm，六个杯子叠起来是26cm。n个杯子叠起来的高度可以用下面（ ）个关系式来表示。
A．6n﹣10 B．3n+11 C．6n﹣4 D．3（n﹣1）+11
6．（2021秋•西城区期末）3×0.5＝1.5 3.3×3.5＝11.55 3.33×33.5＝111.555 ……
_______＝111111.555555
按照上面的规律，横线上应填（ ） A．3.3333×3333.5 C．3.33333×33333.5
7．（2021秋•舞钢市期末）根据规律算一算： 2+4＝2×3 2+4+6＝3×4 2+4+6+8＝4×5 ……
2+4+6+……+20＝（ ）
B．3.33333×333333.5 D．3333.3×33333.5
A．7×8 B．8×9 C．9×10 D．10×11
8．（2021秋•铁西区期末）仔细分析，第7个图形一共有（ ）个小三角形。
A．25 B．49 C．64 D．36
二．填空题（共8小题）
9．（2021秋•镇安县期末）按规律填数：4，2，1，， ．
10．（2022春•沭阳县期中）一只小猫吃一条鱼用4分钟，10只小猫同时吃鱼，每只小猫吃一条，需要 分钟。
11．（2022•武昌区）如图，用小棒摆小鱼图案，照这样的规律摆下去，摆到第7个图案需要 根小棒。
12．（2022•临县）如图是用黑棋子摆成的“T”自字形。摆成第1个“T”字形需要5枚黑棋子，摆成第2个“T”字形需要8枚黑棋子，摆成第3个“T”字形需要11枚黑棋子，…，照这样摆下去，摆成第6个“T”字形需要 枚黑棋子，摆成第 个“T”字形需要50枚黑棋子。
13．（2021秋•尚义县期末）已知1÷9＝0.，2÷9＝0.，3÷9＝0.，那么下面算式的横线上应填什么？ ÷9＝0. ÷9＝0.
14．（2021秋•蠡县期末）请找出规律了，再按规律填数．
6.25、2.5、1、 、0.16、 ． 15．（2022•九江）将
化成小数后，小数点后第1980位上的数字是 ．
16．（2021秋•虎林市期末）根据81÷9＝9、88.2÷9＝9.8、88.83÷9＝9.87、88.884÷9＝9.876、88.88886÷9＝ 。 三．判断题（共5小题）
17．算式：9×6＝54，99×96＝9504。通过这两个算式不用计算就可以得出999×996的积。 （判断对错）
18．（2019春•铁西区期末）按照规律填数：1，2，4，7，11，（ ）。括号里应该填16。 （判断对错）
19．（2021秋•陵城区期中）1除以111的商的小数部分第15位数字是0 ．（判断对错） 20．
．
21．（2018秋•和平区期末）如图这样放三角形积木，如果最下层放19块积木，共需放72块积木。 （判断对错）
四．应用题（共7小题）
22．（2021春•富阳区期中）工人叔叔要堆放木材，如果最上面一层放1根，第二层放2根，第三层放3根，按这样的规律，这堆木材一共有20层，一共有多少根木材？ 23．按照前两组的规律填数，你知道第三组的“？”处应该填几吗？
24．在计算一个数与15相乘时，有一种简便的算法﹣﹣“加半添0”法．例如，计算24×15，先用24的一半（即12）与24相加，得36；再在36的末尾添一个0，得360．你能
用这种方法计算下面各题吗？ 26×15 28×15 32×15 48×15
25．1、4、7、10、13、…这个数列中，有6个连续数字的和是159，那么这6个数中最小的是几？
26．有一本漫画书共27页，插图和文字按页排列为文、文、图、图、图、文、文、图、图、图、文……照这样计算，这本书共有多少页插图？
27．（2021秋•泰宁县期末）把一些同样大小的圆柱形物体分别捆成如图（从底面方向看）的形状，图中每个圆的直径都为3厘米。
（1）像这样继续捆下去，第④组至少需要 cm的绳子。请说明理由。 （2）按照这样的方法继续捆下去，捆n组至少需要 cm的绳子。 28．根据如图箭头所示的方向和图中的数字写出88与98之间的数字是多少？
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．【分析】先把化成小数，＝0.4285，它每6个数字一个循环，用2013除以6，再根据它的商和余数确定2013位上的数．
【解答】解：＝0.4285，它每6个数字一个循环：1、4、2、8、5、7； 2013÷6＝335…3
余数是3，所以小数点后第2013位上的数字是2； 故选：A．
【点评】本题的关键是把化成小数后，再根据它的小数部分循环节的位数，去除2013，然后再根据商和余数确定第2013位上的数字是几． 2．【分析】循环小数5.6767…的小数部分0.
的循环节，即一个6一个7，第1、3、5、7…
奇数位上是6，第2、4、6、8…偶数位上是7，第50位上是偶数位，所以是数字7． 【解答】解：循环小数5.6767…的小数部分第五十位上的数字是7； 故选：B．
【点评】观察循环小数的特点，找到规律，然后求解．
3．【分析】从这组数可以得出规律，当数为n时，则共有n个n，所以第35个数为n，则1+2+3+…+n﹣1＜34＜1+2+3+…+n，可以求出n
【解答】解：根据规律，设第34个数为n，则1+2+3+…+n﹣1＜34＜1+2+3+…+n， 所以所以n＝8． 故选：C．
【点评】通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．
4．【分析】查看7、13、19、25……发现规律，后一项比前一项多6。据此答题即可。 【解答】解：经分析得： 25+6＝31
则得出：7、13、19、25、31。 故选：B。
＜34＜
；
【点评】本题考查数中的找规律问题。找到共同特征解决问题即可。
5．【分析】因为四个杯子叠起来高20cm，六个杯子叠起来是26cm，第一个杯口到第二杯口之间的高度为（26﹣20）÷2＝3（cm），所以一个杯子从杯底到杯口的高度为20﹣3×3＝11（cm），所以n个杯子叠起来的高度为（n﹣1）个第一个杯口到第二杯口之间的高度加上一个杯身的高度，即[3（n﹣1）+11]（cm）。 【解答】解：（26﹣20）÷2＝3（cm）， 20﹣3×3＝11（cm），
n个杯子叠起来的高度可以用[3（n﹣1）+11]cm来表示。 故选：D。
【点评】本题考查数和形中的找规律问题。找到共同特征解决问题即可。
6．【分析】第一个因数的整数部分是3，小数部分3的个数与第二个因数整数部分3的个数，以及积的整数部分的1的个数相同。积的小数部分5的个数比整数部分1的个数多1。据此解答。
【解答】解：3.33333×33333.5＝11111.555555 故选：C。
【点评】本题主要考查“式”的规律，发现式子中3，1，5的个数之间的关系是解本题的关键。
7．【分析】首先观察并发现规律，然后结合规律写出最终结果，选出答案即可。结合2+4＝2×3，2+4+6＝3×4，2+4+6+8＝4×5发现规律：有几个数相加，则结果的第一个乘数2+4+6+……+20一共有10个数相加，就为几，第二个乘数为几加一；则结果为10×（10+1）＝10×11。
【解答】解：2+4＝2×3， 2+4+6＝3×4， 2+4+6+8＝4×5 ……
2+4+6+……+20 ＝10×（10+1） ＝10×11 故选：D。
【点评】本题考查式中的规律。找到共同特征解决问题即可。
8．【分析】第一个图中有1个小三角形，1＝1×1， 第二个图形有4个小三角形，4＝2×2， 第三个图形有9个小三角形，9＝3×3， 第四个图形中有16个小三角形，16＝4×4， ……
第7个图形中小三角形的个数为：7×7。 【解答】解：7×7＝49（个）
答：第7个图形一共由49个小三角形组成。 故选：B。
【点评】本题主要考查数与形结合的规律，找到图形与小三角形个数之间的关系是解本题的关键。
二．填空题（共8小题）
9．【分析】由所给数列的数得出：依次除以2，据此解答即可． 【解答】解：由分析得出：4、2、1、、． 故答案为：．
【点评】解决本题的关键是找出规律，根据规律写数．
10．【分析】一只小猫吃一条鱼用4分钟，10只小猫同时吃，每只小猫吃一条；由于是同时吃的，所以需要的时间与一只小猫吃鱼的时间相等。据此解答。
【解答】解：一只小猫吃一条鱼用4分钟，10只小猫同时吃鱼，每只小猫吃一条，需要4分钟。 故答案为：4。
【点评】解答本题的关键是理解“同时吃鱼”的意思。 11．【分析】摆第1个图案需要8根小棒，即6×1+2； 摆第2个图案需要14根小棒，即6×2+2； 摆第3个图案需要20根小棒，即6×3+2； ……
摆第7个图案需要的小棒数为：6×7+2。 【解答】解：6×7+2 ＝42+2
＝44（根）
答：摆到第7个图案需要44根小棒。 故答案为：44。
【点评】本题主要考查数与形结合的规律，发现每多1个图案就多6根小棒是解本题的关键。
12．【分析】摆成第1个“T”字形需要5枚黑棋子，即3×1+2； 摆成第2个“T”字形需要8枚黑棋子，即3×2+2； 摆成第3个“T”字形需要11枚黑棋子，即3×3+2； ……
摆成第n个“T”字形需要的黑棋子个数为：3n+2。
【解答】解：由分析可知，摆成第n个“T”字形需要的黑棋子个数为：3n+2。 当n＝6时， 3×6+2 ＝18+2 ＝20（个） 3n+2＝50 3n＝48 n＝16
答：摆成第6个“T”字形需要20枚黑棋子，摆成第16个“T”字形需要50枚黑棋子。故答案为：20，16。
【点评】本题主要考查数与形结合的规律，发现每多1个“T”字形就多3枚黑棋子是解本题的关键。
13．【分析】看清题目，理解题目的意思，从题目中可以看出要知道1÷9＝0.，2÷9＝0.，3÷9＝0.，根据这个规律可以直接解答，注意解答的准确性，最后检查。 【解答】解：5÷9＝0.， 8÷9＝0. 故答案为：5，8。
【点评】主要考查应用规律解决实际问题的能力，解决问题的关键是要知道算式中的规
律，根据这个规律可以直接解答，注意解答的准确性，最后检查。
14．【分析】根据已知的三个数可得排列规律：从6.25开始每次缩小2.5倍；据此解答． 【解答】解：1÷2.5＝0.4，
0.4÷2.5＝0.16， 0.16÷2.5＝0.064；
故答案为：0.4，0.064．
【点评】数列中的规律：关键是根据已知的式子或数得出前后算式或前后数之间的变化关系和规律，然后再利用这个变化规律再回到问题中去解决问题． 15．【分析】先把
化成小数，
＝＝0.4285，它每6个数字一个循环，用1980除
以6，再根据它的商和余数确定1980位上的数． 【解答】解：1980÷6＝330
因1980正好能被6整除，所以小数点右第1980位上的数字是7． 故答案为：7．
【点评】本题的关键是把分数化成小数后，再根据它的小数部分循环节的位数，化成周期性问题，然后再根据商和余数确定第198位上的数字是几． 16．【分析】除法运算中，除数不变，被除数增加，商增大。 从题中可以看出，从上到下，除数都是9；
被除数的整数部分都是两位，被除数的末位依次是1、2、3……，按次序递增1，其余数字均为8，末位是几，被除数中就有几个8；
商的整数部分都是9，商的末位依次是9、8、7……按次序递减1，被除数的末位数字与商的末位数字之和为10。
88.2÷9＝9.8、88.83÷9＝9.87、88.884÷9＝9.876、88.88886【解答】解：根据81÷9＝9、÷9＝9.87654。 故答案为：9.87654。
【点评】本题主要考查“式”的规律，发现式子中被除数，除数，商之间的关系是解本题的关键。
＝＝0.4285，它每6个数字一个循环，
三．判断题（共5小题）
17．【分析】算式：9×6＝54，99×96＝9504。规律还没有成型，所以无法判断999×996的积。据此答题即可。 【解答】解：经分析得：
结合算式9×6＝54，99×96＝9504还无法判断出规律。故无法通过这两个算式不用计算就可以得出999×996的积。 故题干说法错误。 故答案为：×。
【点评】本题考查式中的找规律问题。无法找到共同特征，则无法结合规律解题。 18．【分析】从题干中的数列发现：从第一个数起，相邻两数之间依次加上1，2，3，4，……据此解答。
【解答】解：11+5＝16 所以原说法正确。 故答案为：√。
【点评】本题的关键是根据给出的数列，找出数与数之间的关系，总结规律，再由规律解决问题。
19．【分析】先求出1除以111的商，看它的循环节是几位数，再根据“周期”问题，用15除以循环节的位数，如果能整除，则是循环节的末位上的数字，如果不能整除，余数是几，计算循环节的第几位上的数字．由此解答．
【解答】解：1÷111＝0.009009…，循环节是009，三位，15÷3＝5，所以商的小数部分第15位数字是9． 故答案为：×．
【点评】此题主要考查算术中的规律，以及根据“周期问题”判断循环小数的某一位上数字是几的方法．
20．【分析】按前三组图形的排列规律，是正方形、三角形、圆；第四组排列应是正方形、三角形、圆．
【解答】解；按前三组图形的排列规律，是正方形、三角形、圆； 第四组排列应是正方形、三角形、圆，而它的排列是三角形、正方形、圆． 故答案为：×．
【点评】此题考查了数与形结合的规律，注意发现规律，利用规律解决问题．
21．【分析】图1：1+3＝4；图2：1+3+5＝9；图3：1+3+5+7＝16。结合规律可知：如果最下层放19块积木，共需放积木的块数为：1+3+5+……+19＝（1+19）×19÷2，计算出结果判断即可。
【解答】解：1+3+5+……+19 ＝（1+19）×19÷2 ＝20÷2×19 ＝10×19 ＝190
故答案为：×。
【点评】本题考查数和形中的找规律问题。找到共同特征解决问题即可。 四．应用题（共7小题）
22．【分析】因为每一层都比上一层多1根，这堆木材形似梯形，上底为1，下底为20，高为20，利用梯形面积＝（上底+下底）×高÷2可求出这堆木材的根数。 【解答】解：（1+20）×20÷2 ＝21×20÷2 ＝420÷2 ＝210（根）
答：一共有210根木材。
【点评】此题重点考查利用梯形面积公式求等差数列的和。
23．【分析】左下角、右下角以及中间这三个数的和等于最上面那个数，据此求解即可。 【解答】解：35+18+30 ＝53+30 ＝83
【点评】解答此题的关键是，根据所给出的数列的数的特点，找出规律，再根据规律解决问题。
24．【分析】根据巧算的方法：“加半添0”法解答即可．
【解答】解：26÷2+26＝39 所以26×15＝390
28÷2+28＝42 所以28×15＝420
32÷2+32＝48 所以32×15＝480
48÷2+48＝72 所以48×15＝720
【点评】解答此题的关键是找出算式之间数与数的关系，得出规律，再根据规律解决问题．
25．【分析】据题意可知，这个数列是公差为3的等差数列，由此可设这6个数中最小的数6，为x，则后边5个数与第一个数的差分别为3，…15，又因为有6个连续数的和是159，据此可得等量关系式：x+（x+3）+…+（x+15）＝159，解此方程即得这6个数中最小的是多少．
【解答】解：设这6个数中最小的数为x，据题意可得方程： x+（x+3）+…+（x+15）＝159 6x+（3+6+…+15）＝159 6x+45＝159 6x＝114 x＝19 答：这6个数中最小的是19．
【点评】根据数列的排列规律及已知条件列出等量关系式是完成本题的关键． 26．【分析】因为插图和文字按页排列为文、文、图、图、图、文、文、图、图、图、文……所以，可知显示出周期循环的特点，按照文、文、图、图、图5页一个循环。27中有5个循环，剩下的第26，27页分别是文、文。据此答题即可。 【解答】解：经分析得： 27÷5＝5……2
5×3＝15（页）
答：这本书共有15页插图。
【点评】本题考查简单周期问题。结合发现的规律，利用带余除法解决问题即可。 27．【分析】（1）通过观察可以发现：第①组绳子的长度等于一个圆的周长加4条直径的长度；第②组绳子长度等于一个圆的周长加8条直径的长度；第③组绳子长度等于一个圆的周长加12条直径的长度；第④组绳子长度等于一个圆的周长加16条直径的长度。 （2）第n组绳子长度等于一个圆的周长加4n条直径的长度。 【解答】解：（1）3×3.14+3×16 ＝9.42+48 ＝57.42（厘米）
答：第4组至少需要57.42厘米。 （2）3×3.14+3×4n ＝9.42+12n
答：捆n组至少需要（9.42+12n）cm的绳子。 故答案为：57.42，（9.42+12n）。
【点评】解答此题的关键是弄清每一组中的绳子长度是由一个圆的周长加几个直径组成。直径的数量结合图形数一数可得出。
28．86，【分析】本题考查的是数学中找规律问题将题中图旋转180°可以得到以下数字：？，88，89，90，91。由此可知每个数字依次增加1。据此解答。 【解答】解：86+1＝87 答：88与98之间的数字是87。
【点评】本题考查的是数学中找规律问题，能够想到图旋转180°是解本题的关键。
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