高中数学：函数单调性和奇偶性的综合练习及答案

高中数学：函数单调性和奇偶性的综合练习及答案

1.下列函数中，既是偶函数又在（0，＋∞）上单调递增的函数是（ ）

A.y＝x3 B.y＝|x|＋1 C.y＝－x2＋1 D.y＝2－|x|

2.f（x）＝x2＋|x|（ ）

A.是偶函数，在（－∞，＋∞）上是增函数

B.是偶函数，在（－∞，＋∞）上是减函数

C.不是偶函数，在（－∞，＋∞）上是增函数

D.是偶函数，且在（0，＋∞）是增函数

3.已知函数f（x）＝3x－（x≠0），则函数（ A.是奇函数，且在（0，＋∞）上是减函数

B.是偶函数，且在（0，＋∞）上是减函数

C.是奇函数，且在（0，＋∞）上是增函数

D.是偶函数，且在（0，＋∞）上是增函数

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）

4.定义在R上偶函数f（x）在[1,2]上是增函数，且具有性质f（1＋x）＝f（1－x），则函数f（x）（ ）

A.在[－1,0]上是增函数

B.在[－1，－]上增函数，在（－，0]上是减函数

C.在[1,0]上是减函数

D.在[－1，－]上是减函数，在（－，0]上是增函数

5.f（x）是定义在R上的增函数，则下列结论一定正确的是（ ）

A.f（x）＋f（－x）是偶函数且是增函数

B.f（x）＋f（－x）是偶函数且是减函数

C.f（x）－f（－x）是奇函数且是增函数

D.f（x）－f（－x）是奇函数且是减函数

6.已知偶函数f（x）在区间[0，＋∞）上的解析式为f（x）＝x＋1，下列大小关系正确的是（ A.f（1）>f（2）

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）

B.f（1）>f（－2）

C.f（－1）>f（－2）

D.f（－1）7.已知f（x）是偶函数，对任意的x1，x2∈（－∞，－1]，都有（x2－x1）[f（x2）－f（x1）]<0，则下列关系式中成立的是（ ）

A.fB.f（－1）C.f（2）D.f（2）8.定义在区间（－∞，＋∞）上的奇函数f（x）为增函数；偶函数g（x）在区间[0，＋∞）上的图象与f（x）的图象重合.设a>b>0，给出下列不等式

①f（b）－f（－a）>g（a）－g（－b）；②f（b）－f（－a）③f（a）－f（－b）>g（b）－g（－a）；④f（a）－f（－b）其中成立的是（ ）

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A.①与④ B.②与③ C.①与③ D.②与④

9.定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈（－∞，0]（x1≠x2），有（x2－x1）·[f（x2）－f（x1）]＞0，则当n∈N*时，有（ ）

A.f（－n）＜f（n－1）＜f（n＋1）

B.f（n－1）＜f（－n）＜f（n＋1）

C.f（n＋1）＜f（－n）＜f（n－1）

D.f（n＋1）＜f（n－1）＜f（－n）

10.若函数f（x）是奇函数，且在（－∞，0）上是增函数，又f（－2）＝0，则x·f（x）＜0的解集是（ ）

A.（－2,0）∪（0,2）

B.（－∞，－2）∪（0,2）

C.（－∞，－2）∪（2，＋∞）

D.（－2,0）∪（2，＋∞）

11.已知定义在R上的函数f（x）在（－∞，－2）上是减函数，若g（x）＝f（x－2）是奇函数，且g（2）＝0，则不等式xf（x）≤0的解集是（ ）

4 / 27

A.（－∞，－2]∪[2，＋∞）

B.[－4，－2]∪[0，＋∞）

C.（－∞，－4]∪[－2，＋∞）

D.（－∞，－4]∪[0，＋∞）

12.设f（x）为奇函数，且在（－∞，0）内是减函数，f（－2）＝0，则x·f（x）<0的解集为（A.（－1,0）∪（2,＋∞）

B.（－∞，－2）∪（0,2）

C.（－∞，－2）∪（2,＋∞）

D.（－2,0）∪（0,2）

13.若函数f（x）＝ax2＋（2＋a）x＋1是偶函数，则函数f（x）的单调增区间为（ ）

A.（－∞，0]

B.[0，＋∞）

C.（－∞，＋∞）

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）

D.[1，＋∞）

14.已知函数f（x）＝x|x|－2x，则下列结论正确的是________.（填写序号）

①f（x）是偶函数，递增区间是（0，＋∞）；

②f（x）是偶函数，递减区间是（－∞，1）；

③f（x）是奇函数，递减区间是（－1,1）；

④f（x）是奇函数，递增区间是（－∞，0）.

15.若f（x）是偶函数，其定义域为（－∞，＋∞），且在[0，＋∞）上是减函数，设f＝m，f＝n，则m，n的大小关系是________.

16.已知函数f（x）＝（k－2）x2＋（k－1）x＋3是偶函数，则f（x）的单调递增区间是________.

17.已知函数y＝f（x）的图象关于原点对称，且当x>0时，f（x）＝x2－2x＋3.

（1）试求f（x）在R上的解析式；

（2）画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间.

18.设f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，且f（x）＋g（x）＝x2＋2x，求函数f（x），g（x）的解析式.

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19.已知函数f（x）＝－x3＋3x.求证：

（1）函数f（x）是奇函数；

（2）函数f（x）在区间（－1,1）上是增函数.

20.已知函数f（x）＝ax＋＋c（a，b，c是常数）是奇函数，且满足f（1）＝，f（2）＝.

（1）求a，b，c的值；

（2）试判断函数f（x）在区间上的单调性并证明.

21.设定义域为R的函数f（x）＝

（1）在平面直角坐标系内作出函数f（x）的图象，并指出f（x）的单调区间（不需证明）；

（2）若方程f（x）＋2a＝0有两个解，求出a的取值范围（只需简单说明，不需严格证明）；

（3）设定义为R的函数g（x）为奇函数，且当x>0时，g（x）＝f（x），求g（x）的解析式.

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22.已知函数f（x）＝ax＋（x≠0，常数a∈R）.

（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；

（2）若函数f（x）在x∈[3，＋∞）上为增函数，求a的取值范围.

答案

1.下列函数中，既是偶函数又在（0，＋∞）上单调递增的函数是（ ）

A.y＝x3

B.y＝|x|＋1

C.y＝－x2＋1

D.y＝2－|x|

【答案】B

【解析】∵y＝x3在定义域R上是奇函数，∴A不对；

y＝－x2＋1在定义域R上是偶函数，但在（0，＋∞）上是减函数，故C不对；

D中y＝2－|x|＝

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|x|虽是偶函数，但在（0，＋∞）上是减函数，只有B对.

2.f（x）＝x2＋|x|（ ）

A.是偶函数，在（－∞，＋∞）上是增函数

B.是偶函数，在（－∞，＋∞）上是减函数

C.不是偶函数，在（－∞，＋∞）上是增函数

D.是偶函数，且在（0，＋∞）是增函数

【答案】D

3.已知函数f（x）＝3x－（x≠0），则函数（ ）

A.是奇函数，且在（0，＋∞）上是减函数

B.是偶函数，且在（0，＋∞）上是减函数

C.是奇函数，且在（0，＋∞）上是增函数

D.是偶函数，且在（0，＋∞）上是增函数

【答案】C

【解析】因为f（－x）＝－3x＋＝－（3x－）＝－f（x），又因为 9 / 27

f（x）在（0，＋∞）上是增

函数，所以f（x）是奇函数，且在（0，＋∞）上是增函数.

4.定义在R上偶函数f（x）在[1,2]上是增函数，且具有性质f（1＋x）＝f（1－x），则函数f（x）（ ）

A.在[－1,0]上是增函数

B.在[－1，－]上增函数，在（－，0]上是减函数

C.在[1,0]上是减函数

D.在[－1，－]上是减函数，在（－，0]上是增函数

【答案】A

【解析】因为f（1＋x）＝f（1－x），所以函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，又f（x）为偶函数，且在[1,2]上是增函数，所以f（x）在[－1,0]上是增函数.

5.f（x）是定义在R上的增函数，则下列结论一定正确的是（ ）

A.f（x）＋f（－x）是偶函数且是增函数

B.f（x）＋f（－x）是偶函数且是减函数

C.f（x）－f（－x）是奇函数且是增函数

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D.f（x）－f（－x）是奇函数且是减函数

【答案】C

【解析】A错误.设f（x）＝x，是增函数，但f（x）＋f（－x）＝x－x＝0是常数函数；同理B错误；C正确.

设g（x）＝f（x）－f（－x），则g（－x）＝f（－x）－f（x）＝－[f（x）－f（－x）]＝－g（x），函数g（x）是奇函数.

任取x1，x2∈R，且x1则－x1>－x2,g（x1）＝f（x1）－f（－x1）,g（x2）＝f（x2）－f（－x2），

因为f（x）是定义在R上的增函数，

所以f（x1）f（－x2），

即－f（－x1）<－f（－x2）.

所以f（x1）－f（－x1）即g（x1）所以函数g（x）＝f（x）－f（－x）是增函数；D错误.故选C.

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6.已知偶函数f（x）在区间[0，＋∞）上的解析式为f（x）＝x＋1，下列大小关系正确的是（ ）

A.f（1）>f（2）

B.f（1）>f（－2）

C.f（－1）>f（－2）

D.f（－1）【答案】D

【解析】∵当x≥0时，f（x）＝x＋1是增函数，

∴f（1）又∵f（x）为偶函数，

∴f（1）＝f（－1），f（2）＝f（－2），

∴D对.

7.已知f（x）是偶函数，对任意的x1，x2∈（－∞，－则下列关系式中成立的是（ ）

A.f12 / 27

1]，都有（x2－x1）[f（x2）－f（x1）]<0，

B.f（－1）C.f（2）D.f（2）【答案】B

【解析】∵对任意的x1，x2∈（－∞，－1]，

都有（x2－x1）[f（x2）－f（x1）]<0，

∴函数f（x）在（－∞，－1]上单调递减，

∴f（－2）>f>f（－1）.

又∵f（x）是偶函数，∴f（－2）＝f（2）.

∴f（－1）8.定义在区间（－∞，＋∞）上的奇函数f（x）为增函数；偶函数g（x）在区间[0，＋∞）上的图象与f（x）的图象重合.设a>b>0，给出下列不等式（ ）

①f（b）－f（－a）>g（a）－g（－b）；②f（b）－f（－a）③f（a）－f（－b）>g（b）－g（－a）；④f（a）－f（－b）13 / 27

其中成立的是（ ）

A.①与④

B.②与③

C.①与③

D.②与④

【答案】C

【解析】因为函数f（x）为增函数，偶函数g（x）在区间[0，＋∞）的图象与f（x）的图象重合，

所以函数g（x）在[0，＋∞）上是增函数，在（－∞，0）上是减函数.

a>b>0，f（a）>f（b），g（a）>g（b），所以f（a）＋g（a）>f（b）＋g（b）;

对于①：f（b）－f（－a）>g（a）－g（－b），即f（b）＋f（a）>g（a）－g（b）.正确；则②错误；

对于③：f（a）－f（－b）>g（b）－g（－a），即f（a）＋f（b）>g（b）－g（a）.正确；则④错误.

故选C.

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9.定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈（－∞，0]（x1≠x2），有（x2－x1）·[f（x2）－f（x1）]＞0，则当n∈N*时，有（ ）

A.f（－n）＜f（n－1）＜f（n＋1）

B.f（n－1）＜f（－n）＜f（n＋1）

C.f（n＋1）＜f（－n）＜f（n－1）

D.f（n＋1）＜f（n－1）＜f（－n）

【答案】C

【解析】由（x2－x1）[f（x2）－f（x1）]＞0，得f（x）在x∈（－∞，0]上为增函数.

又f（x）为偶函数，

∴f（x）在x∈[0，＋∞）上为减函数.

又f（－n）＝f（n）且0≤n－1＜n＜n＋1，

∴f（n＋1）＜f（n）＜f（n－1），

即f（n＋1）＜f（－n）＜f（n－1）.

10.若函数f（x）是奇函数，且在（－∞，0）上是增函数，又f（－2）＝0，则x·f（x）＜0的解

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集是（ ）

A.（－2,0）∪（0,2）

B.（－∞，－2）∪（0,2）

C.（－∞，－2）∪（2，＋∞）

D.（－2,0）∪（2，＋∞）

【答案】A

【解析】因为函数f（x）是奇函数，且在（－∞，0）上是增函数，又f（－2）＝0，所以可画出符合条件的奇函数f（x）的图象，如图所示.

因为x·f（x）＜0，所以或结合图象，得到答案为A.

11.已知定义在R上的函数f（x）在（－∞，－2）上是减函数，若g（x）＝f（x－2）是奇函数，且g（2）＝0，则不等式xf（x）≤0的解集是（ ）

A.（－∞，－2]∪[2，＋∞）

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B.[－4，－2]∪[0，＋∞）

C.（－∞，－4]∪[－2，＋∞）

D.（－∞，－4]∪[0，＋∞）

【答案】C

【解析】g（x）＝f（x－2）是把函数f（x）向右平移2个单位得到的，且g（2）＝f（0），f（－4）＝g（－2）＝－g（2）＝0，f（－2）＝g（0）＝0，所以函数f（x）的图象关于点（－2,0）对称，所以当x≤－4或x≥－2时xf（x）≤0成立.

12.设f（x）为奇函数，且在（－∞，0）内是减函数，f（－2）＝0，则x·f（x）<0的解集为（ ）

A.（－1,0）∪（2,＋∞）

B.（－∞，－2）∪（0,2）

C.（－∞，－2）∪（2,＋∞）

D.（－2,0）∪（0,2）

【答案】C

【解析】因为函数f（x）为奇函数，且在（－∞，0）内是减函数，f（－2）＝0，所以函数f（x）在（0，＋∞）内也是减函数，且f（2）＝0.则不等式x·f（x）<0可化为

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或解得x<－2或x>2.

13.若函数f（x）＝ax2＋（2＋a）x＋1是偶函数，则函数f（x）的单调增区间为（ ）

A.（－∞，0]

B.[0，＋∞）

C.（－∞，＋∞）

D.[1，＋∞）

【答案】A

【解析】因为函数为偶函数，所以a＋2＝0，a＝－2，

即该函数为f（x）＝－2x2＋1，所以函数的单调增区间为（－∞，0].

14.已知函数f（x）＝x|x|－2x，则下列结论正确的是________.（填写序号）

①f（x）是偶函数，递增区间是（0，＋∞）；

②f（x）是偶函数，递减区间是（－∞，1）；

③f（x）是奇函数，递减区间是（－1,1）；

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④f（x）是奇函数，递增区间是（－∞，0）.

【答案】③

【解析】将函数f（x）＝x|x|－2x去掉绝对值得f（x）＝画出函数f（x）的图象，

如图，观察图象可知，函数f（x）的图象关于原点对称，故函数f（x）为奇函数，且在（－1,1）上单调递减.

15.若f（x）是偶函数，其定义域为（－∞，＋∞），且在[0，＋∞）上是减函数，设f＝m，f＝n，则m，n的大小关系是________.

【答案】m≥n

【解析】因为a2＋2a＋＝（a＋1）2＋≥，

又f（x）在[0，＋∞）上是减函数，

所以f≤f＝f.

16.已知函数f（x）＝（k－2）x2＋（k－1）x＋3是偶函数，则f（x）的单调递增区间是________.

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【答案】（－∞，0]

【解析】∵f（x）为偶函数，∴图象关于y轴对称，即k＝1，此时f（x）＝－x2＋3，其单调递增区间为（－∞，0].

17.已知函数y＝f（x）的图象关于原点对称，且当x>0时，f（x）＝x2－2x＋3.

（1）试求f（x）在R上的解析式；

（2）画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间.

【答案】（1）因为函数f（x）的图象关于原点对称，

所以f（x）为奇函数，则f（0）＝0.

设x<0，则－x>0，

因为x>0时，f（x）＝x2－2x＋3.

所以f（x）＝－f（－x）＝－（x2＋2x＋3）＝－x2－2x－3.

于是有f（x）＝

（2）先画出函数在y轴右侧的图象，再根据对称性画出y轴左侧的图象，如图.

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由图象可知函数f（x）的单调递增区间是（－∞，－1]，[1，＋∞），单调递减区间是（－1,0），（0,1）.

18.设f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，且f（x）＋g（x）＝x2＋2x，求函数f（x），g（x）的解析式.

【答案】∵f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，

∴f（－x）＝f（x），g（－x）＝－g（x），

由f（x）＋g（x）＝2x＋x2.①

用－x代替x得f（－x）＋g（－x）＝－2x＋（－x）2，

∴f（x）－g（x）＝－2x＋x2，②

（①＋②）÷2，得f（x）＝x2；

（①－②）÷2，得g（x）＝2x.

19.已知函数f（x）＝－x3＋3x.求证：

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（1）函数f（x）是奇函数；

（2）函数f（x）在区间（－1,1）上是增函数.

【答案】（1）显然f（x）的定义域是R.

设任意x∈R，

因为f（－x）＝－（－x）3＋3（－x）

＝－（－x3＋3x）＝－f（x），

所以函数f（x）是奇函数.

（2）在区间（－1,1）上任取x1，x2，且x1＜x2，

则f（x2）－f（x1）

＝－（x2－x1）（＋x2x1＋）＋3（x2－x1）

＝（x2－x1）（3－－x2x1－）.

因为－1＜x1＜x2＜1，所以x2－x1＞0，

（3－－x2x1－）＞0，

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所以f（x2）＞f（x1）.

所以函数f（x）＝－x3＋3x在区间（－1,1）上是增函数.

20.已知函数f（x）＝ax＋＋c（a，b，c是常数）是奇函数，且满足f（1）＝，f（2）＝.

（1）求a，b，c的值；

（2）试判断函数f（x）在区间上的单调性并证明.

【答案】（1）∵f（x）为奇函数，∴f（－x）＝－f（x），∴－ax－＋c＝－ax－－c，

∴c＝0，∴f（x）＝ax＋.

又∵f（1）＝，f（2）＝，

∴

∴a＝2，b＝.

综上，a＝2，b＝，c＝0.

（2）由（1）可知f（x）＝2x＋.

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函数f（x）在区间

上为减函数.

证明如下：

任取0则f（x1）－f（x2）＝2x1＋－2x2－

＝（x1－x2）

＝（x1－x2）.

∵0∴x1－x2<0,2x1x2>0,4x1x2－1<0.

∴f（x1）－f（x2）>0，f（x1）>f（x2）.

∴f（x）在上为减函数.

21.设定义域为R的函数f（x）＝

（1）在平面直角坐标系内作出函数f（x）的图象，并指出f（x）的单调区间（不需证明）； 24 / 27

（2）若方程f（x）＋2a＝0有两个解，求出a的取值范围（只需简单说明，不需严格证明）；

（3）设定义为R的函数g（x）为奇函数，且当x>0时，g（x）＝f（x），求g（x）的解析式.

【答案】（1）如图.

单调增区间：[－1,0]，[1，＋∞），单调减区间（－∞，－1]，[0,1].

（2）在同一坐标系中同时作出y＝f（x），y＝－2a的图象，由图可知f（x）＋2a＝0有两个解，

须－2a＝0或－2a>1，即a＝0或a<－.

（3）当x<0时，－x>0，所以g（－x）＝（－x）2－（－2x）＋1＝x2＋2x＋1，

因为g（x）为奇函数，所以g（x）＝－g（－x）＝－x2－2x－1，

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且g（0）＝0，所以g（x）＝

22.已知函数f（x）＝ax＋（x≠0，常数a∈R）.

（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；

（2）若函数f（x）在x∈[3，＋∞）上为增函数，求a的取值范围.

【答案】（1）定义域（－∞，0）∪（0，＋∞），关于原点对称.

当a＝0时，f（x）＝，满足对定义域上任意x，f（－x）＝f（x），∴当a＝0时，f（x）是偶函数；

当a≠0时，f（1）＝a＋1，f（－1）＝1－a，

若f（x）为偶函数，则a＋1＝1－a，a＝0矛盾；

若f（x）为奇函数，则1－a＝－（a＋1），1＝－1矛盾，

∴当a≠0时，f（x）是非奇非偶函数.

（2）任取x1＞x2≥3，f（x1）－f（x2）＝ax1＋－ax2－＝a（x1－x2）＋）.

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＝（x1－x2）（a－

∵x1－x2＞0，f（x）在[3，＋∞）上为增函数，

∴a＞，即a＞＋在[3，＋∞）上恒成立.

∵x1＞x2≥3，＋＜＋＝，

∴a≥.

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