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单元质量评估
(120分钟 150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.如图e1,e2为互相垂直的单位向量,向量a+b+c可表示为 ( B )
A.2e1+3e2 B.3e1+2e2 C.3e1-2e2 D.-3e1-3e2
2.已知向量a=(1,x2),b=(x,8),若a∥b,则实数x的值为 ( A ) A.2 B.-2 C.±2 D.0
3.已知非零向量m,n的夹角为,且n⊥(-2m+n),则A.2 B.1 C. D.
= ( B )
4.已知向量a=(-2,0),a-b=(-3,-1),则下列结论正确的是 ( D ) A.a·b=2 B.a∥b C.|a|=|b| D.b⊥(a+b)
5.已知向量a=(λ,1),b=(λ+2,1),若|a+b|=|a-b|,则实数λ的值为 ( C )
- 1 -
A.1 B.2 C.-1 D.-2
6.已知A,B,C是锐角△ABC的三个内角,向量p=(sin A,1),q=(1,-cos B),则p与q的夹角是 ( A )
A.锐角 B.钝角 C.直角 D.不确定 7.在△AOB中,G为AB边上一点,OG是∠AOB的平分线,且
=+m(m∈R),则= ( C )
A. B.1 C. D.2 8.若非零向量a,b的夹角为锐角θ,且
=cos θ,则称a被b“同余”.
已知b被a“同余”,则向量a-b在向量a上的投影是 ( A )
9.已知正方形ABCD的边长为2,对角线相交于点O,P是线段BC上一点,则
·
的最小值为 ( C )
A.-2 B.- C.- D.2
10.已知向量a=(1,2),b=(2,-3).若向量c满足(c+a)∥b,c⊥(a+b),则c等于 ( D )
A.C.
B. D.
- 2 -
11.已知O为△ABC内一点,满足4积之比为 ( D )
=+2,则△AOB与△AOC的面
A.1∶1 B.1∶2 C.1∶3 D.2∶1 12.已知O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三点,动点P满足=
+λ
,λ∈[0,+∞),则点P的轨迹经过△
ABC的 ( A )
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)
13.已知平面向量a与b的夹角等于|2a-b|=
.
,如果|a|=4,|b|=,那么
14.已知a=(2sin 13°,2sin 77°),|a-b|=1,a与a-b的夹角为,则a·b= 3 .
15.若向量a,b夹角为,且|a|=2,|b|=1,则a与a+2b的夹角为. 16.已知|=2λ
|=1,|+λ
|=m,∠AOB=π,点C在∠AOB内且
·
=0.若
(λ≠0),则m=
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
- 3 -
17.(本小题满分10分)设(1)当m=8时,将
用
和
=(2,-1),表示.
=(3,0),=(m,3).
(2)若A,B,C三点能构成三角形,求实数m应满足的条件. 解:(1)当m=8时,设
=x
+y
,
=(8,3).
则(8,3)=x(2,-1)+y(3,0)=(2x+3y,-x).
所以解得
即=+.
(2)因为A,B,C三点能构成三角形, 所以
,
不共线.又
=(1,1),
=(m-2,4),
所以1×4-1×(m-2)≠0,解得m≠6. 18.(本小题满分12分)已知|a|=3,b=(1,(1)若a,b共线且方向相同,求a的坐标.
(2)若a与b不共线,k为何值时,a+kb与a-kb互相垂直? 解:(1)设a=(x,y), 因为|a|=3,b=(1,
),且a与b共线,
).
所以解得或
,
).
又因为a,b方向相同,所以a的坐标为(
- 4 -
(2)因为a+kb与a-kb互相垂直,
所以(a+kb)·(a-kb)=a2-k2b2=|a|2-k2|b|2=0. 由已知|a|=3,b=(1,
),所以|b|=
.
.
所以9-3k2=0,解得k=±所以当k=±
时,a+kb与a-kb互相垂直.
19.(本小题满分12分)在边长为3的正三角形ABC中,设=2
,
=2,
. 表示向量
,并求
的模.
(1)用向量(2)求(3)求
·与
的值. 的夹角的大小. =2
,
=2
,
解:(1)因为
所以=+=+(-)=+.
又故|
·|=
=||·||cos A=3×3×=. =
==.
(2)所以
=-·
+=
,
·
- 5 -
=-(3)|=
-|=
·+
=-×32-×+×32=-.
==,
所以cos <所以
与
,>===-,
的夹角为120°.
20.(本小题满分12分)已知正方形ABCD,E,F分别是CD,AD的中点,BE,CF交于点P. 求证:(1)BE⊥CF. (2)AP=AB.
解:(1)如图,建立直角坐标系xOy,其中A为原点,
不妨设AB=2,则A(0,0),B(2,0), C(2,2),E(1,2),F(0,1). =
-=(1,2)-(2,0)
=(-1,2),
- 6 -
=-=(0,1)-(2,2)
=(-2,-1). 因为所以
·⊥
=-1×(-2)+2×(-1)=0, ,即BE⊥CF.
=(x,y-1),
=(-2,-1).
(2)设P(x,y),则因为
∥
,所以-x=-2(y-1),
即x=2y-2. 同理由
∥
,得y=-2x+4,
两式联立得:x=,y=,即P.
所以所以|
=|=|
+=4=,
|,即AP=AB.
21.(本小题满分12分)已知向量a=(1,2),b=(cos α,sin α).设m=a+tb(t∈R).
(1)若α=,求当|m|取最小值时实数t的值.
(2)若a⊥b,问:是否存在实数t,使得向量a-b和向量m的夹角为,若存在,请求出t;若不存在,请说明理由.
解:(1)因为α=,所以b=.
- 7 -
所以m=a+tb=所以
.
|m|===
,
所以当t=-时,|m|取到最小值,最小值为.
(2)存在满足题意的实数t.
当向量a-b和向量m的夹角为时,
则有cos =.又a⊥b,
所以(a-b)·(a+tb)=a2+(t-1)a·b-tb2=5-t, |a-b|=|a+tb|=
==
=
, =
.则有
=,且t<5,
整理得t2+5t-5=0,解得t=.
- 8 -
所以存在t=满足条件.
22.(本小题满分12分)如图,在四边形ABCD中,AD=4,AB=2. (1)若△ABC为等边三角形,且AD∥BC,E是CD的中点,求
·
.
(2)若AC=AB,cos ∠CAB=,·=,求||.
解:(1)因为△ABC为等边三角形,且AD∥BC, 所以∠DAB=120°.
又AD=2AB,所以AD=2BC. 因为E是CD的中点,
所以=(+)=(++)
=(又
=
+-
+,
)=+.
所以·=·(-)=--·
=×16-×4-×4×2×=11.
(2)因为AB=AC,AB=2,所以AC=2.
- 9 -
因为·=,所以·(-)=.
所以·-·=.
又·=||||cos ∠CAB=4×=,
所以所以|
·=+
-
·|2=
=. +
-2
·
|2=|
=4+16-2×=.即||=.
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