高中物理专题练习万有引力与航天

万有引力定律及其应用 (考纲要求 Ⅱ) 1.内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的平方成反比．

m1m2

2．表达式：F＝Gr2 G为引力常量：G＝6.67×10－11 N·m2/kg2. 3．适用条件

(1)公式适用于质点间的相互作用．当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点．

(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离． 判断正误，正确的划“√”，错误的划“×”．

m1m2

(1)地面上的物体所受地球引力的大小均由F＝Gr2决定，其方向总是指向地心．( )

(2)只有天体之间才存在万有引力．( )

Mm(3)只要已知两个物体的质量和两个物体之间的距离，就可以由F＝GR2计算物体间的万有引力．( )

(4)当两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大．( ) 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)×

1.第一宇宙速度又叫环绕速度． 2．第一宇宙速度是人造地球卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度．

3．第一宇宙速度是人造卫星的最大环绕速度，也是人造地球卫星的最小发射速度．

环绕速度 (考纲要求 Ⅱ) 4．第一宇宙速度的计算方法． v2Mm

(1)由GR2＝mR得v＝v2

(2)由mg＝mR得v＝gR.

第二宇宙速度和第三宇宙速度 (考纲要求 Ⅰ ) GMR. 1.第二宇宙速度(脱离速度)：v2＝11.2 km/s，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度．

2．第三宇宙速度(逃逸速度)：v3＝16.7 km/s，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度．

判断正误，正确的划“√”，错误的划“×”．

(1)第一宇宙速度是人造地球卫星的最小发射速度，也是贴近地面运行的卫星的运行速度，即人造地球卫星的最大运行速度．( )

(2)第一宇宙速度与地球的质量有关．( )

(3)地球同步卫星的运行速度大于第一宇宙速度．( )

(4)若物体的发射速度大于第二宇宙速度，小于第三宇宙速度，则物体可以绕太阳运行．( )

答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)√

1.经典时空观 (1)在经典力学中，物体的质量是不随运动状态而改变的．

(2)在经典力学中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是相同的．

2．相对论时空观

(1)在狭义相对论中，物体的质量是随物体运动速度的增大而增大的，用公式表示为m＝

m0v21－c2 .

经典时空观和相对论时空观 (考纲要求 Ⅰ ) (2)在狭义相对论中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是不同的．

3．狭义相对论的两条基本假设

(1)相对性原理：在不同的惯性参考系中，一切物理规律都是不同的． (2)光速不变原理：不管在哪个惯性系中，测得的真空中的光速都是不变的．

基 础 自 测

1．(单选)关于地球的第一宇宙速度，下列表述正确的是( )． A．第一宇宙速度又叫环绕速度 B．第一宇宙速度又叫脱离速度 C．第一宇宙速度跟地球的质量无关 D．第一宇宙速度跟地球的半径无关

v2mM

解析 第一宇宙速度又叫环绕速度A对，B错．根据定义有GR2＝mR得v＝GM

R可知与地球的质量和半径都有关．C、D错． 答案 A

m1m22．(单选)关于万有引力公式F＝Gr2，以下说法中正确的是( )． A．公式只适用于星球之间的引力计算，不适用于质量较小的物体 B．当两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大 C．两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律 D．公式中引力常量G的值是牛顿规定的

m1m2

解析 万有引力公式F＝Gr2，虽然是牛顿由天体的运动规律得出的，但牛顿又将它推广到了宇宙中的任何物体，适用于计算任何两个质点间的引力．当两个物体的距离趋近于0时，两个物体就不能视为质点了，万有引力公式不再适用．两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律．公式中引力常量G的值，是卡文迪许在实验室里实验测定的，而不是人为规定的．故正确答案为C.

答案 C

3．(多选)关于公式m＝

m0，下列说法中正确的是( )．

v21－c2A．公式中的m0是物体以速度v运动时的质量

B．当物体的运动速度v>0时，物体的质量m>m0，即物体的质量改变了，故经典力学不适用，是不正确的

C．当物体以较小速度运动时，质量变化十分微弱，经典力学理论仍然适用，只有当物体以接近光速运动时，质量变化才明显，故经典力学适用于低速运动，而不适用于高速运动

D．通常由于物体的运动速度太小，故质量的变化引不起我们的感觉．在分析地球上物体的运动时，不必考虑质量的变化

解析 公式中的m0是物体静止时的质量，m是物体以速度v运动时的质量，故A错误；由公式可知，只有当v接近光速时，物体的质量变化才明显，一般情况下物体的质量变化十分微小，故经典力学仍然适用，B错误，C、D正确．

答案 CD

4．(2013·深圳第一次调研)(多选)在地球的圆形同步轨道上有某一卫星正在运行，则下列正确的是( )．

A．卫星的重力小于在地球表面时受到的重力 B．卫星处于完全失重状态，所受重力为零 C．卫星离地面的高度是一个定值 D．卫星相对地面静止，处于平衡状态

解析 在地球的圆形同步轨道上的卫星处于完全失重状态但所受重力不为零，且小于在地面时受到的重力，A正确，B错误；同步卫星离地面的高度是一个定值，相对于地面静止，做匀速圆周运动，这不是平衡状态，C正确，D错误．

答案 AC

5．(单选)随着“神舟十号”与“天宫一号”成功“牵手”及“嫦娥”系列月球卫星技术的成熟，我国将于2020年前发射月球登陆器，采集月球表面的一些样本后返回地球，为中国人登陆月球积累实验数据．月球登陆器返回时，先由月球表面发射后绕月球在近月圆轨道上飞行，经轨道调整后与停留在较高轨道的轨道舱对接，对接完成后再经加速脱离月球飞回地球，下列关于此过程的描述中正确的是( )．

A．登陆器在近月圆轨道上运行的速度必须大于月球第一宇宙速度 B．登陆器与轨道舱对接后的运行周期小于对接前登陆器的运行周期 C．登陆器与轨道舱对接后必须加速到等于或大于月球第二宇宙速度才可以

返回地球

D．登陆器与轨道舱对接时登陆器的速度大于其在近月轨道上的运行速度 解析 由万有引力定律和牛顿第二定律可得卫星的运行速度v＝

GMr，当

r＝R(R为月球半径)时其值等于月球的第一宇宙速度，近月轨道半径稍大于月球半径R，因此登陆器的速度稍小于月球的第一宇宙速度，A错；登陆器与轨道舱对接后仍在较高轨道上运行，由T＝2πr3GM可知周期大于对接前登陆器的周期，

B项错；对登陆器来说，月球是它的中心天体，因此登陆器脱离月球的最小速度为月球的第二宇宙速度，C正确；对接时登陆器上升到较高轨道，速度小于在近月轨道上的速度，D错．

答案 C

热点一 星体表面上的重力加速度问题

计算重力加速度的方法 (1)在地球表面附近的重力加速度g (不考虑地球自转)： mMGMmg＝GR2，得g＝R2 (2)在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度为g′， mg′＝

GmMGM

，得，g′＝ R＋h2R＋h22

R＋hg

所以＝

R2g′

(3)其他星球上的物体，可参考地球上的情况做相应分析．

【典例1】 为了实现人类登陆火星的梦想，近期我国宇航员王跃与俄罗斯1

宇航员一起进行“模拟登火星”实验活动．已知火星半径是地球半径的2，质量1

是地球质量的9，自转周期也基本相同．地球表面重力加速度是g，若王跃在地

面上能向上跳起的最大高度是h，在忽略自转影响的条件下，下述分析正确的是( )．

4

A．王跃在火星表面受的万有引力是在地球表面受万有引力的9 2

B．火星表面的重力加速度是3g

2

C．火星第一宇宙速度是地球第一宇宙速度的3

3

D．王跃以相同的初速度在火星上起跳时，可跳的最大高度是2h

解析 当我国宇航员王跃在地球表面时，根据万有引力定律及牛顿第二定律GM′mmv2GMm

可得r2＝mg＝ma＝r，同理可得王跃在火星表面时F万′＝＝mg′

r′2mv′2

＝ma′＝，可得王跃在火星表面受的万有引力是在地球表面受万有引力的

r′44，A项对；火星表面的重力加速度是g′＝B项错；火星的第一宇宙速度v′99g，＝

M′r2

v＝3v，故C项对；由0－v2＝－2gh可得王跃以相同的初速度在火Mr′

g9

星上起跳时，可跳的最大高度h′＝h＝4h，D项错．

g′

答案 AC

【跟踪短训】

1．有一星球的密度跟地球密度相同，但它表面处的重力加速度是地球表面处重力加速度的4倍，则该星球的质量将是地球质量的(忽略其自转影响)( )．

1

A.4 C．16倍

B．4倍 D．64倍

GM3M9g3

解析 天体表面的重力加速度：g＝R2，又知ρ＝4πR3，所以M＝16π2ρ2G3，M星g星

故＝3＝64. M地g地

答案 D

热点二 天体质量和密度的估算

1．天体质量及密度的估算 (1)天体质量的估算：

Mm2π①已知天体做匀速圆周运动的轨道半径和周期，由Gr2＝mT2r得M＝

4π2r3

GT2，只能用来求中心天体的质量．

MmR2g

②已知天体表面重力加速度、天体半径和引力常量，由mg＝GR2得M＝G. (2)天体密度估算一般在质量估算的基础上，利用 4

M＝ρ×3πR3进行．

2．估算天体问题应注意三点

(1)天体质量估算中常有隐含条件，如地球的自转周期为24 h，公转周期为365天等．

(2)注意黄金代换式GM＝gR2的应用． 3π

(3)注意密度公式ρ＝GT2的理解和应用．

【典例2】 (2013·大纲，18)“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度为200 km的圆形轨道上运行，运行周期为127分钟．已知引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，月球半径约为1.74×103 km.利用以上数据估算月球的质量约为( )．

A．8.1×1010kg C．5.4×1019kg

B．7.4×1013kg D．7.4×1022kg

解析 天体做圆周运动时都是万有引力提供向心力．“嫦娥一号”绕月球做GMm4π2mr4π2r3匀速圆周运动，由牛顿第二定律知：r2＝T2，得M＝GT2，其中r＝R＋h，代入数据解得M＝7.4×1022kg，选项D正确．

答案 D

【跟踪短训】

2．一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v.假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N.已知引力常量为G，则这颗行星的质量为( )．

mv2A.GN Nv2C．Gm

解析 设卫星的质量为m′，

Mm′v2

由万有引力提供向心力，得GR2＝m′R，① v2

m′R＝m′g，②

由已知条件：m的重力为N得N＝mg，③ mv2N

由③得g＝m，代入②得：R＝N，

mv4

代入①得M＝GN，故A、C、D三项均错误，B项正确． 答案 B

3．已知引力常量为G，那么在下列给出的各种情境中，能根据测量的数据估算出火星的平均密度的是( )．

A．在火星表面使一个小球做自由落体运动，测出下落的高度H和时间t

B．发射一颗贴近火星表面绕火星做圆周运动的飞船，测出飞船的周期T C．观察火星绕太阳的圆周运动，测出火星的直径D和火星绕太阳运行的周期T

D．发射一颗绕火星做圆周运动的卫星，测出卫星绕火星运行的轨道半径r和卫星的周期T

12H4

解析 根据H＝2g′t2可得，g′＝t2，根据GM＝g′R2，M＝3πR3ρ可得ρ3H

＝2πGRt2，因为火星半径未知，所以测不出火星的平均密度，选项A错误；根Mm43π2π

据GR2＝mT2R和M＝ρV＝ρ3πR3，解得ρ＝GT2，选项B正确；已知火星的



mv4B．GN Nv4D．Gm

直径D和火星绕太阳运行的周期T，测不出火星的质量，也就测不出火星的平均密度，选项C错误；已知卫星绕火星运行的轨道半径r和卫星的周期T，根据Mm4π2r32π2

Gr2＝mTr，可得火星的质量为M＝GT2，但火星的半径未知，测不出火星

的平均密度，选项D错误．

答案 B

热点三 卫星运行参量的分析与计算

1．利用万有引力定律解决卫星运动的一般思路 (1)一个模型

天体(包括卫星)的运动可简化为质点的匀速圆周运动模型． (2)两组公式

v2Mm4π22

Gr2＝mr＝mωr＝mT2r＝ma

GMm

mg＝R2(g为星体表面处的重力加速度)

2．卫星的线速度、角速度、周期与轨道半径的关系

v减小GM

ω减小ω＝r

⇒当r增大时T增大4πrT＝

GMa减小Ma＝Gr

v＝

323n

n

2GMr

3．地球同步卫星的特点 轨道平面一定 高度一定 环绕速度一定 角速度一定 周期一定 轨道平面与赤道平面重合 距离地心的距离一定，h＝4.225×104km； 距离地面的高度为3.6×104km v＝3.08 km/s，环绕方向与地球自转方向相同 ω＝7.3×10－5rad/s 与地球自转周期相同，常取T＝24 h 向心加速度大小一定 a＝0.23 m/s2 4.卫星的可能轨道(如图4－4－1所示) 卫星的轨道平面一定过地球的地心

图4－4－1

【典例3】 (2013·海南卷，5)“北斗”卫星导航定位系统由地球静止轨道卫星(同步卫星)、中轨道卫星和倾斜同步卫星组成．地球静止轨道卫星和中轨道卫星都在圆轨道上运行，它们距地面的高度分别约为地球半径的6倍和3.4倍，下列说法中正确的是( )．

A．静止轨道卫星的周期约为中轨道卫星的2倍 B．静止轨道卫星的线速度大小约为中轨道卫星的2倍 1C．静止轨道卫星的角速度大小约为中轨道卫星的7 1

D．静止轨道卫星的向心加速度大小约为中轨道卫星的

7

v2Mm2π

解析 由万有引力提供向心力可知Gr2＝mr＝mrω2＝mrT2＝ma，整理

可得周期T＝

4π2r3线速度v＝GM，GM角速度ω＝r，GMGM

向心加速度a＝3，rr2，

设地球的半径为R，由题意知静止轨道卫星的运行半径是r1＝7R，中轨道卫星的运行半径是r2＝4.4R，由比例关系可得静止轨道卫星的周期约为中轨道卫星的734.43≈2倍，故A正确；同理可判断出选项B、C、D均错误． 答案 A

反思总结 人造卫星问题的解题技巧

(1)利用万有引力提供向心力的不同表述形式：

2

v2Mm24π①Gr2＝man；②an＝r＝rω＝T2r

(2)解决力与运动关系的思想还是动力学思想，解决力与运动的关系的桥梁还是牛顿第二定律．

①卫星的an、v、ω、T是相互联系的，其中一个量发生变化，其他各量也随之发生变化．

②an、v、ω、T均与卫星的质量无关，只由轨道半径r和中心天体质量共同决定．

【跟踪短训】

4．(2013·广东卷，14)如图4－4－2所示，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M和2M的行星做匀速圆周运动．下列说法正确的是( )．

图4－4－2

A．甲的向心加速度比乙的小 B．甲的运行周期比乙的小 C．甲的角速度比乙的大 D．甲的线速度比乙的大

MmGM解析 根据Gr2＝ma得a＝r2，故甲卫星的向心加速度小，选项A正确；Mm2π根据Gr2＝mT2r，得T＝2πMm

Gr2＝mω2r，得ω＝r3GM，故甲的运行周期大，选项B错误；根据

GMr3，故甲运行的角速度小，选项C错误；

GM

r，故甲运行的线速度小，选项D错误．

Mmmv2

根据Gr2＝r，得v＝答案 A

5．我国于2013年6月11日17时38分发射“神舟十号”载人飞船，并与“天宫一号”目标飞行器对接．如图4－4－3所示，开始对接前，“天宫一号”在高轨道，“神舟十号”飞船在低轨道，各自绕地球做匀速圆周运动，距离地面的高度分别为h1和h2(设地球半径为R)，“天宫一号”的运行周期约为90分钟．则以下说法正确的是( )．

图4－4－3

A．“天宫一号”跟“神舟十号”的线速度大小之比为h2h1

R＋h22

B．“天宫一号”跟“神舟十号”的向心加速度大小之比为

R＋h12C．“天宫一号”的角速度比地球同步卫星的角速度大 D．“天宫一号”的线速度大于7.9 km/s

v2Mm

解析 由G＝m可得，“天宫一号”与“神舟十号”的线速度大

R＋h2R＋h小之比为R＋h2Mm，A项错误；由G＝ma可得“天宫一号”与“神舟十R＋h1R＋h2R＋h22

号”的向心加速度大小之比为，B项正确；地球同步卫星的运行周期为

R＋h122π

24小时，因此“天宫一号”的周期小于地球同步卫星的周期，由ω＝T可知，周期小则角速度大，C项正确；“天宫一号”的线速度小于地球的第一宇宙速度，D错．

答案 BC

物理建模 7.宇宙双星模型(模型演示见PPT课件)

1．模型条件

(1)两颗星彼此相距较近．

(2)两颗星靠相互之间的万有引力做匀速圆周运动． (3)两颗星绕同一圆心做圆周运动． 2．模型特点

(1)“向心力等大反向”——两颗星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的

万有引力提供，故F1＝F2，且方向相反，分别作用在两颗行星上，是一对作用力和反作用力．

(2)“周期、角速度相同”——两颗行星做匀速圆周运动的周期、角速度相等．

(3)“半径反比”——圆心在两颗行星的连线上，且r1＋r2＝L，两颗行星做匀速圆周运动的半径与行星的质量成反比．

3．解答双星问题应注意“两等”“两不等” (1)双星问题的“两等”： ①它们的角速度相等．

②双星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，即它们受到的向心力大小总是相等的．

(2)“两不等”：

①双星做匀速圆周运动的圆心是它们连线上的一点，所以双星做匀速圆周运动的半径与双星间的距离是不相等的，它们的轨道半径之和才等于它们间的距离．

②由m1ω2r1＝m2ω2r2知由于m1与m2一般不相等，故r1与r2一般也不相等． 【典例】 (2013·山东卷，20)双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为( )．

A.C．n3k2T n2kT

B．D．n3kT nkT

解析 双星间的万有引力提供向心力．

设原来双星间的距离为L，质量分别为M、m，圆周运动的圆心距质量为m的恒星距离为r.

Mm2π

对质量为m的恒星：GL2＝mT2r

Mm2π

对质量为M的恒星：GL2＝MT2(L－r)



M＋m4π24π2L32得GL2＝T2L，即T＝

GM＋m

则当总质量为k(M＋m)，间距为L′＝nL时，T′＝答案 B

反思总结 双星系统问题的误区

(1)不能区分星体间距与轨道半径：万有引力定律中的r为两星体间距离，向心力公式中的r为所研究星球做圆周运动的轨道半径．

(2)找不准物理现象的对应规律．

n3kT，选项B正确．

图4－4－4

即学即练 如图4－4－4所示，双星系统中的星球A、B都可视为质点，A、B绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，A、B之间距离不变，引力常量为G，观测到A的速率为v、运行周期为T，A、B的质量分别为m1、m2.

(1)求B的周期和速率．

(2)A受B的引力FA可等效为位于O点处质量为m′的星体对它的引力，试求m′.(用m1、m2表示)

解析 (1)设A、B的轨道半径分别为r1、r2，它们做圆周运动的周期T、角r1m2速度ω都相同，根据牛顿第二定律有FA＝m1ω2r1，FB＝m2ω2r2，即r＝m.故B

2

1

m1r1m1v的周期和速率分别为：TB＝TA＝T，vB＝ωr2＝ωm＝m. 22

m1＋m2m1m2

(2)A、B之间的距离r＝r1＋r2＝mr1，根据万有引力定律有FA＝Gr22

m1m′＝Gr2，

1

m32所以m′＝.

m1＋m22m1vm32答案 (1)T m (2)

m1＋m222

附：对应高考题组(PPT课件文本，见教师用书)

1．(2012·全国课标卷，21)假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体．一矿井深度为d.已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零．矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为( )．

dA．1－R R－d2

 C．

R

d

B．1＋R R2D．R－d



解析 设地球的密度为ρ，地球的质量为M，根据万有引力定律可知，地球GM4

表面的重力加速度g＝R2.地球质量可表示为M＝3πR3ρ.因质量分布均匀的球壳4

对球壳内物体的引力为零，所以矿井下以(R－d)为半径的地球的质量为M′＝3GM′R－d3

M，则矿井底部处的重力加速度g′＝π(R－d)3ρ，解得M′＝，则

R－d2Rg′d

矿井底部处的重力加速度和地球表面的重力加速度之比为g＝1－R，选项A正确，选项B、C、D错误．

答案 A

2．(2012·四川卷，15)今年4月30日，西昌卫星发射中心发射的中圆轨道卫星，其轨道半径为2.8×107 m．它与另一颗同质量的同步轨道卫星(轨道半径为4.2×107 m)相比( )．

A．向心力较小 B．动能较大

C．发射速度都是第一宇宙速度 D．角速度较小

Mm

解析 由F向＝F万＝GR2知，中圆轨道卫星向心力大于同步轨道卫星(G、1

M、m相同)，故A错误．由Ek＝2mv2，v＝

同

GMGMm

，得Ek＝R2R，且由R中知，中圆轨道卫星动能较大，故B正确．第一宇宙速度是最小的卫星发射速度，

故C错误．由ω＝

答案 B

GM

R3可知，中圆轨道卫星角速度较大，故D错误．

3．(2012·重庆卷，18)冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统，质量比约为7∶1，同时绕它们连线上某点O做匀速圆周运动．由此可知，冥王星绕O点运动的( )．

1A．轨道半径约为卡戎的7 1

B．角速度大小约为卡戎的7 C．线速度大小约为卡戎的7倍 D．向心力大小约为卡戎的7倍

解析 设冥王星的质量、轨道半径、线速度大小分别为m1、r1、v1，卡戎的质量、轨道半径、线速度大小分别为m2、r2、v2，由双星问题的规律可得，两星间的万有引力分别给两星提供做圆周运动的向心力，且两星的角速度相等，故B、m1m2r1m21v1ωr1D均错；由GL2＝m1ω2r1＝m2ω2r2(L为两星间的距离)，因此r＝m＝7，v2＝ωr221m21

＝m＝7，故A对、C错．

1

答案 A

4．(2011·山东卷，17)甲、乙为两颗地球卫星，其中甲为地球同步卫星，乙的运行高度低于甲的运行高度，两卫星轨道均可视为圆轨道．以下判断正确的是( )．

A．甲的周期大于乙的周期 B．乙的速度大于第一宇宙速度

C．甲的向心加速度小于乙的向心加速度 D．甲在运行时能经过北级的正上方

GMm解析 两卫星运行时万有引力提供向心力，所以r2＝ma向，由此知r大，4π2v2

则a向小，C项正确；a向＝T2r＝r，联立知，A项正确，B项错误；地球同步卫星轨道平面与赤道平面平行，所以D项错误．

答案 AC

5．(2012·广东卷，21)如图所示，飞船从轨道1变轨至轨道2.若飞船在两轨道上都做匀速圆周运动，不考虑质量变化，相对于在轨道1上，飞船在轨道2上的( )．

A．动能大 C．运行周期长

B．向心加速度大 D．角速度小

解析 飞船绕中心天体做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，即F引＝F向，Mm

所以Gr2＝ma4π2r3GM，ω＝

mv24π2mr2

＝2＝mrω，即a向＝rT

向

GM1GMm

＝r2，Ek＝2mv2＝2r，T＝

GM2π

3(或用公式T＝求解)． rω

因为r1Ek2，a向1>a向2，T1ω2，选项C、D正确． 答案 CD

A 对点训练——练熟基础知识

题组一 天体质量的估算

1．(2013·宁夏模拟)(多选)1798年，英国物理学家卡文迪许测出万有引力常量G，因此卡文迪许被人们称为能称出地球质量的人．若已知万有引力常量G，地球表面处的重力加速度g，地球半径R，地球上一个昼夜的时间T1(地球自转周期)，一年的时间T2(地球公转的周期)，地球中心到月球中心的距离L1，地球中心到太阳中心的距离L2.你能计算出( )．

gR2

A．地球的质量m地＝G 4π2L32B．太阳的质量m太＝GT2

24π2L31C．月球的质量m月＝GT2

1

D．可求月球、地球及太阳的密度

答案 AB

2．(2013·唐山模拟)(单选)为研究太阳系内行星的运动，需要知道太阳的质量，已知地球半径为R，地球质量为m，太阳与地球中心间距为r，地球表面的重力加速度为g，地球绕太阳公转的周期为T.则太阳的质量为( )．

4π2r3

A.T2R2g 4π2mgr3C.R3T2

T2R2gB．4π2mr3 4π2mr3D．T2R2g

mm′

解析 在地球表面：GR2＝m′g① Mm2π地球绕太阳公转：Gr2＝mT2r②

4π2mr3

由①②得：M＝T2R2g.故D项正确． 答案 D

题组二 卫星运行参量的分析与计算

3．(多选)人造地球卫星可以绕地球做匀速圆周运动，也可以沿椭圆轨道绕地球运动．对于沿椭圆轨道绕地球运动的卫星，以下说法正确的是( )．

A．近地点速度一定等于7.9 km/s

B．近地点速度一定大于7.9 km/s，小于11.2 km/s C．近地点速度可以小于7.9 km/s

D．远地点速度一定小于在同高度圆轨道上的运行速度

解析 第一宇宙速度是卫星在星球表面附近做匀速圆周运动时必须具有的线速度，而对于绕地球沿椭圆轨道运动的卫星，在近地点时的线速度与第一宇宙速度无关，可以大于第一宇宙速度，也可以小于第一宇宙速度(此时的“近地点”离地面的距离较大，不能看成是地面附近)，故A、B错误，C正确；卫星在远地点的速度一定小于在同高度圆轨道上的运行速度，否则不可能被“拉向”地面，D正确．

答案 CD

4．(2013·西安二模)(多选)2013年2月16日凌晨，2012DA14小行星与地球“擦肩而过”，距离地球最近约2.77万公里．据观测，它绕太阳公转的周期约为366天，比地球的公转周期多1天．假设小行星和地球绕太阳运行的轨道均为

圆轨道，对应的轨道半径分别为R1、R2，线速度大小分别为v1、v2，以下关系式正确的是( )．

R1366A.R＝365

2v1365C.v＝366 2

2

R31366

B．R3＝3652

2

3365v1

D．v＝

366 2

解析 设太阳、行星的质量分别为M和m，行星的公转周期为T，线速度v2mM2π2

为v，则GR2＝mTR＝mR，有T＝2π



R3GM、v＝

GM

R，对小行星和地

23365v1R31366

球，可得R3＝3652，v＝

366，所以选项B、D正确． 22

答案 BD

5．(多选)2013年2月，一块陨石坠落在俄罗斯乌拉尔山脉地区．假设该陨石在落地前在大气层内绕地球做圆周运动，由于空气阻力的作用，半径会逐渐减小．关于该陨石的运动，以下说法正确的是( )．

A．陨石的动能逐渐增大 B．陨石的周期逐渐减小 C．陨石的向心加速度逐渐减小 D．陨石的机械能逐渐增大

v2Mm

解析 陨石的运动和卫星一样，视为圆周运动，由Gr2＝mr得：v＝Mm4π2半径减小时，速度增大，动能也增大，A正确；由Gr2＝mrT2得：T＝GMr，4π2r3GM，

MmM

半径减小时，周期减小，B正确；由Gr2＝ma得：a＝Gr2，半径减小时，向心加速度增大，C错误；空气阻力做负功，机械能减小，D错误．

答案 AB

题组三 星体表面的重力加速度

6．(多选)美国航空航天局发射的“月球勘测轨道器”LRO，每天在50 km的高度穿越月球两极上空10次．若以T表示LRO在离月球表面高度h处的轨道

上做匀速圆周运动的周期，以R表示月球的半径，则( )．

4π2R

A．LRO运行时的向心加速度为T2 4π2R＋h

B．LRO运行时的向心加速度为 T24π2R

C．月球表面的重力加速度为T2 4π2R＋h3

D．月球表面的重力加速度为T2R2

2π解析 LRO运行时的向心加速度为a＝ω2r＝T2(R＋h)，B正确；根据

m月mm月m′4π2R＋h32π2G＝mT(R＋h)，又GR2＝m′g，两式联立得g＝T2R2，D正

R＋h2确．

答案 BD

7．(2013·河南郑州联考，17)(多选)宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处．已知该星球的半径与地球半径之比R

星

∶R地＝1∶4，地球表面重力加速度为g，设该星球表面重力加速度为g′，地

球的质量为M地，该星球的质量为M星．空气阻力不计．则( )．

A．g′∶g＝5∶1 C．M星∶M地＝1∶20

B．g′∶g＝1∶5 D．M星∶M地＝1∶80

解析 小球以相同的初速度在星球和地球表面做竖直上抛运动，星球上：v02v02v05t

＝g′·2得，g′＝5t，同理地球上的重力加速度g＝t；则有g′∶g＝1∶5，所以A错，B正确．由星球表面的物重近似等于万有引力可得，在星球上取一

2

M星m0g′R星gR2地

质量为m0的物体，则有m0g′＝G2，得M星＝G，同理得：M地＝G，

R星

所以M星∶M地＝1∶80，故C错，D正确．

答案 BD

8．(2013·江南十校联考)(单选)“静止”在赤道上空的地球同步气象卫星把广阔视野内的气象数据发回地面，为天气预报提供准确、全面和及时的气象资料．设地球同步卫星的轨道半径是地球半径的n倍，下列说法中正确的是( )．

1

A．同步卫星运行速度是第一宇宙速度的n倍

1

B．同步卫星的运行速度是地球赤道上随地球自转的物体速度的n倍 C．同步卫星运行速度是第一宇宙速度的

1n倍

1n倍

GM

R，根据万

D．同步卫星的向心加速度是地球表面重力加速度的

解析 设地球半径为R，质量为M，则第一宇宙速度v1＝ 有引力等于向心力得同步卫星的运行速度v＝ 度是第一宇宙速度的

GMnR，所以同步卫星的运行速

1

n倍，A错、C对；同步卫星和地球赤道上随地球自转

的物体角速度相同，根据v＝ωr，同步卫星的运行速度是地球赤道上随地球自转MmGM

的物体速度的n倍，B错；由Gr2＝ma，可得同步卫星的向心加速度a＝，

nR2GM

地球表面重力加速度g＝R2，所以同步卫星的向心加速度是地球表面重力加速1

度的n2倍，D错．

答案 C

题组四 双星、多星问题

图4－4－5

9．(2012·河北唐山二模，19)(多选)宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用互相绕转，称之为双星系统．在浩瀚的银河系中，多数恒星都是双星系统．设某双星系统A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动，如图4－4－5所示．若AO>OB，则( )．

A．星球A的质量一定大于B的质量 B．星球A的线速度一定大于B的线速度

C．双星间距离一定，双星的质量越大，其转动周期越大 D．双星的质量一定，双星之间的距离越大，其转动周期越大

解析 设双星质量分别为mA、mB，轨道半径为RA、RB，两者间距为L，周

GmAmB

期为T，角速度为ω，由万有引力定律可知：L2＝mAω2RA①

GmAmB2

＝m2BωRB② LRA＋RB＝L③

mARB由①②式可得m＝R，而AO>OB，故A错误．vA＝ωRA，vB＝ωRB，B正确．联

B

A

2π

立①②③得G(mA＋mB)＝ω2L3，又因为T＝ω，可知D正确，C错误．

答案 BD

10．(2013·浙江卷，18)(多选)如图4－4－6所示，三颗质量均为m的地球同步卫星等间隔分布在半径为r的圆轨道上，设地球质量为M，半径为R.下列说法正确的是( )．

图4－4－6

A．地球对一颗卫星的引力大小为

GMm

r－R2GMm

B．一颗卫星对地球的引力大小为r2 Gm2

C．两颗卫星之间的引力大小为3r2 D．三颗卫星对地球引力的合力大小为

解析 地球与卫星之间的距离应为地心与卫星之间的距离，选项A错误，B正确；两颗相邻卫星与地球球心的连线互成120°角，间距为3r，代入数据得，Gm2

两颗卫星之间引力大小为3r2，选项C正确；三颗卫星对地球引力的合力为零，选项D错误．

答案 BC

11．(多选)宇宙中有这样一种三星系统，系统由两个质量为m的小星体和一

3GMmr2

个质量为M的大星体组成，两个小星体围绕大星体在同一圆形轨道上运行，轨道半径为r.关于该三星系统的说法中正确的是( )．

A．在稳定运行情况下，大星体提供两个小星体做圆周运动的向心力 B．在稳定运行情况下，大星体应在小星体轨道中心，两小星体在大星体相对的两侧

34πr2G4M＋m4πr

D．大星体运行的周期为T＝

32

C．小星体运行的周期为T＝

G4M＋m

解析 三星系统稳定运行时，两个小星体应在大星体的两侧，且在同一直径上，小星体的向心力是由大星体的万有引力和另一小星体的万有引力共同提供的，GMmGmm4πA错误，B正确；由r2＋＝mT2r，可得出：T＝，故C正确；

2r2G4M＋m大星体为中心天体，D错误．

答案 BC

B 深化训练——提高能力技巧

12．(单选)2012年6月，“神九”飞天，“蛟龙”探海，实现了“可上九天揽月，可下五洋捉鳖”这个充满浪漫主义气概的梦想．处于340 km高空的“神九”和处于7 000 m深海的“蛟龙”的向心加速度分别为a1和a2，转动的角速度分别为ω1和ω2，下列说法中正确的是( )．

v

A．因为“神九”离地心的距离较大，根据ω＝r得ω1<ω2 B．根据ω＝

2π

可知，ω与圆周运动的半径r无关，所以ω1＝ω2 T

2

34πr2

GM

C．因为“神九”离地心的距离较大，根据a＝r2得a1D．因为“神九”离地心距离较大且角速度也较“蛟龙”大，根据a＝ω2r得a1>a2

v

解析 根据ω＝r可知，做圆周运动的角速度不仅与r有关，还与线速度v

有关，所以A、B均错；因为“蛟龙”属于天体自转问题，它转动的角速度与地Mm

球同步卫星相同，“神九”与同步卫星相比，根据Gr2＝mω2r得“神九”的角速度较大，即“神九”的角速度大于“蛟龙”随地球自转的角速度，根据a＝ω2r得C错，D正确．

答案 D

13．(多选)对宇宙的思考一直伴随着人类的成长，人们采用各种方式对宇宙进行着探索，搜寻着外星智慧生命，试图去证明人类并不孤单．其中最有效也是最难的方法就是身临其境．设想某载人飞船绕一类地行星做匀速圆周运动，其轨道半径可视为该行星半径R，载人飞船运动周期为T，该行星表面的重力加速度为g，引力常量为G，则( )．

A．飞船的速度是绕行星做圆周运动的最大速度 3π

B．该行星的平均密度可表示为4GT2

C．飞船做圆周运动的半径增大，其运动周期将减小 3g

D．该行星的平均密度可表示为4πGR

v2Mm

解析 对飞船，万有引力等于向心力，由Gr2＝mr得v＝

GM

r，即轨道

Mm4π2R32π2

半径越大，飞船速度越小，A项正确；由GR2＝mTR，得行星质量M＝GT2，

M3M3π

又行星密度ρ＝V＝4πR3，因此得ρ＝GT2，B项错；由T＝2πr3GM可知，当轨MmgR2

道半径增大时，飞船的周期增大，C项错；由GR2＝mg得M＝G，代入密度3g

表达式即得ρ＝4πGR，D项正确．

答案 AD

14．(2013·四川卷，4)(单选)迄今发现的二百余颗太阳系外行星大多不适宜人类居住，绕恒星“Gliese581”运行的行星“G1－581c”却很值得我们期待．该行星的温度在0 ℃到40 ℃之间、质量是地球的6倍、直径是地球的1.5倍、公转周期为13个地球日．“Gliese581”的质量是太阳质量的0.31倍．设该行星与地球均视为质量分布均匀的球体，绕其中心天体做匀速圆周运动，则( )．

A．在该行星和地球上发射卫星的第一宇宙速度相同 2

B．如果人到了该行星，其体重是地球上的23倍 C．该行星与“Gliese581”的距离是日地距离的13365倍

D．由于该行星公转速率比地球大，地球上的米尺如果被带上该行星，其长度一定会变短

m1R1

解析 由题意知，行星、地球的质量之比m＝6，半径之比R＝1.5，公转周

22mm′v2T113M1

期之比T＝365，中心天体质量之比M＝0.31.根据GR2＝m′R，得第一宇宙22v1

速度之比v＝2

Gm1R2R1·Gm2＝

mm′m1R2

m2·R1＝2，选项A错误；根据m′g＝GR2，2

m′g1m1R2m1R228Mm2π

R＝，选项B正确；根据G2＝mT得到人的体重之比＝R2·＝

m213rm′g21m2

2

r13M1T123132

r，得与中心天体的距离之比r＝MT＝0.31×365，选项C错误；米

222

尺在该行星上长度不一定会变短，选项D错误．

答案 B