初中数学课堂小结研究

初中数学课堂小结研究

课题结题报告

临海市尤溪镇中学 钟赛芬

摘要:新课程标准的核心理念是“以人为本，人人学有价值的数学”，“人人都能获得必需的数学”，“不同的人在数学上得到不同的发展”。曾有人说“数学学习就是运用旧的知识来解决新的问题，从而掌握新的解决问题的方法”。不错，数学课堂教学就是“以旧翻新”，让学生在不断的总结、反思中进行积累，对于数学课堂教学而 言，课堂小结往往起到至关重要的作用。这就需要对教材进行适当地知识的系统化，认真备好每节小结，上好每节小结，帮助学生掌握知识和技能。还可以促进认知结构的形成，新知识模块的建立，解题技能的优化和思想方法的提炼等。我们希望通过对《初中数学课堂小结研究》，能够探索出一些更适合初中数学课堂小结的教学方法，有效的利用小结方法实施教学，丰富和提升初中数学课堂，创新和活化课堂教学，为我们初中数学教师在数学课堂小结的教学开创一条新的路子。进而形成文章进行探讨与交流，也希望我们能够在数学小结的教学开创一条更好、更新的路子。

关键词：初中数学 课堂小结 教学形式

一、问题的提出

课堂教学是一门艺术，懂得适时课堂小结更是一门艺术。“编篓编筐，重在收口”，良好的课堂小结设计可激起学生的思维高潮，产生画龙点睛、余味无穷、启迪智慧的效果。

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课堂小结是课堂教学环节中的重要一环，不仅可以帮助学生掌握知识和技能。还可以促进认知结构的形成，新知识模块的建立，解题技能的优化和思想方法的提炼等。

尽管课堂小结对整个课堂教学起着这么重要的作用，但在许多老师的课堂教学中，他们却从来都认为它是一堂课可有可无的部分。有的是为了小结而小结，有的小结了却没有充分发挥其作用，失去了课堂小结的教学效果，还有的甚至没有小结。

教育心理学理论告诉我们，在课堂教学接近尾声之际，正是学生精力开始减弱的时刻，这个时刻，学生开始疲劳，记忆力开始下降；心理学理论还告诉我们，每堂课的结尾都存在着后摄效应，即“故事的结尾往往是最容易被记住的”。若不能把握好结尾的这段时间，前面的授课效果将大打折扣，甚至有前功尽弃的危险。

一个好的课堂小结应该能体现下列教学功能：课堂小结是对知识的总结和概括，而不是对课堂教学内容的简单摘要与重复；是对规律的高度概括而不是简单的一带而过；是寄于学生学习期望而不是意味着又挨过了一个四十五分钟……。认识课堂小结的重要性，以及如何努力追求课堂小结的高效率，最大限度的发挥它应有的作用是我们应该积极探索和追求的。

鉴于以上情况分析，我们试图在新课程理念指导下，强调以学生为本，尊重学生的主性，张扬学生的个性，把学生从传统的“认知体”提升到“生命体”的高度，关爱学生学生的成长、发展过程，深入研

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究教材，精心地安排教学程序，设计好教学小结，使各层次学生都得到不同的发展，使凝固的课堂场景变成一幅鲜活的、生动的画面，流淌出生命的活力。

二、课题研究的理论依据

现代课程理论有三大流派:学科中心论、儿童中心论、社会中心论。学科中心论认为教学内容应符合数学学科本身的逻辑顺序,做到学习内容的数学性。儿童中心论要求学习内容贴近儿童的认知实际,从而要求教学内容具有一定的趣味性,易于激发学生的学习积极性。社会中心论认为教学内容应符合社会未来发展的需要,要求教学内容应具有一定的社会应用性,让学生体会到学科学习的有用性。因此,我们初中数学教学中的新课小结应体现以下三大原则:数学性、现实性、趣味性。

美国心理学家布鲁纳曾指出:“教学过程是一种提出问题和解决问题的持续不断的活动。”每堂课的各环节之间是密不可分的,新课小结的成功与否直接关系到整堂课的连贯性,关系到学生的学习状态。良好的新课小结不仅可以给课堂的成功开展画上美满的一笔,还可以激发学生的学习兴趣,维持学生的思维状态,使学生的思维由浅入深、由深入广,逐渐过渡到课后的学习情境中;良好的新课总结还可以帮助学生理解本课堂的知识,铺设新旧知识的桥梁,以新学的知识回顾以往的知识,并带动对以后的知识学习的兴趣与欲望。

三、研究的目标

（1）提高教师的自我反省能力，培养研究的自信，提高科研的信心，养成写作的习惯，初步形成自主专业发展意识，从根本上提高教师的素质。

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（2）学生感受课堂小结能帮助他们整理知识，突破重点、突破难点；让课堂小结能提高学生的注意力，升华学生思维；让课堂小结提炼思想、承前启后，激发学生求知欲

（3） 促进学校文化的发展，形成校本教研的开拓创新氛围。通过个人反思、同伴交流与专家引领，使校园充满着生动、热烈、有效的教学教研气氛。

四、研究方法

1、研究对象；抽取部分的班级作为实验班，与其他班级作为对比。

2、研究方法：本课题的主要研究方法是边研究边实践，结合调查、问卷、观察、经验总结、比较等科研方法开展研究。坚持理论联系实际原则、 主体性原则、启发性原则、合作性原则、应用性原则、开放性原则、创新性等原则。以确保本课题能胜利完成，达到预期的目标。为了清楚实验的效果，可以采用对比法进行比较。具体措施如下：

（1）实验前后学生数学知识的掌握情况、学习成效调查分析，纵向横向对比。

（2）实验过程中，教师寻找、积累相关教学素材，设计教学课件和案例；学生撰写学习体会。

（3）实验后，教师收集、整理、分析相关数据及资料进行整合检验，得出检验，形成共识；对特殊学生（实验前抽样优、良、中、差各取少许）进行跟踪调查比较法。

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当然，在实验研究的过程中，我们可能会有所变动、调整或补充，力求研究到位，讲究实用性、操作性和科学性。

五、课题研究的实施过程和主要内容

（一）研究程序

1、前期准备阶段(2009年11月————2010年1月) ①论证实验课题，制作具体的实验调查方案； ②组建课题队伍，学习相关理论；

③通过问卷调查、听课等形式完成我校学生学习数学及教师教学课堂设计与教学过程中数学课堂小结的现状调查分析。

2、初步探索阶段（2010年2月——2010年4月） ①课题组成员设计课堂小结的几种形式及实施方案。 ②做好课堂教学的课后调查，采集相关数据，做好对比分析； ③阶段性小结，撰写论文。

3、中期实验阶段（2010年5月——2010年8月） ①深入研究课堂小结的形式在教学中的应用价值；

②运用初步成果于课堂教学实践中，提高课堂教学的效益； ③阶段性论文、小结及典型案例。

4、实验总结阶段（2010年9月——2010年12月） ①课题小组集会，各种资料进行归类； ②召开课题成果鉴定会，展示课堂教学典例； ③准备并申请课题结题。 （二）研究内容概括陈述

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初中数学课堂小结是每节课的结尾，在教学过程中，充分利用课型特点及发挥学生的主体性，老师作为引导者，使课堂教学更完美，把教学要求变 成学生内心真正的需要，充分挖掘学生的学习潜能，促使课堂教学更加有效性。所以初中数学课堂小结主要研究以下内容： （一）研究数学课堂小结的形式

根据初中数学教学内容的特点，其小结形式的开展应该是动态的、丰富多样的，因此我们采用以下几种小结形式:

1、归纳式课堂小结

归纳式小结，是指教师在小结一节课的教学内容时，运用准确、简炼的语言，提纲挈领地使新知识在学生大脑中经过“信息编码”而“定格”。针对学生求知欲强，好奇心强等心理特点，在课堂小结时根据教学内容提出问题，激发出学生想揭秘的问题意识，将所学知识进行归纳、整理，使之系统化。利用下课前几分钟时间，简要的对本节课的内容进行归纳总结。这样做，既可以帮助学生回忆所学的内容，帮助他们进行知识梳理，辩清知识之间的联系，加深对知识的巩固，又可以进一步强调这节课的重点和难点，帮助学生建立和完善他们的认知结构，提高他们解决问题的能力。如在讲授“直线和圆的位置关系”时,可小结为:

(l)填表:直线与圆的三种位置关系.

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(2)如何判断直线与圆的位置关系?

上述小结中，既有对本节课重点知识的总结，又有方法上的总结.像这样以表格的形式进行高度的概括，以进行归纳总结的结尾方法，形象直观，易于学生形成知识网络，加深对知识的理解和方法的总结，进一步突出教学重点和难点，便于学生从整体上系统把握知识要点，培养他们的综合概括能力.

2.问题练习式课堂小结

新课结束后，教师根据教学实际和传授的内容，抓住重点难点，精心设计一些习题，通过组织学生练习的形式结束本课.这样，既能使学生所学的基础知识得到应用和强化，又可使课堂教学效果得到及时反馈，便于教师具体指导学生的学习活动.如，“不等式的性质”教学，学生一看教学内容比较简单，且临近下课了，容易产生松懈情绪.若教师仍用总结归纳式结尾的方法，单纯强调性质，则不易被学生接受.此时，教师需要将内容巧妙地化为富有思考性的问题进行小结.如设置以下系列的问题串:①已知将不等式mx>m的两边都除以m，得x<1，则m应满足什么条件?②下面的不等式变形错在哪里?将不等式2x>4x的两边都除以x，得2>4.③你能把不等式一1>x变形为吗?学生在思考上述问题的过程中，对不等式的性质进行再回顾、再思考、再比较、再

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应用.不仅自然而然地系统总结了不等式的性质，而且对性质的理解与应用则更能深人，远比让学生归纳总结这节课“你有何收获”等述说性的小结更有实效. 顾名思义，问题式小结就是教师根据一堂课的教学内容，提炼出有关本堂课的知识点，汇编出问题让学生或小组讨论合作完成。带着问题出发，让学生有据可依，从而达到学习总结的目的。教师可以根据不同层次的学生设计出难易程度不等的问题，以便让每位学生都能从学习中感受到学习的快乐。例如，在“平行线的性质”的教学中，教师可以设计出以下问题来进行课堂小结：①列举生活中存在的平行线的实例。②判断两条直线平行的方法有哪些？（5种方法，本课的核心内容）③谈谈对平行线判定的体会。问题式课堂小结在数学课堂教学中虽然比较普遍，但是对于教师的要求较高，必须建立在熟悉教材的基础上，并能提炼出学习目标、设计出相应问题让学生来解答。

3．启迪思维式课堂小结

教育心理学指出，所有智力方面的工作都要依赖于兴趣。托尔斯泰也曾说过，成功的教学所需要的不是强制，而是激发学生的兴趣。兴趣是学生主动学习、积极思维、探求知识的内在动力。那么在小结教学中激发学生的学习兴趣做到下面三点：

①设疑。即提出有一定难度的问题，这个问题常常是下节课要探讨的，让学生带着疑问结束一节课的学习，从而激起他们主动探索的兴趣和急于知晓的心理。我们知道，说评书的人常讲到关键处，精彩处，说一句欲知后事如何且听下回分解，留下一个悬念让你急于知道下一步

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结果是什么，在数学课堂教学中，根据教学内容，可设计类似教学悬念。创设悬念，激发学生的好奇心，促使学生回忆今天所学新知，寻找答案。此种课堂小结即增强了学生的学习兴趣，又促使学生学会主动探索。

②伏笔。即在讲授某一知识时，有意留下一个“尾巴”，使学生感到言而未尽，以引起他们探讨“未尽”的好奇心，为今后的教学打下伏笔。这种小结是在教学本课知识的同时，通过教师设疑引出下节课要学的内容。采用这种方法，可以调动学生学习的积极性。

这样小结既小结了本节课的教学内容，又为下一节课的教学作了孕伏，促使学生去发现新旧知识间的联系，主动建立新知结构。

③延伸。由于课堂教学的时间有限，要想让学生在课堂学习中掌握更多的与课堂教学内容相关的知识，就只有在课前或课后联系与教学内容有关的问题，用激励的语言鼓励学生学好学科的知识，以便为将来探求本学科领域中的奥秘打好基础，将课内知识延伸到课外。其方法：一是利用课堂小结向学生推荐一些与教学内容有关的课外读物；二是利用课堂小结指导学生把所学的知识尽可能地应用于实践，激发学生课外学习兴趣。

请同学们课后多多课外读物，了解更多知识，相信大家一定会很快地找到正确的答案。这样的课堂小结，从课内教学内容延伸到课外阅读，使课内和课外有机地结合起来，促使学生运用已知去获得本知，不断扩大学生的知识面。

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由此可见，巧设悬念，立疑激趣的启迪式小结，就是造成悬念，以激起学生的求知欲，使之盼望“且听下回分解”。教学不应是“倾箱倒筐式”的，要教有余地，教有余味，促使学生积极思维。

4.分析比较式课堂小结

比较是一切思维和理解的基础。课堂小结时通过比较可以确定概念和公式的共同点和差异性，沟通新旧知识的联系，防止新旧知识的干扰，促进正迁移。从而深化概念、活化公式、开拓思维和培养能力的目的。 教学不仅要“授人以鱼”，更要“授人以渔”。教学中要引导学生学会比较学习的方法，激发学生从知识的广度和深度加深理解。这样有助于提高学生的分析概括能力，有利于调动学生的学习积极性和主动性，有利于学生的智力发展和思维能力的培养。例如，当教师把“平方根、“立法根”都已授完时，可把它们列在一起：找出它们的不同点，加以区分。让我们的学生不致于混淆它们，达到我们的教学目的，提高我们的教学效果。如在学习菱形的性质和判定后，学生易将菱形和矩形的性质与判定内容相混淆，因此，在菱形的教学结尾时，占用一点时间将两者的概念、性质与判定进行对比与比较，使学生加深对两者知识的印象，从而避免知识的负迁移现象.

5.互动式课堂小结

比如我在上完七年级上册整式加减这一节后进行课堂小结。我首先提出由哪位同学说说自己学完本节课的收获，这时一位同学说了，他这节课学会了如何进行整式的加减，其实质就是要进行同类项的合并，关键是要判断哪些项是同类项，对照老师讲的两个标准去进行。

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这时又有一位同学说了，除了上面同学说的知识点以外，今天我们还接触了一种数学思想，那就是化归的思想，即把几项化成一项。所以，以后当我们在做一些题时，如果发现题目比较长的话，我们可不急于去做而是先看看题目能不能化得简单一些，因为这样做的确可以简化运算量，少出错误。我满意的点头表示说得很好。那么，接下来谁来谈谈自己的疑惑呢？这时一位同学说了老师你讲了判断同类项的两个标准，我发现与系数好像没有关系，是不是对所以的同类项都是这样呢？我立刻意识到自己课堂上没有作强调，于是补充说的确是这样的，同类项的判断与系数无关，顺便再强调一下所有的常数项都是同类项。这时又有一位同学谈了，老师你讲了合并同类项时要先标记，是不是一定要这样做，不标行吗？再说了考试时如果标上算不算作弊呢？我于是解释道我们在合并同类项时先标记的原因是为了在合并时不丢项，当然如果你特别熟练了也就没有必要去标，至于考试吗，当大家非常熟练了也就没有必要去标了，以免浪费时间。所以大家刚开始这样去做，慢慢熟练了就可以不做。看到同学们喜悦的心情，我又提出谁来给大家作本节课的建议呢？这时有一位同学说我在今天的课堂上犯了一个错误，那就是在进行整式加减时我把同类项的系数相加减这一步没写在本子上，只是在心里算，结果出现了好多符号上的问题，我建议大家一定要按照法则上说的一步一步去做，这样错误就会少一些，我给出了赞许的目光并向全班同学做了强调。看到同学们满意的笑容，我确信通过小结以后大家的确对这一节课学懂了。本人所探索的“互动式”小结方式，一方面能充分调动学生参与课堂教学的积极性，

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拓展学生的思维能力；另一方面也能使老师及时发现自己教学的不足之处，当堂予以更正。它对全面提高课堂效率有很大的作用。

课堂教学应该给学生足够的时间和空间去思考和活动，同时要让学生有机会畅谈他们的体验、感受和收获，有机会表达他们的学习困惑和喜悦，提出建议和见解.因此，课堂小结中应关注学生的学习感受和体验.如“二次函数”的小结:通过本节课的学习，你学会了什么?在学习过程中，你感触最深的是什么?你感到最困难的是什么?你想进一步探究的问题的是什么?这个小结具有开放性，不仅关注学生的学习结果，而且

关注学生学习过程中的体验和感受，关注学生的情感态度和价值观.

（二）、初中数学课堂小结的特点

目前初中数学小结几乎都是老师罗列一下重点知识，或就没有小结，或没有重点的乱说一串知识，根本没有在课前备过小结内容。实际上没有精心设计的课堂小结，其必然影响整节教学效果。我觉得课堂小结必需具备以下几个特点：

1、课堂小结要简明易懂

在设计中，应抓住最本质、最主要的内容，做到少而精，简明扼要、语言精炼。

2、课堂小结要有目标性

例如“正比例”这堂课小结可为：①两种量相关联；②一种量随着另一种量的变化而变化；③相对应的量的比值（即商）一定。这样，着重于学生理解和掌握正比例的意义和实质，培养了学生的概括能力。 3、课堂小结要有引导性

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在小结时，可以让学生在讨论中小结或通过一些问题，鼓励学生多加思考，激发学生探新的愿望，把课堂小结作为联系课堂内外的纽带，引导学生向课外延伸，发展学生自主探索，培养学生的思维和分析问题、解决问题的能力。例如，课堂小结可为：这节课我们学习了哪些数学知识？请你说一说。

4、课堂小结要有针对性

凡是学生难记、难理解、难掌握及容易出错的地方，都应阐明。可通过图示或表格的方式，将新学的数学知识与原有的知识进行比较，加深学生对知识的理解。

（四）数学课堂小结主要事项

小结是课堂教学中的一个重要环节,是对一堂课所讲授的知识的概括、归纳和总结。课堂小结有四忌:

一忌隐藏教学目的。

有的教师在课堂小结教学过程中抱着这样一个

想法:自己是教师,就应该比学生“高出一筹”,对自己所讲的知识,如按课本、教参的内容和要求再讲述一遍,就等于承认自己没水平。在这种思想支配下,在进行课堂小结时,他们总是故作高深,故弄玄虚,故意隐藏教学目的,对本节课所讲授的主题遮遮掩掩,不直接向学生讲清楚、透彻,弄得学生“丈二和尚摸不着头脑”,对教师所讲的知识如雾里看花,为之茫然困惑,主体作用与主导作用都没有体现出来,更谈不上密切配合了。其实,教师在学生心目中的威信,在很大程度上是通过娴熟地驾驭教材、科学生动地把知识讲清楚而建立起来的。想通过隐藏教学目的这

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种故弄玄虚的方法来提高自己的威信及讲课效果,其结果只能是适得其反。

二忌随意发挥。

就是脱离教学目标,讲一些与主题无关的内容。有些教师在课前不去准确把握教材,对课文的主要内容、结构、写作特点、课文的重点等,心中无数,因而在具体操作时用大量时间去东拉西扯,泛泛议论,讲解了半天,不切主题,让学生不知教师所讲是何用意,甚至产生反感。这样不仅偏离了教学目标,还浪费了宝贵的时间,而且弄得学生无所适从。因此,教师小结时,应力求语言简练、概括、准确,富有科学性和逻辑性,便于学生理解、记忆。

三忌主观介入。

教师在课堂小结教学过程中,要紧扣教学大纲,以教材、教学参考书为准,不要过多地随意掺杂主观认识,更不可把自己的“一家之言”当作真知,强加给学生,让学生按着自己的观点去学习知识,这样做难以使学生全面、准确地掌握所学知识。这种方法的危害至少有二:一是背离教育教学的目标。二是容易使学生产生反感,在感情上和老师疏远。因此教师在小结时,应坚持“教学相长”原则,首先必须十分注意尊重教学大纲、教材,讲前要弄清课文的内容和脉络,对可讲可不讲的内容尽量不讲,留给学生自己去思考。其次还可组织学生对本课的疑难问题进行集体讨论,教师应肯定长处,指出不足,进行点拨。这些办法,既能激发学生的热情,又能较好地完成教学任务。

四忌简单归纳。

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即对所讲的知识,不加分析地简单地加以归纳,就问题讲问题,流于形式,摆花架子,而不是在熟练掌握各知识点的基础上,去伪存真,深入钻研。这样的总结只是知识点表面化的一些东西,是课堂内容讲解的重复。学生对教师的期望值往往比较高,到了“山重水尽”之时,都想从教师那里得到“柳暗花明”。这样的简单归纳,只能令学生失望,只能吃力不讨好。

事实证明,课堂上教师几句富有科学性、逻辑性而又准确、鲜明、生动的归纳小结,往往能使学生豁然开朗,从而大大提高教学效率。反之,将会事倍功半。 六、问卷调查 (一)我们课题组对学校全体数学老师和部分学生对“初中数学课堂下小结的重视与否”进行了调查，调查结果如下： 教师对课堂小结的态度 很重要 人数 4 比例 66.6％ 重要 人数 1 比例 16.7％ 一般 人数 1 比例 16.7％ 从表中的数据可知; 16.7％教师认为重要，16.7％的教师认为一般，这说明：有一部分教师在教学过程中不太注重数学思想的渗透和形成。

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教师对数学课堂小结的重视程度 重视 人数 1 比例 16.7％ 一般 人数 1 比例 16.7％ 不重视 人数 比例 4 66.6％ 从表中的数据可知：重视数学课堂小结的教师只占16.7％，而不重视数学课堂小结的教师却占66.6％，可见，一半多以上的老师在平时教学中，不够重视数学课堂小结教学。 学生对数学课堂小结的态度 重视 人数 29 比例 16.2％ 一般 人数 100 比例 55.9％ 不重视 人数 比例 20 11.2％ 从表中可以看出，重视数学课堂小结的只有16.2％，而其他同学认为自己不够重视数学课堂小结；可见，大部分的同学在数学学习中，对数学课堂小结不够重视。

学生对数学课堂小结的重视程度

重视 人数 25 比例 14％ 一般 人数 70 比例 39．1％ 不重视 人数 比例 70 39．1％ 从表中可看出；大部分的同学认为自己对数学课堂小结不够重视的，只有14％的同学认为自己还比较重视课堂小结；可见，初中生对数学课堂小结的掌握程度不很好。

由调查结果的数据可知，大部分初中生对数学课堂小结是不够重

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视，其原因在于对数学课堂小结的教育价值还是认识不足。部分教师在实际教学中认为数学课堂小结不很重要，以使大部分教师平时教学注重前面部分，轻视结尾，忽视数学课堂小结教学这一重要环节。其原因：教师的教材观、教学观均有偏差，有待改变。

（二）、我们课题组对实验班和对照班进行了“你喜欢什么样的数学教学方法”的调查（最喜欢、喜欢、不大喜欢只选一项，可以弃权，两班学生都选40人）。调查结果如下：

八年级（1）班“你喜欢什么样的数学教学方法”调查结果统计表 代号 教学方法 最喜欢人喜欢人数 不大喜欢 合计 数 1 老师讲学0 生听 2 老师提出12 问题学生思考 3 小组合作32 进行课堂小结 4 老师进行19 课堂小结 八年级（2）班“你喜欢什么样的数学教学方法”调查结果统计表 代号

人数 13 22 35 8 10 30 6 0 38 5 13 37 教学方法 最喜欢人喜欢人数 不大喜欢 合计 17

数 1 老师讲学1 生听 2 老师提出8 问题学生思考 3 小组合作10 进行课堂小结 4 老师进行19 课堂小结 16 19 24 10 人数 21 32 7 39 6 35 3 38 从以上调查统计表可以清楚的看到：学生最喜欢人数最多的教学方法是“小组合作进行课堂小结”。

这个调查统计表明确告诉我们，学生是多么的喜欢“小组合作进行课堂小结”和“教师揭示数学思想”，而这两种教学方法正是数学新课程和新教科书所大力倡导的。因此我们在教学过程中尽量运用上面这两种教学方法，来激发学生的学习兴趣，进而提高数学教学效果，提高学生的数学素养。另外我们要尽量少使用“老师讲学生听”这种教学方法，因为这是学生最不喜欢的教学方法，如果确实要用也要尽量和“老师提出问题学生思考”这种教学方法结合使用防止学生对数学课程教学失去兴趣。最好我们要说明的是“学生自己思考发现问题”这种教学方法对学生要求较高，学生不是很喜欢。我们不是经常使用这种教学方法，

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特别是我们这些农村中学学生基础比较薄弱更是不能多用这种教学方法。否则将事与愿违，不仅起不到培养学生思考的能力的目标，而且可能使学生对数学新课程教学失去兴趣。这种教学方法也尽量要和“老师提出问题学生思考”教学方法结合使用。

另外，为了验证教学方法的有效性，我们课题组成员对每次数

学单元测试和期中、期末测试以及新课程测试题的成绩进行了记录，并从以上方面进行了分析:

我们清楚的看出了九年级学生每一章及期中测试的成绩平均分、方差、优秀率及分布频率。实验班的成绩要远远好于对照班的成绩。这些数据有力的说明了我们进行的教学方法实验在很大程度上促进了学生数学成绩的提高，同时还培养了学生各种良好的数学思想方法和数学思维能力。

七、课题研究的成果

近一年的研究中，我取得的成果主要有以下三个方面：

1、通过对课题的研究，我在理论水平和业务能力方面有了较大的提高。在研究过程中大家都写出了许多有关数学新课程改革的论文，或者发表在论文评比中获奖，进一步提高了课题组全体教师的教育教学理论水平和数学教学水平。

2、在各级中成绩相对都在逐步上升。这些数据有力的说明我们进行的教学方法实验在很大程度上促进了学生数学成绩的提高，同时还培养了学生各种良好的数学思想方法和教学思维能力。特别是分析问题解决问题的数学应用能力更是得到了很大提高。

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八、研究后的认识与思考

经过全体实验老师近一年的努力，课题研究达到了预期的目标，取得了较大的成果。

在课题实验中，通过对新教材的研读和理论学习，促进教师发展，大大提高了教师的数学教学素养；通过案例研究、课堂教学观摩研讨，培养了一支具有较高素养、研究型的课改队伍，有效地促进课题组老师的专业水平的提升。

在第一阶段学习过程中，实验老师通过学习新课程理念和先进的教育、教学理念，有效地提升了自我的理论水平；在第二阶段的实践过程中，实验老师带着研究的意识进行备课、教学、反思，更为重视课堂教学的有效性，重视学生的学法指导，实验教师的专业能力教学能力获得了较大的提高。要求课题组成员必须做到\"七个一\"：每周参加一次集体备课、听课题组老师的一节课、每月撰写一个教学案例、一篇研究心得、每学期开设一节较高水平的课题展示课、一篇高质量的论文、学习一本课题研究专著，以上要求有效地引导实验老师进行学习实践、相互交流，掌握课题研究的方法，推动基地校教研组的建设，通过课题实验，促进教材发展，有效实践新课程，教师成为新课程的执行者、创造性使用者与开发者。

实验教师各方面素养得到提升，课程理念、教学方法得到更新，他们摒弃传统的\"教教材\"的想法，树立\"用教材教\"的全新理念。课程专家、数学教材编写专家、实验老师密切接触互动，教师、学生对教材进行认真的解读与分析，促进课堂上的师生对话，养成学生阅读数学教科

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书的习惯，注意挖掘教材中的有关数学思想方法，并在教学过程中进行归纳、渗透与总结。

在课题研究中，实验老师努力体现以学生发展为本的教育理念，使所有的学生都不同程度地学到所需要的知识，都学有所得，并享受到学习数学成功带来的喜悦，从而培养学生的创新意识及实践应用能力，促进学生发展，使学生获得全面发展与终身发展的本领，成为数学学习的主人。

参考文献：

[1]王鹏飞.尝试错误数学教法[J].中学数学参考,1998,(7).

[2]高慧明.在暴露思维过程中培养探究能力[J].数学教学通讯,2004,(7). [3]中华人民共和国教育部.义务教育阶段数学课程标准[M].北京:人民教育出版社,2001.

[4]渠东剑.把数学思考引向深入[J].中学教研(数学),2004(2).

`课题组研讨活动及会议记录

第1次研讨活动

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研讨主题 时间 参加人员 活动经过 开启教科之路，推进素质教育 2009．10 活动形式 讨论会 学校课题组成员、部分数学老师 1、 育 ① 目前基础教育现状 ② 现状教师的教育现状，必须向科研型转变； ③ 以“特色教学”提高学校的知名度。 2、 3、 教研组老师谈教研课型选择。 教师展开讨论。 针对当前教学现状，贯彻新课程理念，推进素质教研讨的热点、观点与述评： 经过讨论，全体教师一致认为，学校要生存，求发展，必须走教育科研之路。只有在教研指导下，才能提高教育质量。但也认为，教科研虽然搞过，但是难度很大，不好下手。 收获与结论 通过与会教师的热烈讨论，针对我校教科力量薄弱的特点，结合本校实际，决定向临海有关行家请教，得到有教研经验老师的大力支持，确定《初中数学课堂小结研究》为本校课题。 备注 课题组研讨活动及会议记录

第2次研讨活动

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研讨主题 时间 参加人员 活动经过 开启教科之路，推进素质教育 2009．12 活动形式 讨论会 学校课题组成员 1、 2、 宣布本课题组成立及人员名单； 认真学习《初中数学课堂小结研究》这一课题的内容，内涵： 3、 研讨的热点、观点与述评： 初步认为通过本课题的研究，能够帮助一些数学老师提高数学课堂效率，帮助学生提高学习数学的积极性，掌握技能，培养能力。对各种教学方法的研究，是一条提高数学教学效率的可靠途径，是提高教师素质，提高素质教育教学质量的有效措施。 收获与结论 通过对课题内容的学习，明确搞教育科研的重要性，并对课题的展开有了信心，目标明确，思路清晰。 备注 `课题组研讨活动及会议记录

第3次研讨活动

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布置本课题的有关工作。

研讨主题 时间 开展新教育方法，提高教学效率 2009．12—活动形式 2010．1 教学研讨会 参加人员 活动经过 全校数学教师 1、 听课：①《二次函数》 ②《实际问题与一元一次方程》 ③《一次函数复习》 2、 3、 研讨的热点、观点与述评： 1、 教学不是象以前那样简单的“教教材”，而是“用教材”。合理的评课交流，任课教师谈教学设想。 课题组老师评价及谈今后的做法。 将教材中进行整合，组织教学。 2、 教师的教学并不局限于过去的教学方式，用“灌输式”的教学已经有所改变，学生的学习方法也正逐步走向自己学习。 3、 学生课堂思维活跃，学习积极性高，充分体会到学习数学的乐趣。 收获与结论 自主训练已经初步出现了与传统教学方法的抵触，对老师有一定的促进作用，实验式开始走上正道。 备注

研究的阶段性小结

第一研究阶段

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起讫时间 2010.3-----2010.6 主要研究目成立课题组，调查现状，制定计划 标 完成的主要基本完成上述目标，制订课题研究计划 研究工作 阶段性成果的形式与目录： 召开课题组成员会议，由组长安排对课题组成员进行分工调查现状，确定研究内容:①转变教学观念，要认识到实施主体教育，培养创造人才；②统计初中新教材中的课堂小结形式，并进行分类及分组研究。③辅助措施。 主要研究收获： 大家普遍提高对本课题的认识，勇于对数学教学改革，使大部分教师思想发生改变，在教学中以学生为主体，从实际生活出发，激发学生学习的兴趣和自主创新意识。 存在的困难与问题： 教研的信息不够迅速，学生的自主发展要持之以恒，有些教师缺乏恒心与毅力。 对下阶段研究建议： 积累信息，虚心求教，请有关专家指导，教师互相讨论，互相合作。 研究的阶段性小结

第二研究阶段

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起讫时间 2010.6-----2010.9 主要研究目学习资料，尝试阶段 标 完成的主要利用教材中的内容，结合数学教学，设计新的教学方法。 研究工作 主要研究收获： 大家普遍提高对本课题的认识，勇于对数学教学改革，使大部分教师思想发生改变，在教学中以学生为主体，从实际生活出发，激发学生学习的兴趣和自主创新意识。 存在的困难与问题： 教研的信息不够迅速，学生的自主发展要持之以恒，有些教师缺乏恒心与毅力。 对下阶段研究建议： 积累信息，虚心求教，请有关专家指导，教师互相讨论，互相合作。

研究的阶段性小结

第三研究阶段

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起讫时间 2010.10-----2010.11 主要研究目调查各种数学课堂小结的教学形式在实际教学中的效果 标 完成的主要基本上能按计划完成所有的研究目标 研究工作 阶段性成果的形式与目录： 针对各种数学课堂小结的教学方法，设计调查问卷，了解学生喜欢的教学方法。结合课堂教学，集中教研，讨论、座谈、论文、小结汇报等形式。 注要研究收获： 根据调查反馈，肯定了一些课堂小结设计的新的教学方法。 存在的困难与问题： 学校资源紧张，教学设备 不够完善，好多教学素材无法在课堂上呈现。 对下阶段研究建议： 添置教学设备，让研究成果切实落实到教学中，推进素质教学教育的发展，对不足之处应想办法解决，做到有始有终。 数学课堂小结教法初探

尤溪镇中学 钟赛芬

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摘要:本文对中学数学课堂小结的教法作了初步探讨和总结,课堂小结主要有学生自议小结法、“设错—纠错”小结法、习题检测小结法、延展式小结法。

关键词:数学课堂;小结教法;自议;设错 纠错;检测;延展

龙身画完了,最后是点睛之笔,这一笔点好了,整条龙才能活灵活现。课堂小结是整堂课的“点睛之笔”,至关重要。

在现实的课堂教学中,经常发现,教师的课堂小结往往流于形式,效果并不理想。有经验的教师非常注重课堂小结的设计,总是把学习的主动权交给学生,使学生的知识得到巩固,能力得到提高,做到善始善终。课堂小结的成功与否,也是衡量教师教学水平高低的标志之一。

课堂小结的方式有多种形式,或归纳总结,强调重点、难点;或留下悬念,引人遐思;或含蓄深远,回味无穷:或新旧联系,铺路搭桥等。

1. 学生自议小结法

现代教学理念的突出特点是,以发展学生智能为出发点,在充分发挥教师主导作用的同时,更充分强调学生的主体作用,调动学生学习的积极性,组织学生交流和总结。学生自议小结法的主要功能有:

(1)提供足够的时间和空间让学生对知识进行“内化”; (2)提供学生思考和主动归纳知识的机会;

(3)充分发挥个体作用和群体效应,创造师生共同探讨问题的良好气氛。

实施学生自议小结法的具体过程为:

(1)讲完新课后,就把学生分组展开讨论并总结该节课的重难点、注意

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事项及存在的疑难问题;

(2)教师随机抽查学生,以演讲形式给全班学生进行该节课的小结。 此时,教师可再一次征求其他学生意见,如有异议,则进一步完善补充。然后,教师点评和纠正。最后,询问学生有何疑难问题,并作出解释或给出提示。

如在执教“初二几何:全等三角形的证明”一课时,课堂小结可设计如下:

师:通过今天的学习,练习了四个判定公理来证明三角形全等。请讨论以下问题(投影):

问题(1):判定两个三角形全等的四个公理是什么?

问题(2):如何证明两个三角形全等?如果已知条件或自然条件不具备三个怎么办?

(通过学生小组讨论后,教师随机抽学生回答)

生甲:(1)判定两个三角形全等的四个公理是:a,SAS;b,ASA;c,AAS;d,SSS(复述具体内容略).

(2)证明两个三角形全等,需要三个条件,其中要有一组对应边相等;如果已知条件不足三个时,则探求其它的全等三角形来创造条件。

师:生甲答得很好!这是这一节课要解决的主要问题,在证明三角形全等条件不足时,要创造条件,凑足三个;一般是找另外的全等三角形来提供条件。(这时,教师再结合例子和课堂练习举例说明)

师:有疑问的同学请举手。

生乙问:为什么SSA,AAA不一定成立,能否再举出几个反例来说明?

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师:问得好!

(1)如图(1)在△ABC和△ABD中,∠B=∠B, AB = AB,AC = AD,但△ABC与△ABD就不全等。

(2)图(2)直线BD与CE相交且BE∥CD,则∠B=∠D,∠C =∠E,∠BAC=∠DAE,

但△ABC与△ADE不全等。 2.“设错—纠错”小结法

学起于思,思源于疑,疑根于错。在数学课堂小结教学中,适时合理地“设置错误”,能使学生在发现错误、纠正错误的过程中,研究、解决问题,从而激发学生的求知欲,以达到事半功倍的教学效果。 “设错—纠错”小结法是以“错误”作“负

反应”后学习刺激,反面“强化”错误,从而达到正强化之目的,并且以提高错误的教育价值为宗旨,坚持“以错攻错,以错施教,以反显正”的原则,其基本模式及操作程序是:基本模式:设计—知错—改错—防错操作程序:

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由上图可见,“设错—纠错”小结法的实质是为学生提供以“错误”为源泉的学习反应刺激,使学生在错误中审视、体验、反思所给予的“刺激”,引起“知错,改错,防错”的良性反应。不言而喻,“设错—纠错”小结法不是鼓励和诱导学生重蹈覆辙,而是通过纠错增强学生对错误的“免疫力”。

如在执教“初三几何:切线的判定”一课时,课堂小结可这样设计:师:这一节课学习了切线的判定定理。如图(3)(4)所示,LA都为⊙O的切线吗?

生甲:圆的切线必同时满足两个条件,第一,经过其半径的外端;第二,垂直于这条半径。这两个条件缺一不可,否则将不成为切线。图(3)缺少第2个条件,图(4)缺少第一个条件,所以这两直线都不是⊙O的切线。 师:到目前为止,判定直线与圆相切的方法有:

(1)当直线和圆有一公共点时,直线与圆相切(即:定义法).

(2)当圆上的点到直线的距离等于圆的半径时,该直线与圆相切(即d = r法).

(3)切线的判定定理。 生齐答:错了,(1)(2)都不对。

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生乙:(1)应改为:直线和圆有唯一公共点时,直线与圆相切。(2)应改为:当圆心到直线的距离等于圆的半径时,直线与圆相切。 师:那么判定直线与圆相切的方法有三种。

第一,“定义法”是判定直线与圆相切的基本方法,也是证明其它切线判定定理的依据,但有时无法判定直线与圆是否有公共点。

第二,“d = r法”,当己知条件中没有明确给出直线和圆有公共点时,常用此法,所用到的辅助线是过圆心作直线的垂线。

第三,在己知条件中,直线和圆已有一个公共点时,常用切线的判定定理来判定,常用的辅助线是连结圆心和这个公共点,然后证明这条半径和直线垂直。在判定直线与圆相切时,可根据问题特点,因“题”制宜,灵活选择。

3.习题检测小结法

知识在训练中落实,能力在实践中提高。数学课堂小结可通过习题训练,使学生达到强化和巩固的目的。而习题检测小结法中的题目设计,应是精选精编的高质量的习题,能覆盖本节课的主要内容,题目的形式要多样化,难易有层次,以期达到加强学生的训练密度和使学生掌握这一节课重难点的目的。

如在执教“初三代数:一元二次方程”一课时,课堂小结可设计如下:

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4.延展式小结法

延展式小结法是通过课堂小结激起学生的学习兴趣。学习策略延续拓展到课外,鼓励学生探索课本以外的知识。这正是“研究性学习”的意义所在。一节成功的课,除了有一定的达成度,还必须有一定的延展性,突

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破课堂教学的局限。延展式小结的设计,可使学生感到“言已尽而意无穷”,把课堂小结作为联系课内外知识的纽带,是引导学生向课外延伸扩展、开辟“第二课堂”行之有效的途径。如在执教“初三几何:相交弦定理”一课时,课堂小结可设计如下:

本节课学习了相交弦定理和它的推论,在证明和计算有关问题时经常用到,但这个定理只介绍了两弦相交这一特殊情况,课后请思考:(投影如图5所示) 1、圆中两弦还有哪几种位置关系?(平行,相交,或延长相交)对于其它几种情况有什么结论?

2、如图,在⊙O中,AB、CD相交于点P,则PA·PB =PC·PD,过P点任作一弦MN,则PM·PN =PA·PB = PC·PD.

即PM·PN为一固定不变值,那么这一固定不变值是什么? 进行归纳、猜想,并证明所得结论。

总之,教学有法,而无定法,课堂小结教法的设计,决非几种模式所能涵盖,要因材而异,并结合学生的实际情况,把教育学心理学原理运用到教学中去,这样才能做到真正意义上的“画龙点睛”。

参考文献

[1]王鹏飞.尝试错误数学教法[J].中学数学参考,1998,(7).

[2]高慧明.在暴露思维过程中培养探究能力[J].数学教学通讯,2004,(7).

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让课堂小结成为提升教学有效性的杠杆解

尤溪镇中学 胡金国

【摘要】课堂小结作为教学中的最后一步环节,理应起到促进学生发展的“杠杆解”作用。教师要巧妙地撬动学生的心灵,让学生在精彩的“谢幕艺术”中有所思、有所悟、有所动,方能真正发掘课堂小结的能量,切实提升课堂教学的有效性。

【关键词】课堂小结 有效性 杠杆解

关于“杠杆解”的理论,在彼得·圣吉斯所著的《第五项》一书中,有这样的一段描述:几年前的一个初春,当我在美国的缅因州泛舟时,目击了一件意外的悲剧。我们遇到了一个小水坝,于是把独木舟拖上岸,绕道水坝的下游。第二队里有个喝了酒的年轻人,决定以橡皮筏冲下水坝,不料皮筏翻了,他掉进了冰冷的水中。由于大家距离他很远,无法救他。只能惊恐地看着他为抗拒水坝下的回流没命地向下划动。他挣扎了好几分钟,然后被冻死。他的身体随后被水吸进旋涡里,几秒钟后在下游几十码的地方搁浅。他在生命的最后一刻尝试去做的徒劳无功的努力,水流却在他死之后的几秒钟之内为他完成了。其实,杀死他的正是他的奋力对抗。他不知道,唯一正确的对策是“与直觉相反的”(counterintuitive)。如果他顺着回流潜下,他应该还可以保住性命。①

这名落水青年如果能够清醒地分析自己落水后的整体处境,顺势利导,采用顺水漂流或自动沉下去等办法,就能达到逃离险境的目的。而事实上,他并不了解自己的真正处境,所以采用了表面解决问题的办法(或称为“直接解”),徒劳而无功。由此,“杠杆解”的基本含义可以从这个例

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子中得到这样的理解:以对事物结构的深沉、整体分析为依据,所采用的顺势利导、有效解决问题的方法。

课堂小结作为教学中的最后一步环节,理应起到很好“促进学生发展”的杠杆解作用。但教师每到了这个关键的时候,总习惯于进行直接解的处理:只把课堂小结当作不可缺少的一环(这当然也是对的),却鲜有明确的目标意识,很少涉及过程与方法,情感、态度与价值观的内容;忽视了学生的主体地位,几乎是一成不变的形式———教师的独白与“告知”———学生只是在“听”、接受老师强加给自己的“教学成果”;甚至成了课堂结束的序曲。当老师作课堂小结的时候,学生往往是在作好下课的准备,至多是记下小结的内容和作业,很少再有积极主动深入

的思考。这种形式化的课堂小结显然不是我们所需要的。如何在课堂小结部分把握“杠杆解”,最大限度地发挥其应有的作用,以“更轻巧”的方式,取得课堂

教学的高效益,是我们应该积极探索和不断完善的课题。

一、一个案例(片段)

以下的课堂教学片段,是笔者在听课时所遇到的。并且笔者认为,在当前的中学数学课堂教学过程中,此类课堂小结,依然带有一定的普遍性。教学内容是七年级下册第六章一元一次方程“实践与探索”,课堂实录如下:

师:同学们,今天我们学习了根据具体问题中的数量关系列出一元一次方程并求解。大家掌握了方程解应用题的一般方法和步骤,能初步应用方程解决一些生活和学习、工作问题。特别提醒大家要抓住本节课的

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重点,也是难点:分析题意,正确地找出相等关系从而构建出方程。还需要引起注意的是,要正确地设出未知数,要能根据问题的实际意义检验所得结果是否合理。另外,几何问题里的画草图、路程问题中的画线段图等,这种数形结合帮助分析题意的方法,是本节课重要的数学思想方法,请大家一定要记住。下面布置作业......

课后,笔者进行了学生访谈。 问:对老师的课堂小结,你们感觉如何?

生1:通过老师的总结,我们知道了本节课的重点内容。 生2:老师作小结时,就快要下课了,我们都不太在意。 生3:我一般都是记下或抄录老师的小结,但课后很少再去看。 生4:听不听老师小结无所谓,实际上老师是在重复前面的话。 ……

显然,这种课堂小结缺少对教学过程整体上的深层把握,形式单一、只重结果、强加于人,实难唤起学生的激情,学生至多是在被动地听、记,有些地方还听不进去。有时学生虽然记下“重点”、“难点”,但记下又能产生多少积极的作用呢?久而久之,这种“直接解”式的课堂小结只会使学生失去兴趣,甚至生厌,教师真是“吃力不讨好”。

二、杠杆解式课堂小结的价值

1.让小结变成学生的自我建构,而非教师代劳

按照新课程教学理念,“人人学有价值的数学”,“人人都能获得必须的数学”,“不同的人在数学上得到不同的发展”。②课堂小结既然是课堂教学的主要环节之一,就必须是在教师的引导下的学生自主学习、探

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究活动的继续和深入,学生依然是学习的主人。只是这种学习活动目标更明确,过程更集中,教师的引导作用也更为重要。杠杆解式的课堂小结就是要求教师在这一过程中,要敢于“放手”给学生,同时要积极参与其中,适时点拨,正确引导。也许学生的思考与总结不够“完善”,你一言、我一语的发言不够全面,甚至一些学生说不到“点子”上而影响一堂课的“完美结局”,但这毕竟是属于学生自己的“成果”,是学生自主建构知识的结果,从发展学生的认知结构而言,显然更具有积极意义。

2.留出悬念,让小结变成下一次探究的开始杠杆解式小结为学生搭建进一步探究学习、交流展示的平台,能更好地培养学生的反思、概括、表述等能力;使学生养成良好的数学学习习惯———善于反思,体验过程,领悟规律;使学生充分享受课堂学习带来的成功喜悦;把培养学生的课堂学习主人翁意识贯穿课堂教学始终。

3.让小结变成教学后反思,意义深远杠杆解式课堂小结着眼于因势利导,通过学生主体参与,充分地暴露学生的思维和教师课堂教学过程中存在的问题与不足。哪些是成功之处,哪些是需要改进的地方,知识落实情况如何,思想方法渗透效果怎样……这种来自教学对象当堂的自然流露与反馈,既真实自然,又及时贴切,实在是教师自我反思,促进自身专业成长的重要和必须的途径之一。 三、杠杆解式课堂小结的尝试

由此,笔者认为,把握课堂小结的杠杆解要求教师:依据学科特点,紧扣课堂教

学内容,让课堂小结同其他教学环节一样继续创设有利于学生进一步开

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展探究活动的情境;引导学生自主反思学习体验过程,归纳总结思想方法;引申、升华规律,把数学思考引向深入,从而巧妙地将学生“撬”入“悟”的更高境界。

1. 引导学生反思学过的内容

一节课下来,学生学习了哪些知识,经历了怎样的探究学习历程,领悟到怎样的数学思想方法,获取了怎样的研究、学习经验,甚至遭受到的种种挫折,都是值得我们引导学生加以回顾、反思和总结的。

比如在小结“平行线的识别”、“平行线的特征”概念的学习过程中,可以首先引导学生回顾概念建立的全过程,设计思考题:(1)建立概念的必要性;（2）建立立概念的合理性;(3)如何理解概念的本质属性,并让学生用自己的语言表述。经过学生的思考、发言、交流,大家对概念建立的过程及概念本身有了较深刻的理解。相比起教师独白“今天所学的概念是......重点是……大家一定要……”,二者效果迥然不同。

2.点拨学生体验数学学习方法通过数学学习,学生要获取重要的数学知识,更

要体验学习、研究数学的方法。我们在课堂小结时,可有意点拨学生总结数学学习的经验,领悟数学研究的方法,培养学生的终身学习能力。

例如“数形结合”思想伴随“函数”学习过程的始终。教材中的很多函数的性质都是通过观察个别函数的图像归纳抽象出来的,如初中九年级教材“二次函数y=ax2+bx+c的图像”,就是在同一坐标系中画出函数y=ax2图像,然后向相应方向做适当“平移”而得到的。这实际上是一种探究、学习函数性质的重要方法,但它隐含在知识学习的过程之中。教

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师在课堂小结时,要予以巧妙点拨。教学实践表明,长期坚持对研究历程的回顾与总结,对于学生领悟数学研究的方法、把握数学的本质、提高学习能力都是十分有效的。

3.指导学生学会优化思维策略在课堂小结过程中,我们应当指导学生对数学

思维过程、解题思路与策略进行对比优化,让学生在选择中得到发展,在优化中得到提高。

例如,在遇到列方程解应用题时,学生往往对何时使用“间接设未知数”,何时宜采用“直接设未知数”感到心中无底。为此,教师在进行小结点评之前,可让学生相互交流解题体会,努力说明为什么有的时候“直接法”较容易,有的时候“间接法”较简单?学生的学习潜能一旦被挖掘出来,必将会开出绚丽灿烂的思维之花。

4.帮助学生领悟数学思想方法。数学思想方法不同于一般的数学知识,它呈现的方式是隐蔽的,这就决定了数学思想方法的教学要靠平时的“渗透”。“数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括,它蕴含在数学知识发生、发展和应用的过程中。”③在概念、定义的引入、例题的讲解中引导和启发学生探索知识的发展过程,恰到好处地指出相关的数学思想方法,久而久之,学生就能获得知识上的飞跃和数学素养的提升。

中学阶段常用的数学思想方法有:符号、分类、化归、数形结合等。例如,a2±2ab+b2=(a±b)2表示完全平方公式,它的意义是:两数的平方和加上(或减去)这两个数的积的两倍等于这两个数的和(或差)的平方。在这

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里用字母表示数的方法就属于符号思想,在数学教学中贯穿符号思想,起到化繁为简的目的,便于学生记忆,又有利于培养和提高学生的思维能力。

可以说,掌握了数学思想方法,就找到了打开数学大门的金钥匙。在数学教学中,数学思想应放在优先考虑的位置,这是提高学生数学水平的一项重要任务,而这一切都要靠学生的自觉领悟。

5.抛出问题挑战学生的“最近发展区”课堂小结应成为学生的新的学习、探究的开始,而绝非四平八稳的“大结局”。我们可以在学生课堂学习的基础上,在学生的“最近发展区”内,向学生抛出相关的、有吸引力的和富有挑战性的问题。让学生带着问题(甚至是困惑)、带着思考和探究的欲望走出课堂,把课堂延续到课外。诚然,课堂小结这一教学环节可能不是课堂教学的高潮,且用时短暂,往往

不为师生所关注,但只要我们用心为之,就能够创造出“意犹未尽,回味无穷”的境界。

课堂小结既不是课堂教学结束的“序曲”,也不是课堂教学成果(结论)的“开列清单”,更不是教学活动过程的“转轨”———变为教师的“独角戏”。数学

课堂小结要成为神来之笔、点睛之笔,需要教师充分运用灵活多变的方式、方法赋予其相当的思想和艺术品位。利用“杠杆解”巧妙地撬动学生的心灵,让学生在精彩的“谢幕艺术”中有所思、有所悟、有所动。这样的课堂小结才能真正成为课堂教学中一道亮丽的风景线,让学生心旷神怡、流连忘返。

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注释:

①(美)彼得·圣吉著,郭进隆译.第五项———学习型组织的艺术与实务[M].上海:上海三联书店,1998,第100页.

②中华人民共和国教育部.义务教育阶段数学课程标准[M].北京:人民教育出版社,2001.

③渠东剑.把数学思考引向深入[J].中学教研(数学),2004(2).(张源:西南大学教育学院硕士生,重庆北碚,400715)

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数学课堂小结之反思 尤溪镇中学 胡金国

在课堂教学的过程中，课堂小结是每位老师每一堂课的一个重要内容。在每一堂课临近结束时，回顾学习探索的历程，领会重要的学习方法，对于掌握和理解课堂教学成果，理清知识结构，培养学生的学习能力和教师反思自己的教学，都是十分有意义的。然而在我们的课堂教学实践中，我们还存在着不少的下述现象：只把课堂小结当作不可缺少的一环，没有明确的目标意识，几乎是一成不变的形式。教师只是独自地告白，学生也只是默默地听从，接受老师强加给自己的教学成果，课堂学习甚至成了课堂结束的序曲。学生很少再有积极主动地深入思考。如何提高课堂小结的高效率，最大发挥其应有的作用，是我们应该积极探索和不断完善的。

首先，按照新课程教学理念，数学教学是活动的教学，数学新课程教学提倡在课堂上，生与生、师与生之间交往互动、共同发展。课堂小结既然是课堂教学的组成部分，就必须是教学活动中的一部分，是在教师的引导下，学生的自主学习，探究活动的继续和深入。教学的目的是人，所以学生依然是主体。只是这种学习活动目标更明确，过程更集中，教师的引导作用也更加重要。在这一过程中，教师要敢于放手给学生同时自己也要积极参与其中，适时地去点拨，正确地引导，也许有的学生的思考不够完善，发言也不够全面，甚至有的学生根本就说不出，从而影响了一堂课的完美。但毕竟是学生自己的成果，是学生自我知识的构建，是学生自身知识系统的结果，显然更有意义。

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其次，在师生小结过程中所渗透的数学思想及方法进行总结梳理。这是深化学生思维的重要内容。学生对所学知识有无深刻的理解和认识，就要看他对整节课的知识发生、发展过程中所体现的数学思想方法的认识程度。对学生的发展而言，学习的价值不只是记住几个数学结论，解决几个习题而已，而是让学生在解决问题的过程中体会到解决问题是可以有不同策略的，这些解决问题的策略，渗透着数学的思想方法在里面。当学生能用自己的语言表达对问题的理解，对常见的数学思想方法有一定认识的时候，学生的思维才能真正得到升华。

再次，通过学生的参与可以更充分地暴露学生的思维过程，发现学生的的掌握情况，同时也是检验教学过程中的问题和不足，有些还可能是教师意料之外的结果。哪里是成功的，哪里需要改进，知识点有没有落实，思想方法还可以怎么渗透，这种来自课堂上的师生的相互交流，既真实自然，又及时贴切，是教师反思自我，促进自我成长的重要途径，又是学生思维的一种升华。

因此，课堂小结时应做到：第一要紧扣课堂教学内容，和我们的教学过程设计一样，要继续创设有利于学生进一步探究活动的情景，引导学生反思过程归纳总结方法。这样一节课下来，学生学习了哪些知识，经历了怎样的探究历程，领悟了怎样的数学思考方法，遭遇了怎样的挫折，都是值得我们引导着学生加以回顾。反思和总结的。第二要有意识地引导学生总结数学的学习方法，培养学生自我的学习能力。例如在余角和平角的课堂小结时，补角的定义与性质可以通过类比余角的定义与性质得出，同时本节课中的运动的观点，方程的思想、数学建模的思想，

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特殊与一般的思想等等，在小结时都应该引导学生结合过程知识进行高度概括。让学生深刻体会数学思想在解决问题中的作用。再如在配方法一节的课堂小结时，应引导学生概括配方法的实质就是将一个一般式的方程转化为一个数或式子的完全平方的过程等等。在小结中不断让学生体会常见的数学思想方法，如函数与方程思想，数形结合思想，分类讨论思想，化归与转化思想等等，能让学生的思维能达到一个较高的思维水平，能让学生用数学来思考问题，分析问题，解决问题，从而提高学生的整体数学水平。第三要有对比优化策略。我们应当引导学生对数学思维过程，解题思路和策略进行对比优化让学生在比较中鉴别，在选择中得到发展，在优化中得到提高。第四在数学习题课、讲评课及某些新授课中，对于经典的数学习题的小结也非常重要。比如一题多解、一题多变、经典的生活背景题目等。在小结归纳时，让学生体验同一问题的不同解法时，感受解决问题的不同策略；让学生体验问题的评价方法不同的差异时，感受不同方法的得出主要来源于我们对问题的认识角度的不同；让学生体验生活问题数学化的过程中，感受数学就在我们身边。对这些问题的小结，就是学生的一个学习反思的过程，通过反思解决问题的可能性和有效性，让学生在自己的大脑中将知识与技能、过程与方法内化为自己的学习能力，享受情感与态度上带来的成功的快乐。

课堂小结不应该是四平八稳的大结局，而应成为学生学习的新的知识的学习探索的开始。我们可以在课堂学习的基础上，在学生的继续学习的方向上。向学生抛出相关的，富有挑战性的，有吸引力的问题，让学生带着问题，带着思考和探究的欲望走出课堂，从而把课堂延续到课

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外。我们应当明白，课堂小结既不是课堂教学结束的“序曲”，也不是教学成果的介绍会，更也不是学生学习活动的结束，而是从一个舞台走向另一个舞台的开始，课堂小结虽然短暂，我们只要用心来做，就能够创造出意犹未尽，回味无穷的境界来。

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新课程标准下的初中数学新课小结研究

所谓新课小结,是指教师在新课或教学内容结束时引导学生进行知识总结、归纳的教学行为,是教学过程中的结束环节,也是创设良好课堂情景的最后环节。高效的课堂小结,不仅可以优化课堂教学,巩固学生的课堂新知,还可以传授新的知识,激发学生的学习兴趣。

一、新课小结的理论研究

现代课程理论有三大流派:学科中心论、儿童中心论、社会中心论。学科中心论认为教学内容应符合数学学科本身的逻辑顺序,做到学习内容的数学性。儿童中心论要求学习内容贴近儿童的认知实际,从而要求教学内容具有一定的趣味性,易于激发学生的学习积极性。社会中心论认为教学内容应符合社会未来发展的需要,要求教学内容应具有一定的社会应用性,让学生体会到学科学习的有用性。因此,我们初中数学教学中的新课小结应体现以下三大原则:数学性、现实性、趣味性。

美国心理学家布鲁纳曾指出“教学过程是一种提出问题和解决问题:的持续不断的活动。”每堂课的各环节之间是密不可分的,新课小结的成功与否直接关系到整堂课的连贯性,关系到学生的学习状态。良好的新课小结不仅可以给课堂的成功开展画上美满的一笔,还可以激发学生的学习兴趣,维持学生的思维状态,使学生的思维由浅入深、由深入广,逐渐过渡到课后的学习情境中;良好的新课总结还可以帮助学生理解本课堂的知识,铺设新旧知识的桥梁,以新学的知识回顾以往的知识,并带动对以后的知识学习的兴趣与欲望。

二、新课小结的方法

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1.以“本”总结

教师应认真研究教材内容,挖掘其中的内涵,发现它的总结价值。在教学阶段,将自身的教学认识和教材内容溶为一体,通过自己的“沉”与“钻”,使自己的知识水平高于教材、深于教材、广于教材。例如,在进行不等式的课堂教学时,对不等式的性质的总结:一是与学生共同回顾三条基本性质的内容与实质;二是提醒学生三条不等式的基本性质是进行不等式变形的主要依据,并与等式的性质进行比较,灵活运用;三是避免惯性思维的影响导致运用不等式“基本性质3”时出现错误。这样的总结不仅立足课本,同时使学生结合了以往的知识,对比了以往的知识,从而避免运用时易发生的问题。

2.以“动”总结

“动”可以让学生充分动手、动眼、动脑。心理学研究表明,让学生动手不但可以增强学生对所学知识的理解,还可以巩固学生对知识的记忆。教学中,让学生动手做一做,有利于提高教学质量。课堂的末阶段,让学生动起来,不仅培养了学生的动手能力,还可以继续维持学生的求知欲,对所学知识进行总结和利用。例如,总结三角形的中线、角平分线和高时,先让学生自己任意画一个三角形,并在其上画出中线、角平分线和高,让学生对照画的过程,进一步找出这三种线段的特点。

3.以“问”总结

问题是数学的核心,是思维的出发点,有问题才会有思考。思维是从问题开始的,新课程讲授完了,似乎问题就解决了,就没有问题了。其实教师可以通过具有一定思维量的问题向学生提问,这样不仅可以让学生对

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上节课的知识进行总结、巩固,还可以引导学生对以往知识进行比较、对后面的知识产生好奇,使他们产生强烈的“愤”与“悱”的心理状态。每堂课或每个知识点的传授后,必要的辅助训练不但可以对知识进行巩固,还可以触类旁通地让学生对知识进行衔接、升华。因此在课堂上,对知识总结时就可以用适当的问题对学生进行提问,知识的当场“消化”可以增强学生的自信心。

4.以“故事”总结

教育要使人愉快,要带有乐趣,要为学生的新知识创造一个愉悦、和谐的学习氛围,激发学生学习的兴趣,焕发学生的自觉性和创造性,使学生愿学、善学、乐学。

例如,在讲授“韦达定理”的知识后,可以给学

生们讲这样的故事:在法兰西与西班牙的一次战争中,西班牙依仗着密码,在法国境内秘密地发送情报。在这个国家与民族的危急关头,一位数学家借助数学知识破译了密码,挽救了祖国和民族。这位科学家就是数学家韦达。“韦达定理”就是韦达的杰出贡献之一。通过对定理的产生及发现者的介绍,让学生了解相关

的知识背景,这样既可以让学生对“韦达定理”有进一步了解,激发学生的求知欲,又可以增强学生的感性认识,还可以渗透德育。

5.以“生活”总结

教育心理学研究表明,学习内容与学生已有的潜意识知识及生活经验相溶性越大,学生学习的兴趣就越浓。因此,课堂总结可以从学生熟悉的现实情景和

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学生的经验出发,联系学生的生活实际,总结课上的学习内容。

例如,在讲授三角形的稳定性或四边形的不稳定性的性质后,可引导学生通过生活经验找出现实生活中有哪些是充分利用这些性质的有利一面,而又避免了它们的不利之处。在二元一次方程组的知识传授后,我们可以从生活中挖掘生活原型。如小学时就遇到的问题:爸爸对儿子说:“我像你这么大时,你才4岁,当你像我这么大时,我已经79岁了。”那么爸爸和儿子各几岁?这些与生活紧密相连的问题会引起学生的极大兴趣。

6.以“错解”总结

在平时的教学过程中,很多学生出现过许多错误,不少是因为概念不清,有的是条件考虑不周全,也有的是缺少依据,等等。作为教师,可以从这些错误的解题中得到许多启示,同时可以在总结课堂知识时,借“错”发挥,让学生在错误中学到更多的知识,并避免以后再犯类似的错误。

新的课程改革下,我们对教学在不停地学习、探索,尝试着各种驾驭课堂的方法,研究各种方法之间的联系与互通。对于新课的总结的方法,虽有多种但却不是孤立的,各种方法都在不同的教学课堂上交叉使用着,只要使用的时间恰当,内容紧扣教材,就会吸引学生,激发学生的求知欲。好的课堂总结会让不同层次的学生在原有的水平上得到发展,能让学生体验到学习数学的乐趣与喜悦,从而树立学好数学的信心。

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画龙须点好睛

———从一节勾股定理教学谈课堂小结的有效性设计

去年我有幸观摩了初中数学青年教师优秀课的评比活动.期间,连续听了七节同为《勾股定理》第一课时的教学课,课堂中选手们突出新课程的教学理念,同时也体现出他们较扎实的教学基本功和一定的课堂教学智慧.但美中不足的是有相当一部分选手在教学中忽略了课堂小结这一重要教学环节的有效设计,在具体实施这一环节时,无论从形式还是从内容上都显得虚化与平浅,没有能真正起到课堂小结的画龙点睛作用,不能不说是一个遗憾。 现象一：

师:这堂课我们学习了勾股定理,请你谈谈学习这堂课的体会,你还有什么疑惑或没有弄懂的地方吗? (十几个学生举手,其余的沉默)

生1:通过这堂课我知道了什么是勾股定理. 师:好,还有吗?

生1:还有……,还有……,“勾三股四弦五”. 师:好,请坐.还有哪位同学要说.

生2:我学到了我国很早就知道了勾股定理.我还会用勾股定理计算. 师:好,同学们说得非常好,那谁还有什么问题吗? (一片沉默)

师:(看看手表)勾股定理在今后有非常大的应用,我们要好好地去学习.好,今天的课就到这儿,下课.

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评析:

在上述整个对话过程中无论从形式,还是从师生互动过程都反映出一种虚化的课堂小结.从问题的形式上看,这种问题太大,针对性不强,导致学生不知如何回答,更不能完整地回答这样的问题.

“请你谈谈学习这堂课的体会”,教师或许为了突出新课程中情感态度价值观这一教学目标,充分让学生谈谈这堂课的体会,但过程性的情感态度,有时很难让人表达出来,甚至有的体验是一种瞬间的感悟.或者说这种问题的提出对课堂教学的三维目标没有以课堂小结这一环节进行归纳提升,而仅仅是从体验的层面浅化地表达.从小结的过程来看,当教师提出问题后,学生的回答是很琐碎的,归纳很平浅,没有能从知识、结构、内心真正体验与数学思想的层面来进行.当学生回答出这些琐碎的内容后,我们教师应及时帮助学生有效地归纳总结,而不是一味地让学生随意表达.

尤其是第二个问题“你还有什么疑惑或没弄懂的地方吗?”.事实上在具体的教学过程中,也就是我们教师帮助学生解决问题的过程,学生的问题常常需要在过程中解决,而这时候让学生自己再提出迷惑的问题往往造成冷场.原因是学生们不知如何提,或在这样的场合羞于提出.这虽然是我们目前需要改变的事实,但事实上,很多学生并不是在所有场合、任何时间都能提出合适的问题的.

这样的小结在这次省评优活动中呈现的最多,而且我们平时教学研究活动中也经常会看到教师采用这种方式.似乎这种方式可适用于任何内容的任何一节课,完全没有每堂课自身固有的特点,更没有体现教者在

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设计教学中自己的东西.

目前,很多地方无论是一般研究课,还是观摩课;无论是青年师评优课,还是示范展示课,都在模仿着这种课堂小结.我想平时偶尔为之,未尝不可,但用多了,或作为一种模式来推,就有点虚了.特别是在这次大赛中,各课都是由各市推荐上来的,并都经过有关教研员反复打磨过,这就不得不引起我们的思考.

现象二:

师:同学们,我们回忆一下今天学了哪些内容?

师(继续):我们学习了直角三角形中三边存在的关系a2+b2=c2,而且可通过它来计算有关直角三角形的边.

师(继续):我们还学习了勾股定理文化背景.希望同学们重视结论,今后应用较大.

评析:

这虽是一种较务实的课堂小结,注重引导学生回忆勾股定理的相关知识与计算.但这样的小结着眼于对知识、技能的掌握,忽略了知识产生的过程,忽略了数学思想形成过程的再次感悟与体验.事实上,这次数学评优课活动中选手们在课堂教学中,都能创设自主探究和合作交流教学环节,让学生有充分的时间和空间去探究勾股定理.通过观察分析,通过交流,引导学生自主探究学习.但遗憾的是他们在小结中,仅仅梳理了一下知识、强调了技能、强调了结论.虽然这些是我们小结中必须的,但忽略了数学思想方法产生的过程.这样的小结学生所得到的仍然是零星的知识技能、孤立的结论,而不是系统的体系,不是一种结构化的东西,更不是思

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想方法的提升.

如何恰如其分地课堂小结?美国教育博士加里·D·鲍里奇说:“课堂小结承担双重任务———不仅是终止授课,而且是通过复习、总结或强调重要部分来使学生保持专心直至授课结束.它意味着让学生继续上课,重新组织所学内容,使之建构到一个完整的知识体系里去.”(提供一种结构,归纳基本知识)

虽然,由于授课结束前用于课堂小结的时间所限定,但精彩的课堂小结如同精彩故事的结尾,它们让你保持了紧张和投入,让你感到理解,并能“长久地记住”形成内化的东西,更能重新体验精彩的过程,犹如你回头来看看你的经历,哪些该铭记的,哪些该回味的,并能进一步激发探究的欲望.教学中,我不要由于疏忽这个环节的设计而使课堂遗憾.有效的课堂小结设计应注意下列几点:

1.课堂小结要重视要点的总结和巩固,逐步构建完整知识体系. 学生的一节课学习下来,对于一些重要的内容,一些要点,是比较零乱的,我们必须帮助梳理、帮助其巩固要点难点,这是我们小结的目的之一.但仅仅孤立地罗列、回忆,仍不能让学生形成内化的东西,这就需要帮助其归纳形成结构性的东西.

勾股定理中,我们除了了解直角三角形三边的特征,两直角边的平方和等于第三边的平方这个结论(a2+b2=c2)以外,我们更应引导几何图形中的“数”与“形”的内在联系.

2.课堂小结要重视思想与方法的归纳与提升.在这堂课的新授中,我们注意到了探索方法中的转化思想,“割”与“补”这种转化思想在几何

学习中非常重要.虽然我们在教学过程中让学生感悟了这种思想,但在小结中更应回过头来归纳好这种思想的渗透,并逐步渗透激励勾股定理是否还有其他“割”“补”方法,是否还有其他的证明方式,在这些归纳与提升过程中,不断渗透数学文化.

3.课堂小结要重视问题串的回顾,体验解题过程.小结的另外一个很重要的目的在于帮助学生归纳、巩固重要内容和要点及思想方法,并在此基础上,要重温解决问题的过程.通过对这堂课情境创设中的问题探究、解决过程,重温这些知识发生的过程.重温思维的撞击及思维的过程,一方面能让学生得到体验,另一方面能让学生形成良好的思维品质.

4.课堂小结要重视激发学生的探究欲望.在课堂小结中,我们还要注意激发学生对新知识探究的欲望,不断刺激学生的求知欲.这样才能使学生的思维不仅仅停留在课堂,而延伸到课外.提供勾股定理(第一课时)课堂小结的一种有效设计:

(1)回顾今天学了哪些重要内容(勾股定理),如何描述与计算. (2)这些重要内容中主要体现出什么样的一种数学思想方法. (3)回顾定理形成的过程.

(4)勾股定理揭示了直角三角形三边的等量关系,证明方法很多,你可以查阅网络上的资料,了解更多的证明方法.

(5)Rt△ABC中,∠A、∠B是锐角,∠C是直角,有a2+b2=c2,若上述∠C缩小成锐角, 三者会有怎样关系.若∠C变大成钝角,三者会有怎样关系.

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对于第五个问题,我们可以引导学生将课堂的勾股定理学习延伸到课外,激发他们进一步探究了解勾股定理的欲望,进一步了解三角形中边的关系.

课堂小结是诸多教学环节中的一个,有时不被教师所重视,但一段好的小结是课堂教学高潮的延续,是学生更清晰地回味知识,构建结构型知识的必要,也是向更宽广的知识领域探索的启明灯.好好设计课堂小结,使之更有效、更明了.

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课题：探索三角形全等的条件（一）

一、教学设计： 1 学习方式：

对于全等三角形的研究，实际是平面几何中对封闭的两个图形关系研究的第一步。它是两个三角形间最简单，最常见的关系。它不仅是学习后面知识的基础，并且是证明线段相等、角相等以及两线互相垂直、平行的重要依据。因此必须熟练地掌握全等三角形的判定方法，并且灵活的应用。为了使学生更好地掌握这一部分内容，遵循启发式教学原则，用设问形式创设问题情景，设计一系列实践活动，引导学生操作、观察、探索、交流、发现、思维，使学生经历从现实世界抽象出几何模型和运用所学内容，解决实际问题的过程，真正把学生放到主体位置。 2 学习任务分析：

充分利用教科书提供的素材和活动，鼓励学生经历观察、操作、推理、想象等活动，发展学生的空间观念，体会分析问题、解决问题的方法，积累数学活动经验。培养学生有条理的思考，表达和交流的能力，并且在以直观操作的基础上，将直观与简单推理相结合，注意学生推理意识的建立和对推理过程的理解，能运用自己的方式有条理的表达推理过程，为以后的证明打下基础。 3 学生的认知起点分析：

学生通过前面的学习已了解了图形的全等的概念及特征，掌握了全等图形的对应边、对应角的关系，这为探究三角形全等的条件做好了知识上的准备。另外，学生也具备了利用已知条件作三角形的基本作图

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能力，这使学生能主动参与本节课的操作、探究成为可能。 4 教学目标：

（1） 学生在教师引导下，积极主动地经历探索三角形全等的条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程。

（2） 掌握三角形全等的“边边边”、“边角边”、“角边角”、“角角边”的判定方法，了解三角形的稳定性，能用三角形的全等解决一些实际问题。

（3） 培养学生的空间观念，推理能力，发展有条理地表达能力，积累数学活动经验。 5 教学的重点与难点：

重点：三角形全等条件的探索过程是本节课的重点。

从设置情景提出问题，到动手操作，交流，直至归纳得出结论，整个过程学生不仅得到了两个三角形全等的条件，更重要得是经历了知识的形成过程，体会了一种分析问题的方法，积累了数学活动经验，这将有利于学生更好的理解数学，应用数学。

难点：三角形全等条件的探索过程，特别是创设出问题后，学生面对开放性问题，要做出全面、正确得分析，并对各种情况进行讨论，对初一学生有一定的难度。

根据初一学生年龄、生理及心理特征，还不具备系统地推理论证几何问题的能力，思维受到一定的局限，考虑问题不够全面，因此要充分发挥教师的主导作用，适时 点拨、引导，尽可能调动所有学生的积极性、主动性参与到合作探讨中来，使学生在与他人的合作交流中获

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取新知，并使个性思维得以发展。 6 教学过程

教学媒体（资源）教学步骤 教师活动 学生活动 和教学方式 电脑显示，带领学 在教师引 z+z平台复习过渡 生复习全等三角定义及导下回忆前面演示 引入新知 其性质。 知识，为探究新 知识作好准备。 z+z平台演示,教师 电脑显示，小明画了一 个三角形，怎样才能画议一议： 创设情景 一个三角形与他的三角学生分小组进加以分提出问题 形全等？我们知道全等行讨论交流。受析。

三角形三条边分别对应教师启发,从最学生分组相等,三个角分别对应相少条件开始考讨论,师生等,那麽,反之这六个元虑,一个条件;两互动合素分别对应,这样的两个个条件;三个条作。 三角形一定全等.但是,件…经过学生经过对各是否一定需要六个条件逐步分析，各种种情况得呢?条件能否尽可能少情况渐渐明朗，分析,归吗? 59

进行交流予以纳,总结,

对学生分类中出现的问汇总,归纳。 题,予以纠正,对学生提出的解决问题的不同策 对学生渗透分类讨论的数学思想。 建立模型 略,要给予肯定和鼓励,探索发现 以满足多样化的学生需 要,发展学生个性思维。 按照三角形“边、角” 元想一想： 素进行分类,师生共同归对只给一个条结论很显纳得出: 件画三角形，画然只需学 1 一个条件:一角，一出的三角形一生想像即边 定全等吗？ 可，z+z平台辅助 2 两个条件:两角; 两画一画： 边;一角按照下面给出直观演一边 的两个条件做示。 归纳总结 3 三个条件:三角; 三出三角形： 得出新知

边;两角（1） 三角形 一边；两边一角 按以上分类顺序动脑、 的两个角 分别是： 30°，50° 动手操作,验证。教师收、 （2） 三角形学生动手集学生的作品，加以比 60

的两条边操作，通

较，得出结论： 只给出一个或两个条件 分别是：过实践、4cm，6cm 自主探时，都不能保证所画出 （3） 三角形索、交流，的三角形一定全等。 的一个角获得新为 30，知。 一条边为 3cm 下面将研究三个条件下剪一剪： 三角形 全等的判定。 把所画的三角 形分别剪下来。 （1）已知三角形的三个 比一比： 角分别为40°、60°、80 同一条件下作 画出这个三角形，并与 出的三角形与 同伴比较是否全等。 其他同学作的 学生得出结论后，再举 比一比，是否全 例体会一下。 等。 举例说明：如老师上课 学生重复上面 用的三角尺与同学用的 的操作过程，画 三角板三个角分别对应 一画，剪一剪， 相等，但一个大一个小， 比一比。 很显然不全等；再如同 学生总结出：三 是等边三角形，边长不 个内角对应相 61

巩固运用 等，两个三角形也不全 等的两个三角 等。等等。 形不一定全等 学生举例说明 举例时，（2）已知三角形三条边 分别是 学生模仿上面电脑辅助4cm，5cm，7cm,画出这的研究方法，独演示让学个三角 立完成操作过生感受反形，并与同伴比较是否程，通过交流，例的作全等。 归纳得出结论。 用。 板演：三边对应相等的 两个 及其推广 三角形全等，简写为“边

边边”或“SSS”。 由上面的结论可知，只 要三角形三边的长度确 定了，这个三角形的形 状和大小就确定了。 实物演示： 由三根木条钉成的一个 三角形框架，它的大小 62

和形状是固定不变的， 三角形的这个性质叫三鼓励学生自己 角形的稳定性。 举出实例,体验 举例说明该性质在生活数学在生活中 中的应用 的应用. 类比着三角形，让学生学生那出准备z+z平台动手操作，研究四边形、好的硬纸条，进播放三角五边性有无稳定性 行实验，得出结形稳定性论： 及四边形不稳定性在生活中图形的稳定性与不稳定 性在生活中都有其作四边形、五边形的应用. 用，让学生举例说明。 不具稳定性。 题组练习： z+z平台学生练习 显示题组P140 2 （ 学生举反例说 明） 3 （ 对有能力 的学生要求把实63

反思小结 1、 际问题抽象成数学问题，根据自己的理解写出推理过程。对一般学生要求口头表达理由，并能说明每一步的根据。） 练习 检测学生对知识的掌握情况及应用能力。 这节课的整个过 学生在教师再次渗透引导下回顾反分类的数思，归纳整理。 学思想，体会分析问题的方法，积累数学活动的经验。 程你体会到 哪些数学思想方法？ 在学习过程中你提炼规律 2、 有什么感悟要告诉同学的？ 7教学反思

（1）

本节课的设计体现了以教师为主导、学生为主体，以知识

为载体、以培养学生的思维能力为重点的教学思想。教师以探究任务引导学生自学自悟的方式，提供了学生自主合作探究的舞台，营造了思维

驰骋的空间，在经历知识的发现过程中，培养了学生分类、探究、合作、归纳的能力。

（2） 在课堂教学设计中，尽量为学生提供“做中学”的时空，不放过任何一个发展学生智力的契机，让学生在“做”的过程中，借助已有的知识和方法主动探索新知识，扩大认知结构，发展能力，完善人格，从而使课堂教学真正落实到学生的发展上。

（3） “乐思方有思泉涌”，在课堂教学中，时时注意营造积极的思维状态，关注学生的思维发展过程，创设民主、宽松、和谐的课堂气氛，让学生畅所欲言，这样学生的创造火花才会不断闪现，个性才的以发展。

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确定一次函数解析式

一、教学目标

知识与技能目标

1．了解两个条件确定一次函数。

2．能根据所给信息（图像、表格、实际问题等）确定一次函数的表达式。

3．能利用所学知识解决实际问题。 过程与方法目标

经历对正比例函数及一次函数表达式的探求过程，培养学生对数学对象进行思考的习惯，逐步培养学生的探索能力。 情感与态度目标

1．经历从不同信息中获取～次函数表达式的过程，体会到解决问题的多样性，培养学生思维的全面性。

2．经历对实际问题的解决过程，培养学生学数学，用数学的意识。 二、教材分析

教材前几节内容已对一次函数的表达式、函数图像及性质作了一定研究，给定一个一次函数的表达式可以得到对应的函数图像及性质，而本节则从相反角度来研究一次函数：即根据图像、表格等信息，确定一次函数的表达式。教材首先安排了想一想，让学生思考确定一次函数需要几个条件，教师可组织学生讨论陈述理由，从函数表达式及图像等方面让学生深刻理解两个条件确定一个一次函数。教学中应尽可能多的选择各种类型的信息帮助学生探索确定一次函数表达式的具体方法。

教学重点： 能根据两个条件确定一个一次函数。

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教学难点： 从各种问题情境中寻找条件，确定一次函数的表达式。 三、学情分析

确定一次函数的表达式是本章教材的一个重、难点，学生往往会按老师讲述的方法，单纯地进行模仿，求出表达式，但却对为什么要这样做缺乏思考，结果是条件一变，就无法动手。因此在教学中应注重对解题思路的分析，注意控制难度。 四、教学流程 一、复习引入

前面我们已经学习了一次函数，那么什么是一次函数，一次函数的图像是什么，一次函数又有什么性质呢？

表达式形如 y=kx＋b（k=0）的函数称为一次函数； 一次函数 y=kx＋b的图像是一条直线；

一次函数y=kx＋b，当k＞0时y随x的增大而增大，图像经过一、三象限；

当k＜0时y随x的增大而减小，图像经过二、四象限。 二、新课讲解 想一想：

确定一次函数的表达式需要几个条件？确定正比例函数的表达式呢？

学生讨论：确定一次函数的表达式需要两个条件，确定正比例函数的表达式只需要一个条件。 师：能告诉我你们的理由吗？

引导学生从表达式和函数图像两方面思考。

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学生甲：我觉得一次函数的表达式 y=kx＋b有两个常数 k， b，要求出 k和 b的值，因此需要两个条件。而正比例函数中b＝0，只需求k，所以只需一个条件。

学生乙：因为一次函数的图像是一条直线，两点确定一条直线，所以需要两个条件，而正比例函数的图像是经过原点的一条直线，所以只需一点就可以确定这条直线。

师：同学们观察得非常仔细，思考问题比较深入。下面我们结合具体问题来探索如何确定一次函数的表达式。

例1、某物体沿着一个斜坡下滑，它的速度v（米/秒）与其下滑时间t（秒）的关系如图所示． (1)写出v与t之间的关系； (2)下滑3秒时物体的速度是多少？

分析：题目所给信息是函数的图象，首先从图象是一条经过原点的射线判断出该函数应是正比例了函数；其次在函数图象上任取一点(原点除外)，如(2，5)点，代入表达式，就可计算出k值。

解：(1)设v = kt(k≠0)，由图象可得，点(2，5)满足函数关系式，将其代入可得： 5 = 2k，解得k = 2.5 ∴v = 2.5t

(2)当t = 3时，v = 2.5×3 = 7.5(米/秒)

在这个例子中，我们先将表达式中的未知系数用字母表示出来，再根据条件求出这个未知系数，这种方法称为待定系数法。

确定正比例函数的表达式需要哪几个条件？确定一次函数的表达式呢？

学生思考，并总结出答案。

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例2、写出满足下表的一个一次函数的解析式

x y −1 7.5 0 7 2 6 解析：设y = kx+b；注意到(0，7)这个特殊点，因此可选取(0，7)，(2，6)代入进行计算，解得：y = − x+7 练一练：

1、若一次函数y = x+n的图象经过点A(−3，2)，则n = __________； 2、一条直线与x轴的交点为(−3，0)，与y轴的交点为(0，−7)，那么这条直线对应的函数表达式是__________，这条直线与两坐标轴围成的三角形的面积S = ________

3、已知三点(3，5)，(t，9)，(−4，−9)在同一直线上，则t = ________ 例3、已知y−2与x成正比例，当x = 3时，y = -1，求y与x之间的函数关系式

解：设y−2 = kx，(k≠0)，将(3，1)点代入，得 1−2 = 3k，k = -1 ∴y−2 = − x，即y = − x+2

点评：用换元的思想，将y−2看成一个整体。

练一练：已知y是x2的一次函数，当x = −1时，y = 6；当x = 2时，y = 9，试求x，y的函数表达式。 答案：y = x2+5 三、课堂小结

本节课我们学习了怎样确定一次函数的解析式，这个方法的名称是什么？用这个方法的步骤是什么？

课外练习：随堂练习，习题6.5。 四、教学反思

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本节课通过对确定一次函数表达式方法的探讨过程，引导学生学会对数学对象进行思考，从数和形两方面对一次函数进行深入研究，得出两个条件可确定一个一次函数。在教学中你是否关注了学生的合作探究过程；是否注重了培养学生数形结合的思想方法；是否渗透了应用数学的意识。

在介绍待定系数之前，先让学生思考要求两个未知数，必需要已知几个条件，充分利用学生原有的经验，引发感悟，理解待定系数法的一般思想，其后在出示例题，从而形成待定系数法的一般技能。完善对数学结合的理解。

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