——31个模型轻松搞定所有中考几何题
目录
第一章 8字模型与飞镖模型 ................................................................................................ 2 第二章 角平分线四大模型 ................................................................................................... 5 第三章 截长补短 ................................................................................................................ 10 第四章 手拉手模型 ............................................................................................................ 13 第五章 三垂直全等模型 ..................................................................................................... 15 第六章 将军饮马 ................................................................................................................ 18 第七章 蚂蚁行程 ................................................................................................................ 24 第八章 中点四大模型 ......................................................................................................... 27 第九章 半角模型 ................................................................................................................ 33 第十章 相似模型 ................................................................................................................ 37 第十一章 圆中的辅助线 ..................................................................................................... 47 第十二章 辅助圆 .............................................................................................................. 54
第一章 8字模型与飞镖模型
模型1 角的“8”字模型
如图所示，AB、CD相交于点O，连接AD、BC。 结论：∠A+∠D=∠B+∠C。
ADOBC
模型分析
8字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到。
模型实例
观察下列图形，计算角度：
（1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= ；
（2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= 。
ABECD图1FABCE图2
D热搜精练 1．（1）如图①，求∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E= ； （2）如图②，求∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E= 。
ABODC图1EBC图2DEAO
2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H= 。
EFGHABDC
模型2 角的飞镖模型 如图所示，有结论： ∠D=∠A+∠B+∠C。
ABDC
模型分析
飞镖模型往往在几何综合题目中推导角度时用到。
模型实例
如图，在四边形ABCD中，AM、CM分别平分∠DAB和∠DCB，AM与CM交于M。探究∠AMC与∠B、∠D间的数量关系。
ABMDC
热搜精练
1．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= ；
AE135BOCFD
2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D = 。
CD105AO120OB
模型3 边的“8”字模型
如图所示，AC、BD相交于点O，连接AD、BC。 结论：AC+BD>AD+BC。
ADOBC
模型实例
如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O。 求证：（1）AB+BC+CD+AD>AC+BD；
（2）AB+BC+CD+AD<2AC+2BD.
AOBDC
模型4 边的飞镖模型 如图所示有结论： AB+AC>BD+CD。
ABOC
模型实例
如图，点O为三角形内部一点。 求证：（1）2（AO+BO+CO）>AB+BC+AC；
（2）AB+BC+AC>AO+BO+CO.
AOBC
热搜精练
1．如图，在△ABC中，D、E在BC边上，且BD=CE。 求证：AB+AC>AD+AE。
ABDEC
2．观察图形并探究下列各问题，写出你所观察得到的结论，并说明理由。
（1）如图①，△ABC中，P为边BC上一点，请比较BP+PC与AB+AC的大小，并说明理由；
（2）如图②，将（1）中的点P移至△ABC内，请比较△BPC的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由；
（3）图③将（2）中的点P变为P1、P2，请比较四边形BP1P2C的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由。
AAAPBCB图1图2CBP1P2CP图3
第二章 角平分线四大模型
模型1 角平分线上的点向两边作垂线
如图，P是∠MON的平分线上一点，过点P作PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B。 结论：PB=PA。
MAPOBN
模型分析
利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。
模型实例
（1）如图①，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=6，BD=4，那么点D到直线
AB的距离是 ；
（2）如图②，∠1=∠2，+∠3=∠4。 求证：AP平分∠BAC。
AB12AC34CD图1BP图2
热搜精练
1．如图，在四边形ABCD中，BC>AB，AD=DC，BD平分∠ABC。求证：∠BAD+∠BCD=180°。
ADBC
2．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP= 。
PABCD
模型2 截取构造对称全等 如图，P是∠MON的平分线上一点，点A是射线OM上任意一
点，在ON
上截取OB=OA，连接PB。 结论：△OPB≌△OPA。
MAPOBN
模型分析
利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。 模型实例
（1）如图①所示，在△ABC中，AD是△ABC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意
一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由；
（2）如图②所示， AD是△ABC的内角平分线，其他条件不变，试比较PC-PB与AC-AB的大小，并说明理由。
APBCD图1APBDC图2
热搜精练
1．已知，在△ABC中，∠A=2∠B，CD是∠ACB的平分线，AC=16，AD=8。 求线段BC的长。
ABDC
2．已知，在△ABC中，AB=AC，∠A=108°，BD平分∠ABC。 求证：BC=AB+CD。
ADBC
3．如图所示，在△ABC中，∠A=100°，∠A=40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至
E，DE=AD。求证：BC=AB+CE。
ADBEC
模型3 角平分线+垂线构造等腰三角形 如图，P是∠MO的平分线上一点，AP⊥OP于P点，延长AP于点B。
结论：△AOB是等腰三角形。
MAPOBN
模型分析
构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等。这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来。 模型实例
如图，已知等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC， CE⊥BD，垂足为E。 求证：BD=2CE。
ADBEC
热搜精练
1．如图，在△ABC中，BE是角平分线，AD⊥BE，垂足为D。 求证：∠2=∠1+∠C。
AEDCB
12
2．如图，在△ABC中，∠ABC=3∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD于点E。 求证：BE=
1（AC-AB）。 2AEBDC
模型4 角平分线+平行线
如图，P是∠MO的平分线上一点，过点P作PQ∥ON，交OM于点Q。 结论：△POQ是等腰三角形。
MQOPN
模型分析
有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，为证明结论提供更多的条件，体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系。 模型实例
解答下列问题：
（1）如图①所示，在△ABC中，EF∥BC，点D在EF上，BD、CD分别平分∠ABC、∠
ACB，写出线段EF与BE、CF有什么数量关系；
（2）如图②所示，BD平分∠ABC、CD平分∠ACG，DE∥BC交AB于点E，交AC于点
F，线段EF与BE、CF有什么数量关系？并说明理由。
（3）如图③所示，BD、CD分别为外角∠CBM、∠BCN的平分线，，DE∥BC交AB延长
线于点E，交AC延长线于点F，直接写出线段EF与BE、CF有什么数量关系？
AEAFDBACFEBD图1FCB图2CGEMD图3N
热搜精练
1． 如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB 的平分线交于点E，过点E作EF∥BC，交AB于点M，交AC于点N。若BM+CN=9，则线段MN的长为 。
AMBENC
2．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E、F分别在BD、AD上，EF∥AB，且DE=CD。
求证：EF=AC。
AFBCED
3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在CD上，且AE平分∠BAD，BE平分∠ABC。
求证：AD=AB-BC。
ADEB
C
第三章 截长补短
模型 截长补短
如图①，若证明线段AB、CD、EF之间存在EF=AB+CD，可以考虑截长补短法。 截长法：如图②，在EF上截取EG=AB，再证明GF=CD即可。
补短法：如图③，延长AB至H点，使BH=CD，再证明AH=EF即可。
AEEBC1G2B3DFFAH
模型分析
截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。截长，指在长线段中截取一段等于已知线段；补短，指将短线段延长，延长部分等于已知线段。该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程。 模型实例
例1．如图，已知在△ABC中，∠C=2∠B，AD平分∠BAC交BC于点D。 求证：AB=AC+CD。
ACDB
例2．如图，已知OD平分∠AOB，DC⊥OA于点C，∠A=∠GBD。 求证：AO+BO=2CO。
ACDOBG
热搜精练
1．如图，在△ABC中，∠BAC=60°，AD是∠BAC的平分线，且AC=AB+BD。 求∠ABC的度数。
ABDC
2．如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB。 求证：AC=AE+CD。
AEOBDC
3．如图，∠ABC+∠BCD=180°，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD。 求证：AB+CD=BC。
DEABC
4．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，∠C=30°， BE⊥AD于点E。
求证：AC-AB=2BE。 AEBDC
5．如图，Rt△ABC中，AC=BC，AD平分∠BAC交BC于点D，CE⊥AD交AD于F点，交AB于点E。 求证：AD=2DF+CE。
AEFBDC
6．如图，五边形ABCDE中，AB=AC，BC+DE=CD，∠B+∠E=180°。 求证：AD平分∠CDE。
AEBC
D
第四章 手拉手模型
模型 手拉手
如图，△ABC是等腰三角形、△ADE是等腰三角形，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=。
结论：△BAD≌△CAE。
EAEDB图1AEADDCBC图2B图3C
模型分析
手拉手模型常和旋转结合，在考试中作为几何综合题目出现。 模型实例
例1．如图，△ADC与△EDC都为等腰直角三角形，连接AG、CE，相交于点H，问
（1）AG与CE是否相等？
（2）AG与CE之间的夹角为多少度？
COADHGB
例2．如图，直线AB的同一侧作△ABD和△BCE都为等边三角形，连接AE、CD，二者
交点为H。求证： （1）△ABE≌△DBC； （2）AE=DC；
（3）∠DHA=60°； （4）△AGB≌△DFB； （5）△EGB≌△CFB； （6）连接GF，GF∥AC；
（7）连接HB，HB平分∠AHC。
DHGAFCEB
热搜精练
1．如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF。
（1）求证：BE=BF；
（2）若∠CAE=30°，求∠ACF度数。
CEFBA
2．如图，△ABD与△BCE都为等边三角形，连接AE与CD，延长AE交CD于点H．证明：
（1）AE=DC；
（2）∠AHD=60°；
（3）连接HB，HB平分∠AHC。
DHCEAB
3．在线段AE同侧作等边△CDE（∠ACE<120°），点P与点M分别是线段BE和AD的中点。求证：△CPM是等边三角形。
BCPMAED
4．将等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE按图①方式放置，∠A=90°，AD边与AB边重合，AB=2AD=4。将△ADE绕点A逆时针方向旋转一个角度（0°<>180°），BD的延长线交CE于P。
（1）如图②，证明：BD=CE，BD⊥CE；
（2）如图③，在旋转的过程中，当AD⊥BD时，求出CP的长。
BBBDDDA图2ECPEA图3CEA图1CP
第五章 三垂直全等模型
模型 三垂直全等模型
如图，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。 结论：Rt△BCD≌Rt△CAE。
BADEC
模型分析
说到三垂直模型，不得不说一下弦图，弦图的运用在初中直角三角形中占有举足轻重的地位，很多利用垂直倒角，勾股定理求边长，相似求边长都会用到从弦图中支离出来的一部分几何图形去求解。图①和图②就是我们经常会见到的两种弦图。
图1BBDADC图3EC图2E图4A
三垂直图形变形如下图③、图④，这也是由弦图演变而来的。
模型实例
例1．如图，AB⊥BC，CD⊥BC，AE⊥DE，AE=DE。 求证：AB+CD=BC。
ADBEC
例2．如图，∠ACB-90°，AC=BC，BE⊥CE于点D，AD=2.5cm，BE=0.8cm。 求DE的长。
BEDCA
例3．如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC有两个顶点在坐标轴上， 求第三个顶点的坐标。
yyBC(-2,0)图1A(0,3)OxC(0,3)AB(-1,0)O图2x
热搜精练
1．如图，正方形ABCD，BE=CF。求证：（1）AE=BF；
（2）AE⊥BF。
ADFBEC
2．直线l上有三个正方形a、b、c，若a、c的面积分别是5和11，则b的面积是 。
DAbCEaBc
3．已知，△ABC中，∠BAC-90°，AB=AC，点P为BC上一动点（B P AFBEPCBACP 4．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=3，设∠BCD=，以D为旋转中心，将腰DC绕点D逆时针旋转90°至DE。 （1）当=45°时，求△EAD的面积； （2）当=30°时，求△EAD的面积； （3）当0°<<90°时，猜想△EAD的面积与大小有无关系？若有关，写出△EAD的面积S与的关系式；若无关，请证明结论。 EADC B 5．如图，向△ABC的外侧作正方形ABDE、正方形ACFG，过点A作AH⊥BC于H，AH的反向延长线与EG交于点P。求证：BC=2AP。 EDABCFPGH 第六章 将军饮马 “将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现。 模型1 定直线与两定点 模型 Al当两定点A、B在直线 l异侧 B时，在直线l上找一点P，使PA+PB最小。 B当两 Al定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使PA+PB最小。 A当 Bl两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使PAPB最大。 A 当 l两定点 BA、B 在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使PAPB最大。 作法 APl 连接AB交直线l于 点BP，点P即为所求作的点。 B A Pl作点B关于直线B'l的对称点B′， 连接AB′交直线于点P，点P即为所求作的点。 A BPl连接AB并延长交直线l于点P，点P即为所求作的点。 A B'Pl作点BB关于直线l的对称点B′，连接AB′并延长交直线于点P，点P即为所求作的点。 结论 PA+ PB的最小。 PA+PB的最小值为AB′。 PAPB的最 大值为AB。 PAPB的最 大值为AB′。 BA lABP连lPAPB的最小值为0。 当两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使PAPB最小。 接AB，作AB的垂直平分线交直线l于点P，点P即为所求作的点。 模型实例 例1．如图，正方形ABCD的面积是12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，则PD+PE的最小值为 。 ADPEBC 例2．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC=BC=4，∠BCD=15°，P为CD上的动点，则PAPB的最大值是多少？ ADPCB 热搜精练 1．如图，在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB-90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是 。 AECDB 2．如图，点C的坐标为（3，y），当△ABC的周长最短时，求y的值。 yA（3，0）OB（2，0）x 3．如图，正方形ABCD中，AB-7，M是DC上的一点，且DM-3，N是AC上的一动点，求DNMN的最小值与最大值。 ANDMB 模型2 角到定点 C 模型 A作法 P'CPAPBOODP''B结论 △PCD周长最小为P′P\"。 点P在∠AOB的内部，在OB上找点D，在OA上找点C，使得△PCD周长最小。 分别作点P关于OA、OB的对称点P′、P\"，连接 P′P\"，交OA、OB于点C、D，点C、D即为所求。 A ACP PC+CD的最小值为P′C。 BPBOODP' 点P在∠AOB的内部，在OB上找点D，在OA上找点C，使得PD+CD最小。 APQOB作点P关于OB的对称点P′，过点P′作P′C⊥OA交OB于点C，点C、D即为所求。 P'COAPQDQ'B 点P、Q在∠AOB的内部，在OB上找点D，在OA上找点C，使得四边形PQDC周长最小。 分别作点P、Q关于OA、OB的对称点P′、Q′，连接P′Q′，交OA、OB于点C、D，点C、D即为所求。 PC+CD+DQ的最小值为P′Q′，所以四边形PQDC的周长的最小值为P′Q′+PQ。 模型实例 例1．如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10，在OA上有一点Q，OB上有一点R。若△PQR周长最小，则最小周长是多少？ APOB 热搜精练 1．如图，∠MON=40°，P为∠MON内一定点，A为OM上的点，B为ON上的点，当△PAB的周长取最小值时： （1）找到A、B点，保留作图痕迹； （2）求此时∠APB等于多少度。如果∠MON=，∠APB又等于多少度？ MPON 2．如图，四边形ABCD中，∠BAD=110°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小，并求此时∠AMN+∠ANM的度数。 ADBMNC 3．如图，在x轴上找一点C，在y轴上找一点D，使AD+CD+BC最小，并求直线CD的解析式及点C、D的坐标。 yA（1，3）B（3，1）Ox 4．如图∠MON=20°，A、B分别为射线OM、ON上两定点，且OA=2，OB=4，点P、Q分别为射线OM、ON上两动点，当P、Q运动时，线段AQ+PQ+PB的最小值是多少？ MAO 模型3 两定点一定长 BN 模型 dAB作法 如BMNdAA' 图，在直线l上找M、N两 点（M在左），使得AM+MN+NB最小，且MN=d。 A 1将点A向右平移d个A''单位到A′，作A′关于直线l的对称点A\"，连接A\"B交直线l于点N，将点N向左平移d个单位到M，点M、N即为所求。 AM1结论 AM+MN+NB最小为A\"B 。 A'2 AM+MN+NB的最小值为A′B+d。 N2 B如图，l1∥l2，l1，l2之间距离为d，在l1，l2分别找M、N两点，使得MN⊥B 将点A向下平移d个单位到A′，连接A′B交直线l2于点N，将点N向上平移d个单位到M，点M、N即为所求。 l1，且AM+MN+NB最小。 模型实例 例1．在平面直角坐标系中，矩形OABC如图所示，点A在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上，且OA=6，OC=4，D为OC中点，点E、F在线段OA上，点E在点F左侧，EF=2。当四边形BDEF的周长最小时，求点E的坐标。 yCDOEBFAx 热搜精练 1．在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在，x轴、 ，B（0，4），D为边OB的中点。 y轴的正半轴上，A（3，0） （1）若E为边OA上的一个动点，求△CDE的周长最小值； （2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=1，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标。 yBDOCAx 2．村庄A和村庄B位于一条小何的两侧，若河岸彼此平行，要架设一座与河岸垂直的桥，桥址应如何选择，才使A与B 之间的距离最短？ A12B 第七章 蚂蚁行程 模型1 立体图形展开的最短路径 BCB'ADA' 模型分析 上图为无底的圆柱体侧面展开图，如图蚂蚁从点A沿圆柱表面爬行一周。到点B的最短路径就是展开图中AB′的长，AB'AA'2A'B'2。做此类题日的关键就是，正确展开立体图形，利用“两点之间线段最短”或“两边之和大于第三边”准确找出最短路径。 模型实例 例1．有一圆柱体油罐，已知油罐底面周长是12m，高AB是5m，要从点A处开始绕油罐一周建造房子，正好到达A点的正上方B处，问梯子最短有 多长？ 例2．如图，一直圆锥的母线长为QA=8，底面圆的半径r2， 若一只小蚂蚁从A点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A点，则蚂蚁爬行的最短路线长是 。 QA 例3．已知长方体的长、宽、高分别为30cm、20cm、10cm，一只蚂蚁从A处出发到B处觅食，求它所走的最短路径。（结果保留根号） BA 热搜精练 1．有一个圆锥体如图，高4cm，底面半径5cm，A处有一蚂蚁，若蚂蚁欲沿侧面爬行到C处，求蚂蚁爬行的最短距离。 BACD 2．如图，圆锥体的高为8cm，底面周长为4cm，小蚂蚁在圆柱表面爬行，从A点到B点，路线如图，则最短路程为 。 DBAC 3．桌上有一个圆柱形无盖玻璃杯，高为12厘米，底面周长18厘米，在杯口内壁离杯口距离3厘米的A处有一滴蜜糖，一只小虫22 杯子外壁，当它正好在蜜糖相对方向离桌面3厘米的B处时，突然发现了蜜糖，问小虫至少爬多少厘米才能到达蜜糖所在的位置。 AB 4．已知O为圆锥顶点，OA、OB为圆锥的母线，C为OB的中点，一只小蚂蚁从点C开始沿圆锥侧面爬行到点A，另一只小蚂蚁也从C点出发绕着圆锥侧面爬行到点B，它们所爬行的最短路线的痕迹如图所示，若沿OA剪开，则得到的圆锥侧面展开图为 （ ） 5．如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A出发，经过3个面爬行到点B，如果它运动的路径是最短的，则最短距离为 。 BCA 6．如图是一个边长为6的正方体木箱，点Q 在上底面的棱上，AQ=2，一只蚂蚁从P点出发沿木箱表面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路线。 AQP 7．如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm、3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物。请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点的最短路程是多少？ A5C1B 3 第八章 中点四大模型 模型1 倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形 AA倍长中线BBDA倍长类中线FBD构造全等CBFDCECDEC图1A图2 模型分析 如图①，AD是△ABC的中线，延长AD至点E使DE=AD，易证：△ADC≌△EDB（SAS）。如图②，D是BC中点，延长FD至点E使DE=FD，易证： △FDB≌△FDC（SAS）。当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，构造全等三角形，目的是对已知条件中的线段进行转移。 模型实例 例1．如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，连接 BE并延长AC于点F，AF=EF。求证：AC=BE。 AEBDFC 热搜精练 1．如图，在△ABC中，AB=12，AC=20，求BC边上中线AD的范围。 AB DC 2．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DM⊥DN，如果BM2CN2DM2DN2。求证： AD21AB2AC2。 4AMBDNC 模型2 已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一” AA连接中线BDCBDC 模型分析 等腰三角形中有底边中点时，常作底边的中线，利用等腰三角形“三线合一”的性质得到角相等或边相等，为解题创造更多的条件，当看见等腰三角形的时候，就应想到：“边等、角等、三线合一”。 模型实例 例1．如图，在△ABC中，AB=AC-5，BC=6，M为BC的中点，MN⊥AC于点N， 求MN的长度。 ANBMC 热搜精练 1．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AE⊥DE，AF⊥DF，且AE=AF。求证：∠EDB=∠FDC。 AEFBDC 2．已知Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D为AB边的中点，∠EDF=90°，∠EDF绕点D旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F。 （1）当∠EDF绕点D旋转到DE⊥AC于E时（如图①）， 求证：SDEFSCEF1S2ABC； （2）当∠EDF绕点D旋转到DE和AC不垂直时，在图②和图③这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，S关系？请写出你的猜想，不需证明。 DEF、SCEF、SABC又有怎样的数量 ADECADADBECFB1图图2FBCEF图3 模型3 已知三角形一边的中点，可以考虑中位线定理 A取另一边中点DBC构造中位线BDECA 模型分析 在三角形中，如果有中点，可构造三角形的中位线，利用三角形中位线的性质定理：DE∥BC，且DE1BC来解题，中位线定理既有线段之间的位置关系又有数量关2系，该模型可以解决相等，线段之间的倍半、相等及平行问题。 模型实例 例1．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N。求证：∠BME=∠CNE。 MNAFDC BE 热搜精练 1．（1）如图①，BD、CE分别是△ABC的外角平分，过点A作AD⊥BD、 AE⊥CE，垂足分别为D、E，连接DE。 求证：DE∥BC，DE1ABBCAC； 2（2）如图②，BD、CE分别是△ABC的内角平分，其它条件不变。上述结论是否成立？ （3）如图③，BD是△ABC的内角平分，CE是△ABC的外角平分，其它条件不变。DE与 BC还平行吗？它与△ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中一种情况进行证明。 AGAFEDCBADEDEBCNBM图1图2图C3N 2．问题一：如图①，在四边形ACBD中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF分别交DC、AB于点M、N，判断△OMN的形状，请直接写出结论； 问题二：如图②，在△ABC中，AC>AB，点D在AC上，AB=CD，E、F分别是BC、 AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，若 ∠EFC=60°， 连接GD，判断△AGD的形状并证明。 AFDCONEBBGAFDE2C M图1图 模型4 已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线 A构造直角三角形斜边上的中线ADDCBCB 模型分析 在直角三角形中，当遇见斜边中点时，经常会作斜边上的中线，利用直 角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即CD1AB，来证明线段间的数量关系，而且2可以得到两个等腰三角形：△ACD和△BCD，该模型经常会与中位线定理一起综合应用。 模型实例 例1．如图，在△ABC中，BE、CF分别为AC、AB上的高，D为BC的中点，DM⊥EF于点M。求证：FM=EM。 AFMEBCD 热搜精练 1．如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于点D，M为BC的中点，AB=10。求DM的长度。 ABDMC 2．已知，△ABD和△ACE都是直角三角形，且∠ABD=∠ACE=90°，连接DE，M为DE的中点，连接MB、MC。求证：MB=MC。 ACEMDB 3．问题1：如图①，△ABC中，点D是AB边的中点，AE⊥BC，BF⊥AC，垂足分别为点E、F，AE、BF交于点M，连接DE、DF。若DEkDF，则k的值为 ； 问题2：如图②，△ABC中，CB=CA，点D是AB边的中点，点M在△ABC内部，且∠MAC=∠MBC。过点M分别作ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分别为点E、F，连接DE、DF。若DE=DF； 问题3：如图③，若将上面问题②中的条件“CB=CA”变为“CB≠CA”，其它条件不变，试探究DE与DF之间的数量关系，并证明你的结论。 AADMBFCBDE2FMCBDMECAF图 E1图图3 第九章 半角模型 模型1 倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形 1已知如图：∠2=2∠AOB；OA=OB。连接F′B，将△FOB绕点O旋转至△FOA的位置， 连接F′E、FE，可得△OEF′≌△OEF。 O123FEAO4BF'123FEAB 模型分析 （1）半角模型的命名：存在两个角度是一半关系，并且这两个角共顶点； （2）通过先旋转全等再轴对称全等，一般结论是证明线段和差关系； （3）常见的半角模型是90°含45°，120°含60°。 模型实例 例1．如图，已知正方形ABCD中，∠MAN=45°，它的两边分别交线段CB、DC于点M、N。 （1）求证：BM+DN=MN； （2）作AH⊥MN于点H，求证：AH=AB。 ADNBMC 例2．在等边△ABC的两边AB、AC上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN=60°，∠BDC=60°，BD=DC。探究：当M、N分别在线段AB、AC 上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系。 （1）如图①，当DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是 ； （2）如图②，当DM≠DN时，猜想（1）问的结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明。 AMCDBAMBNNCD2图1图 例3．如图，在四边形ABCD中，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是BC、CD延长线上的点，且∠EAF= 1∠BAD。求证：EF=BE-FD。 2AFBCED 热搜精练 1．如图，正方形ABCD，M在CB延长线上，N在DC延长线，∠MAN=45°。求证：MN=DN-BM。 ADMBCN 2．已知，如图①，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE=45°。探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系。小明的思路是：把△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE′，连接E′D，使问题得劲解决。 请你参考小明的思路探究并解决以下问题： （1）猜想BD、DE、EC三条线段之间的数量关系式，并对你的猜想给予证明； （2）当动点E在线段BC上，动点D运动到线段CB的延长线上时，如图②，其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明。 AABD图1ECDB图2EC 3．已知，在等边△ABC中，点O是边AC、BC 的垂直平分线的交点，M、N分别在直线AC、BC上，且∠MON=60°。 （1）如图①，当CM=CN时，M、N分别在边AC、BC上时，请写出AM、CN、MN三者之间的数量关系； （2）如图②，当CM≠CN时，M、N分别在边AC、BC上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请你加以证明；若不成立，请说明理由； （3）如图③，当点M在边AC上，点N在BC的延长线上时，请直接写出线段AM、CN、MN三者之间的数量关系。 NCMOABANMOCNMOB2C图1图A图B3 4．如图，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，AB=AD，E、F分别是线段BC、CD上的点，且BE+FD=EF。求证：∠EAF= DAFBEC1∠BAD。 2 5．如图①，已知四边形ABCD，∠EAF的两边分别与DC的延长线交于点F，与CB的延长线交于点E连接EF。 （1）若四边形ABCD为正方形，当∠EAF=45°时，EF与DF、BE之间有怎样的数量关系？（只需直接写出结论） （2）如图②，如果四边形ABCD中，AB=AD，∠ABC与∠ADC互补，当∠EAF= 1∠2BAD时，EF与DF、BE之间有怎样的数量关系？请写出结论并证明； （3）在（2）中，若BC=4，DC=7，CF=2，求△CEF的周长（直接写出结论即可）。 AEBDCF图1 AEBDFC图2 第十章 相似模型 模型1 A、8模型 已知：∠1=∠2 结论：△ADE∽△ABC AEDB21A1ECB2DCA型EABB21反A型D1DA2ECC8型反8型 模型分析 如图，在相似三角形的判定中，我们常通过作平行线，从而得出A型或8型相似，在做题时，我们也常常关注题目中由平行线所产生的相似三角形。 模型实例 例1．如图，在△ABC中，中线AF、BD、CE相交于点O。 求证： OFOEOD1。 OAOCOB2AEOBFDC 例2．如图，点E、F分别在菱形ABCD的边AB、AD上，且AE=DF，BF交DE于 点G，延长BF交CD的延长线于H，若 HFADGBCAFHF的值。 2。求 DFBGE 热搜精练 1.如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交 于点O，若S△DOE：S△COA=1：25，则S△BDE与S△CDEE的比是 。 AAEDDBOECFC 2.如图所示，□ABCD中，G是BC延长线上的一点，AG与BD交于点E，与DC 交于点F，此图中的相似三角形共有 对。 3．如图，在△ABC中，中线BD、CE相交于点O，连接AO并延长，交BC 于点F。求证：点F是BC的中点。 ABEOBFDC 4．在△ABC中，AD是角平分线，求证： ABBD。 ACCDABDC 5．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB-90°，D是边BC的中点，E在AB上，且 AE：BE=2：1。求证：CE⊥AD。 CDAEB 模型2 共边共角型 已知：∠1=∠2 结论：△ACD∽△ABC AD1B2C 模型分析 上图中，不仅要熟悉模型，还要熟记模型的结论，有时候题目中会给出 三角形边的乘积或比例关系，我们要能快速判断题中的相似三角形，模型中由△ACD∽△ABC，进而可以得到AC2ADAC。 模型实例 例1．如图，D是△ABC边BC上的一点，AB=4， AD=2，∠DAC=∠B，如果△ABD的面积为15，那么△ACD的面积为 。 AB 例2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC-90°，AD⊥BC于D。 （1）图中有多少对相似三角形？写出来； （2）求证：AC2ADAC ADCBDC 热搜精练 1．如图所示，能判定△ABC∽△DAC的有 ； ①∠B=∠DAC；②∠BAC=∠ADC； ③AC2DCBC；④AD2BDBC。 ABDC 2．已知△AMN是等边三角形，∠BAC=120°。求证： （1）AB2BMBC； （2）AC2CNCB； （3）MN2BMNC。 ABMNC 3．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上的一点，过C作CD⊥AB于D， AC210，AD：DB=4：1。求CD的长。 CAODB 4．如图①，Rt△ABC中，∠ACB-90°，CD⊥AB，我们可以利用△ABC∽△ACD证明 AC2ADAB，这个结论我们称之为射影定理，结论运用：如图②，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，过点C作CE⊥BE，垂足为F，连接OF。 （1）试利用射影定理证明△BOF∽△BED； （2）若DE=2CE，求OF的长。 ACOFDECADBB图1图2 模型3 一线三角型 AAEBCDBCDBCDEEA图1图2图3 已知，如图①②③中：∠B=∠ACE=∠D。 结论：△ABC∽△CDE 模型分析 在一线三等角的模型中，难点在于当已知三个相等的角的时候，容易忽略隐含的其它相等的角，此模型中的三垂直相似应用较多，当看见该模型的时候，应立刻能看出相应的相似三角形。 模型实例 例1．如图在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD=60°， BP=1，CD= 2，则△ABC的边长为 。 3A60BDOEC 例2．如图，∠A=∠B=90°，AB=7，AD=2，BC=3，在边AB上取一点P，使得 △PAD民△PBC相似，则这样的P点共有 个。 CDABP 热搜精练 1．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是BC边上的一个动点 （不与B、C点重合），∠ADE=45°。 （1）求证：△ABD∽△DCE； （2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式； （3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长。 AEBDC 2．如图，在△ABC中，AB=AC=10，点D是边BC上一动点（不与B、C重合）， ∠ADE=∠B=，DE交AC于点E，且cos4，下列结论。 5①△ADE∽△ACD；②当BD=6时，△ABD与△DCE全等； ③△DCE为直角三角形时，BD等于8或12.5；④0 AEBDC 3．如图，已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B 落在CD边上 的P点外，折痕与边BC交于O，连接AP、OP、OA。 （1）求证：△OCP∽△PDA； （2）若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长。 DPCOA 模型4 倒数型 条件：AF∥DE∥BC 结论： B 111 AFBCDEADEFBC 模型分析 仔细观察，会发现该模型中含有两个A型相似模型，它的结论是由两个A 型相似的结论相加而得到的，该模型的练习有助于提高综合题能力水平。 模型实例 例1．如图，AF∥BC，AC、BF相交于点E，过D作ED∥AF交AB于点D。 求证： 1SABF1SABC1SABE。 ADEFBC 热搜精练 1．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，正方形EFGH的四个顶点都在△ABC 的边上。求证： 111。 AFBFGFCEHAFDGB 2．正方形ABCD中，以AB为边作等边三角形ABE，连接DE交AC于F，交AB 于G，连接BF。求证： （1）AF+BF=EF； （2） 111。 AFBFGFAEGBFDC 模型5 与圆有关的简单相似 图①中，由同弧所对的圆周角相等，易得△PAC∽△PDB； 图②中，由圆的内接四边形的一个外角等于它的内对角，易得△PAC∽△PDB； 图③中，通过作辅助线构造，易得△PAC∽△PCB。 DBCAPBPDCABDOAC图1图2图P3 模型实例 例1．如图，点P在⊙O外，PB交⊙O于A、B两点，PC交⊙O于 D、C两点。 求证：PAPBPDPC。 BAPDC 热搜精练 1．如图，P是⊙O内的一点，AB是过点P的一条弦，设圆的半径为r，OP=d。 求证：PAPDr2d2。 OPAB 2．如图，已知AB是⊙O的直径，C、D是半圆的三等分点，延长AC、BD交于点E。 （1）求∠E的度数； （2）点M是BE上一点，且满足EMEBCE2，连接CM，求证：CM是⊙O的切线。 ECAMDB O模型6 相似与旋转 如图①，已知DE∥BC，将△ADE绕点A旋转一定的角度，连接BD、CE，得到如图②，结论：△ABD∽△ACE。 ADE绕点A旋转 ADEAEDCBC B 模型分析 该模型难度较大，常出现在压轴题中，以直角三角形为背景出题，对学生的综合能力要求较高，考察知识点有相似、旋转、勾股定理、三角函数等，是优等生必须掌握的一种题型。 模型实例 例1．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=60°，点P在△ABC内，且PA3， PB=5，PC=2。求S△ABC。 APBC 热搜精练 1．如图，△ABC和△CEF均为等腰三角形，E在△ABC内，∠CAE+∠CBE=90°，连接BF。 （1）求证：△CAE∽△CBF； （2）若BE=1，AE=2，求CE的长。 CFEAB 2．已知，在△ABC中，∠BAC=60°。 （1）如图①，若AB=AC，点P在△ABC内，且∠APC=6150°，PA=3，PC=4，把△APC绕着点A顺时针旋转，使点C旋转到点B处，得到△ADB，连接DP。①依题意补全图1；②直接写出PB的长； （2）如图②，若AB=AC，点P在△ABC外，且PA=3，PB=5，PC=4，求∠APC的度数； （3）如图③，若AB=2AC，点P在△ABC内，且PA3，PB=5， ∠APC=120°，请直接写出PC的长。 APB图C1 AB图C2 PAPB图3C 第十一章 圆中的辅助线 模型1 连半径构造等腰三角形 已知AB是⊙O的一条弦， 连接OA、OB，则∠A=∠B。 OAB 模型分析 在圆的相关题目中，不要忽略隐含的已知条件，我们通常可以连接半径构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质及圆中的相关定理，解决角度的计算问题。 模型实例 例1．如图，CD是⊙O的直径，∠EOD=84°，AE交⊙O于点B，且AB=OC，求∠ A。 EBACOD 热搜精练 1．如图，AB经过⊙O的圆心，点B在⊙O上，若AD=OB，且∠B=54°。试求∠A的度数。 CDAOB 2．如图，AB是⊙O的直径，弦PQ交AB于M，且PM=MO。求证：弧APBQ。 1弧3QBAPO 模型2 构造直角形 图①，已知AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，连接AC、BC，则∠ACB=90°。 如图②，已知AB是⊙O的一条弦，过点O作OE⊥AB，则OE2AE2OA2。 CABO图1OAEB2图 模型分析 （1）如图①，当图形中含有直径时，构造直径所对的圆周角是解决问题的重要思路，在证明有关问题中注意90°的圆周角的构造。 （2）如图②，在解决求弦长、弦心距、半径问题时，在圆中常作弦心距或连接半径作为辅助线，利用弦心距、半径和半弦组成一个直角三角形，再利用勾股定理进行计算。 模型实例 例1．如图，已知⊙O的直径AB和弦CD相交于点E， AE=2，BE=6，∠DEB=60°，求CD的长。 DEOCAB 例2．如图，AB是⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°。 （1）求∠EBC的度数； （2）求证：BD=CD。 A OEBDC 热搜精练 1．如图，⊙O的弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AE=5，BE=13，点O到AB 的距离为210，求点O到CD距离，线段OE的长及⊙O的半径。 COAEDB 2．已知，AB和CD是⊙O的两条弦，且AB⊥CD于点H，连接BC、AD，作 OE⊥AD于点E。求证：OE1BC。 3DEOBHCA 3．如图，直径AB=2，AB、CD交于点E且夹角为45°， 则CE2DE2 。 CAEODB 模型3 与圆的切线有关的辅助线 （1）切线的性质； （2）切线的判定方法。 OACB 模型实例 例1．如图，OA、OB是⊙O的半径，且OA⊥OB，P是OA上任意一点，BP的延长线交⊙O于Q，过Q点的切线交OA的延长线于R。求证：RP=RQ。 BPAORQ 例2．如图，△ABC内接于⊙O，过A点作直线DE，当∠BAE=∠C，试确定直线 DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论。 CODABE 热搜精练 1．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别于BC、AC相交于点D、E，BD=CD，过点D作⊙O的切线交AC于点F。求证：DF⊥AC。 CDBFEOA 2．如图，AB是⊙O的直径，AC是它的切线，CO平分∠ACD。求证：CD是⊙O的切线。 ACOBD 3．如图，直线AC与⊙O相交于B、C两点，E是弧BC的中点，D是⊙O上一点，若∠EDA=∠AMD。求证：AD是⊙O的切线。 CEBMODA 补充： 1、如图，正△ABC的边长为3cm，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止，设运动时间为x（秒），y=PC，则y关于x 2 的函数的图象大致为（ ） A B．C． D． 2、如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向B点运动，同时动点Q从B点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC→CD方向运动，当P运动到B点时，P、Q两点同时停止运动．设P点运动的时间为t，△APQ的面积为S，则S与t的函数关系的图象是（ ） A B C D 3、如图，A点在半径为2的⊙O上，过线段OA上的一点P作直线，与⊙O过A点的切线交于点B，且∠APB=60°，设OP= x，则△PAB的面积y关于x的函数图像大致是【 】 4、如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，点C的坐标为(4,0)，∠ AOC=60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M、N(点M在点N的上方). 1.求A、B两点的坐标； 2.设△OMN的面积为S，直线l运动时间为t秒(0≤t≤6)，试求S与t的函数表达式； 3.在题(2)的条件下，t为何值时，S的面积最大？最大面积是多少？ 5．如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，且∠ ACB=90°，AB=5，BC=3，点P在射线AC上运动，过点P作PH⊥AB，垂足为H． （1）直接写出线段AC、AD及⊙O半径的长； （2）设PH=x，PC=y，求y关于x的函数关系式； （3）当PH与⊙O相切时，求相应的y值． 6、如图，在平面直角坐标系中，⊙A与x轴相交于C（﹣2，0），D（﹣8，0）两点，与y轴相切于点B（0，4）． （1）求经过B，C，D三点的抛物线的函数表达式； （2）设抛物线的顶点为E，证明：直线CE与⊙A相切； （3）在x轴下方的抛物线上，是否存在一点F，使△BDF面积最大，最大值是多少？并求出点F的坐标． 第十二章 辅助圆 模型1 共端点，等线段模型 OACBAOCBAOCB图1图2图3 模型分析 （1）若有共端点的三条等线段，可考虑构造辅助圆； （2）构造辅助圆是方便利用圆的性质快速解决角度问题。 模型实例 例1．如图，△ABC和△ACD都是等腰三角形，AB=AC，AC=AD，连接BD。 求证：∠1+∠2=90°。 AB21D C 精练 1．如图，△ABC为等腰三角形，AB=AC，在△ABC的外侧作直线AP，点B与点D关于AP轴对称，连接BD、CD，CD与AP交于点E。求证：∠1=∠2。 A1DE2PBC 2．已知四边形ABCD，AB∥CD，且AB=AC=AD=a，BC=b，且2a>b，求BD的长。 DCAB 模型2 直角三角形共斜边模型 CDABACDOB图1CABCAOBD图2D 模型分析 （1）共斜边的两个直角三角形，同侧或异侧，都会得到四点共圆； （2）四点共圆后可以根据圆周角定理得到角度相等，完成角度等量关系的转化，是证明角相等重要的途径之一。 模型实例 例1．如图，AD、BE、CF为△ABC的三条高，H为垂心，问： （1）图中有多少组四点共圆； （2）求证：∠ADF=∠ADE。 AFHEBDC 例2．如图，E是正方形ABCD的边AB上的一点，过点E作DE的垂线交∠ABC的外角平分线于点F。求证：EF=DE。 DCFAEB 热搜精练 1．如图，锐角△ABC中，BD、CE是高线，DG⊥CE于G，EF⊥BD于F。求证：FG∥BC。 AEDFBGC 2．如图，BE、CF为△ABC的高，且交于点H，连接AH并延长交BC于点D。求证：AD⊥BC。 AFEHBDC 3．如图，等边△PQR内接于正方形ABCD，其中点P、Q、R分别在边AD、AB、 DC上，M是QR的中点。求证：不论等边△PQR怎样运动，点M为不动点。 APDQBRC 4．如图，已知△ABC中，AH是高，AT是角平分线，且TD⊥AB，TE⊥AC。求证：∠AHD=∠AHE。 ADEBTHC 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容