一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）
1. 下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（ ）
A. B. C. D.
2
2. 已知函数y=x-2x+3在闭区间[0，m 上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是
（ ） A. B. C. D.
3. 如果函数y=f（x）图象上任意一点的坐标（x，y）都满足方程 lg（x+y）=lgx+lgy，
那么正确的选项是（ ）
A. 是区间 上的减函数，且 B. 是区间 上的增函数，且 C. 是区间 上的减函数，且 D. 是区间 上的减函数，且
-1-1
4. 若函数f（x）的反函数为f（x），则函数f（x-1）与f（x-1）的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共12小题，共48.0分） 5. 函数f（x）=
的定义域是______．
2-1
6. 函数y=x+2（-1≤x≤0）的反函数是f（x）=______．
7. 设
， ，则f（x）•g（x）=______．
8. 若正数a、b满足loga（4b）=-1，则a+b的最小值为______．
33t+1
9. 幂函数f（x）=（t-t+1）x是奇函数，则f（2）=______． 10. 函数 的单调递减区间是______． 11. 函数y=
的值域是______．
2
12. 设关于x的方程 x-6x+5 =a的不同实数解的个数为n，当实数a变化时，n的可能
取值组合的集合为______．
2
13. 对于函数f（x）=x+ax+4，若存在x0∈R，使得f（x0）=x0，则称x0是f（x）的一个
fx）3 恒有两个不同的不动点，不动点，已知（在x∈[1，则实数a的取值范围______． fx）= x-1 +m x-2 +6 x-3 在x=2时取得最小值，14. 若函数（则实数m的取值范围是______．
2
15. 已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x-ax+a，其中a∈R．
①f（-1）=______；
②若f（x）的值域是R，则a的取值范围是______．
16. 已知函数 ，x∈[1，2 的最大值为f（t），则f（t）的解析式为f（t）=______．
三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）
2
17. 已知关于x的不等式log2（-2x+3x+t）＜0，其中t∈R．
（1）当t=0时，求该不等式的解；
（2）若该不等式有解，求实数t的取值范围．
18. 已知函数
（x＞0）．
-1
（1）求函数f（x）的反函数f（x）；
（2）若x≥2时，不等式 ＞ 恒成立，求实数a的范围．
19. 某市环保部门对市中心每天的环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合
污染指数f（x）与时刻x（时）的关系为 ，x∈[0，24），其中a是与气象有关的参数，且 ∈ ， ．若用每天f（x）的最大值为当天的综合污染指数，并记作M（a）．
（1）令t= ，x∈[0，24），求t的取值范围；
（2）求M（a）的表达式，并规定当M（a）≤2时为综合污染指数不超标，求当a
在什么范围内时，该市市中心的综合污染指数不超标．
20. 指数函数y=g（x）满足g（2）=4，且定义域为R的函数 是奇函数．
（1）求实数m、n的值；
22
（2）若存在实数t，使得不等式f（t-2t）+f（2t- ）＞0成立，求实数 的取值范围．
21. 设集合M为下述条件的函数f（x）的集合：①定义域为R；②对任意实数x1、x2
（x1≠x2），都有 ＜ ．
2
（1）判断函数f（x）=x是否为M中元素，并说明理由； （2）若函数f（x）是奇函数，证明：f（x）∉M；
（3）设f（x）和g（x）都是M中的元素，求证：F（x）=
＜
也
不一定是M中的元素．MGx=是中的元素，并举例说明，（）
＞
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
解：A.在（0，+∞）上是增函数，满足条件，
B．y=（x-1）2在（-∞，1 上为减函数，在[1，+∞）上为增函数，不满足条件． C．y=x-2在（0，+∞）上为减函数，不满足条件． D．y=log0.5（x+1）在（0，+∞）上为减函数，不满足条件． 故选：A
根据函数单调性的性质分别进行判断即可．
本题主要考查函数单调性的判断，根据常见函数的单调性是解决本题的关键．比较基础． 2.【答案】C
【解析】
解：作出函数f（x）的图象，如图所示， 当x=1时，y最小，最小值是2，当x=2时，y=3，
2
函数f（x）=x-2x+3在闭区间[0，m 上上有
最大值3，最小值2，
则实数m的取值范围是[1，2 ． 故选：C．
本题利用数形结合法解决，作出函数f（x）的图象，如图所示，当x=1时，y最
2
小，最小值是2，当x=2时，y=3，欲使函数f（x）=x-2x+3在闭区间[0，m 上的
上有最大值3，最小值2，则实数m的取值范围要大于等于1而小于等于2即可．
本题考查二次函数的值域问题，其中要特别注意它的对称性及图象的应用，属于中档题． 3.【答案】C
【解析】
解：由lg（x+y）=lgx+lgy，得由x+y=xy得：解得：x+y≥4． 再由x+y=xy得：设x1＞x2＞1， 则
因为x1＞x2＞1， 所以x2-x10，x2-1＞0． 则
（x≠1）．
， ，
=．
，即f（x1）＜f（x2）．
所以y=f（x）是区间（1，+∞）上的减函数，
综上，y=f（x）是区间（1，+∞）上的减函数，且x+y≥4． 故选：C．
由给出的方程得到函数y=f（x）图象上任意一点的横纵坐标x，y的关系式，利用基本不等式求出x+y的范围，利用函数单调性的定义证明函数在（1，+∞）上的增减性，二者结合可得正确答案．
本题考查了函数单调性的判断与证明，考查了利用基本不等式求最值，训练了利用单调性定义证明函数单调性的方法，是基础题． 4.【答案】A
【解析】
解：函数f（x-1）是由f（x）向右平移一个单位得到， f-1（x-1）由f-1（x）向右平移一个单位得到， 而f（x）和f（x）关于y=x对称，
-1
从而f（x-1）与f（x-1）的对称轴也是由原对称轴向右平移一个单位得到即
-1
y=x-1，排除B，D；
A，C选项中各有一个函数图象过点（2，0），则平移前的点坐标为（1，0），则反
函数必过点（0，1），平移后的反函数必过点（1，1），由此得：A选项有可能，C选项排除； 故选：A．
f（x）和f-1（x）关于y=x对称是反函数的重要性质；而将f（x）的图象向右平移a个单位后，得到的图象的解析式为f（x-a）而原函数和反函数的图象同时平移时，他们的对称轴也相应平移．
用整体平移的思想看问题，是解决本题的关键． 5.【答案】{ ≥-2且x≠1}
【解析】
解：由题意，要使函数有意义，则解得，x≠1且x≥-2；
故函数的定义域为：{ ≥-2且x≠1}， 故答案为：{ ≥-2且x≠1}．
，
由题意即分母不为零、偶次根号下大于等于零，列出不等式组求解，最后要用集合或区间的形式表示．
本题考查了求函数的定义域，最后要用集合或区间的形式表示，这是容易出错的地方．
6.【答案】 ，x∈[2，3
【解析】
2
解：∵y=x+2（-1≤x≤0）
∴x=-，2≤y≤3，
，x∈[2，3 ． ，x∈[2，3 ．
故反函数为故答案为：
由原函数的解析式解出自变量x的解析式，再把x和y交换位置，注明反函数的定义域（即原函数的值域）．
本题考查反函数的求法，考查计算能力，是基础题，反函数的定义域容易疏忽出错，注意反函数的定义域是原函数的值域． 7.【答案】x，x∈（1，+∞）
【解析】
解：∵，，
∴f（x）的定义域是（1，+∞），g（x）的定义域是[1，+∞）， ∴f（x）•g（x）=x，x∈（1，+∞）， 故答案为：x，x∈（1，+∞）．
根据f（x），g（x）的解析式求出f（x）•g（x）的解析式即可．
本题考查了求函数的解析式问题，考查函数的定义域，是一道基础题． 8.【答案】1
【解析】
解：根据题意，若正数a、b满足loga（4b）=-1，则有a=则a+b≥2
=1，
，即ab=，
即a+b的最小值为1； 故答案为：1．
根据题意，由对数的运算性质可得a=质可得a+b≥2
=1，即可得答案．
，即ab=，进而由基本不等式的性
本题考查基本不等式的性质以及应用，涉及对数的运算性质，关键是分析a、b的关系． 9.【答案】2
【解析】
33t+1
解：函数f（x）=（t-t+1）x是幂函数， 3
∴t-t+1=1，
1； 解得t=0或t=±
当t=0时，f（x）=x是奇函数，满足题意；
4
当t=1时，f（x）=x是偶函数，不满足题意； -2
当t=-1时，f（x）=x是偶函数，不满足题意；
综上，f（x）=x；
∴f（2）=2． 故答案为：2．
根据幂函数的定义求出t的值，再验证f（x）是否为奇函数， 从而求出f（2）的值．
本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题． 10.【答案】（-2，1
【解析】
解：要求函数需求函数y=
的单调递减区间， ，（8+2x-x＞0）的增区间，
2
2
由8+2x-x＞0可得-2＜x＜4，对应的二次函数，开口向下，
增区间为：（1，4），减区间为：（-2，1 ． 由复合函数的单调性可知：函数故答案为：（-2，1 ．
由对数函数为增函数，要求复合函数的减区间，需求真数的减区间，分式的分母的增区间，利用函数的定义域以及二次函数的单调性转化求解即可． 本题考查复合函数的单调性，分式函数、二次函数和对数函数的单调性，是中档题．
11.【答案】（-1， ）
【解析】
的单调递减区间是：（-2，1 ．
解：函数y=
x
∵2+3＞3，
==-1．
∴0＜∴函数y=
．
的值域是（-1，）
故答案为（-1，）
分离常数后，根据指数函数的值域即可求函数y的范围．
本题考查分离常数法转化为指数函数的值域的运用，属于基础题．
12.【答案】{0，2，3，4}
【解析】
解：关于x的方程 x2-6x+5 =a，
2
分别画出y= x-6x+5
与y=a的图象，如图： ①若该方程没有实数根，则a＜0；n=0； ②若a=0，则该方程恰有两个实数解，n=2；
③若a=4时，该方程有三个不同的实数根，n=3； ④当0＜a＜4，该方程有四个不同的实数根，n=4； ⑤当a＞4，该方程有两个不同的实数根，n=2； n的可能取值组合的集合为{0，2，3，4} 故答案为：{0，2，3，4}．
2
将方程 x-6x+5 =a的实数解的个数问题转化为函数图象的交点问题，作图分
析即得答案．
本题考查了根的存在性及根的个数判断．华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事非．”数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质． 13.【答案】
【解析】
2
解：根据题意，f（x）=x+ax+4在[1，3 恒有两个不同的不动点， 2
得x=x+ax+4在[1，3 有两个实数根， 2
即x+（a-1）x+4=0在[1，3 有两个不同实数根，
，
2
令g（x）=x+（a-1）x+4．在[1，3 有两个不同交点，
∴，即，
解得：a∈[-故答案为：[-
，-3）； ，-3）．
2
不动点实际上就是方程f（x0）=x0的实数根．二次函数f（x）=x+ax+4有不动点，22
是指方程x=x+ax+4有实根．即方程x=x+ax+4有两个不同实根，然后根据根
列出不等式解答即可．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、函数与方程的综合运用，解答该题时，借用了一元二次方程的根的判别式与根这一知识点． 14.【答案】[5，+∞）
【解析】
解：当x＜1时，f（x）=1-x+2m-mx+18-6x=19+2m-（m+7）x，
当1≤x＜2时，f（x）=x-1+2m-m，x+18-6x=17+2m-（m+5）x，f（1）=12+m， 2≤x＜3时，f（x）=x-1+mx-2m+18-6x=17-2m+（m-5）x，f（2）=7， 当x≥3时，f（x）=x-1+m -2m+6x-18=-19-2m+（m+7）x，f（3）=m+2， 若函数f（x）= x-1 +m x-2 +6 x-3 在x=2时取得最小值，
则
解得m≥5，
故m的取值范围为[5，+∞）， 故答案为：[5，+∞），
根据条件可得，化为分段函数，根据函数的单调性和函数值即可得到则
解得即可．
本题考查了函数最值和绝对值函数，并考查了函数的单调性，属于中档题． 15.【答案】-1；（-∞，0 ∪[4，+∞）
【解析】
解：①函数f（x）是定义在R上的奇函数，
2
当x＞0时，f（x）=x-ax+a，其中a∈R，
f（-1）=-f（1）=-（1-a+a）=-1； ②若f（x）的值域是R，
由f（x）的图象关于原点对称，可得
2
当x＞0时，f（x）=x-ax+a，
图象与x轴有交点，
2
可得△=a-4a≥0，
解得a≥4或a≤0，
即a的取值范围是（-∞，0 ∪[4，+∞）． 故答案为：①-1 ②（-∞，0 ∪[4，+∞）． ①运用奇函数的定义，计算即可得到所求值；
②由f（x）的图象关于原点对称，以及二次函数的图象与x轴有交点，由判别式不小于0，解不等式即可得到所求范围．
本题考查函数的奇偶性的运用，考查函数的值域的应用，注意运用二次函数的性质和对称性，考查运算能力，属于中档题．
，
16.【答案】 ， ＜ ＜
，
【解析】
解：根据题意，函数其导数g′（x）=（t-1）+
2
令h（x）=（t-1）x+4，
，
=
，
22
令h（x）=0，即（t-1）x+4=0可得，x=
，
分5种情况讨论，
2
①，t＞1时，h（x）=（t-1）x+4为开口向上的二次函数，在[1，2 上，有h（x）＞0，
则有g′（x）＞0，函数g（x）为增函数，
则g（x）在[1，2 上的最大值为g（2）=2（t-1）-=2t-4， ②，t=1时，h（x）=4，在[1，2 上，有h（x）＞0， 则有g′（x）＞0，函数g（x）为增函数，
则g（x）在[1，2 上的最大值为g（2）=2（t-1）-=2t-4，
2
③，0≤t＜1时，h（x）=（t-1）x+4为开口向下的二次函数，且h（0）=4，且h（2）=t
＞0，
则在[1，2 上，有h（x）＞0，
则有g′（x）＞0，函数g（x）为增函数，
则g（x）在[1，2 上的最大值为g（2）=2（t-1）-=2t-4，
2
④，当-3＜t＜0时，h（x）=（t-1）x+4为开口向下的二次函数， 2
令h（x）=0，即（t-1）x+4=0可得x=±
，
有1＜则有在[1，在（
＜2，
）上，有h（x）＞0，则有g′（x）＞0，函数g（x）为增函数，
，2 上，有h（x）＜0，则有g′（x）＜0，函数g（x）为减函数，
）=-4
，
此时g（x）在[1，2 上的最大值为g（
2
⑤，当t≤-3时，h（x）=（t-1）x+4为开口向下的二次函数， 2
令h（x）=0，即（t-1）x+4=0可得x=±
，
此时≤1，
在[1，2 上，有h（x）＜0，
则有g′（x）＜0，函数g（x）为减函数， 此时g（x）在[1，2 上的最大值为g（1）=t-5； 综合可得：
；
故答案为：．
=
根据题意，由函数g（x）的解析式，对其求导可得数g′（x）=（t-1）+
2
，令h（x）=（t-1）x+4，结合二次函数的性质，对t分5种情况讨论，
每种情况下，分析h（x）的符号，即可得g′（x）的符号，分析可得函数g（x）的单调性，即可得g（x）在区间[1，2 上的最大值，综合即可得答案．
本题考查函数最值的计算，涉及函数导数的性质以及应用，注意对 进行分类讨论．
17.【答案】解：（1）关于x的不等式log2（-2x2+3x+t）＜0，
2
当t=0时，不等式为log2（-2x+3x）＜0，
2
即0＜-2x+3x＜1，
等价于 ， ＜ ＜
解得 ，
＜ 或 ＞ 即0＜x＜ 或1＜x＜ ；
∴不等式的解集为（0， ）∪（1， ）；
2
（2）不等式log2（-2x+3x+t）＜0有解，
2
∴0＜-2x+3x+t＜1，
22
化为2x-3x＜t＜2x-3x+1；
2
设f（x）=2x-3x，x∈R，
∴f（x）min=f（ ）=- ，且f（x）无最大值； ∴实数t的取值范围是（- ，+∞）． 【解析】
22
（1）t=0时不等式为log2（-2x+3x）＜0，化为0＜-2x+3x＜1，
求出解集即可；
2
（2）由不等式log2（-2x+3x+t）＜0有解，
222
得出0＜-2x+3x+t＜1，化为2x-3x＜t＜2x-3x+1；
设f（x）=2x2-3x，求出f（x）min即可得出结论．
本题考查了对数函数的定义与不等式的解法和应用问题，是中档题． 18.【答案】解：（1）∵y=（
由原式有：∴x=
22
）=（1+ ）（x＞0）．∴y＞1（2分）
= ，∴x+1= x （2分）
-1
∴f（x）= ，x∈（1，+∞）（2分） -1
（2）∵（x-1）f（x）＞a（a- ）
∴（x-1） ＞a（a- ）（x＞0） ∴（ +1）（ -1） ＞a（a- ）
2
∴ +1＞a-a
2
∴（a+1） ＞a-1（2分）
①当a+1＞0即a＞-1时 ＞a-1对x≥2恒成立-1＜a＜ +1 ②当a+1＜0即a＜-1时 ＜a-1对x≥2恒成立 ∴a＞ +1此时无解（3分） 综上-1＜a＜ +1．（1分） a∈ ， ． 【解析】
（1）从条件中函数式f（x）=（f（x）的反函数f-1（x）．
-1
（2）利用（1）的结论，将不等式（x-1）f（x）＞a（a-2
）=y，（x＞0）中反解出x，再将x，y互换即得
）化成（a+1）＞a2-1，下
面对a分类讨论：①当a+1＞0；②当a+1＜0．分别求出求实数a的取值范围，最后求它们的并集即可．
本小题主要考查反函数、函数恒成立问题等基础知识，考查运算求解能力．求反函数，一般应分以下步骤：（1）由已知解析式y=f（x）反求出x=Ф（y）；
（2）交换x=Ф（y）中x、y的位置；（3）求出反函数的定义域（一般可通过求原函数的值域的方法求反函数的定义域）．
19.【答案】（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分（5分），第2小题
满分（9分）．
解：（1）当x=0时，t=0； …（2分）
2
当0＜x＜24时，因为x+1≥2x＞0，所以 ＜ ，…（4分）
即t的取值范围是 ， ． …（5分）
（2）当 ∈ ， 时，由（1），令 ，则 ∈ ， ，…（1分） 所以 =
， ， ＜
3分） …（
于是，g（t）在t∈[0，a 时是关于t的减函数，在 ∈ ， 时是增函数， 因为 ， ，由 ， 所以，当 时， ； 当 ＜ 时， ， ，
即 …（6分）
， ＜ 由M（a）≤2，解得 ． …（8分）
所以，当 ∈ ， 时，综合污染指数不超标． …（9分） 【解析】
（1）利用取倒数，求导数，确定函数的单调性，可得t的取值范围；
（2）分段求出每天的综合放射性污染指数不超过2时a的范围，即可得到结论． 本题主要考查了函数模型的选择与应用及分类讨论的思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
20.【答案】解：（1）∵指数函数y=g（x）满足：g（2）=4，
x
∴g（x）=2；
∴f（x）=
是奇函数．
∵f（x）是奇函数， ∴f（0）=0，
即 =0， ∴n=1； ∴f（x）=
，
又由f（1）=-f（-1）知 =-∴m=2；
（2）由（1）知f（x）=
，
=- =- +
易知f（x）在（-∞，+∞）上为减函数． 又∵f（x）是奇函数，
22222
从而不等式：f（t-2t）+f（2t- ）＞0等价于f（t-2t）＞-f（2t- ）=f（ -2t）， ∵f（x）为减函数， 22
∴t-2t＜ -2t，
22
∴ ＞3t-2t=3（t- ）- ，
∴ ＞- ． 【解析】
（1）根据指数函数y=g（x）满足：g（2）=4，即可求出y=g（x）的解析式；由题意知f（0）=0，f（1）=-f（-1），解方程组即可求出m，n的值；
（2）由已知易知函数f（x）在定义域f（x）在（-∞，+∞）上为减函数．我们可将f
222
（t-2t）+f（2t- ）＞0转化为 ＞3t-2t，根据二次函数的性质即可得到实数 的取
值范围．
本题考查的知识点：待定系数法求指数函数的解析式，函数的奇偶性和函数单调性的性质，体现了转化的思想，考查了运算能力和灵活应用知识分析解决问题的能力，属中档题．
21.【答案】解：（1）函数f（x）=x2的定义域为R，
22
由 f（x1）+ f（x2）= x1+ x2，
f（ x1+ x2）=（ x1+ x2）2= x12+ x1x2+ x22， f（ x1+ x2）- f（x1）- f（x2）=- x12+ x1x2- x22 =- （x1-x2）2＜0，
即有f（ x1+ x2）＜ f（x1）+ f（x2），
则函数f（x）=x为M中元素；
（2）证明：函数f（x）是奇函数，定义域为R， 且f（-x）=-f（x）， 图象关于原点对称，
若x＞0时，f（ x1+ x2）＜ f（x1）+ f（x2）， 则x＜0时，f（ x1+ x2）＞ f（x1）+ f（x2），
则条件②不满足， 则f（x）∉M；
（3）证明：设f（x）和g（x）都是M中的元素， 当x1，x2对应的点在f（x）或g（x）的图象上， 由题设可得结论成立；
若x1，x2对应的点一个在f（x）图象上，一个在g（x）的图象上， 由 f（x1）+ g（x2）＞ g（x1）+ g（x2）＞g（ x1+ x2）， 或 f（x1）+ g（x2）＞ f（x1）+ f（x2）＞f（ x1+ x2）， 由题设可得结论成立，
也是M中的元素； 综上可得F（x）=
＜
22
比如：f（x）=x，g（x）=（x+3），
2
如x≥-1.5，可得G（x）=x，
x＜-1.5，可得G（x）=（x+3）2， 取x1=-2，x2=-1，
2
可得 x1+ x2=- ，G（- ）= ，
f（x1）+f（x2）=+=1，
可得f（ x1+ x2）＞ f（x1）+ f（x2）， 则G（x）不一定为M中的元素． 【解析】
2
（1）函数f（x）=x的定义域为R，运用作差法结合新定义，即可得到结论；
（2）运用奇函数的图象关于宇原点对称，即可得证；
22
（3）运用新定义和分类讨论，即可得证；举例f（x）=x，g（x）=（x+3），如x≥-1.5，22
可得G（x）=x，x＜-1.5，可得G（x）=（x+3），取x1=-2，x2=-1，即可得到结论．
本题考查新定义的理解和运用，考查作差法和举反例法，考查推理能力和运算能力，属于中档题．
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