万有引力与航天复习学案

一、基础知识

1、开普勒行星运动定律

第三定律： 。常数k与环绕天体 ，由_________________决定。 2、万有引力定律应用： （1）基本方法：

①把天体运动看成 运动，所需向心力由万有引力提供： 。 ②在忽略天体自转影响时，天体表面的重力与万有引力的关系： 。 （2）天体质量，密度的估算。 方法１：“Tr”法

测出环绕天体作匀速圆周运动的半径r，周期为T，由 得中心天体的质量为 ，密度为 ，（R为中心天体的半径）。

当环绕天体在被环绕天体的表面运行时，r＝R，则密度为 。 方法２：“ gR”法

测出某天体表面重力加速度为g，该天体半径为R，由 得天体的质量为 。

（3）环绕天体的绕行速度，角速度、周期、向心加速度与半径的关系。

Mmv2①由G2m得 ∴r越大，v

rrMm②由G2m2r得 ∴r越大，

r③由GMmma得 ∴r越大，a r2Mm42③由G2m2r得 ∴r越大，T

rT（4）三种宇宙速度．

第一宇宙速度(即环绕速度)是发射速度中的最 速度，是轨道运行速度中的最 速度，大小为___________（注意单位）。

由 ，得v1= ，又 ，得v1= 第二宇宙速度(即脱离速度)大小 ，第三宇宙速度(即逃逸速度)大小 。 (5)地球同步卫星的特点：同步卫星都与 共面，在其正上方。_______和_______与地球相同。所有同步卫星轨道、线速度、向心加速度 都 。

- 1 -

三、专题剖析

1、测天体的质量及密度：

【例1】继神秘的火星之后，今年土星也成了全世界关注的焦点！经过近7年35.2亿公里在太空中风尘仆仆的穿行后，美航空航天局和欧航空航天局合作研究的“卡西尼”号土星探测器于美国东部时间6月30日（北京时间7月1日）抵达预定轨道，开始“拜访”土星及其卫星家族。这是人类首次针对土星及其31颗已知卫星最详尽的探测！若“卡西尼”号探测器进入绕土星飞行的轨道，在半径为R的土星上空离土星表面高h的圆形轨道上绕土星飞行，环绕n周飞行时间为t。试计算土星的质量和平均密度。 解析： 由环绕n周飞行时间为t，得探测器周期T = 且其轨道半径r =

由万有引力提供向心力列式： (此处应为轨道半径r) 得土星质量为 又根据球体体积公式 （此处应为土星本身半径R） 得土星密度为 2、天体表面重力加速度、轨道重力加速度问题：（重力近似等于万有引力）

【例2】如图所示，A是地球的同步卫星，另一卫星B的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为h，已知地球半径为R，地球自转角速度为0，地球表面的重力加速度为g，O为地球中心．

（1）求卫星B的运行周期；

（2）如果卫星B绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A、B两

卫星相距最近（O、B、A在同一直线上），则至少经过多长时间，它们再一次相距最近？ 解析：（1）设地球质量M，卫星B质量m，

据卫星B向心力由地球对其万有引力提供有： ， 但地球质量M为未知量。

题目已知地表处重力加速度为g，故在地球表面有： ， 联立得：

（2）因为A比B轨道半径 ，所以TA TB，当它们再一次相距最近时，B比A 转了一圈，有： 解得：

【例3】火箭发射卫星的开始阶段是竖直升高，设向上的加速度a=5m/s2,在卫星中用弹簧秤悬挂一个质量m=9kg的物体，当卫星升到某高度处，弹簧秤的示数为85N，那

- 2 -

A h O B 么此时卫星距地面的高度是多少千米？(地球半径R=00km，g取10m/s2) 解析：对m进行受力分析，受到重力mgh（此处重力与地表处不同），弹簧秤拉力F 在这两个力作用下小物体具有向上的加速度a， 据牛顿第二定律列式： 解得距地表高h处重力加速度：

又此处重力等于此处万有引力： （注意式中r） 解得：

3、人造卫星、宇宙速度：

【例3】据报道,我国数据中继卫星“天链一号01星”于2008年4月25日在西昌卫星发射中心发射升空,经过4次变轨控制后,于5月1日成功定点在东经77°赤道上

A.运行速度大于7.9 km/s B.离地面高度一定,相对地面静止

C.绕地球运行的角速度比月球绕地球运行的角速度大 D.向心加速度与静止在赤道上物体的向心加速度大小相等

解析：由题知“天链一号01星”是地球 卫星,运行半径比月球绕地球运行半径 。 A、7.9km/s是第一宇宙速度，是轨道运行速度中最 的。 B、天链一号是地球 卫星，其轨道是 的。 C、由万有引力提供向心力，得，r越大，越。

D、卫星只有万有引力提供向心力，而赤道上物体不同，随地球一起做圆周运动物体可与同步卫星比较，根据周期、角速度相同列式。

a2b2cr42求出，【例3】地球同步卫星到地心的距离r可由已知式中a的单位是m，

3空的同步轨道.关于成功定点后的“天链一号01星”,下列说法正确的是（ BC ）

b的单位是s，c的单位是m/s2，则： （ AD ）

A．a是地球半径，b是地球自转的周期，C是地球表面处的重力加速度； B．a是地球半径。b是同步卫星绕地心运动的周期，C是同步卫星的加速度； C．a是赤道周长，b是地球自转周期，C是同步卫星的加速度

D．a是地球半径，b是同步卫星绕地心运动的周期，C是地球表面处的重力加速度。 解析：据万有引力提供向心力列式： ，得r3= 比较已知，缺少平方项目，又重力等于万有引力 ，得r3=

4、双星问题：

- 3 -

【例4】宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，他们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不致因万有引力作用而吸引到一起。

（1）设两者的质量分别为m1和m2，试证明它们的轨道半径之比、线速度之比都等于它们质量的反比。

（2）若两者相距为L，试写出它们的角速度的表达式。

解析：（1）双星做圆周运动向心力由彼此间的万有引力提供，且其角速度、周期 。 对m1列式： （注意等式左右r） 对m2列式：

解得：r1：r2 = 又由 ，得v1：v2 = （2）对m1列式： 对m2列式： 又L= 解得：= 5、卫星变轨

卫星发射通常采取变轨的方式，图为同步卫星发射过程。 对A、C圆轨道，rA对椭圆轨道B，近地点速度 远地点速度。

对变轨处，小圆轨道到椭圆轨道，椭圆轨道到大圆轨道，

均为小轨道到大轨道，均为 速。反之从大轨道到小轨道需 速。

6、地面处随地球一起做圆周运动物体与卫星的比较

地面上的物体随地球自转的向心力由地球对物体的引力和地面支持力的合力提供；而环绕地球运行的卫星的向心力完全由地球对它的引力提供。

故地面上的物体随地球一起做圆周运动的线速度、角速度、周期、向心加速度都不能直接由万有引力提供向心力求解。例：放于赤道上的物体随地球自转的向心加速度

a1R22TR ，式中T为地球自转周期，R为地球半径；而卫星绕地球环绕运行

2的向心加速度 a2GMr2，式中M为地球质量，r为卫星到地心的距离。同步卫星由

于其 和 与地球自转同，故可用v= ，a= 与地球表面上的物体比较。

- 4 -